Математика эпохи Возрождения

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Математика эпохи Возрождения

математика возрождение дробь алгебраический

XV и XVI века вошли в историю Европы под названием «эпохи Возрождения», при этом имеется в виду возрождение того высокого уровня культуры, который был достигнут в античном мире. На самом же деле эта эпоха характеризуется гораздо более глубокими преобразованиями в жизни всего общества.

В промышленности появляются мануфактуры, требующие технических усовершенствований и изобретений. Тогда же появляются в Европе компас, часы и порох, дешевая бумага и книгопечатание. Гигантски возрастает торговля, приведшая к исключительному росту мореплавания и к великим географическим открытиям. Бумага и книгопечатание делают научные знания необходимым элементом общественной жизни. Совершается подлинная культурная революция.

Исторически сложилось так, что именно в математике начинают искать последний критерий истины. С одной стороны, чисто практическое преимущество, которое получал купец над конкурентами даже при небольшом улучшении способов вычисления своих координат на море, а с другой стороны, религиозные традиции, утверждавшие, что Вселенная построена Богом по математическому плану, ставили математику в центр внимания. И если в начале Средних веков «математиками» называли людей, занимавшихся астрологией, и подвергали их преследованию как колдунов и чернокнижников, то Леонардо да Винчи пишет, что тот, кто порочит высшую достоверность математики, тот питается сумбуром.

В XV--XVI вв. математика развивается главным образом в Италии, Франции и Германии, к которым в конце XVI в. присоединяется Голландия.

В первой половине XVI в. благодаря усилиям итальянских математиков в алгебре происходят крупные сдвиги, сопровождаемые весьма драматическими событиями. Профессор Болонского университета Сципион Даль Ферро (1465-1526) находит общее решение уравнения третьей степени но держит его в секрете, ибо оно представляет большую ценность на соревнованиях по решению задач, которые тогда широко практиковались в Италии. Перед смертью он открывает секрет своему ученику Фиоре. В 1535 Фиоре вызывает на соревнование талантливейшего математика Никколо Тарталью (1499-1557), который, зная, что Фиоре обладает способом решения кубического уравнения, прилагает максимум усилий и сам находит решение! Тарталья побеждает на соревновании, но также держит свое открытие в секрете. Наконец, на сцене появляется Джероламо Кардано (1501-1576). Он тщетно пытается найти алгоритм решения кубического уравнения и в 1539 г. обращается к Тарталье с просьбой поведать ему тайну. Взяв с Кардано «священную клятву» молчания, Тарталья частично и в не слишком вразумительной форме приоткрывает для него завесу. Кардано не удовлетворяется и прилагает усилия, чтобы ознакомиться с рукописью покойного Даль Ферро. Это ему удается, и в 1545 г. он публикует книгу, в которой сообщает алгоритм, сводящий решение кубического уравнения к радикалам («формула Кардано»). В этой же книге содержится еще одно открытие, сделанное учеником Кардано Луиджи (Лудовико) Феррари (1522-1565), а именно решение в радикалах уравнения четвертой степени. Тарталья обвиняет Кардано в нарушении клятвы, завязывается острая и продолжительная полемика.

С основными трудами Тартальи историки науки познакомились в начале XIX в. В "Новой науке" (1537) Никколо рассматривает различные вопросы механики, свободного падения тел и первым находит, что дальше всего камень улетит, если его бросить под углом 45° к горизонту. "Вопросы и различные изобретения" (1546) посвящены практической механике. В этом труде автор решает различные задачи топографии, фортификации и баллистики. Наконец, в последней работе - "Общем трактате о числе и мере" - он рассматривает различные проблемы арифметики, алгебры, геометрии и теории вероятностей.

Историк науки Мориц Кантор считает, что у Тартальи было слишком мало времени для решения проблемы, над которой лучшие умы бились на протяжении двух тысячелетий. Кроме того, добавляет он, решения Тартальи и дель Ферро похожи как две капли воды. В настоящее время большинство ученых сходится на том, что первым решение кубического уравнения нашел Ферро; Фиоре узнал его от своего учителя; Тарталья переоткрыл формулу Ферро; Кардано же дал полную и исчерпывающую теорию решения любого уравнения третьей степени.

Джероламо Кардано (1501-1576) вошёл в историю как математик, философ, естествоиспытатель и изобретатель. Существует легенда, будто он составил свой гороскоп и предсказал, что умрёт 21 сентября 1576 г. Дабы поддержать собственную славу астролога, к назначенному сроку он уморил себя голодом. Даже если этот рассказ и вымышленный, суть характера Кардано передана очень верно. Самой известной книгой Кардано стал трактат по алгебре под названием "Великое искусство", опубликованный в 1545 г. Книга содержала формулы решения кубического уравнения - секрет Даль Ферро и Тартальи.

Франсуа Виет (1540-1603) родился в городке Фонтене-ле-Конт провинции Пуату, недалеко от знаменитой крепости Ла-Ро-шель. Сын прокурора, Виет получил юридическое образование и начал адвокатскую практику в родном городе. Но вскоре он стал секретарём и домашним учителем в доме знатного дворянина-гугенота де Партеней. (Гугеноты - последователи кальвинизма, одного из основных течений Реформации Церкви.) Тогда Виет очень увлёкся изучением астрономии и тригонометрии и даже получил некоторые важные результаты.

В 1571 году Виет переехал в Париж и там познакомился с математиком Пьером Рамусом. Благодаря своему таланту и отчасти благодаря браку своей бывшей ученицы с принцем де Роганом, Виет сделал блестящую карьеру и стал советником Генриха III, а после его смерти - Генриха IV. Но главной страстью Виета была математика. Он глубоко изучил сочинения классиков Архимеда и Диофанта, ближайших предшественников Кардано, Бомбелли, Стевина и других. Виета они не только восхищали, в них он видел большой изъян, заключающийся в трудности понимания из-за словесной символики. Почти все действия и знаки записывались словами, не было намека на те удобные, почти автоматические правила, которыми мы сейчас пользуемся. Нельзя было записывать и, следовательно, изучать в общем виде алгебраические уравнения или какие-нибудь алгебраические выражения. Каждый вид уравнения с числовыми коэффициентами решался по особому правилу. Так, например, у Кардано рассматривались 66 видов алгебраических уравнений. Поэтому надо было доказать, что существуют такие общие действия над всеми числами, которые от этих самых чисел не зависят. Виет и его последователи установили, что не имеет значения, будет ли рассматриваемое число количеством предметов или длиной отрезка. Главное, что с этими числами можно производить алгебраические действия и в результате снова получить числа того же рода. Значит их можно обозначить какими-либо отвлеченными знаками. Виет это и сделал. Он не только ввел свое буквенное исчисление, но сделал принципиально новое открытие, поставив перед собой цель изучать не числа, а действия над ними.

Не случайно, что Виета называют "отцом" алгебры, основоположником буквенной символики. Особенно гордился Виет всем известной теперь теоремой о выражении корней квадратного уравнения через его коэффициенты, полученной им самостоятельно, хотя как теперь стало известно, зависимость между коэффициентами и корнями уравнения (даже более общего вида, чем квадратное) была известна еще Кардано, а в таком виде, в каком мы используем ее для квадратного уравнения древним вавилонянам. Из других открытий Виета следует отметить выражение для синусов и косинусов кратных дуг через sin(x) и cos(x). Эти знания тригонометрии Виет с успехом применял как в алгебре при решении алгебраических уравнений, так и в геометрии, например, при решении с помощью циркуля и линейки знаменитой задачи Аполлония Пергского о построении круга, касательного к трем данным кругам.

Лука Пачоли (около 1445 - около 1514) был крупнейшим европейским алгебраистом XV в. В Милане он подружился с выдающимся художником и учёным Леонардо да Винчи. По настоянию Леонардо в 1497 г. Пачоли написал книгу "О Божественной пропорции" (её печатное издание вышло в Венеции в 1509 г.). Сам Леонардо выполнил иллюстрации для этой книги, в том числе 59 изображений многогранников. Но самым знаменитым сочинением Пачиоли стала "Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности" (1487 г.).

На Руси математика начинает развиваться только в XVI в., когда после освобождения Руси от татарского ига устанавливаются новые связи между нею и Западной Европой. В это время на Руси появляются рукописные переводы и компиляции из сочинений европейцев и европейских переводов ученых Востока; в этих рукописях создается русская математическая терминология. Особенно следует отметить арифметические рукописи с традиционным названием. «Книга рекома по-гречески арифметика, а по-немецки -- алгоризма, а по-русски цифирная счетная мудрость». До настоящего времени дошла единственная математическая рукопись XVI в.-- «статья» из «Книги сошному письму», посвященная вычислению налога с земли, взимавшемуся в зависимости от количества и качества земельной площади в условных единицах -- «сохах». Здесь же впервые описываются русские счеты, первоначально приспособленные для расчетов «сошного письма». В XVI--XVII вв. появляются первые русские рукописные книги по математики, вытесненные в начале XVIII в. книгой Л. Ф. Магницкого «Арифметика, сиречь наука числительная», напечатанной в Москве в 1703 г.

Подводя итоги этого обзора, можно сказать, что в Эпоху Возрождения математика Европы впервые вышла за пределы знаний, полученных в наследство от древних греков и народов Востока. Именно в это время закончилась решительной победой многовековая борьба за введение позиционной десятичной арифметики. В это время была создана арифметическая и алгебраическая символика, отсутствие которой тормозило прогресс теории уравнений ранее. Введены были дробные и отрицательные показатели и отрицательные числа; успешно решена проблема решения в радикалах уравнений третьей и четвертой степеней -- проблема, перед которой остановились ученые стран ислама. В связи с решением этой проблемы были формально введены мнимые числа. Виет построил алгебру как символическое исчисление, введя специальные буквенные обозначения для неизвестных и для коэффициентов многочленов, а также расширив символику алгебраических операций. В арифметике были введены десятичные дроби, удобства которых быстро оценили ученые. Значительны были достижения плоской и сферической тригонометрии, были усовершенствованы методы вычисления таблиц. Долгий период изучения постоянных величин подходил к завершению. Были созданы условия для возникновения теории переменных величин, символической алгебры, аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчислений.

Размещено на Allbest.ru