Линейные неравенства

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Построить на плоскости область решений линейных неравенств и геометрически найти максимальное и минимальное значения целевой функции в этой области плоскость линейный неравенство геометрический

z=x₁+5x₂

Решение:

Необходимо найти минимальное значение целевой функции

F = x₁+5x₂ > min,

при системе ограничений:



Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

Границы области допустимых решений

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи. Обозначим границы области многоугольника решений.



Рассмотрим целевую функцию задачи

F = x₁+5x₂ > min.

Построим прямую, отвечающую значению функции

F = 0: F = x₁+5x₂ = 0.

Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление минимизации F(X). Начало вектора - точка (0; 0), конец - точка (1; 5). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует минимальное решение, поэтому двигаем прямую до первого касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.



Прямая F(x) = const пересекает область в точке A. Так как точка A получена в результате пересечения прямых (1) и (3), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:

3x₁-x₂=9 -x₁+4x₂=19

Решив систему уравнений, получим: x₁ = 5, x₂ = 6 Откуда найдем минимальное значение целевой функции:

F(X) = 1*5 + 5*6 = 35

Рассмотрим целевую функцию задачи

F = x₁+5x₂ > max.

Построим прямую, отвечающую значению функции

F = 0: F = x₁+5x₂ = 0.

Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора - точка (0; 0), конец - точка (1; 5). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.



Прямая F(x) = const пересекает область в точке B. Так как точка B получена в результате пересечения прямых (1) и (2), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:



3x₁-x₂=9 2x₁+3x₂=50

Решив систему уравнений, получим: x₁ = 7, x₂ = 12 Откуда найдем максимальное значение целевой функции:

F(X) = 1*7 + 5*12 = 67

2. Решить задачу с помощью симплекс-метода. Найти максимум целевой функции при данной системе ограничений

z=4x₁+3x₂+6x₃+7x₄

xj?0 (j=1,2,3,4)

Решение:

Решим прямую задачу линейного программирования симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.

Определим максимальное значение целевой функции

F(X) = 4x₁ + 3x₂ + 6x₃ + 7x₄

при следующих условиях-ограничений.

2x₁ + x₂ + x₃ + x₄?280

x₁ + x₃ + x₄?80

x₁ + 2x₂ + x₃?50

Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных.

В 1-м неравенстве смысла (?) вводим базисную переменную x₅. В 2-м неравенстве смысла (?) вводим базисную переменную x₆. В 3-м неравенстве смысла (?) вводим базисную переменную x₇.

2x₁ + 1x₂ + 1x₃ + 1x₄ + 1x₅ + 0x₆ + 0x₇ = 280

1x₁ + 0x₂ + 1x₃ + 1x₄ + 0x₅ + 1x₆ + 0x₇ = 80

1x₁ + 2x₂ + 1x₃ + 0x₄ + 0x₅ + 0x₆ + 1x₇ = 50

Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

2	1	1	1	1	0	0
1	0	1	1	0	1	0
1	2	1	0	0	0	1

Решим систему уравнений относительно базисных переменных: x₅, x₆, x₇

Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:

X1 = (0,0,0,0,280,80,50)

Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x5	280	2	1	1	1	1	0	0
x6	80	1	0	1	1	0	1	0
x7	50	1	2	1	0	0	0	1
F(X0)	0	-4	-3	-6	-7	0	0	0

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.

Итерация №0.

1. Проверка критерия оптимальности.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

2. Определение новой базисной переменной.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₄, так как это наибольший коэффициент по модулю.

3. Определение новой свободной переменной.

Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i4 и из них выберем наименьшее:

min (280:1,80:1,-)=80

Следовательно, 2-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (1) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	min
x5	280	2	1	1	1	1	0	0	280
x6	80	1	0	1	1	0	1	0	80
x7	50	1	2	1	0	0	0	1	-
F(X1)	0	-4	-3	-6	-7	0	0	0	0

4. Пересчет симплекс-таблицы.

Формируем следующую часть симплексной таблицы.

Вместо переменной x₆ в план 1 войдет переменная x₄.

Строка, соответствующая переменной x₄ в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x₆ плана 0 на разрешающий элемент РЭ=1. На месте разрешающего элемента в плане 1 получаем 1.

В остальных клетках столбца x₄ плана 1 записываем нули.

Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x₄ и столбец x₄.

Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.



НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ

СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий элемент (1), А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x 6	x 7
280-(80 * 1):1	2-(1 * 1):1	1-(0 * 1):1	1-(1 * 1):1	1-(1 * 1):1	1-(0 * 1):1	0-(1 * 1):1	0-(0 * 1):1
80 : 1	1 : 1	0 : 1	1 : 1	1 : 1	0 : 1	1 : 1	0 : 1
50-(80 * 0):1	1-(1 * 0):1	2-(0 * 0):1	1-(1 * 0):1	0-(1 * 0):1	0-(0 * 0):1	0-(1 * 0):1	1-(0 * 0):1
0-(80 * -7):1	-4-(1 * -7):1	-3-(0 * -7):1	-6-(1 * -7):1	-7-(1 * -7):1	0-(0 * -7):1	0-(1 * -7):1	0-(0 * -7):1

Получаем новую симплекс-таблицу:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x5	200	1	1	0	0	1	-1	0
x4	80	1	0	1	1	0	1	0
x7	50	1	2	1	0	0	0	1
F(X1)	560	3	-3	1	0	0	7	0

Итерация №1.

1. Проверка критерия оптимальности.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

2. Определение новой базисной переменной.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₂, так как это наибольший коэффициент по модулю.

3. Определение новой свободной переменной.

Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i2 и из них выберем наименьшее:

min (200 : 1 , - , 50 : 2 ) = 25

Следовательно, 3-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (2) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	min
x5	200	1	1	0	0	1	-1	0	200
x4	80	1	0	1	1	0	1	0	-
x7	50	1	2	1	0	0	0	1	25
F(X2)	560	3	-3	1	0	0	7	0	0

4. Пересчет симплекс-таблицы.

Формируем следующую часть симплексной таблицы.

Вместо переменной x₇ в план 2 войдет переменная x₂.

Строка, соответствующая переменной x₂ в плане 2, получена в результате деления всех элементов строки x₇ плана 1 на разрешающий элемент РЭ=2

На месте разрешающего элемента в плане 2 получаем 1.

В остальных клетках столбца x₂ плана 2 записываем нули.

Таким образом, в новом плане 2 заполнены строка x₂ и столбец x₂.

Все остальные элементы нового плана 2, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x 6	x 7
200-(50 * 1):2	1-(1 * 1):2	1-(2 * 1):2	0-(1 * 1):2	0-(0 * 1):2	1-(0 * 1):2	-1-(0 * 1):2	0-(1 * 1):2
80-(50 * 0):2	1-(1 * 0):2	0-(2 * 0):2	1-(1 * 0):2	1-(0 * 0):2	0-(0 * 0):2	1-(0 * 0):2	0-(1 * 0):2
50 : 2	1 : 2	2 : 2	1 : 2	0 : 2	0 : 2	0 : 2	1 : 2
560-(50 * -3):2	3-(1 * -3):2	-3-(2 * -3):2	1-(1 * -3):2	0-(0 * -3):2	0-(0 * -3):2	7-(0 * -3):2	0-(1 * -3):2

Получаем новую симплекс-таблицу:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x5	175	1/2	0	-1/2	0	1	-1	-1/2
x4	80	1	0	1	1	0	1	0
x2	25	1/2	1	1/2	0	0	0	1/2
F(X2)	635	9/2	0	5/2	0	0	7	3/2

1. Проверка критерия оптимальности.

Среди значений индексной строки нет отрицательных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи.

Окончательный вариант симплекс-таблицы:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x5	175	1/2	0	-1/2	0	1	-1	-1/2
x4	80	1	0	1	1	0	1	0
x2	25	1/2	1	1/2	0	0	0	1/2
F(X3)	635	9/2	0	5/2	0	0	7	3/2

Оптимальный план можно записать так:

x₄ = 80

x₂ = 25

F(X) = 7*80 + 3*25 = 635

3. Четыре предприятия одного экономического района для производства продукции используют три вида сырья. Потребности в сырье каждого из предприятий соответственно равны 120, 50, 190 и 110ед. Сырье сосредоточено в трех местах его получения, а запасы соответственно равны 160, 140, 170ед. На каждое из предприятий сырье может завозиться из любого пункта его получения. Тарифы перевозок задаются матрицей

Составить такой план перевозок, при котором общая стоимость перевозок является минимальной и найти оптимальный план.

Решение:

Стоимость доставки единицы груза из каждого пункта отправления в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов



	1	2	3	4	Запасы
1	7	8	1	2	160
2	4	5	9	8	140
3	9	2	3	6	170
Потребности	120	50	190	110

Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи.

?a = 160 + 140 + 170 = 470

?b = 120 + 50 + 190 + 110 = 470

Условие баланса соблюдается. Запасы равны потребностям. Следовательно, модель транспортной задачи является закрытой.

Занесем исходные данные в распределительную таблицу.

	1	2	3	4	Запасы
1	7	8	1	2	160
2	4	5	9	8	140
3	9	2	3	6	170
Потребности	120	50	190	110

Используя метод наименьшей стоимости, построим первый опорный план транспортной задачи.

Суть метода заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую, и в клетку, которая ей соответствует, помещают меньшее из чисел a_i, или b_j.

Затем, из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и строку и столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя.

Из оставшейся части таблицы стоимостей снова выбирают наименьшую стоимость, и процесс распределения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены.

Искомый элемент равен 1

Для этого элемента запасы равны 160, потребности 190. Поскольку минимальным является 160, то вычитаем его.

x₁₃ = min(160,190) = 160.

X	X	1	x	160 - 160 = 0
4	5	9	8	140
9	2	3	6	170
120	50	190 - 160 = 30	110	0

Искомый элемент равен 2

Для этого элемента запасы равны 170, потребности 50. Поскольку минимальным является 50, то вычитаем его.

x₃₂ = min(170,50) = 50.

x	x	1	x	0
4	x	9	8	140
9	2	3	6	170 - 50 = 120
120	50 - 50 = 0	30	110	0

Искомый элемент равен 3

Для этого элемента запасы равны 120, потребности 30. Поскольку минимальным является 30, то вычитаем его.

x₃₃ = min(120,30) = 30.

X	x	1	x	0
4	x	x	8	140
9	2	3	6	120 - 30 = 90
120	0	30 - 30 = 0	110	0



Искомый элемент равен 4

Для этого элемента запасы равны 140, потребности 120. Поскольку минимальным является 120, то вычитаем его.

x₂₁ = min(140,120) = 120.

x	x	1	x	0
4	x	x	8	140 - 120 = 20
x	2	3	6	90
120 - 120 = 0	0	0	110	0

Искомый элемент равен 6

Для этого элемента запасы равны 90, потребности 110. Поскольку минимальным является 90, то вычитаем его.

x₃₄ = min(90,110) = 90.

x	x	1	x	0
4	x	x	8	20
x	2	3	6	90 - 90 = 0
0	0	0	110 - 90 = 20	0

Искомый элемент равен 8

Для этого элемента запасы равны 20, потребности 20. Поскольку минимальным является 20, то вычитаем его.

x₂₄ = min(20,20) = 20.

x	x	1	x	0
4	x	x	8	20 - 20 = 0
x	2	3	6	0
0	0	0	20 - 20 = 0	0



	1	2	3	4	Запасы
1	7	8	1[160]	2	160
2	4[120]	5	9	8[20]	140
3	9	2[50]	3[30]	6[90]	170
Потребности	120	50	190	110

В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.

Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 6, а должно быть m + n - 1 = 6. Следовательно, опорный план является невырожденным.

Значение целевой функции для этого опорного плана равно:

F(x) = 1*160 + 4*120 + 8*20 + 2*50 + 3*30 + 6*90 = 1530

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u_i, v_j. по занятым клеткам таблицы, в которых

u_i + v_j = c_ij, полагая, что u₁ = 0.

u₁ + v₃ = 1; 0 + v₃ = 1; v₃ = 1

u₃ + v₃ = 3; 1 + u₃ = 3; u₃ = 2

u₃ + v₂ = 2; 2 + v₂ = 2; v₂ = 0

u₃ + v₄ = 6; 2 + v₄ = 6; v₄ = 4

u₂ + v₄ = 8; 4 + u₂ = 8; u₂ = 4

u₂ + v₁ = 4; 4 + v₁ = 4; v₁ = 0

	v1=0	v2=0	v3=1	v4=4
u1=0	7	8	1[160]	2
u2=4	4[120]	5	9	8[20]
u3=2	9	2[50]	3[30]	6[90]

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых u_i + v_j > c_ij

(1;4): 0 + 4 > 2; ?₁₄ = 0 + 4 - 2 = 2

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (1;4): 2

Для этого в перспективную клетку (1;4) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

	1	2	3	4	Запасы
1	7	8	1[160][-]	2[+]	160
2	4[120]	5	9	8[20]	140
3	9	2[50]	3[30][+]	6[90][-]	170
Потребности	120	50	190	110

Цикл приведен в таблице (1,4 > 1,3 > 3,3 > 3,4).

Из грузов х_ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (3, 4) = 90. Прибавляем 90 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 90 из Х_ij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

	1	2	3	4	Запасы
1	7	8	1[70]	2[90]	160
2	4[120]	5	9	8[20]	140
3	9	2[50]	3[120]	6	170
Потребности	120	50	190	110

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u_i, v_j. по занятым клеткам таблицы, в которых

u_i + v_j = c_ij,

полагая, что u₁ = 0.

u₁ + v₃ = 1; 0 + v₃ = 1; v₃ = 1

u₃ + v₃ = 3; 1 + u₃ = 3; u₃ = 2

u₃ + v₂ = 2; 2 + v₂ = 2; v₂ = 0

u₁ + v₄ = 2; 0 + v₄ = 2; v₄ = 2

u₂ + v₄ = 8; 2 + u₂ = 8; u₂ = 6

u₂ + v₁ = 4; 6 + v₁ = 4; v₁ = -2

	v1=-2	v2=0	v3=1	v4=2
u1=0	7	8	1[70]	2[90]
u2=6	4[120]	5	9	8[20]
u3=2	9	2[50]	3[120]	6

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых

u_i + v_j > c_ij

(2;2): 6 + 0 > 5; ?₂₂ = 6 + 0 - 5 = 1

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (2;2): 5

Для этого в перспективную клетку (2;2) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

	1	2	3	4	Запасы
1	7	8	1[70][-]	2[90][+]	160
2	4[120]	5[+]	9	8[20][-]	140
3	9	2[50][-]	3[120][+]	6	170
Потребности	120	50	190	110

Цикл приведен в таблице (2,2 > 2,4 > 1,4 > 1,3 > 3,3 > 3,2).

Из грузов х_ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (2, 4) = 20. Прибавляем 20 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 20 из Х_ij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.



	1	2	3	4	Запасы
1	7	8	1[50]	2[110]	160
2	4[120]	5[20]	9	8	140
3	9	2[30]	3[140]	6	170
Потребности	120	50	190	110

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u_i, v_j. по занятым клеткам таблицы, в которых

u_i + v_j = c_ij, полагая, что u₁ = 0.

u₁ + v₃ = 1; 0 + v₃ = 1; v₃ = 1

u₃ + v₃ = 3; 1 + u₃ = 3; u₃ = 2

u₃ + v₂ = 2; 2 + v₂ = 2; v₂ = 0

u₂ + v₂ = 5; 0 + u₂ = 5; u₂ = 5

u₂ + v₁ = 4; 5 + v₁ = 4; v₁ = -1

u₁ + v₄ = 2; 0 + v₄ = 2; v₄ = 2

	v1=-1	v2=0	v3=1	v4=2
u1=0	7	8	1[50]	2[110]
u2=5	4[120]	5[20]	9	8
u3=2	9	2[30]	3[140]	6

Опорный план является оптимальным, так все оценки свободных клеток удовлетворяют условию

u_i + v_j ? c_ij.

Минимальные затраты составят: F(x) = 1*50 + 2*110 + 4*120 + 5*20 + 2*30 + 3*140 = 1330

Анализ оптимального плана.

Из 1-го склада необходимо груз направить в 3-й магазин (50), в 4-й магазин (110)

Из 2-го склада необходимо груз направить в 1-й магазин (120), в 2-й магазин (20)

Из 3-го склада необходимо груз направить в 2-й магазин (30), в 3-й магазин (140)

Размещено на Allbest.ru

...