Решение дифференциальных уравнений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Математика играет важную роль в подготовке специалистов сельского хозяйства. Количественные методы анализа необходимы всем специалистам сельского хозяйства. Методы теории вероятности, математической статистики широко применяются при планировании опытов, обработке их результатов, в биологии, племенном деле. Эти методы позволяют с нужной степенью достоверности анализировать результаты практической деятельности в различных областях сельскохозяйственного производства. Особый интерес к математическому образованию должен быть проявлен в настоящее время в связи с переходом отдельных отраслей сельского хозяйства на промышленную основу.

В пособии приводятся методические рекомендации по изучению дисциплины, указания к выполнению контрольных работ, образцы решения типовых задач, контрольные задания.

В соответствии с учебными планами студенты - заочники направлении «Технология переработки с/х продукции», «Агрохимия и агропочвоведение» изучают курс высшей математики в течение первого курса обучения и выполняют одну контрольную работу, студенты направления «Агрономия» изучают курс в течение первого и второго курса и выполняют две контрольные работы - первую на первом курсе, вторую на втором.

Общие методические указания

Перед выполнением контрольной работы, студент должен изучить соответствующие разделы рекомендуемой литературы и может воспользоваться решениями типовых задач, содержащихся в методических указаниях.

Контрольную работу следует выполнять в отдельной тетради. На внешней обложке тетради должны быть указаны номер контрольной работы, полный учебный шифр, фамилия и инициалы студента.

Решения всех задач и пояснения к ним должны быть достаточно подробными. Все вычисления необходимо делать полностью. Рекомендуется делать соответствующие ссылки на вопросы теории с указанием формул, теорем, выводов, которые используются при решении.

Чертежи и графики должны быть выполнены аккуратно, четко, с указанием единиц масштаба, координатных осей, обозначения к задачам должны соответствовать указаниям на чертеже.

Студент учащийся по направлению «Агрохимия» или «Технология производства и переработки с/х продукции» выполняет тот вариант контрольной работы, который совпадает с последней цифрой его учебного шифра. При этом, если предпоследняя цифра учебного шифра есть число нечетное(т. е. 1, 3, 5, 7, 9), то номера задач соответствующего варианта даны в таблице 1.

Если предпоследняя цифра учебного шифра есть число четное или ноль (т. е. 2, 4, 6, 8, 0), то номера задач для соответствующего варианта даны в таблице 2.

Студент, обучающийся по направлению «Агрономия» пользуется таблицей 1а, если предпоследняя цифра его учебного шифра есть число нечетное (1, 3, 5, 7, 9) или таблицей 2а, если предпоследняя цифра его учебного шифра есть число четное или ноль (0, 2, 4, 6, 8).

Таблица 1

Номер варианта	Контрольная работа Номера задач для студентов, у которых предпоследняя цифра учебного шифра 1,3,5,7,9
1	1	11	21	31	41	51	71	91	121	131	141	151
2	2	12	22	32	42	52	72	92	122	132	142	152
3	3	13	23	33	43	53	73	93	123	133	143	153
4	4	14	24	34	44	54	74	94	124	134	144	154
5	5	15	25	35	45	55	75	95	125	135	145	155
6	6	16	26	36	46	56	76	96	126	136	146	156
7	7	17	27	37	47	57	77	97	127	137	147	157
8	8	18	28	38	48	58	78	98	128	138	148	158
9	9	19	29	39	49	59	79	99	129	139	149	159
10	10	20	30	40	50	60	80	100	130	140	150	160

Таблица 2

Номер варианта	Контрольная работа Номера задач для студентов, у которых предпоследняя цифра учебного шифра 0,2,4,6,8
1	2	13	24	35	46	57	78	99	123	140	144	155
2	3	14	25	36	47	58	79	100	124	131	145	151
3	4	15	26	37	48	59	80	91	125	132	146	152
4	5	16	27	38	49	50	71	92	126	133	147	153
5	6	17	28	39	50	51	72	93	127	134	148	154
6	7	18	29	40	41	52	73	94	128	135	149	160
7	8	19	30	31	42	53	74	95	129	136	150	156
8	9	20	21	32	43	54	75	96	130	137	141	157
9	10	11	22	33	44	55	76	97	121	138	142	158
10	1	12	23	34	45	56	77	98	122	139	143	159

Таблица 1а

Номер варианта	Номера задач для студентов, у которых предпоследняя цифра учебного шифра 1,3,5,7,9
	Работа 1	Работа 2
1	1	11	21	31	41	51	61	71	81	91	101	111	121	131	141	151
2	2	12	22	32	42	52	62	72	82	92	102	112	122	132	142	152
3	3	13	23	33	43	53	63	73	83	93	103	113	123	133	143	153
4	4	14	24	34	44	54	64	74	84	94	104	114	124	134	144	154
5	5	15	25	35	45	55	65	75	85	95	105	115	125	135	145	155
6	6	16	26	36	46	56	66	76	86	96	106	116	126	136	146	156
7	7	17	27	37	47	57	67	77	87	97	107	117	127	137	147	157
8	8	18	28	38	48	58	68	78	88	98	108	118	128	138	148	158
9	9	19	29	39	49	59	69	79	89	99	109	119	129	139	149	159
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120	130	140	150	160

Таблица 2б

Номер варианта	Номера задач для студентов, у которых предпоследняя цифра учебного шифра 0,2,4,6,8
	Работа 1	Работа 2
1	2	13	24	35	46	57	68	79	90	92	103	114	125	136	147	158
2	3	14	25	36	47	58	69	80	81	93	104	115	126	137	148	159
3	4	15	26	37	48	59	70	71	82	94	105	116	127	138	149	160
4	5	16	27	38	49	60	61	72	83	65	106	117	128	140	150	157
5	6	17	28	39	50	51	62	73	84	96	107	118	129	135	146	156
6	7	18	29	40	41	52	63	74	85	97	108	119	130	136	145	155
7	8	19	30	31	42	53	64	75	86	98	109	120	124	137	144	154
8	9	20	23	32	43	54	65	76	87	99	110	111	123	138	143	153
9	10	11	22	33	44	55	66	77	88	100	101	112	122	139	142	152
10	1	12	21	34	45	56	67	78	89	91	102	113	121	140	141	151

Рекомендуемая литература

1. Зайцев И.А. Высшая математика. М: Высшая школа,1998 г.

2. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. М: Наука, 1989 г.

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М: Высшая школа, 1999 г.

4. Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1.2. М: Высшая школа, 1986 г.

5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М: Высшая школа, 1975 г.

Задачи и методические указания к выполнению контрольных работ

В задачах 1-20 решить систему линейных уравнений, пользуясь формулами Крамера. Сделать проверку найденного решения.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10.

Решение типовой задачи

Задача. Решить систему линейных уравнений:

Решение.

а) Для решения заданной системы линейных уравнений воспользуемся формулами Крамера:

; ; .

Определитель третьего порядка вычисляется по правилу разложения по элементам первой строки:

Составим и вычислим главный определитель системы.

Так как определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение. Для его отыскания вычислим вспомогательные определители .

Для вычисления в главном определителе первый столбец заменим столбцом свободных членов, для вычисления и соответственно второй и третий.

По формулам Крамера получим:

; ; .

Проверим правильность полученного решения, подставив его в каждое уравнение заданной системы:

.

Получили три верных равенства, система решена правильно.

В задачах 11-20 даны координаты вершин треугольника АВС.

Найти: 1. длину стороны АВ;

2. уравнение сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты.

3. угол при вершине В в радианах с точностью до двух знаков;

4. уравнение медианы АЕ

5. уравнение и длину высоты СД;

6. сделать чертеж.

11. А(-1; 5), В(11; 0), С(17; 8)

12. А(6; 5), В(-6; 0), С(-10; 3)

13. А(-2; 6), В(10; 1), С(16; 9)

14. А(10; -1), В(-2; -6), С(-6; -3)

15. А(-1; 7), В(11; 2), С(17; 10)

16. А(-2; -6), В(-3; 5), С(4; 0)

17. А(2; -3), В(-1; -6), С(0; 1)

18. А(0; 2), В(-7; 4), С(3; 2)

19. А(-5; 7), В(7; -2), С(11; 20)

20. А(-8; -3), В(4; -12), С(8; 10)

Решение типовой задачи

Задача. Даны координаты вершин треугольника АВС: А(4;3), В(16;-6), С(20;16).

Найти: 1) длину стороны АВ;

2) уравнение сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;

3) угол при вершине В в радианах с точностью до двух знаков;

4) уравнение высоты СД;

5) уравнение медианы АЕ и координаты точки К пересечения этой медианы с высотой СД;

6) сделать чертеж.

Решение.

1) Расстояние d между двумя точками и определяется по формуле

(1)

Применяя (1), находим длину стороны АВ:

2) Уравнение прямой, проходящей через точки и , имеет вид

(2)

Подставляя в (2) координаты точек А и В, получим уравнение стороны АВ:

; ; ;

4y-12=-3x+12; 3x+4y-24=0 (АВ).

Решив последнее уравнение относительно y, находим уравнение стороны АВ в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом:

4y=-3x+24; , откуда .

Подставив в (2) координаты точек В и С, получим уравнение прямой ВС:

11x-2y-188=0 (ВС), или y=5,5x-94, откуда .

3) Известно, что тангенс угла между двумя прямыми, угловые коэффициенты, которых соответственно равны и вычисляется по формуле

(3)

Искомый угол В образован прямыми АВ и ВС, угловые коэффициенты которых найдены: ; . Применяя (3), получим

;

, или

4) Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении, имеет вид

(4)

Высота СD перпендикулярна стороне АВ. Чтобы найти угловой коэффициент высоты CD, воспользуемся условием перпендикулярности прямых . Так как , то . Подставив в (4) координаты точки С и найденный угловой коэффициент высоты, получим

; ; (СD).

5) Чтобы найти уравнение медианы АЕ, определим сначала координаты точки Е, которая является серединой стороны ВС, применяя формулы деления отрезка на две равные части:

;. (5)

Следовательно,

; ; Е(18;5).

Подставив в (2) координаты точек А и Е, находим уравнение медианы:

; ;

(АЕ).

Чтобы найти координаты точки пересечения высоты CD и медианы АЕ, решим систему уравнений

Размещено на http://www.allbest.ru/

.

6) Построение.

Треугольник АВС, высота CD, медиана АЕ,

прямая KF и точка М построим в системе координат xOy на рисунке 1.

В задачах 21-30 найти указанные пределы.

21.	1)	2)
	3)	4)
22.	1)	2)
	3)	4)
23.	1)	2)
	3)	4)
24.	1)	2)
	3)	4)
25.	1)	2)
	3)	4)
26.	1)	2)
	3)	4)
27.	1)	2)
	3)	4)
28.	1)	2)
	3)	4)
29.	1)	2)
	3)	4)
30	1)	2)
	3)	4)

Решение типовой задачи

Задача. Найти следующие пределы:

1)

Решение. На основании основных теорем о пределах имеем , поэтому подставим вместо переменной x её предельное значение (-4):

2)

Решение.

При подстановке вместо переменной её предельного значения получается неопределенность вида . При и числитель и знаменатель - бесконечно малые величины.

Чтобы раскрыть неопределенность вида , необходимо числитель и знаменатель разложить на простые множители. Квадратный трехчлен разлагаем по формуле , где и - корни квадратного трехчлена.

Корни квадратного трехчлена будем находить по формуле , где дискриминант .

Для числителя имеем:

По формуле корней получим

Следовательно,

.

Для знаменателя вынесем общий множитель и воспользуемся формулой сокращенного умножения

Получим: .

Теперь условие задачи записываем в следующем виде:

3)

Решение. Если вместо переменной подставить ее предельное значение, то получим в числителе и знаменателе бесконечно большую величину, так как по условию , то есть получим неопределенность вида . Избавиться от неопределенности этого типа можно вынесением за скобки в числителе и знаменателе дроби старшей степени переменной:

4)

Решение. Подстановка предельного значения переменной дает неопределенность .

Чтобы освободиться от неопределенности в данном случае, необходимо использовать первый замечательный предел, одно из его следствий и эквивалентность бесконечно малых величин:

; ~, ~

Преобразуем выражение:

.

В задачах 31-40 найти производные и дифференциалы заданных функций:

31.	1)	3)
	2)	4)
32.	1)	3)
	2)	4)
33.	1)	3)
	2)	4)
34.	1)	3)
	2)	4)
35.	1)	3)
	2)	4)
36.	1)	3)
	2)	4)
37.	1)	3)
	2)	4)
38.	1)	3)
	2)	4)
39.	1)	3)
	2)	4)
40.	1)	3)
	2)	4)

При решении задач 11-20 используйте основные правила и формулы дифференцирования.

№ n/n	функция	производная
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.

Решение типовой задачи

Задача. Найти производные и дифференциалы заданных функций:

1)

Решение. Воспользуемся формулой производной степенной функции и правилом дифференцирования алгебраической суммы:

;

Преобразуем функцию:

Далее будем использовать следующие формулы:

;

Дифференциал функции равен , поэтому

.

2)

Решение. Воспользуемся формулой производной произведения двух функций:

;

3)

Решение. Воспользуемся формулой производной частного двух функций:

; ;

4)

Решение. Данная функция является сложной степенной, она может быть представлена так: , где . Применяя формулу

5)

Решение. Имеем сложную логарифмическую функцию . Производная заданной функции:

Дифференциал функции равен:

В задачах 41-50 исследовать заданные функции методом дифференцированного исчисления и начертить их графики. Исследование функций провести по следующей схеме:

1) найти область определения функции;

2) определить интервалы монотонности и экстремумы функции;

3) определить интервалы выпуклости и вогнутости кривой, точки перегиба;

4) для построения графика, найти дополнительные точки;

5) по результатам исследования построить график в системе координат XOY.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

Решение типовой задачи

Задача. Методами дифференциального исчисления исследовать функцию и построить ее график

Решение.

1. Областью определения данной функции являются все действительные значения аргумента , так как она является многочленом целой степени, т. е. . Функция непрерывна на всей числовой оси и ее график представляет непрерывную кривую.

2. Определим интервалы монотонности и экстремум функции. С этой целью найдем ее производную и приравняем к нулю.

,

Решаем полученное квадратное уравнение.

Дискриминант:

.

Корни уравнения:

Получили ; две критические точки на экстремум, которые разбивают область определения функции на три интервала , , . Определим знаки первой производной в каждом интервале и по знаку установим промежутки убывания или возрастания функции и наличие максимума и минимума.

Исследуем их в таблице.

			-

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В точке производная меняет свой знак с плюса на минус. Поэтому функция в точке имеет максимум, а в точке минимум.

точка максимума

точка минимума

3. Найдем точку перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости графика функции.

С этой целью определим вторую производную и приравняем ее к нулю:

; .

Получили одну критическую точку на перегиб, которая разбивает область определения на два интервала ; . Определим знак второй производной в каждом интервале.

Исследуем точку в таблице.

		1
	-	0	+
		Пере гиб

График функции на интервале выпуклый, и вогнутый в интервале где . В точке вторая производная меняет знак на противоположный, следовательно, в этой точке кривая имеет точку перегиба.

точка перегиба

4. Найдем координаты точки пересечения графика функции с осью OY.

5. Для построения графика (рисунок 2) в выбранной системе координат изобразим точки максимума , минимума , перегиба и точку пересечения графика с осью OY .

Учитывая результаты исследования, строим кривую.

В задачах 51-60 требуется найти указанные неопределенные интегралы.

51. 1)	3)
2)	4)
52. 1)	3)
2)	4)
53. 1)	3)
2)	4)
54. 1)	3)
2)	4)
55. 1)	3)
2)	4)
56. 1)	3)
2)	4)
57. 1)	3)
2)	4)
58. 1)	3)
2)	4)
59. 1)	3)
2)	4)
60. 1)	3)
2)	4)

При решении задач 51-60 используйте таблицу основных неопределенных интегралов.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.

Решение типовой задачи

Задача. Найти неопределенные интегралы

1)	3)
2)	4)

Решение. Воспользуемся основными свойствами неопределенного интеграла:

; ;

.

1)

.

2)

Решение. Для вычисления данного интеграла используем метод подстановки.

Пусть , тогда или , .

Произведем замену переменной

.

3)

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию и сделаем подстановку:

.

4)

Решение. Для вычисления интеграла используем метод подстановки.

.

В задачах 61-70 вычислить определенные интегралы.

61. 1)	2)
62. 1)	2)
63. 1)	2)
64. 1)	2)
65. 1)	2)
66. 1)	2)
67. 1)	2)
68. 1)	2)
69. 1)	2)
70. 1)	2)

Решение типовой задачи

Задача. Вычислить определенные интегралы:

1)	2)

Решение. Для вычисления определенного интеграла, если промежуток интегрирования конечен и подынтегральная функция на данном промежутке непрерывна, можно воспользоваться формулой Ньютона - Лейбница:

.

Чтобы найти первообразную функцию , выполним алгебраические преобразования:

2)

Решение. Для вычисления данного интеграла воспользуемся методом подстановки в определенном интеграле. Введем новую переменную следующей подстановкой:

, тогда или .

Определим пределы интегрирования для переменной . При получаем ; при получаем .

Выразив подынтегральное выражение через и и перейдя к новым пределам, получим

В задачах 71-80 даны уравнения параболы и прямой. Вычислить с помощью определенного интеграла площадь фигуры, ограниченной данными линиями. Сделать чертеж и заштриховать искомую площадь.

71. ,
72. ,
73. ,
74. ,
75. ,
76. ,
77. ,
78. ,
79. ,
80. ,

Решение типовой задачи

Задача. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой .

Решение. Площадь фигуры, ограниченной сверху непрерывной кривой , снизу - непрерывной кривой , слева прямой , справа прямой , вычисляем по формуле:

.

Найдем координаты точки пересечения заданных параболы и прямой. Для этого решим систему, состоящую из их уравнений:

Приравняем правые части обоих уравнений

, преобразуем:

;

или

; ;

Таким образом, парабола пересекается с прямой в точках , .

Сверху заданную фигуру (рисунок 3) ограничивает прямая , а снизу - парабола . Следовательно, площадь фигуры равна следующему определенному интегралу:

.

Следовательно, искомая площадь равна 12 кв. ед.

В задачах 81-90 исследовать на экстремум данную функцию .

81. ;

82. :

83. ;

84. ;

85. ;

86. ;

87. ;

88. ;

89. ;

90. .

Решение типовой задачи

Задача. Исследовать на экстремум функцию

.

Решение. Чтобы исследовать функцию на экстремум, необходимо: найти частные производные первого порядка ; и приравнять их к нулю и решить систему уравнений

, .

Найдем частные производные первого порядка

.

.

Решим систему методом подстановки

Получили одну критическую точку на экстремум.

Исследуем критическую точку , вычислив в данной точке значение выражения:

Вычисляем значения производных второго порядка в точке .

Так как , то в точке , функция имеет экстремум, причем , то минимума.

.

дифференциальный уравнение умножение знаменатель

В задачах 91-100 найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

Решение типовой задачи

Задача. Дано дифференциальное уравнение первого порядка . Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, при .

Решение. Имеем дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Разделим каждое слагаемое уравнения на произведение . Получим уравнение с разделенными переменными:

Такое дифференциальное уравнение можно почленно интегрировать:

Воспользуемся таблицей интегралов

После потенцирования имеем общее решение:

;

Чтобы найти частное решение, воспользуемся заданными начальными условиями:

при

Подставим заданные значения в общее решение, получим:

, откуда

Тогда, частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям при , имеет вид

.

В задачах 101-110 даны дифференциальные уравнения второго порядка.

Найти: частное решение линейного неоднородного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.

101.	106.
102.	107.
103.	108.
104.	109.
105.	110.

Решение типовой задачи.

Найти: частное решение линейного неоднородного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям: ; ,

Имеем линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами вида:

, где p,q - числа.

Общее решение этого уравнения состоит из суммы общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения т.е.

Чтобы найти общее решение однородного уравнения Y, составляют характеристическое уравнение , по корням этого уравнения записывают вид общего решения Y

В нашем примере: - соответствующее однородное уравнение.

характеристическое уравнение, найдем его корни:

,

общее решение определяем по таблице 4- вид общего решения однородного дифференциального уравнения II порядка.

Корни действительные различные, следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид: .

Таблица 4

Корни характеристического уравнения	Общее решения
1.-действительные различные
2. - действительные равные
3.-комплексные сопряженные.

Частное решение неоднородного уравнения находим по виду правой части уравнения, при этом: если , где многочлен n-ой степени с неопределенными коэффициентами, то частное решение будет иметь вид:

1. , где - многочлен n-ой степени с неопределенными коэффициентами

2., если совпадает с одним из корней характеристического уравнения

3.

Если

В нашем примере:

, имеем второй случай, множитель перед - многочлен нулевой степени, частное решение записываем в виде: , где А неопределенный коэффициент, чтобы найти значение А решение подставляем в данное уравнение, для этого найдем и

Подставляем в данное уравнение значение

- общее решение данного уравнения.

Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям , , найдем:

.

Используя начальные условия, получим систему уравнений:

Следовательно, - частное решение неоднородного уравнения.

В задачах 111-120. Даны ряды. Требуется:

а) написать первые три члена степенного ряда и найти интервал сходимости, определить тип сходимости ряда на концах интервала сходимости;

б) вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда.

111. а) ;	б)
112. а)	б)
113. а)	б)
114. а)	б)
115. а)	б)
116. а)	б)
117. а)	б)
118. а)	б)
119. а)	б)
120. а)	б)

Решение типовой задачи.

а) Дан степенной ряд . Написать первые три члена ряда и найти интервал сходимости, определить тип сходимости ряда на концах интервала сходимости.

Решение.

Беря последовательность n=1,2,3,…., запишем данный ряд в виде:

.

Общий член ряда , тогда .

Для нахождения интервала сходимости воспользуемся признаком Даламбера.

Данный ряд абсолютно сходится при тех значениях x, которые удовлетворяют условию:

, или , или - интервал сходимости степенного ряда.

Исследуем сходимость ряда на концах полученного интервала.

1) При x=-9 заданный ряд принимает вид

.

Полученный числовой ряд является знакочередующимся. Этот ряд сходится по признаку Лейбница, так как выполняются два условия признака Лейбница.

а) Члены ряда убывают по абсолютной величине, т.е.

б) Предел общего члена ряда стремится к нулю при

.

Следовательно, x=-9 входит в интервал сходимости.

При x=9 ряд примет вид: . Получим знакоположительный числовой ряд, исследуем его по интегральному признаку Коши.

Вычислим несобственный интеграл

.

Несобственный интеграл сходится, следовательно, сходится и исследуемый ряд и значение x=9 принадлежит интервалу сходимости.

Таким образом - интервал сходимости степенного ряда.

б) Требуется вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда.

Решение.

При решении задач воспользуйтесь разложением следующих элементарных функций в степенной ряд:

Для решения задачи необходимо подынтегральную функцию представить в виде степенного ряда. Используем известное разложение в степенной ряд тригонометрической функции sinx

Заменим переменную x на 2x.

Получим разложение функции sin2x,

Разделим почленно на x.

Проинтегрируем полученный ряд.

Получен знакочередующийся ряд. Абсолютные величины членов ряда монотонно убывают, при этом предел общего члена ряда равен нулю при . Выполняются условия теоремы Лейбница. Следовательно, ряд сходится и имеет конечную сумму. Так как в этом ряде четвертый член по абсолютной величине меньше 0,001, то для достижения заданной степени точности можно ограничиться первыми тремя членами.

В задачах 121-130 задан закон распределения дискретной случайной величины в виде таблицы: в первой строке таблицы указаны возможные значения случайной величины, во второй - соответствующие вероятности. Вычислить: 1) математическое ожидание; 2) дисперсию; 3) среднее квадратичное отклонение. Начертить график закона распределения и показать на нем вычисленные математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение.

Вычислить: 1) математическое ожидание; 2) дисперсию; 3) среднее квадратичное отклонение. Начертить многоугольник распределения заданной случайной величины и показать на чертеже вычисленные математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение.

Решение. Математическое ожидание дискретной случайной величины вычисляется по формуле:

Дисперсия дискретной случайной величины вычисляется по формуле:

и по упрощенной формуле

, где .

Расчёт числовых характеристик по этим формулам будет производиться с помощью таблицы:

Таблица

-1	0,2	-0,2	-13,3	176,89	35,378	0,2
6	0,1	0,6	-6,3	39,69	3,969	3,6
13	0,4	5,2	0,7	0,49	0,196	67,6
20	0,2	4,0	7,7	59,29	11,858	80,0
27	0,1	2,7	14,7	216,09	21,609	72,9
	1	12,3			73,010	114,3

Из таблицы имеем . , ,

, .

Среднее квадратичное отклонение:

.

Делаем чертёж. По оси абсцисс откладываем в выбранном масштабе значение случайной величины, по оси ординат - соответствующие вероятности. Масштаб по осям откладываем разный. Строим точки с координатами , , , .

Полученные точки соединяем прямыми линиями. Получаем многоугольник распределения вероятностей заданный случайной величины.

Вычисленное значение математического ожидания откладываем от начала координат по оси абсцисс . От значения математического ожидания вправо и влево откладываем отрезки размером в одно среднее квадратичное отклонение.

Чертёж представлен на рис.4

В задачах 131 - 140 предполагается, что фактический расход некоторых семян на 1 га является нормально распределенной величиной. Норма высева этих семян на 1 га - а кг, случайные значения характеризуются средним квадратическим отклонением у кг.

Найдите:

1) дифференциальную функцию распределения расхода семян на 1 га;

2) вероятность того, что расход семян на 1 га будет содержаться в интервале от а кг до в кг;

3) вероятность того, что абсолютная величина отклонения расхода семян на 1 га от своей нормы не превышает е;

4) определить весь диапазон изменения расхода высева данных семян.

№ вар.
131	170	12	165	172	15
132	150	9	143	155	11
133	165	11	160	170	12
134	145	6	141	150	8
135	175	14	170	180	17
136	180	10	175	186	12
137	170	11	162	178	14
138	155	<...

Подобные документы

• Решение дифференциальных уравнений в системе MathCAD

  Практическое решение дифференциальных уравнений в системе MathCAD методами Рунге—Кутты четвертого порядка для решения уравнения первого порядка, Булирша — Штера - системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и Odesolve и их графики.
  
  лабораторная работа [380,9 K], добавлен 23.07.2012
  

• Обыкновенные дифференциальные уравнения

  Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, однородных, линейных уравнений первого порядка и уравнений допускающего понижение порядка. Введение функций в решение уравнений. Интегрирование заданных линейных неоднородных уравнений.
  
  контрольная работа [92,7 K], добавлен 09.02.2012
  

• Виды нелинейных дифференциальных уравнений 1-го порядка

  Дифференциальные уравнения Риккати. Общее решение линейного уравнения. Нахождение всех возможных решений дифференциального уравнения Бернулли. Решение уравнений с разделяющимися переменными. Общее и особое решения дифференциального уравнения Клеро.
  
  курсовая работа [347,1 K], добавлен 26.01.2015
  

• Решение дифференциального уравнения первого порядка

  Решение дифференциального уравнения методом численного интегрирования Адамса. Методы, основанные на применении производных высших порядков. Формулы, обеспечивающие более высокую степень точности, требующие вычисления третьей производной искомого решения.
  
  курсовая работа [81,9 K], добавлен 29.08.2010
  

• Решение дифференциальных уравнений

  Задачи на нахождение неопределенного интеграла с применением метода интегрирования по частям. Вычисление площади, ограниченной заданными параболами. Решение дифференциального уравнения первого порядка. Исследование на сходимость ряда; признаки сходимости.
  
  контрольная работа [136,7 K], добавлен 16.03.2010
  

• Численное решение задачи Коши

  Решение задачи Коши для дифференциального уравнения. Погрешность приближенных решений. Функция, реализующая явный метод Эйлера. Вычисление погрешности по правилу Рунге. Решение дифференциальных уравнений второго порядка. Условие устойчивости для матрицы.
  
  контрольная работа [177,1 K], добавлен 13.06.2012
  

• Применение дифференциальных уравнений первого порядка в экономике

  Понятие и математическое описание элементов дифференциального уравнения как уравнения, связывающего искомую функцию одной или нескольких переменных. Состав неполного и линейного дифференциального уравнения первого порядка, их применение в экономике.
  
  реферат [286,2 K], добавлен 06.08.2013
  

• Виды дифференциальных уравнений первого порядка и методы их решения

  Уравнения с разделяющимися переменными, методы решения. Практический пример нахождения частного и общего решения. Понятие о неполных дифференциальных уравнениях. Линейные уравнения первого порядка. Метод вариации постоянной, разделения переменных.
  
  презентация [185,0 K], добавлен 17.09.2013
  

• Численные методы решения уравнений

  Решение нелинейных уравнений методом касательных (Ньютона), особенности и этапы данного процесса. Механизм интерполирования функции и численное интегрирование. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера.
  
  курсовая работа [508,1 K], добавлен 16.12.2015
  

• Дифференциальное уравнение первого порядка

  Особенности выражения производной неизвестной функции. Общий вид дифференциального уравнения первого порядка, его решение. Сущность теоремы Коши (о существовании и единственности решения), её геометрический смысл. Общее и частное решение уравнения.
  
  презентация [77,7 K], добавлен 17.09.2013
  

• Теория вероятностей

  Общее решение дифференциального уравнения первого порядка. Уравнение с разделенными переменными. Выбор частного интеграла. Частное решение дифференциального уравнения второго порядка. Вероятность проявления события, интегральная формула Муавра-Лапласа.
  
  контрольная работа [75,5 K], добавлен 19.08.2009
  

• Дифференциальные уравнения

  Задачи Коши для дифференциальных уравнений. График решения дифференциального уравнения I порядка. Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к однородному. Однородные и неоднородные линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.
  
  лекция [520,6 K], добавлен 18.08.2012
  

• Определители и системы линейных уравнений

  Теория определителей в трудах П. Лапласа, О. Коши и К. Якоби. Определители второго порядка и системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Определители третьего порядка и свойства определителей. Решение системы уравнений по правилу Крамера.
  
  презентация [642,7 K], добавлен 31.10.2016
  

• Интегрирование дифференциальных уравнений I порядка методом изоклин

  История возникновения дифференциальных исчислений. Изучение особенностей дифференциального уравнения I порядка. Описание соотношения, связывающего функцию и ее производные. Рассмотрение метода изоклин. Построение интегральных кривых методом изоклин.
  
  курсовая работа [458,4 K], добавлен 17.02.2016
  

• Системы линейных и дифференциальных уравнений

  Матричные уравнения, их решение и проверка. Собственные числа и собственные векторы матрицы А. Решение системы методом Жорданa-Гаусса. Нахождение пределов и производных функции, ее градиент. Исследование функции методами дифференциального исчисления.
  
  контрольная работа [287,0 K], добавлен 10.02.2011
  

• Решение линейной системы уравнений с тремя неизвестными

  Решение системы линейных уравнений двумя способами: по формулам Крамера и методом Гаусса. Решение задачи на нахождение производных, пользуясь правилами и формулами дифференцирования. Исследование заданных функций методами дифференциального исчисления.
  
  контрольная работа [161,0 K], добавлен 16.03.2010
  

• Решение дифференциальных уравнений по методу Эйлера

  Математическое объяснение метода Эйлера, исправленный и модифицированный методы. Блок-схемы алгоритмов, описание, текст и результаты работы программы. Решение обыкновенных дифференциальных (нелинейных) уравнений первого порядка с начальными данными.
  
  курсовая работа [78,1 K], добавлен 12.06.2010
  

• Решение дифференциальных уравнений

  Вычисление общего решения дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными. Расчет определенного интеграла с точностью до 0,001. Определение вероятности заданных событий, математического ожидания и дисперсии случайной величины.
  
  контрольная работа [543,4 K], добавлен 21.10.2012
  

• Совместность и решение системы линейных уравнений

  Решение системы линейных уравнений методом Гауса. Преобразования расширенной матрицы, приведение ее к треугольному виду. Средства матричного исчисления. Вычисление алгебраических дополнений матрицы. Решение матричного уравнения по правилу Крамера.
  
  задача [26,8 K], добавлен 29.05.2012
  

• Дифференциальные уравнения и их решение

  Общий интеграл уравнения, применение метода Лагранжа для решения неоднородного линейного уравнения с неизвестной функцией. Решение дифференциального уравнения в параметрической форме. Условие Эйлера, уравнение первого порядка в полных дифференциалах.
  
  контрольная работа [94,3 K], добавлен 02.11.2011
  

• главная
• рубрики
• по алфавиту
• вернуться в начало страницы
• вернуться к началу текста
• вернуться к подобным работам