Виведення та властивості функції Гріна в операторі з постійним потенціалом

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Дрогобицький державний педагогічний університет імені Івана Франка

Кафедра інформатики та обчислювальної математики

КОНТРОЛЬНА РОБОТА

Виведення та властивості функції Гріна в операторі з постійним потенціалом

за VII семестр 2014/2015 н. р.

студента групи ІН - IV

інституту фізики, математики, економіки та ІТ

Маркуся Миколи Романовича

Науковий керівник

Доктор фізико-математичних наук

Лазурчак Ігор Іванович

Дрогобич 2014

Зміст

Вступ

1. Постановки крайових задач

2. Метод функції Гріна для розв'язування диференціального рівняння

3. Побудова функції Гріна при постійному значенні потенціалу (коефіцієнта диференціального оператора)

4. Реалізація програми для методу функції Гріна середовищі СКМ ”Mathematica”

Висновки

Список використаної літератури

Вступ

Нагальною є потреба в оволодінні знаннями і навичками використання обчислювальної техніки. І саме тому до програм навчальних закладів введено курс "Чисельні методи".

Обчислювальні машини можна використовувати ефективно лише за умови глибокого знання чисельних методів та математики.

У зв'язку з потребами нової техніки інженерна практика наших днів все частіше й частіше зустрічається з математичними завданнями, точне рішення яких досить складні або невідомі. У цих випадках звичайно прибігають до тих або інших наближених обчислень. От чому наближені й чисельні методи математичного аналізу одержали за останні роки широкий розвиток і придбали винятково важливе значення.

Ріст продуктивних сил обумовив рішучий прогрес в області обчислювальної техніки, приведений до створення сучасних електронних обчислювальних машин із програмним керуванням. Це необмежено розширило обчислювальні можливості математики: завдання, для рішення яких при ручному рахунку були потрібні довгий час, зараз вирішуються за кілька годин, причому безпосередній рахунок займає хвилини.

У свою чергу, нові обчислювальні засоби викликали переоцінку відомих методів рішення завдань із погляду доцільності їхньої реалізації на сучасних обчислювальних машинах і стимулювали створення більше ефективних прийомів. Так, наприклад, застосування швидкодіючих обчислювальних машин дозволило широко використати метод Гріна для розв'язування звичайних диференціальних рівнянь. При ручному рахунку цей метод позбавлений практичного значення через колосальний обсяг роботи при скільки-небудь високій точності результату. У той же час пристосування різних методів для роботи на рахунковій машині висунуло специфічну проблему "стійкості обчислювальної схеми".

1. Постановки крайових задач

Відомо, що звичайне диференціальне рівняння n-го порядку (n?1) відносно невідомої функції

(1)

при певних умовах має загальний розв'язок , що містить n довільних сталих. Для виділення деякого частинного розв'язку диференціального рівняння (1) ставиться задача Коші (початкова задача): знайти розв'язок рівняння (1), який при задовольняє умовам

, , … ,(2)

Зрозуміло, що для виділення частинного розв'язку можна ставити й інші умови, відмінні від (2). Як правило, їх число повинне дорівнювати n - порядку диференціального рівняння (1).

Часто в теоретичних і практичних задачах виникають умови, що накладаються на розв'язки та їх похідні в двох, трьох, і більшому числі точок відрізка , на якому шукаються розв'язки диференціального рівняння (1). Це приводить нас до понять двоточкової та багатоточкових, крайових (граничних) задач. грін диференціальний рівняння mathematica

Позначимо через множину всіх функцій , які мають неперервні похідні по x до n-го порядку включно на відрізку ; означатиме сукупність неперервних функцій на цьому відрізку.

Двоточкова крайова задача для диференціального рівняння (1) в загальному випадку ставиться так: знайти функцію , яка у всіх внутрішніх точках відрізка задовольняє диференціальне рівняння (1), а на кінцях цього відрізка - крайовим умовам:

, (3)

де задані дійсні функції своїх аргументів, а похідні в точках та потрібно розуміти як односторонні.

Зауваження:

Умови (3) не дозволяють знайти одночасно значення ні при ні при . Тому крайова задача не зводиться до задачі Коші.

В задачі Коші, як правило, мова йде про визначення розв'язку лише в малому околі початкової точки , а в крайовій задачі , де - область визначення розв'язку.

Поняття крайової задачі для системи звичайних диференціальних рівнянь вводяться аналогічно.

Іноді крайова задача ставиться і для нескінченного відрізка . У цьому випадку крайові умови можуть виглядати так (для n=2): , - обмежений, при .

Для загального рівняння першого порядку може виникати крайова задача з крайовими умовами, наприклад, такого типу , вона має зміст у такому випадку, коли окремо значення або невідомі, а в той же час відома величина .

Найбільш повне дослідження крайової задачі (1), (3) вдається провести у такому випадку, коли диференціальне рівняння (1) являється лінійним відносно невідомої функції та її похідних, а крайові умови (3) є лінійними відносно величин ,, …, , , , …, . Така крайова задача називається лінійною.

Отже, розглянемо лінійне диференціальне рівняння другого порядку

, (4)

де оператор позначає ліву частину цього рівняння.

Загальні лінійні крайові умови для (4) будуть мати вигляд

,(5)

при умові, що матриця з коефіцієнтів має ранг, рівний двом.

Для спрощення міркувань ми будемо ставити для диференціального рівняння (4) наступні крайові умови

,(6)

де через оператори і позначимо, відповідно, ліві частини крайових умов (6).

Крайові умови (6) є частинними випадками крайових умов (5).

Відносно відомих коефіцієнтів диференціального рівняння (4) і заданих чисел у крайових умовах (6) будемо вважати виконаними наступні припущення: , для , і .

Коли в умовах (6) , то ці крайові умови називаються умовами I роду; коли - умовами II роду; коли , одночасно відрізняються від нуля - умовами III роду; якщо , то граничні умови називаються однорідними.

Крайова задача (4), (6), в якої , називається неоднорідною крайовою задачею при будь-яких умовах (6), а крайову задачу для однорідного диференціального рівняння () з однорідними крайовими умовами будемо називати крайовою задачею.

Очевидно, кожна однорідна крайова задача

(7)

(8)

має своїм розв'язком функцію - так званий тривіальний розв'язок. Часто буде виникати питання про існування нетривіального розв'язку однорідної крайової задачі (7), (8). Відповідь на це питання пов'язана з існуванням нетривіальних відносно , розв'язків систематичних лінійних алгебраїчних рівнянь

, (9)

яку отримаємо, коли загальний розв'язок диференціального рівняння (7) підставимо в крайові умови (8).

З вищої алгебри відомо, що система (9) має ненульовий відносно , розв'язок (їх безліч) тоді і лише тоді, коли



Крайової задачі (4), (6) показують, що умови існування і єдиності розв'язків крайових задач значно відрізняються від таких умов Коші. Розглянемо для диференціального рівняння

, (10)

три крайові задачі з наступними крайовими умовами:

, ,(11)

, ,(12)

, (13)

Так як диференціальне рівняння (10) має загальний розв'язок

,(14)

то крайова задача (10), (11) має єдиний розв'язок , який ми отримаємо, визначивши i з умов (11).

Крайова задача (10), (12) не має розв'язку, тому що умови (12) для , приводять до протиріччя: .

Крайова задача (10), (13) має безліч розв'язків вигляду , де - довільна стала.

Всі ці три випадки можливі тоді, коли задача Коші для диференціального рівняння (10) при довільних початкових умовах , має єдиний розв'язок.

Неоднорідну крайову задачу для диференціального рівняння (4) завжди можна вивчати з однорідними крайовими умовами (8). У випадку неоднорідних крайових умов (6) розв'язок крайової задачі (4), (6) можна шукати у вигляді , де функція задовільняє лише крайовим умовам, а в іншому довільна. Зрозуміло, таку функцію завжди можна побудувати.

Наприклад, у випадку крайових умов І роду , за функцію можна взяти лінійну функцію

,

а у випадку крайових умов II роду , - функцію

.

Тоді для функції матимемо неоднорідну крайову задачу з дещо зміненою правою частиною диференціального рівняння , але з однорідними крайовими умовами .

Зауваження. При розв'язанні задач математичної фізики іноді виникають диференціальні рівняння вигляду (4), коефіцієнти яких в точках або мають особливості, наприклад, . Для цих особливих точок із самого характеру задачі виникають умови неперервності, обмеженості і т.д. Ці умови виконують роль крайових умов і, таким чином, маємо крайову задачу із специфічними крайовими умовами.

2. Метод функції Гріна для розв'язку диференціального рівняння.

Метод функції Гріна побудови розв'язку диференціального рівняння.

(15)

(16)

Нагадаємо, що до вигляду (15), (16) завжди можна звести крайову задачу з неоднорідними лінійними крайовими умовами. Як і раніше, будемо вважати, що для

При побудові розв'язку крайової задачі (15), (16) методом функції Гріна, природно виділити два випадки. Розглядатимемо їх.

Припустимо, що відповідна однорідна крайова задача

(17)

немає відмінних від тривіального розв'язків. Про необхідні і достатні умови цього випадку.

Зрозуміло, що мова йде про неперервні на відрізку розв'язки з неперервними похідними так як завжди можна побудувати, як це буде видно далі, неперервний розв'язок крайової задачі з розривними похідними. Наприклад, таким розв'язком буде сама функція Гріна

Лема. Якщо однорідна крайова задача (17) має лише тривіальний розв'язок, а розв'язок неоднорідної крайової задачі (15), (16) існує, то він єдиний.

Доведення. Припустимо, що існує два розв'язки крайової задачі (15), (16) - і . Тоді їх різниця , в силу лінійності рівняння (15) і крайових умов (16), буде розв'язком однорідної крайової задачі (17). За припущенням цей розв'язок повинен тотожно дорівнювати нулю . Звідси випливає, що .

Означення. Функцією Гріна крайової задачі (15), (16) називається функція , що визначена для , і при кожному фіксованому має наступні властивості:

1) Як функція змінної при задовольняє однорідне рівняння .

2) При і функція задовольняє крайові умови .

3) При функція неперервна по , а має стрибок, що дорівнює , тобто

(18)

Розглянемо алгоритм побудови функції Гріна, що одночасно буде служити доведенням існування і єдиності функції Гріна крайової задачі (15), (16) у випадку, коли відповідна крайова задача (17) має лише тривіальний розв'язок.

Для цього побудуємо розв'язок однорідного рівняння приймаючи за початкові умови (Коші) і деякі числа, що задовольняють першу крайову умову (напр., , - довільне число). Цей розв'язок і, взагалі, всі розв'язки вигляду при довільній сталій , задовольняючи першу крайову умову , не можуть задовольняти, в силу припущення про єдиність тривіального розв'язку крайової задачі (3), другу крайову умову, тобто

(19)

Аналогічно будуємо сім'ю розв'язків однорідного диференціального рівняння , що задовольняє другу крайову умову , - довільна стала. При цьому, зрозуміло, .

Згідно з теоремою існування і єдності розв'язку для диференціального рівняння , обидва розв'язки і визначені на всьому відрізку , де коефіцієнти рівняння неперервні. Легко довести, що розв'язки і лінійно незалежні.

Дійсно, припустивши, що та лінійно залежні, наприклад, , бачимо, що функція повинна задовольняти другу крайову умову , що суперечить умові (19).

Таким чином, ми побудували два лінійно незалежних розв'язки однорідного диференціального рівняння , кожен з яких задовільняє тільки одну з двох однорідних граничних умов. А оскільки за означенням функція Гріна є розв'язком (при ) однорідного диференціального рівняння і задавільняє поставлені однорідні крайові умови, то при функція повинна мати вигляд , а при вона повинна мати вигляд .

Отже,

(20)

а величини , потрібно підібрати з умов неперервності функції Гріна при і стрибка похідної при :

(21)

Система (21) має єдиний відносно і розв'язок, оскільки головним визначником цієї лінійної алгебраїчної системи рівнянь є визначник Вронського лінійно незалежних розв'язків і і тому

для всіх .

Розв'язавши відносно , систему (21) і підставивши значення в (6), одержимо функцію Гріна крайової задачі (15), (16):

(22)

Функція Гріна дає можливість виразити в компактній інтегральній формі розв'язок крайової задачі (15), (16) для будь-якої правої частини .

Справедлива наступна теорема

Теорема. Якщо однорідна крайова задача (18) має лише тривіальний розв'язок , то розв'язок неоднорідної крайової задачі (15), (16) існує для будь-якої неперервної на функції і його з допомогою функції Гріна можна подати у вигляді

(23)

Довести теорему можна безпосередньо підстановкою виразу (23) в диференціальне рівняння (15) і крайові умови (16) з урахуванням властивостей функції Гріна, сформульованих в означенні.

У випадку, коли однорідна крайова задача має розв'язки відмінні від тривіального , крайова задача (15), (16) не завжди має розв'язок (не при довільній функції ), а коли і має, то їх може бути безліч. При виконанні певних умов, що забезпечують існування розв'язку крайової задачі, і в цьому випадку можна побудувати так звану узагальнену функцію Гріна, що дозволяє представити розв'язок неоднорідної крайової задачі (15), (16) у подібному до (23) вигляді.

Зауваження 1. Представлення (23) розв'язків неоднорідної крайової задачі за допомогою функції Гріна вигідні особливо тоді, коли приходиться розв'язувати декілька крайових задач з одним і тим самим оператором , але різними правими частинами.

В багатьох підручниках будується функція Гріна після попереднього зведення диференціального рівняння (1) до так званого самоспряженого вигляду

, (24)

при тих самих однорідних крайових умовах (16).

В цьому випадку, очевидно,

де .

Зрозуміло, що розв'язки крайових задач, одержані по формулі (23) через і будуть співпадати.

3. Побудова функції Гріна при постійному значенні потенціалу (коефіцієнта диференціального оператора)

Подальші викладки, внаслідок можливості застосування заміни змінної , будемо проводити на проміжку .

Наведемо частинний випадок, а саме, коли будуються розрахункові формули для функції Гріна при заміні однією сталою Тоді корені характеристичного рівняння є простими, а тому шаблонні функції визначатимуться у вигляді

(24)

Згідно початкових умов з (4) для функцій отримаємо дві системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР), з якої визначаються коефіцієнти

(25)

(26)

Підставляючи у загальний вигляд шаблонних функцій, отримаємо

(27)

Зауважимо, що в граничному випадку при , шаблонні функції

.

Можна зробити висновок, що функція Гріна володіє наступними властивостями:

задовільняє однорідному рівнянню (24) з другого розділу і крайовим умовам (25), є неперервною по всіх своїх змінних, а її перша похідна розривна зі стрибком першого роду лише в точці .

Якщо ж лінійна або квадратична, то шаблонні функції будуються через циліндричні функції (функції Бесселя 1-роду або модифіковані функції Бесселя 1-роду та функції параболічного циліндра відповідно).

4. Реалізація програми для методу функції Гріна середовищі СКМ ”Mathematica”

Методом функції Гріна знайти розв'язок крайової задачі

;

Висновки

У даній курсові роботі висвітлено тему: „ Виведення та властивості функції Гріна в операторі з постійним потенціалом”. Тут розглянуто такі питання: постановка крайових (граничних) задач, звичайні диференціальні рівняння, побудова функції Гріна.

Значну увагу приділено не лише питанням теоретичного характеру (побудові відповідних формул, оцінкам похибок, геометричній інтерпретації методів), а й питанням практичної реалізації, (реалізація методів на сучасних ЕОМ).

Уміле застосування обчислювальної техніки немислимо без знання обчислювальної математики. У цей час важко собі представити творчо працюючого інженера-дослідника або фахівця з економічного планування, що не володіє методами наближеного аналізу.

Список використаної літератури

1. Бахвалов Н.С. Численные методы: Анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1975. 631 с.

2. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М.. Численные методы. -- М.: Наука, 1987. -- 600 с.

3. Калиткин Н.Н. Численные методы. -- М.: Наука, 1978. -- 512 с.

4. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., Наука, 1965, 704с.

5. Ляшенко М.Я., Головань М.С. Чисельні методи. -- К.: Либідь, 1996.-- 288 с.

6. Ляшко И.И., Макаров В.Л., Скоробагатько А.А.. Методы вычислений -- К.: Выща шк., 1977 -- 406 с.

7. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. -- М.: Наука, 1989.-- 432 с.

8. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений / Под ред. Дж. Холла, Дж. Уатта. -- М.: Мир, 1979.-- 312 с.

9. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решения обыкновенных дифференциальных уравнений. -- М.: Мир, 1990. -- 512 с.

10. Чабан В.Й. Чисельні методи. -- Львів: Нац. ун-т «Львівська політехніка», 2001. -- 186 с.

11. Шкіль М.І., Сотніченко М.А. Звичайні диференціальні рівняння. -- К.: Вища шк., 1990. -- 255 с.

Размещено на Allbest.ru

...