Ірраціональні обчислення

Размещено на http://allbest.ru

Зміст

Вступ

1. Ірраціональні нерівності

2. Методи розв'язування ірраціональних нерівностей

2.1 Методи розв'язування ірраціональних нерівностей в шкільному курсі математики

2.1.1 Використання області допустимих значень при розв'язуванні ірраціональних нерівностей

2.1.2 Метод інтервалів

2.1.3 Метод рівносильних переходів

2.1.4 Метод заміни - введення нової змінної

2.1.5 Графічний метод розв'язування ірраціональних нерівностей

2.1.6 Методи розв'язування нерівностей з параметрами

2.2 Методи розв'язування нерівностей у вищій школі

2.2.1 Використання властивостей функцій при розв'язуванні ірраціональних нерівностей

2.2.2 Приклади нестандартних розв'язань ірраціональних нерівностей

Висновки

Список використаної літератури



Вступ

Потреба в діях піднесення до степеня і добування кореня була викликана, як і інші чотири арифметичні дії, практичним життям. Ще Вавілоняни володіли технікою розв'язання квадратних рівнянь. Більш того, розв'язували задачі, що зводяться до кубічних та біквадратних рівнянь. При обчисленнях широко використовуються таблиці множення, зворотних величин, квадратних і кубічних коренів. Наводяться відмінні наближення:

, замість.

Вочевидь, застосовувалася формула наближеного обчислення квадратних коренів з неквадратних чисел (метод Герону):

.

Поняттям нерівності користувалися вже прадавні греки. Евдокс увів аксіому, відому тепер як аксіома Архімеда: «Кажуть, що величини мають відношення між собою, якщо вони, взяті кратно, можуть перевищити один одного ». Це значить, якщо дано величини a і b, то існують числа n і m, такі, що na> b, mb> a. Він впритул підійшов до поняття ірраціонального числа. [1:c. 66].

Сучасні знаки нерівностей з'явилися лише в XVll - XVlll ст. Знаки «<» і «>» ввів англійский математик Томас Гарріот (1560 -1621),а знаки «?» і «?» французький математик П. Буге (1698 - 1758).

Метою цієї роботи є ознайомлення з різноманітними методами розв'язування ірраціональних нерівностей шкільного курсу математики та курсу вищої математики.

Тема роботи є актуальною, адже, як показує практика, незважаючи на те, що ірраціональні нерівності вивчаються ще зі школи, але у багатьох учнів та студентів все одно залишаються проблеми при їх розв'язуванні. Теоретична та практична цінність курсової роботи полягає в тому, що курсова робота направлена на систематизацію найпоширеніших методів розв'язування ірраціональних нерівностей.

У першій частині роботи розглядається поняття ірраціональних нерівностей, основні властивості радикалів та загальні найпоширеніші типи ірраціональних нерівностей. У другій частині роботи розглядаються основні методи, відомі нам зі шкільного курсу алгебри та методи пов'язані з пошуком та дослідженням похідної підкореневої функції, які використовуються при розв'язуванні більш складних нерівностей, які вивчаються у вищих навчальних закладах.

На мою думку, ця робота буде цікава та корисна як для учнів загальноосвітніх закладів: шкіл, ліцеїв, навчально-виховних комплексів, так і для студентів та викладачів математики у середніх та вищих навчальних закладах.



1. Ірраціональні нерівності

Матеріал, пов'язаний з нерівностями, становить значну частину шкільного курсу математики.

Одним із складних розділів алгебри, що досліджується у шкільній програмі, є ірраціональні нерівності, на жаль, у школі їм приділяють досить мало уваги.

Труднощі щодо розв'язування цього виду рівнянь і нерівностей пов'язані з такими їх особливостями як:

- Здебільшого відсутність чіткої алгоритму розв'язання ірраціональних рівнянь і нерівностей;

-·під час розв'язування нерівностей цього виду доводиться робити перетворення, що призводять до нерівностей не рівносильних даним, у наслідок чого виникають помилки, які зазвичай пов'язані із утратою чи появою сторонніх коренів у процесі розв'язування.

Учні недостатньою мірою опановують вміння розв'язувати ірраціональні нерівності, часто припускаються помилок при розв'язанні.

Означення 1.1 Ірраціональними нерівностями називаються такі, в яких над змінними, або над функціями від змінних виконуються дії добування кореня або піднесення до степеня з дробовим показником.

Основною проблемою при розв'язуванні таких рівнянь і нерівностей є пошук найкоротшого шляху, що приводить до більш простої еквівалентної задачі, але вже не містить радикалів. Згадаємо означення кореня та його основні властивості.

Означення 1.2 Коренем n-го степеня з числа a називається число b, таке що

=a, n



Означення 1.3 Арифметичним коренем n-го степеня з невід'ємного числа a називається невід'ємне число b, таке що

=a, n

Арифметичний корінь n-го степеню з a позначається символом .

Нехай дані nі a<0. Тоді

.

Таким чином, корені непарних степенів можна добувати з будь-яких

дійсних чисел, а корені парних степенів - лише з невід'ємних. На значення кореня випливають такій його основні властивості

1.4.;

2.;5. ;

3.;6.;

[3: c. 42.]

Далі розглянемо основні види нерівностей.

Теорема1.1 Має місце еквівалентність:

>g(x)

Доведення. Нехай число ? є коренем даної нерівності. Тоді . Звідси Обидві частини числової нерівності піднесемо до квадрата. Отримаємо правильну числову нерівність . Таким чином, число ? є розв'язком системи. Нехай число ? є розв'язком системи, тобто

Звідси отримуємо, що З того, що невід'ємні числа і рівні, випливає, що >g(?). Отже, число ? є коренем даної нерівності. Для нестрогого знаку умова

змінюється на умову

Нерівність виду>.

Теорема 1.2 Має місце еквівалентність:

>?

Доведення. Нехай число ? є коренем даної нерівності. Тоді . Звідси Обидві частини числової нерівності піднесемо до квадрата. Отримаємо правильну числову нерівність . Таким чином, число ? є розв'язком системи. Нехай число ? є розв'язком системи, тобто



Звідси отримуємо, що З того, що невід'ємні числа і рівні, випливає, що >. Отже, число ? є коренем даної нерівності. ^

Нерівність виду<

Теорема 1.3 Має місце еквівалентність:

<?

Доведення. Нехай число ? є коренем даної нерівності. Тоді .

Звідси Обидві частини числової нерівності піднесемо до квадрата. Отримаємо правильну числову нерівність . Таким чином, число ? є розв'язком системи. Нехай число ? є розв'язком системи, тобто

Звідси отримуємо, що З того, що невід'ємні числа і рівні, випливає, що <. Отже, число ? є коренем даної нерівності.^

Нерівність виду<g(x)

Теорема 1.4 Має місце еквівалентність:

<g(x)?



Доведення. Нехай число ? є коренем даної нерівності. Тоді . Звідси Обидві частини числової нерівності піднесемо до квадрата.

Отримаємо правильну числову нерівність .

Таким чином, число ? є розв'язком системи. Нехай число ? є розв'язком системи, тобто

Звідси отримуємо, що З того, що невід'ємні числа і рівні, випливає, що <g(?). Отже, число ? є коренем даної нерівності. ^

Нерівність виду

>.

Теорема 1.5 Має місце еквівалентність:

>?f(x)>g(x)

Доведення. Нехай число ? є коренем даної нерівності. Тоді:

>

Обидві частини числової нерівності піднесемо до степеня (2n-1). Отримаємо правильну числову нерівність (за третьою властивістю коренів, с.4)

Таким чином, число ? є розв'язком нерівності.

Нерівність виду

<

Теорема 1.6 Має місце еквівалентність:

<?f(x)<g(x)

Доведення. Нехай число ? є коренем даної нерівності. Тоді:

<

Обидві частини числової нерівності піднесемо до степеня (2n-1). Отримаємо правильну числову нерівність (за третьою властивістю коренів, с.4) Таким чином, число ? є розв'язком нерівності.



2. Методи розв'язування ірраціональних нерівностей

2.1 Методи розв'язування ірраціональних нерівностей в шкільному курсі математики

2.1.1 Використання області допустимих значень при розв'язуванні ірраціональних нерівностей

Область визначення функції - це множина всіх допустимих дійсних значень аргументу х (змінної х), при яких функція у=f(x) визначена. Область визначення іноді ще називають областю допустимих значень функції (ОДЗ). Іноді знаючи ОДЗ вдається довести, що нерівність не має розв'язків, а іноді дозволяє знайти розв'язки нерівності безпосередньою підстановкою чисел з ОДЗ.

Приклад 1. Розв'язати нерівність

Розв'язання: ОДЗ нерівності . Розіб'ємо цю множину на два проміжка та . Для маємо . Таким чином, на цьому проміжку, і тому нерівність не має розв'язків на цьому проміжку. Нехай , тоді іОтже, для , а отже на цьому проміжку нерівність також не має розв'язків.

Відповідь: немає розв'язків.

2.1.2 Метод інтервалів

Якщо функція визначена і неперервна на деякому інтервалі і не має на ньому нулів, то вона зберігає знак на цьому інтервалі. На підставі цього твердження базується загальний метод розв'язування нерівностей - метод інтервалів. Нехай треба розв'язати нерівність f(x)>0 (f(x)<0).

Для цього:

1)знаходимо область визначення функції (x);

2) знаходимо нулі функції f(x), тобто розв'язуємо рівняння f(x)=0;

3) нулями функції розбиваємо область визначення f(x) на інтервали знакосталості;

4) встановлюємо знак функції f(x) на кожному інтервалі (наприклад, підстановкою деякого значення х з інтервалу , що розглядається);

5) записуємо розв'язки нерівності (розв'язками даної нерівності будуть ті інтервали, на яких знак функції збігається зі знаком нерівності, що розв'язується.[7:c.20]

Приклад 2. Розв'язати нерівність:

2

2

Розв'язання: Розглянемо функцію у=. Звідси випливає, що нам потрібно розв'язати нерівність у>0. Знайдемо ОДЗ:

D(y) =

Знайдемо нулі функції:

2

2

= х + 2

=

Інтервали не перетинаються, отже х , а це означає що наша функція не має нулів. Розіб'ємо область визначення нашою функції нулями на інтервали, отримаємо:

Перевіримо, чи є правильною нерівність при х=0 та х=5:

х=0: 2

х=5:



Перевіримо, знак функції (додатній чи від'ємний) на кожному із інтервалів. f(1): = - додатній.

Відповідь: х

Приклад 3. Розв'язати нерівність х

Розв'язання:. Перенесемо усі доданки до лівої частини нерівності, при цьому знак доданків змінюється на протилежний. х

Розглянемо функцію у= х. Область її визначення проміжок .

Розглянемо функцію . Область її визначення усі числа.

Розв'яжемо рівняння

х

х

, тоді маємо:

Корені: Повернемося до змінної х:



Зробимо перевірку:

х=3: 0;

х=-3: -3-9+60;

х= 00;

х= 00;

Нанесемо отримані точки на числову вісь.

Перевіримо, знак функції (додатній чи від'ємний) на кожному із інтервалів.

f(-3):=-3

f(0):=0

f(3,1):=3



У відповідь запишемо лише ті проміжки, знак функції на яких є додатнім.

Відповідь:

2.1.3 Метод рівносильних переходів

Цей метод є одним із найпоширеніших стандартних методів при розв'язанні ірраціональних нерівностей. Основна мета - позбавитись від знаку радикала,за допомогою рівносильних перетворень, й надалі розв'язувати нерівність, яка вже не є ірраціональною. Але для того щоб перетворення залишалися рівносильними обов'язково потрібно враховувати ОДЗ початкової нерівності. Для розв'язання нерівностей методом рівносильних переходів використаємо теореми з пункту 1.

Приклад 4. Розв'язати нерівність

Розв'язання: За теоремою 2:

Відповідь: х

Приклад 5. Розв'язати нерівність



Розв'язання: ця нерівність еквівалентна нерівності

Зведемо дроби до спільного знаменника

Зобразимо нулі на координатній прямій, та знайдемо знак у кожному інтервалі, відповіддю буде об'єднання усіх інтервалів з від'ємним знаком.

Відповідь: х

2.1.4 Метод заміни - введення нової змінної

Іноді доцільним є ввести заміну шуканої змінної. Цей метод дозволяє значно спростити нерівність і звести розв'язання до методу рівносильних переходів, методу інтервалів, або й зовсім до розв'язування лінійної нерівності.



Приклад 6. Розв'язати нерівність

Розв'язання: Область визначення даної нерівності

D=

Запишемо нерівність у вигляді

і зробимо заміну (підстановку)

= t

Відносно t отримуємо нерівність

Повертаючись до невідомої х, отримуємо



Враховуючи область визначення даної нерівності, знайдемо її розв'язок: . Відповідь:.

2.1.5 Графічний метод розв'язування ірраціональних нерівностей

Дуже часто при розв'язуванні ірраціональних нерівностей доцільно скористатися графіками функцій. Використання графіків перетворює процес розв'язування з формально-арифметичного на наочно геометричний і значно зменшує ймовірність помилок.

Приклад 7. Розв'язати нерівність

Розв'язання: переписавши нерівність у вигляді

побудуємо графіки функцій f(x)= і g(x)=. З даного малюнка зразу видно, що відповіддю буде проміжок [-4;5]. Але не завжди кінцеві точки проміжків будуть настільки явно видимі з малюнка, тому ми розв'яжемо рівняння



Відповідь:[-4;5].

Приклад 8. Розв'язати нерівність

Розв'язання: будуємо графіки функцій

f(x)=g(x)=

Відразу дістанемо наочне уявлення про шукану множину розв'язків: проміжок (b;6], де b-корінь рівняння

Розв'язавши його, знаходимо, b=4



Відповідь: (4;6].

2.2 Методи розв'язування нерівностей у вищій школі

2.2.1 Використання властивостей функцій при розв'язуванні ірраціональних нерівностей

Теорема 2.1 Нехай f(х) - строго зростає на всій області визначення і f(=0, тоді має місце еквівалентність:

Якщо f(х) - строго спадна на всій області визначення , то

Нерівності протилежного знаку та нестрогі нерівності розглядаються аналогічно. Для доведення теореми достатньо зауважити ,що строго зростаюча ( строго спадна) функція в різних точках приймає різні значення. Звідки випливає , що якщо вдається вгадати або швидко підібрати один корінь подібного рівняння і показати, що інших коренів немає , то цей корінь і буде розв'язком даного рівняння .[5:c.19]. Нехай , і похіднанеперервна на усьому інтервалі. Тоді строго зростає на інтервалі тоді і тільки тоді, коли виконуються наступні дві умови:

1.

2.

Аналогічно, строго спадає на інтервалі тоді і тільки тоді, коли виконуютьсянаступнідві умови:

1.

2.

Приклад 9. Розв'язати нерівність

Розв'язання:

і строго зростає на

Відповідь:.

Приклад 10. Розв'язати нерівність



Розв'язання: нехай

Доведемо, що монотонно спадна функція на всій своїй області визначення. За критерієм строгої монотонності функції, що має похідну на інтервалі маємо:

1.

Похідна на проміжку

2.

Отже, обидві умови критерію строгої монотонності функції виконуються, цим ми довели , що монотонно спадна на .

Отже, нерівність буде правильною .

Відповідь: .

2.2.2 Приклади нестандартних розв'язань ірраціональних нерівностей

Іноді зустрічаються такі ірраціональні нерівності, що стандартні методи розв'язання, не є раціональними, або взагалі не призводять до правильних розв'язків. У таких випадках доцільніше використовувати нестандартні методи розв'язання ірраціональних нерівностей. Деякі з них приведені нижче.

Приклад 11. Розв'язати нерівність

Розв'язання. Знайдемо ОДЗ:

,

що виконується

Зробимо заміну:

х=tgt, t,

тоді маємо:

Перепишемо нерівність:

Домножимо обидві частини на 2:

Нехай =, тоді



Зобразимо нулі на координатній прямій, та знайдемо знак у кожному інтервалі, відповіддю буде об'єднання усіх інтервалів з додатнім знаком.

В силу обмеженості синуса:

tgне існує, tg(, отже, х)

Відповідь: х

Приклад 12. Розв'язати нерівність

Наведемо перед розв'язанням нерівності коментар. Спробуємо розв'язати задану нерівність методом інтервалів. Для цього її потрібно звести до виду (де функція неперервна в кожній точці своєї області визначення). При знаходженні нулів функції для розв'язування рівняння доцільно використати властивості відповідних функцій, зокрема, оцінку лівої і правої частини рівняння виду

Значення функції легко оцінити і без застосування похідної, а для дослідження функції використаємо похідну. Зазначимо, що в даному випадку в середині ОДЗ ми не знайдемо жодного нуля функції (дивитися далі розв'язання: нулем є тільки крайня точка ОДЗ). Але метод проміжків працює і в цьому випадку тільки ми отримаємо єдиний інтервал в якому функція зберігає свій знак.

Розв'язання. Задана нерівність рівносильна нерівності

Функція неперервна в кожній точці своєї області визначення, тому для розв'язування нерівності (1) можна використати метод інтервалів.

1. ОДЗ:

2. Нулі:

Це рівняння рівносильне рівнянню



Оцінимо значення функцій

Оскільки,

то

Тоді

Дослідимо функцію при х. Функція неперервна на проміжку , тому вона буде набувати найбільшого і найменшого значень або на кінцях, або в критичних точках цього проміжка не існує в точці 3 проміжка , але ця точка не є внутрішньою точкою цього проміжка, отже вона не є критичною. З'ясуємо коли .

Порівнюючи значення і , одержуємо, що Отже, Тоді рівняння (2) рівносильне системі .

Оскільки 2 - найбільше значення функції , яке досягається тільки при х=4, то рівняння має тільки один корінь х=4, який задовольняє і рівнянню (дійсно, Отже, функція має тільки один нуль: х=4. Відмічаємо,нуль на ОДЗ і знаходимо знак функції в одержаному проміжку.

Відповідь: 4. Зауваження. Використовуючи введені позначення, задану нерівність можна записати так: Після виконання оцінки значень функцій та і без методу інтервалів можна зробити висновок, що нерівність не може виконуватися. Отже, задана нерівність рівносильна рівнянню яке рівносильне системі

що має єдиний розв'язок х=4. Але такі міркування можна провести тільки для цієї конкретної нерівності, у той час я к метод інтервалів можна використати для розв'язування довільної нерівності виду ( де функція неперервна в кожній точці своєї області визначення). Тому основним способом розв'язування таких нерівностей ми вибрали метод інтервалів.



Висновки

Я вважаю, що тема моєї роботи розкрита у повному обсязі та мета курсової роботи досягнута. У процесі дослідження були отримані такі висновки та результати:

1. Систематизовані основні методи розв'язання нерівностей, які розглядаються у шкільному курсі математики та вищий школі, різноманітного вигляду, до кожного методу наведені приклади розв'язання.

2. Наведені приклади нестандартного розв'язання ірраціональних нерівностей, за допомогою комбінування різноманітних стандартних методів, що призводять до найкоротшого шляху розв'язання.

3. Матеріали курсової роботи можуть бути використані з метою самоосвіти, адже в роботі міститься також список літератури за темою роботи та приклади різноманітних завдань.

Продовження дослідження може полягати у вивченні методів розв'язання трансцендентних нерівностей з коренями , застосуванні інтегралів, використанні різноманітних штучних методів та інших нестандартних способів розв'язання рівнянь і нерівностей

ірраціональний нерівність підкореневий



Список використаної літератури

1. Гильмуллин М.Ф. История математики: Учебное пособие /М.Ф. Гильмуллин. -- Елабуга: Изд-во ЕГПУ, 2009. -- 212 с.

2. Иванова Т.Д. Методы решения иррациональных неравенств: Методическое пособие для учащихся 9-11 классов /сост. Иванова Т.Д.- Сунтар Сунтарского улуса, 2007, - 56 с.

3. Канунников А. Л. Уравнения и неравенства:Методическая разработка для учащихся заочного отделения Малого механико-математического факультета -М.: Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ, 2008 .-64 с., ил.

4. Мерзляк А.Г. Алгебра і початки аналізу: підруч. Для 10 кл. з поглибленим вивченням математики / А.Г. Мерзляк, Д.А. Номіровський, В.Б. Полонський, М.С. Якір. - Х.: Гімназія,2010. - 415 с.: іл.

5. Рождественский В. В. Иррациональные уравнения и неравенства: Методическая разработка для учащихся заочного отделения МММФ/ В. В. Рождественский. -- М.: Изд-во центраприкладныхисследований при механико-математическом факультете МГУ, 2007. -- 20 с.: ил.

6. Самаров К. Л. Решение иррациональных неравенств: Учебно-методическое пособие / К.Л. Самаров.-Учебный центр «Резольвента», 2010. -11с.

7. Тимошенко О. І. Деякі методи розв'язування ірраціональних нерівностей. Математика в школі.//К. «Педагогічна преса». №6 - с.16-22.

Размещено на Allbest.ru

...