Задачи по теории вероятностей
Примеры решений задач по теории вероятностей. Вероятность попадания людей в ту или иную подгруппу. Вероятность выигрыша ставки. Закон распределения случайной величины. Временные интервалы и критерий согласия Пирсона. Выборочные коэффициенты корреляции.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 17.03.2015 |
| Размер файла | 69,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru
Задача № 1
Дано:
В студенческой группе 20 человек, из них 8 девушек. Группу делят случайным образом на две подгруппы по 10 человек. Найти вероятность того, что четыре девушки попадут в одну подгруппу и четыре в другую.
Решение:
Из 20 человек в группе 8 девушек и 12 юношей. Следовательно, при разбитии в каждой группе должно получится по 6 юношей и 4 девушки.
Будем отдельно находить число разбиений множества юношей на две равные подгруппы: , и также разбиений множества девушек на 2 равные подгруппы: . Тогда число равных разбиений, в которых будет по 4 девушки и 6 юношей в каждой подгруппе, по правилу умножения будет равно:
* = 924 * 70 = 64680.
Задача № 2
Дано:
Вероятность выиграть кубок по хоккею для команды первого дивизиона равна 0,65, а для команды второго дивизиона - 0,2. Некто сделал ставку на одну команду. Найти вероятность того, что ставка сыграет, если в соревнованиях участвуют 14 команд первого дивизиона и 6 команд второго дивизиона. задача вероятность случайный корреляция
Решение:
0 с вероятностью 0,35 * 0,8 = 0,28
1 с вероятностью 0,65 * 0,8 = 0,52
2 с вероятностью 0,35 * 0,2 = 0,07
Задача № 3
Дано:
В среднем по 15% договоров страховая компания выплачивает страховую сумму. Найти вероятность того, что из 10 договоров с наступлением страхового случая будет связано с выплатой страховой суммы: а) менее двух договоров; б) 6 договоров.
Решение:
По формуле Бернулли получим:
Р(0)=(1-0,15)^10 = 0,19687
P(1)=10*(0,15)*(1-0,15)^9 = 0,34743
Р(6)= С(6 из 10)*(0,15)^6*(1-0,15)^4 = 0,0004
Р(менее 2)= 1 - Р(0 или 1) = 1 - Р(0)-Р(1) = 1 - 0,19687 - 0,34743 = 0,4557
Задача № 4
Дано:
На связке имеется 5 разных ключей от разных кабинетов. Вынутым наудачу ключом пробуют открыть дверь одного из кабинетов. Составить закон распределения случайной величины Х - числа попыток открыть дверь; проверенный ключ второй раз не используется. Найти числовые характеристики МХ, DX, (х).
Решение:
Рассмотрим случайную величину X - число попыток открыть дверь ближайшего кабинета, которая может принимать значения 1,2,3,4,5. Требуется найти . Составим сначала закон распределения случайной величины X. Введем события:
- "дверь открыта с i - ой попытки", ;
- "дверь не открыта с i - ой попытки", .
и - зависимые события, т.к. проверенный ключ не кладется обратно в карман.
По теореме умножения для зависимых событий, находим:
Проверка: - верно.
Закон распределения случайной величины X имеет вид:
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
||
Находим математическое ожидание:
-
столько раз в среднем придется открывать эту комнату.
Вычислим
D (X) =
Далее получим:
Задача № 5
Дано:
Для исследования потока посетителей на одном предприятии массового обслуживания (например, столовая) измерили интервалы времени между последовательно проходящими посетителями. Результаты сведены в таблицу. На уровне значимости б = 0,01 проверить гипотезу о том, что интервалы времени между последовательно проходящими посетителями можно описать нормальным распределением, используя критерий согласия Пирсона.
|
Номер интервала |
Интервалы между двумя посетителями (мин) |
Число интервалов одной длительности |
|
|
1 |
0-1 |
9 |
|
|
2 |
1-2 |
20 |
|
|
3 |
2-3 |
6 |
|
|
4 |
3-4 |
2 |
|
|
5 |
4-5 |
3 |
Решение:
Перейдем от заданного интервального распределения к распределению равноотстоящих вариант и вычислим выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение:
= 1/40*(0,5 * 9 + 1,5 * 20 + 2,5 * 6 + 3,5 * 2 + 4,5 * 3) = 1/40 * (4,5 + 30 + 15 + 7 + 13,5) = 1,75.
= 1/40 * (0,52 *9 + 1,52 *20 + 2,52 * 6 + 3,52 *2 + 4,52 *3) = 1/40 * (2,25 + 45 + 37,5 + 24,5 + 60,75) = 1/40 * 170 = 4,25.
= - ()2 = 4,25 - 3,06 = 1,19.
= * = 40/39 * 1,19 = 1,22.
= = 1,10.
Для удобства вычислений составим таблицу:
|
i |
ai |
ui |
? (ui) |
n?i |
ni |
(ni - n?i)2 |
(ni - n?i)2 / n?i |
|
|
1 |
0 |
-1,6 |
0,111 |
4,036 |
9 |
24,641 |
6,105 |
|
|
2 |
1 |
-0,68 |
0,317 |
11,527 |
20 |
71,792 |
6,228 |
|
|
3 |
2 |
0,23 |
0,389 |
14,145 |
6 |
66,341 |
4,690 |
|
|
4 |
3 |
1,14 |
0,208 |
7,564 |
2 |
30,958 |
4,093 |
|
|
5 |
4 |
2,05 |
0,006 |
0,218 |
3 |
7,739 |
35,5 |
|
|
Сумма |
56,62 |
По таблице критических точек распределения по уровню значимости б= 0,01 и числу степеней свободы k = s - 3 = 5 - 3 = 2 находим критическую точку правосторонней критической области:
Xкр2 = 9,2.
Так как 56,62 > 9,2, то гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности не принимаем.
Задача № 6
Дано:
Дана выборка двумерной случайной величины (n = 20). Требуется:
а) построить корреляционное поле;
б) вычислить выборочные коэффициенты корреляции;
в) составить уравнение регрессии Y на X и построить линию регрессии.
|
Х |
Y |
|
|
4,3 |
12,4 |
|
|
4,9 |
11,1 |
|
|
5,5 |
10,8 |
|
|
6,1 |
9,6 |
|
|
6,7 |
9,3 |
|
|
7,3 |
8,1 |
|
|
7,9 |
7,8 |
|
|
8,5 |
6,9 |
|
|
9,1 |
6,6 |
|
|
9,7 |
6,3 |
|
|
10,3 |
5,2 |
|
|
10,9 |
4,9 |
|
|
11,5 |
4,6 |
|
|
12,1 |
4,3 |
|
|
12,7 |
4,6 |
|
|
13,3 |
4,3 |
|
|
13,9 |
4 |
|
|
14,5 |
4,2 |
|
|
15,1 |
3,9 |
|
|
15,7 |
3,6 |
Решение:
a) На плоскости отмечаем точки с координатами (x; y):
б) Вычисляем оценки числовых характеристик:
= = 10
= = 6,625
?x2 = 0,05 * (4,32+ ... + 15,72) - 100= 0,05*(18,49 + 24,01 + 30,25 + 37,21 + 44,89 + 53,29 + 62,41 + 72,25 + 82,81 + 94,09 + 106,09 + 118,81 + 132,25 + 146,41 + 161,29 + 176,89 + 193,21 + 210,25 + 228,01 + 246,49) - 100 = 0,05 * 2239,4 - 100 = 11,97
?x = 3,46.
?y2 = 0,05 * (12,42 +...+ 3,62) - 43,89= 0,05 * (153,76 + 123,21 + 116,64 + 92,16 + 86,49 + 65,61 + 60,84 + 47,61 + 43,56 + 39,69 + 27,04 + 24,01 + 21,16 + 18,49 + 21,16 + 18,49 + 16 + 17,64 + 15,21 + 12,96) - 43,89 = 0,05 * 1021,73 - 43,89 = 7,2.
?y = 2,68.
= 53,32 + 54,39 + 59,4 + 58,56 + 62,31 + 59,13 + 61,62 + 58,65 + 60,06 + 61,11 + 53,56 + 53,41 + 52,9 + 52,03 + 58,42 + 57,19 + 55,6 + 60,9 + 58,89 + 56,52 = 1147,97.
Тогда выборочный коэффициент корреляции равен:
r = (1147,97 - 20 * 10 * 6,625) / (20 * 3,46 * 2,68) = - 177,03 / 185,46 = - 0,95.
в) Уравнение регрессии имеет вид:
y - 6,625 = - 0,95 * (x - 10)
Следовательно,
у = - 0,736x + 13,98.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал. Построение графика функции распределения случайной величины. Определение вероятности того, что наудачу взятое изделие отвечает стандарту. Закон распределения дискретной случайной величины.
контрольная работа [104,7 K], добавлен 24.01.2013Понятия теории вероятностей и математической статистики, применение их на практике. Определение случайной величины. Виды и примеры случайных величин. Закон распределения дискретной случайной величины. Законы распределения непрерывной случайной величины.
реферат [174,7 K], добавлен 25.10.2015Описание случайных ошибок методами теории вероятностей. Непрерывные случайные величины. Числовые характеристики случайных величин. Нормальный закон распределения. Понятие функции случайной величины. Центральная предельная теорема. Закон больших чисел.
реферат [146,5 K], добавлен 19.08.2015Функция распределения вероятностей двух случайных величин. Функция и плотность распределения вероятностей случайного вектора. Многомерное нормальное распределение. Коэффициент корреляции. Распределение вероятностей функции одной случайной величины.
реферат [241,8 K], добавлен 03.12.2007Принципы решения задач по основным разделам теории вероятностей: случайные события и их допустимость, непроизвольные величины, распределения и числовые характеристики градировки, основные предельные теоремы для сумм независимых вероятностных величин.
контрольная работа [129,1 K], добавлен 03.12.2010Вероятность совместного появления двух белых шаров. Расчет числа исходов, благоприятствующих интересующему событию. Функция распределения случайной величины. Построение полигона частот, расчет относительных частот и эмпирической функции распределения.
задача [38,9 K], добавлен 14.11.2010Анализ случайных явлений, статистическая обработка результатов численных экспериментов. Способы вычисления наступления предполагаемого события. Решение задач, связанных с теорией вероятности. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал.
контрольная работа [43,8 K], добавлен 21.09.2013Теория вероятностей. Коэффициенты использования рабочего времени. Закон распределения случайной величины. Функция плотности. Математическое ожидание. Закон распределения с математическим ожиданием. Статистика. Доверительный интервал. Выборочная средняя.
контрольная работа [178,3 K], добавлен 24.11.2008Плотность распределения непрерывной случайной величины. Характеристика особенностей равномерного и нормального распределения. Вероятность попадания случайной величины в интервал. Свойства функции распределения. Общее понятие о регрессионном анализе.
контрольная работа [318,9 K], добавлен 26.04.2013Определение вероятностей различных событий по формуле Бернулли. Составление закона распределения дискретной случайной величины, вычисление математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения случайной величины, плотностей вероятности.
контрольная работа [344,8 K], добавлен 31.10.2013Определение, доказательство свойств и построение графика функции распределения. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал. Понятие о теореме Ляпунова. Плотность распределения "хи квадрат", Стьюдента, F Фишера—Снедекора.
курсовая работа [994,4 K], добавлен 02.10.2011Теория вероятностей: биноминальный закон, закон Пуассона. Задачи. Независимо друг от друга 10 чел. Садятся в поезд, содержащий 15 вагонов. Вероятность того, что все они поедут в разных вагонах?
лабораторная работа [30,0 K], добавлен 07.10.2002Особенности использования теории вероятностей в сфере транспорта. Сравнительный анализ вероятностей катастрофы летательного аппарата: постановка задачи и ее математическая интерпретация. Определение надежности элементов системы энергоснабжения самолета.
контрольная работа [130,6 K], добавлен 11.09.2014Сущность и предмет теории вероятностей, отражающей закономерности, присущие случайным явлениям массового характера. Изучение ею закономерностей массовых однородных случайных явлений. Описание наиболее популярных в теории вероятностей экспериментов.
презентация [474,2 K], добавлен 17.08.2015Решение задач по определению вероятности событий, ряда и функции распределения с помощью формулы умножения вероятностей. Нахождение константы, математического описания и дисперсии непрерывной случайной величины из функции распределения случайной величины.
контрольная работа [57,3 K], добавлен 07.09.2010Вероятность и ее общее определение. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Дискретные случайные величины и их числовые характеристики. Закон больших чисел. Статистическое распределение выборки. Элементы корреляционного и регрессионного анализа.
курс лекций [759,3 K], добавлен 13.06.2015Исследования Дж. Кардано и Н. Тарталья в области решения первичных задач теории вероятностей. Вклад Паскаля и Ферма в развитие теории вероятностей. Работа Х. Гюйгенса. Первые исследования по демографии. Формирование понятия геометрической вероятности.
курсовая работа [115,9 K], добавлен 24.11.2010Дискретные случайные величины и их распределения. Формула полной вероятности и формула Байеса. Общие свойства математического ожидания. Дисперсия случайной величины. Функция распределения случайной величины. Классическое определение вероятностей.
контрольная работа [33,8 K], добавлен 13.12.2010- Закон больших чисел. Проверка статистических гипотез (критерий согласия w2 Мизеса: простая гипотеза)
Предельные теоремы теории вероятностей. Сходимость последовательностей случайных величин и вероятностных распределений. Метод характеристических функций. Закон больших чисел. Особенности проверки статистических гипотез (критерия согласия w2 Мизеса).
курсовая работа [1,0 M], добавлен 27.01.2012 Изучение теории вероятностей в ходе школьной программы позволяет развивать у школьников логическое мышление, способность абстрагировать, выделять суть. История теории вероятностей и ее научные основы. Виды событий. Операции со случайными событиями.
дипломная работа [88,6 K], добавлен 22.01.2009
