Определенный интеграл и его приложения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Определенный интеграл и его приложения



Содержание

Введение

1. Понятие определенного интеграла

1.1 Введение понятия определенного интеграла

1.2 Условия существования определенного интеграла

1.3 Основные свойства определенного интеграла

2. Геометрические приложения определенного интеграла

2.1 Вычисление площади плоской фигуры

2.2 Вычисление площади криволинейного сектора

2.3 Вычисление длины дуги плоской кривой

2.4 Вычисление объемов

2.5 Вычисление площади поверхности вращения

3. Физические приложения определенного интеграла

3.1 Работа переменной силы

3.2 Давление жидкости на вертикальную пластинку

3.3 Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской кривой

3.4 Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской фигуры

Заключение

Список использованных источников



Введение

Курс математического анализа содержит разнообразный материал, однако, одним из его центральных разделов является определенный интеграл. Интегрирование многих видов функций подчас представляет собой одну из труднейших проблем математического анализа.

Вычисление определенного интеграла имеет не только теоретический интерес. К его вычислению сводятся иногда задачи, связанные с практической деятельностью человека.

Также понятие определенного интеграла широко используется в физике. Поэтому тема "Определенный интеграл и его приложения" вводится ещё в школьном курсе математики.

Все выше сказанное подчеркивает актуальность выбранной мною темы курсовой работы.

Цель исследования состоит в изучении актуальности применения определенного интеграла и его приложений, а также широты его использования не только в математике, но и других науках, оценить ее практическую и теоретическую значимость.

Объектом исследования являются определенный интеграл и его приложения. дифференциальный уравнение интеграл кривая

Для достижения указанной цели поставлены следующие задачи:

- изучить литературу по заданной теме;

- собрать теоретический и практический материал по теме;

- подвергнуть материал обобщению и систематизации.

Раскрытие темы курсовой работы было проведено по следующему плану: определение определенного интеграла и его свойства, геометрические приложения, физические приложения.



1. Понятие определенного интеграла

1.1 Введение понятия определенного интеграла

Пусть функция определена на отрезке . Выполним следующие операции: разобьем отрезок точками на частичных отрезков

;

в каждом из частичных отрезков выберем произвольную точку и вычислим значение функции в этой точке: ; найдем произведения , где - длина частичного отрезка ; составим сумму

которая называется интегральной суммой функции на отрезке .

С геометрической точки зрения интегральная сумма представляет собой сумму площадей прямоугольников, основаниями которых являются частичные отрезки , а высоты равны соответственно (рисунок 1). Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка ; найдем предел интегральной суммы, когда .

Рисунок 1

Определение. Если существует конечный предел интегральной суммы (1) и он не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то этот предел называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается

Таким образом,

В этом случае функция называется интегрируемой на . Числа и называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, - подынтегральной функцией, - подынтегральным выражением, - переменной интегрирования; отрезок называется промежутком интегрирования.

Геометрический смысл определенного интеграла

Пусть на отрезке задана непрерывная неотрицательная функция . Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная сверху графиком функции , снизу - осью , слева и справа - прямыми и (рисунок 2).

Рисунок 2

Определенный интеграл

от неотрицательной функции с геометрической точки зрения численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , слева и справа - отрезками прямых и , снизу - отрезком оси .

1.2 Условия существования определенного интеграла

Определение. Функция , для которой на отрезке существует определенный интеграл, называется интегрируемой на этом отрезке. Естественно возникает вопрос: при каких условиях функция , определенная на , интегрируема на этом отрезке? Не приводя доказательств, рассмотрим эти условия.

Теорема 1. Если функция , непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке. Сформулируем и более общую теорему об интегрируемости.

Теорема 2. Если функция, ограничена на и непрерывна на нем всюду, кроме конечного числа точек, то она интегрируема на этом отрезке.

1.3 Основные свойства определенного интеграла

1. Интеграл был определен для случая, когда . Обобщим понятие определенного интеграла и на другие случаи.

По определению полагаем:

, как определенный интеграл на отрезке нулевой длины. Также по определению полагаем, что: , поскольку при движении от к все длины частичных отрезков имеют отрицательный знак в интегральной сумме.

2. Для любых чисел , и имеет место равенство:

3. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла: вычисление теоретический практический

4. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их определенных интегралов:

Заметим, что свойство 4 имеет место для любого конечного числа слагаемых.

Будем полагать далее, что .

5. Если функция всюду на отрезке , то:

6. Если всюду на отрезке , то

7. Если функция интегрируема на , то:

8. Если и -- соответственно максимум и минимум функции на отрезке , то



2. Геометрические приложения определенного интеграла

С помощью геометрических приложений вычисляются: площадь плоской фигуры, площадь криволинейного сектора, объем тела вращения, длина дуги кривой, площадь поверхности вращения.

2.1 Вычисление площади плоской фигуры

1. Пусть функция непрерывна и неотрицательна на отрезке . Тогда площадь фигуры, ограниченной осью , отрезками прямых и графиком функции , может быть вычислена по формуле (рисунок 3)

2. Если на отрезке - непрерывные функции, то площадь фигуры, ограниченной прямыми , графиками функций , вычисляется по формуле (рисунок 3)

Рисунок 3

3. Если функция на отрезке принимает значения разных знаков, то площадь фигуры, заключенная между кривой и осью , равна (рисунок 4)

Рисунок 4

Пример 1: Найти площадь фигуры, ограниченной линиями и

Рисунок 5

Решение:

- парабола, вершина . ; . - вершина

-2	0	2
4	2	4

Найдём пределы интегрирования.

Ответ: (кв. ед.).

4. При вычислении площади криволинейной трапеции, в случае, когда верхняя граница задана параметрическими уравнениями

в формуле

надо сделать замену переменной, положив , тогда получим

где и ? значения параметра , соответствующие значениям и , т.е. .

Рисунок 6

Пример 2: Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды

и осью .

Замечание. Циклоида ? плоская кривая, которую описывает точка окружности радиуса , катящаяся без скольжения по прямой линии (рисунок 6).

Решение. Искомая площадь

2.2 Вычисление площади криволинейного сектора

Пусть кривая задана в полярных координатах уравнением , причем - непрерывная и неотрицательная на отрезке функция. Фигуру, ограниченную кривой и двумя полярными радиусами, составляющими с полярной осью углы и , будем называть криволинейным сектором.

Рисунок 7

Площадь криволинейного сектора может быть вычислена по формуле:

Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой (4 - лепестковая роза - рисунок 8).

Рисунок 8

Решение: Меняя непрерывно от 0 до , можно построить первый лепесток. Составим таблицу значений функций (таблица 1).



Таблица 1

	0
	0	2		4		2	0

Вычислим площадь одного лепестка по формуле:

Следовательно, площадь всех лепестков равна: .

2.3 Вычисление длины дуги плоской кривой

1. Если функция непрерывна вместе с её производной на отрезке , то длина дуги , где , выражается формулой:

2. Если кривая задана параметрическими уравнениями

, где

- дифференцируемые функции, то длина дуги:



3. Если дуга задана в полярных координатах , , то длина дуги

Пример 4: Вычислить длины дуг плоских кривых:

а) ; б) ; в) , .

Решение: а) Так как

,

то

б) Так как

,

то

в)

2.4 Вычисление объемов

Нахождение объемов некоторых тел можно свести к вычислению определенных интегралов.

1. Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений. Если известны площади сечений тела плоскостями, перпендикулярными оси , т.е., зная , мы можем вычислить площадь сечения . Тогда объем тела в предположении, что - интегрируемая функция.

2. Вычисление объема тела вращения:

а) если тело образовано вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью и двумя прямыми и вокруг оси , то объем тела

б) если тело образовано вращением фигуры, ограниченной кривой , прямыми и осью , вокруг оси , то его объем

в) если тело образовано вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линией , прямыми и осью , то его объем можно вычислить по формуле



г) если вращается вокруг полярной оси криволинейный сектор, ограниченный дугой , двумя полярными радиусами и , то объем полученного тела может быть вычислен по формуле

Пример 5. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций и вокруг оси .

Решение. Найдем точки пересечения параболы и прямой . Решим систему:

Получим две точки пересечения: . Сделаем чертеж (рисунок 9).

Рисунок 9

.

2.5 Вычисление площади поверхности вращения

1.Поверхность, образованная вращением кривой вокруг оси , имеет площадь

2. Если кривая задана параметрическими уравнениями

, причем ,

то

3. Если дуга , задана в полярной системе координат кривой, и вращается вокруг полярной оси, то площадь поверхности вращения можно вычислить по формуле

Пример 6. Найти площадь поверхности шарового пояса, образованного вращением части окружности вокруг оси (рисунок 10).

Рисунок 10

Решение. Из уравнения окружности имеем . Вращаем вокруг оси дугу верхней части.Найдем

и .

Тогда по соответствующей формуле площадь шарового пояса:

т



3. Физические приложения определенного интеграла

С помощью физических приложений вычисляются: работа переменной силы, давление жидкости на вертикальную пластинку, статические моменты и координаты центра тяжести плоской кривой и плоской фигуры.

3.1 Работа переменной силы

Пусть под действием некоторой силы материальная точка М движется по прямой в направлении оси . Требуется найти работу, произведённую силой при перемещении точки М из положения в положение .

1) Если сила постоянна , то работа выражается следующим образом .

2) Если сила переменная величина, то

.

Пример 7.

Два электрических заряда и находятся на оси соответственно в точках и .

Какая работа будет произведена, если второй заряд переместится в точку ? (Сила взаимодействия зарядов

).

Решение:

3.2 Давление жидкости на вертикальную пластинку

По закону Паскаля давление жидкости на горизонтальную пластину равно весу столба этой жидкости, имеющего основанием пластинку, а высотой -- глубину ее погружения от свободной поверхности жидкости, т.е. , где -- ускорение свободного падения, -- плотность жидкости, - площадь пластинки, - глубина ее погружения.

По этой формуле нельзя искать давление жидкости на вертикально погруженную пластинку, так как ее разные точки лежат на разных глубинах. Пусть в жидкость погружена вертикально пластина, ограниченная линиями и ; система координат выбрана так, как указано на рисунке 11. Для нахождения давления жидкости на эту пластину применим схему II (метод дифференциала).

Рисунок 11

1. Пусть часть искомой величины есть функция от :, т.е. -- давление на часть пластины, соответствующее отрезку значений переменной , где .

2. Дадим аргументу приращение . Функция получит приращение (на рисунке -- полоска-слой толщины ). Найдем дифференциал этой функции.

Ввиду малости будем приближенно считать полоску прямоугольником, все точки которого находятся на одной глубине , т.е. пластинка эта -- горизонтальная. Тогда по закону Паскаля , где , .

3. Интегрируя полученное равенство в пределах от до , получим:

3.3 Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской кривой

Пусть на плоскости задана система материальных точек соответственно с массами .

Статическим моментом системы материальных точек относительно оси называется сумма произведений масс этих точек на их ординаты (т.е. на расстояния этих точек от оси ):

Аналогично определяется статический момент этой системы относительно оси :

Если массы распределены непрерывным образом вдоль некоторой кривой, то для выражения статического момента понадобится интегрирование.

Пусть -- это уравнение материальной кривой Будем считать ее однородной с постоянной линейной плотностью . Для произвольного на кривой найдется точка с координатами . Выделим на кривой элементарный участок длины , содержащий точку . Тогда масса этого участка равна . Примем этот участок приближенно за точку, отстоящую от оси на расстоянии . Тогда дифференциал статического момента ("элементарный момент") будет равен , т.е. (рисунок 12).

Отсюда следует, что статический момент кривой относительно оси равен:

Рисунок 12

Аналогично находим :

Статические моменты и кривой позволяют легко установить положение ее центра тяжести (центра масс).

Центром тяжести материальной плоской кривой называется точка плоскости, обладающая следующим свойством: если в этой точке сосредоточить всю массу заданной кривой, то статический момент этой точки относительно любой координатной оси будет равен статическому моменту всей кривой относительно той же оси. Обозначим через центр тяжести кривой . Из определения центра тяжести следуют равенства и или и .

Отсюда

Или

; .

Пример 8. Найти центр тяжести однородной дуги окружности

, расположенной в первой координатной четверти (рисунок 13).

Решение: Очевидно, длина указанной дуги окружности равна , т.е. .

Рисунок 13

Найдем статический момент ее относительно оси . Так как уравнение дуги есть и , то

Стало быть,

Так как данная дуга симметрична относительно биссектрисы первого координатного угла, то . Итак, центр тяжести имеет координаты

.

3.4 Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской фигуры

Пусть дана материальная плоская фигура (пластинка), ограниченная кривой и прямыми (рисунок 14).

Рисунок 14

Будем считать, что поверхностная плотность пластинки постоянна . Тогда масса всей пластинки равна , т.е.

Выделим элементарный участок пластинки в виде бесконечно узкой вертикальной полосы и будем приближенно считать его прямоугольником. Тогда масса его равна .

Центр тяжести прямоугольника лежит на пересечении диагоналей прямоугольника.

Эта точка отстоит от оси на , а от оси на (приближенно; точнее на расстоянии ). Тогда для элементарных статических моментов относительно осей и выполнены соотношения

и

Следовательно,

По аналогии с плоской кривой получаем, обозначив координаты центра тяжести плоской фигуры (пластинки) через , что , .

Отсюда

и или ,

.

Пример 9. Найдем координаты центра тяжести полукруга

, (рисунок 15).

Решение: Очевидно (ввиду симметрии фигуры относительно оси ), что Площадь полукруга равна . Находим :

Рисунок 15

Стало быть,

.

Итак, центр тяжести имеет координаты .



Заключение

Рассмотренные выше примеры практических задач, дают нам ясное представление значимости определенного интеграла для их разрешимости.

Трудно назвать научную область, в которой бы не применялись методы интегрального исчисления, в общем, и свойства определенного интеграла, в частности. Так в процессе выполнения курсовой работы мною были рассмотрены примеры практических задач в области физики, геометрии, механики. Конечно, это еще далеко не исчерпывающий список наук, которые используют интегральный метод для поиска устанавливаемой величины при решении конкретной задачи, и установлении теоретических фактов.

Также определенный интеграл используется для изучения собственно самой математики. Например, при решении дифференциальных уравнений, которые в свою очередь вносят свой незаменимый вклад в решение задач практического содержания. Можно сказать, что определенный интеграл - это некоторый фундамент для изучения математики. Отсюда и важность знания методов их решения.

Из всего выше сказанного понятно, почему знакомство с определенным интегралом происходит еще в рамках средней общеобразовательной школы, где ученики изучают не только понятие интеграла и его свойства, но и некоторые его приложения.



Список использованных источников

1. Баврин, И.И. Высшая математика / И.И. Баврин - М.: Просвещение, 1993. - 319.

2. Бермантт, А.Ф. Краткий курс математического анализа для вузов / А.Ф. Бермантт, И.Г. Араманови - М.: Наука, 1971. - 736с.

3. Виленкин, М.Я. Алгебра и математический анализ / М.Я. Виленкин, О.С. Ивашев, Мусатов, С.И. Шварцбурд, - Москва, 1993г.

4. Власов, В.Г. Конспект лекций по высшей математике / В.Г. Власов, Москва Айрис, 1997г.

5. Иванов, А.А. Курс лекций по математике / А.А. Иванов

6. Ильин, В.А. Основы математического анализа, часть I / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Москва, 1982г.

7. Кальницкий, Л.А. Специальный курс высшей математики для вузов / Л.А. Кальницкий, Москва, 1976.

8. Колмогоров, А.Н. Алгебра и начало математического анализа. Учебник для 10 - 11 кл. / А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов и др.- 17-е изд. - М.: Просвещение, 2008 г.

9. Кузнецов, Д.А. Сборник задач по высшей математике / Д.А. Кузнецов, Москва, 1983 г

10. Никольский, С.Н. Элементы математического анализа / С.Н. Никольский - М.: Наука, 1981г.

11. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для вузов, Том 2 / Н.С. Пискунов - М.: Наука, 1985. -560с.

12. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике / Д.Т. Письменный - M.: Айрис - пресс, 2003. - 288 c.

13. Понтрягин, Л.Н. Математический анализ для школьников / Л.Н. Понтрягин - 2-е изд., перераб. - М.: Наука, 1983г.

14. Шипачёв, В.С. Высшая математика / В.С. Шипачёв - М: Наука, 2003 - 684c. Размещено на Allbest.ru

...