Определение вероятности гипотез и событий
Нахождение вероятностей происхождения событий при заданных условиях. Формула полной вероятности и формула Байеса. Определение математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения случайной величины. Нахождение плотности распределения.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 19.03.2015 |
| Размер файла | 663,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Министерство образования и науки Российской Федерации
ФГБОУ ВПО
Уральский государственный экономический университет
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»
Выполнила: студентка 2 курса
ГМФ-13-Кб Монгуш Р.М.
Проверил: Петрова С.Н.
Кызыл 2014 г.
СОДЕРЖАНИЕ
- Контрольная работа 1
- Задача 1
- Задача 2
- Задача 3
- Задача 4
- Задача 5
- Контрольная работа 2
- Задача 1
- Задание 2
Контрольная работа 1
Задача 1
Двенадцать студентов получили дисциплинарные выговоры в деканате: трое - за опоздание на занятия, тое - за прогулы, двое - за неуспеваемость и четверо - за курение в здании факультета. Найти вероятность того, что двое случайно выбранных штрафников получили выговор за одно и то же нарушение.
Решение:
Введем событие Х = (Двое случайно выбранных штрафников получили выговор за одно и то же нарушение)
Найдем вероятность этого события по классическому определению вероятности:
,
где m-число исходов, благоприятствующих осуществлению события, а
n - число всех возможных исходов
- число способов выбрать любых 2 студентов из 12, совершивших нарушение.
- число способов выбрать 2 студента из 3, опоздавших на занятия, или 2 студента из 3, прогулявших занятия, или 2 студента из 2 неуспевающих , или 2 студента из 4, куривших в здании факультета.
Тогда вероятность
Ответ: 0,197.
Задача 2
В сказке Иван-царевич должен трижды угадать Василису Премудрую среди ее совершенно одинаковых одиннадцати сестер. Какова вероятность, что Иван-царевич справится испытанием без подсказок?
Решение:
Рассмотрим событие Х = (Иван трижды угадает Василису без подсказок)
Так как всего одинаковых сестер 12 (Василиса и еще 11 ее сестер), по классическому определению вероятности, вероятность угадать Василису в одном испытании равна (где m = 1 - верный выбор Василисы, n=12 всего вариантов выбрать любую из сестер)
Тогда вероятность угадать Василису трижды подряд без подсказок равна
3=
Ответ: 0,0006.
Задача 3
Что вероятнее: выиграть у равносильного противника (ничейный вариант исключен) три партии из четырех или пять из восьми?
Решение:
Так как противники равносильные, то вероятности выигрыша каждой партии одинаковы и равны p = q = 1/2. Будем использовать формулу Бернулли:
Pn(k) = (1-p)n-k
(вероятность того, что из n партий будет выиграно k). Вероятность выиграть три партии из четырех:
P4(3) = 3 = 4)4=
Вероятность выиграть пять партий из восьми:
P8(5) = (5()3 = ()8=()8 = 56 ()8 =
Поскольку , то вероятнее выиграть три партии из четырех.
Ответ: Вероятнее выиграть три партии из четырех
Задача 4
Студент может сдавать экзамен любому из трех экзаменаторов. Вероятность сдать экзамен первому из них составляет 0,4, остальным двум по 0,1. Студент не знает, кто из экзаменаторов «добрый». Он выбрал наугад одного из них и сдал экзамен. Какова вероятность, что студент сдавал экзамен «доброму» преподавателю?
Решение:
Введем полную группу гипотез:
H1 = (Преподаватель «добрый»),
H2 = (Преподаватель не «добрый»).
По условию выбор экзаменатора случаен, причем из 3- только один «добрый» поэтому получаем:
P (H1) = , P(H2)=
Введем событие А=(Студент сдал экзамен). По условию известно, что: P= (A|H1)=0,4, P=(A|H2)=0,1.
Найдем апостериорную вероятность P(H1|A) того, что студент сдавал экзамен «доброму» преподавателю, если экзамен был сдан. Используем формулу Байеса:
P (H1|A) = =
Ответ: 0,667.
Задача 5
Два охотника преследовали медведя и независимо друг от друга сделали в него по одному выстрелу. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,8, для второго - 0,4. Медведь был убит, но в нем были обнаружены следы только одного выстрела. Охотники поспорили, кому из них должен принадлежать трофей. У кого из них больше шансов украсить гостиную медвежьей шкурой?
Решение:
Введем событие, А = (Медведь убит одним выстрелом) и не зависимый гипотез:
H1= (Первый охотник попал в медведя, второй нет),
Н2 = (Второй охотник попал в медведя, первый нет),
Н 3= (Все остальные случаи: или оба промахнулись, или оба попали в медведя).
Найдем вероятности гипотез, используя теорему умножения вероятностей. Тогда
P (H1) = P (A1*A2) = P(A1)*P(A2)=0,8*0,6=0,48
P(H2)=P(A1*A2)=P(A1)*P(A2)=0,2*0,4=0,08,
P (H3) =1-P (H1) - P (H2)= 1-0,48-0,08=0,44.
Здесь событие Ai - i -ый охотник попал в медведя, вероятности даны в условии. Выпишем условные вероятности:
P (A|H1) = P (A|H2) =1, P (A|H3)=0.
Тогда вероятность события, А по формуле полной вероятности равна:
P (A) =
Найдем вероятности того, что медведь был убит первым или вторым охотником, если он был убит одной пулей по формуле Байеса:
P (H1|A) =
P (H2|A) =
Получаем, что шкура должна принадлежать первому охотнику.
Ответ: Шкура должна принадлежать первому охотнику.
событие распределение дисперсия среднеквадратический
Контрольная работа 2
Задача 1
Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,45. Произведено 20 выстрелов. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х - числа попаданий. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины.
Решение:
Пусть Х- число попаданий при 20 выстрелах. Она распределена по биномиальному закону с параметрами n=20, p=0,45. Вероятности найдем по формуле Бернулли:
P (X=k) = Pn (k) =(1-p)n-k= *
*=**,
K= 0,1,…, 20.
Так как значений много, расчеты проведем в таблице Excel.
Получим ряд распределения (вычислен с точностью до 5 знака).
|
xi |
Pi |
|
|
0 |
0,00001 |
|
|
1 |
0,00010 |
|
|
2 |
0,00082 |
|
|
3 |
0,00401 |
|
|
4 |
0,01393 |
|
|
5 |
0,03647 |
|
|
6 |
0,07460 |
|
|
7 |
0,12207 |
|
|
8 |
0,16230 |
|
|
9 |
0,17705 |
|
|
10 |
0,15935 |
|
|
11 |
0,11852 |
|
|
12 |
0,07273 |
|
|
13 |
0,03662 |
|
|
14 |
0,01498 |
|
|
15 |
0,00490 |
|
|
16 |
0,00125 |
|
|
17 |
0,00024 |
|
|
18 |
0,00003 |
|
|
19 |
0,00000 |
|
|
20 |
0,00000 |
Вычислим математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины.
Математическое ожидание
Дисперсия
Среднеквадратическое отклонение
Задание 2
Случайная величина Х задана функцией распределения F(X). Найти плотность распределения, математическое ожидание, дисперсию, а также вероятность попадания случайной величины в интервал (б, в). Построить графики функций F(X) и f(X).
Решение:
Случайная величина Х задана плотностью распределения f(x):
Функция распределения:
;
Математическое ожидание:
Дисперсия:
= 0.1*45-0.5*44 - (0.1*25-0.5*24) - (-7.3333)2 = -74.5773
Среднеквадратическое отклонение
Графики функций F(X)
,
Рисунок - Графики функций F(X)
Длина дуги кривой:
Графики функций f(X)
,
Рисунок - Графики функций f(X)
Длина дуги кривой:
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Рассмотрение способов нахождения вероятностей происхождения событий при заданных условиях, плотности распределения, математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения и построение доверительного интервала для истинной вероятности.
контрольная работа [227,6 K], добавлен 28.04.2010Дискретные случайные величины и их распределения. Формула полной вероятности и формула Байеса. Общие свойства математического ожидания. Дисперсия случайной величины. Функция распределения случайной величины. Классическое определение вероятностей.
контрольная работа [33,8 K], добавлен 13.12.2010Определение вероятностей различных событий по формуле Бернулли. Составление закона распределения дискретной случайной величины, вычисление математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения случайной величины, плотностей вероятности.
контрольная работа [344,8 K], добавлен 31.10.2013Вычисление математического ожидания, дисперсии, функции распределения и среднеквадратического отклонения случайной величины. Закон распределения случайной величины. Классическое определение вероятности события. Нахождение плотности распределения.
контрольная работа [38,5 K], добавлен 25.03.2015Решение задач по определению вероятности событий, ряда и функции распределения с помощью формулы умножения вероятностей. Нахождение константы, математического описания и дисперсии непрерывной случайной величины из функции распределения случайной величины.
контрольная работа [57,3 K], добавлен 07.09.2010Определение вероятности для двух несовместных и достоверного событий. Закон распределения случайной величины; построение графика функции распределения. Нахождение математического ожидания, дисперсии, среднего квадратичного отклонения случайной величины.
контрольная работа [97,1 K], добавлен 26.02.2012Вычисление вероятностей возможных значений случайной величины по формуле Бернулли. Расчет математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения, медианы и моды. Нахождение интегральной функции, построение многоугольника распределения.
контрольная работа [162,6 K], добавлен 28.05.2012Определение вероятности того, что из урны взят белый шар. Нахождение математического ожидания, среднего квадратического отклонения и дисперсии случайной величины Х, построение гистограммы распределения. Определение параметров распределения Релея.
контрольная работа [91,7 K], добавлен 15.11.2011Вероятность события. Теоремы сложения и умножения событий. Теорема полной вероятности события. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли, формула Пуассона, формула Муавра-Лапласа. Закон распределения вероятностей случайных дискретных величин.
контрольная работа [55,2 K], добавлен 19.12.2013Определение вероятности случайного события; вероятности выиграшных лотерейных билетов; пересечения двух независимых событий; непоражения цели при одном выстреле. Расчет математического ожидания, дисперсии, функции распределения случайной величины.
контрольная работа [480,0 K], добавлен 29.06.2010Опыт со случайным исходом. Статистическая устойчивость. Понятие вероятности. Алгебра событий. Принцип двойственности для событий. Условные вероятности. Формулы сложения и умножения вероятностей. Формула Байеса. Пространство элементарных событий.
реферат [402,7 K], добавлен 03.12.2007Определение числа всех равновероятных исходов испытания. Правило умножения вероятностей независимых событий, их полная система. Формула полной вероятности события. Построение ряда распределения случайной величины, ее математическое ожидание и дисперсия.
контрольная работа [106,1 K], добавлен 23.06.2009Показатели безотказности как показатели надежности невосстанавливаемых объектов. Классическое и геометрическое определение вероятности. Частота случайного события и "статистическое определение" вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
курсовая работа [328,1 K], добавлен 18.11.2011Теория вероятностей — раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. Методы решения задач по теории вероятности, определение математического ожидания и дисперсии.
контрольная работа [157,5 K], добавлен 04.02.2012Определение вероятности определенного события. Вычисление математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения дискретной случайной величины Х по известному закону ее распределения, заданному таблично. Расчет корреляционных признаков.
контрольная работа [725,5 K], добавлен 12.02.2010Определение вероятности появления поломок. Расчет вероятности успеха, согласно последовательности испытаний по схеме Бернулли. Нахождение вероятности определенных событий по формуле гипергеометрической вероятности. Расчет дискретной случайной величины.
контрольная работа [69,3 K], добавлен 17.09.2013Нахождение плотности, среднеквадратического отклонения, дисперсии, ковариации и коэффициента корреляции системы случайных величин. Определение доверительного интервала для оценки математического ожидания нормального распределения с заданной надежностью.
контрольная работа [200,3 K], добавлен 16.08.2010Определение вероятности появления события в каждом из независимых испытаний. Случайные величины, заданные функцией распределения (интегральной функцией), нахождение дифференциальной функции (плотности вероятности), математического ожидания и дисперсии.
контрольная работа [59,7 K], добавлен 26.07.2010Алгоритм определения вероятности события и выполнения статистических ожиданий. Оценка возможных значений случайной величины и их вероятности. Расчет математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения. Анализ характеристик признака.
контрольная работа [263,8 K], добавлен 13.01.2014Характеристика полной группы событий как совокупность всех возможных результатов опыта. Способы определения вероятности событий в задачах разного направления. Нахождение вероятности количества нестандартных деталей. Построение функции распределения.
задача [37,9 K], добавлен 19.03.2011
