Функції декількох змінних

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Функції декількох змінних

похідна функція диференціювання

1.1 Основні поняття

Функції однієї незалежної змінної не охоплюють усі залежності, що існують у природі. Тому доцільно розширити відоме поняття функціональної залежності і ввести поняття функції декількох змінних.

Наприклад, площа прямокутника з основою і висотою визначається за формулою

.

Кожній парі значень і відповідає певне значення площі ; S є функція двох змінних.

Попит на товар є функція від ціни товару і середньої заробітної плати .

Об'єм прямокутного паралелепіпеда, ребра якого мають довжини , визначається за формулою

Тут V є функція трьох змінних .

Функція корисності (одне з базисних понять економічної теорії), що характеризує корисність від придбання товарів, може мати такий вигляд:

.

Це функція n змінних.

Ми будемо переважно розглядати функції двох змінних, оскільки усі найважливіші факти теорії функцій декількох змінних спостерігаються вже на функціях двох змінних. Крім того, для функцій двох змінних можна дати наглядну геометричну інтерпретацію.

Якщо кожній парі значень двох незалежних одна від однієї змінних величин і , що належать деякій множині , відповідає за деяким законом одне певне значення з множини Е, то ми говоримо, що є функцією двох незалежних змінних і .

Змінні і називають аргументами функції . Символічно функцію двох змінних записують так:

і т.п.

Множину пар значень , для яких функція існує, називають областю визначення функції, а множину Е -областю її значень.

Приклад 1.1

1) Функція визначена для всіх пар без виключення. 2) Функція має областю визначення круг . 3) Функція визначає функцію для тих значень і , які задовольняють нерівності , .

Розгляд цих областей значно полегшує їх геометрична інтерпретація. Область визначення функції може бути подана деякою множиною точок площини . Так, функцію 1) визначено у всій площині; функцію 2) - у замкненому крузі (що включає коло); функцію 3) визначено у прямокутнику.

Подібно тому як функцію ми зображали у вигляді графіка, ми можемо геометрично витлумачити і рівняння . Візьмемо у просторі прямокутну систему координат ; зобразимо у площині область зміни і ; у кожній точці цієї області проведемо перпендикуляр до площини і відкладемо на ньому значення . Отримане таким чином геометричне місце точок і дасть просторовий графік нашої функції. Це буде деяка поверхня. Рівняння називають рівнянням поверхні.

Так, рівняння є рівняння параболоїда обертання, а рівняння - рівняння півсфери.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Побудова таких поверхонь, як правило, викликає великі труднощі. Тому на практиці обмежуються дослідженням ліній рівня функції .

Лінія рівня - це множина точок площини , у яких функція набуває одного й того ж значення. Лінії рівня визначаються рівнянням , де - довільна стала.

Аналогічно для функції трьох змінних розглядають поверхні рівня, що визначаються рівнянням .

Приклад 1.2

Знайти лінії рівня функції .

Лінії рівня даної функції визначаються рівнянням і являють собою кола радіуса з центром у точці О(0,0).

1.2 Границя функції двох змінних

Число А називають границею функції у точці якщо для будь-якого можна знайти таке, що для всіх точок координати яких задовольняють нерівність виконується нерівність

Позначають границю функції так:

або

Можна використати інше означення границі, еквівалентне попередньому:

Число А називають границею функції у точці якщо для будь-якої послідовності точок з області визначення функції …, …, відмінних від відповідна послідовність значень функції …, …, збігається до числа А.

Приклад 1.3

1) Знайти границю .

Нехай . Тоді умова, що рівносильна тому, що . Тоді після заміни шукана границя матиме вигляд:

(тут ми використали правило Лопіталя).

2) Знайти границю .

Будемо наближатись до точки (0,0) по прямій , де - деяке число. Тоді

.

Ми бачимо, що для різних значень границя функції має різні значення. Це означає, що функція у точці О(0,0) границі не має.

1.3 Неперервність функції двох змінних

Функція (або ) називається неперервною в точці якщо вона:

1) визначена в цій точці і деякому її околі;

2) має границю ;

3) ця границя дорівнює значенню функції в точці :

або .

Функція, неперервна в кожній точці деякої області, називається неперервною в цій області. Точки, в яких порушується умова неперервності функції, називаються її точками розриву.

1.4 Частинні похідні першого порядку

Нехай в деякій області маємо функцію . Візьмемо точку у цій області. Якщо покласти , а змінювати тільки , то буде функцією однієї змінної (в околі ). Розглянемо питання про обчислення похідної від цієї функції в точці . Надамо значенню приріст ; тоді функція отримає приріст

.

Цей приріст називають частинним приростом функції по змінній , оскільки він спричинений зміною значення лише однієї змінної. Оскільки є функція однієї змінної, її похідна у точці обчислюється за формулою

Тому цю похідну називають частинною похідною від функції по у точці і позначають так:

(Вираз читається як “де зет по де ікс”, читається як “зет штрих по ікс”).

Аналогічно, вважаючи, що , а є змінна величина розглянемо границю

.

Цю границю називають частинною похідною від функції по у точці і позначають

.

Підсумовуючи вищесказане, маємо:

Частинною похідною функції багатьох змінних по одній з них називається границя відношення відповідного частинного приросту функції до приросту цієї змінної, якщо приріст змінної прямує до нуля.

Отже, для функції згідно з означенням частинні похідні по і по визначаються за формулами

;

Для обчислення частинних похідних функції двох змінних можна користуватися вже відомими правилами й формулами диференціювання функції однієї змінної, вважаючи при цьому іншу змінну сталою.

У геометричному розумінні похідна являє собою тангенс кута нахилу дотичної до кривої у точці , тобто дорівнює тангенсу кута між дотичною і лінією, паралельною вісі Ох, що проходить через точку .

У механічному розумінні частинна похідна показує, у скільки разів швидше змінюється функція у порівнянні зі зміною аргумента, коли другий аргумент зафіксовано.

У економічному розумінні частинна похідна є кількість продукції, що припадає на одиницю величини одного фактора за умови, що другий фактор залишається незмінним.

Частинні похідні функцій більшого числа змінних визначаються і обчислюються також у припущенні, що змінюється лише одна з незалежних змінних, а інші при цьому сталі.

Приклад 1.4

1) ; частинні похідні від цієї функції будуть такі:

; .

Першу похідну ми обчислили як похідну від степеневої функції (для ), а другу - як похідну від показникової функції (для ).

2) Якщо , то

; .

1.5 Частинні похідні вищих порядків

Нехай функція має частинні похідні першого порядку , . Кожна частинна похідна може бути функцією від і , тому може мати свої частинні похідні. Тоді, диференціюючи частинні похідні першого порядку, знаходимо частинні похідні другого порядку:

; ;

;

Аналогічно можна визначити похідні 3-го, 4-го і т.д. порядків (треті, четверті, …., похідні). Відмітимо, що частинну похідну вищого порядку, яку беремо по різних змінних, наприклад,

, , , , ….

називають мішаною частинною похідною.

Приклади 1.5

1) Нехай , тоді

, , ,

, ,

,

2) Нехай , тоді

, ,

,

,

.

Розглядаючи наведені вище приклади, ми бачимо, що мішані похідні по одних і тих же змінних, але взяті у різній послідовності, співпадають між собою. Таке співпадання не випадкове: воно має місце для широкого класу випадків, якщо виконуються певні умови.

Наведемо без доведення теорему про мішані похідні:

Теорема. Припустимо, що: 1) функцію визначено в області D, 2) в цій області існують перші частинні похідні і , а також мішані похідні і другого порядку і 3) ці похідні , , як функції , неперервні у деякій точці області D. Тоді в цій точці:

.

Аналогічна теорема має місце і для функції довільного числа змінних.

1.6 Повний диференціал функції

Якщо значенням , і надати прирости і , то функція , отримає приріст

,

який називають повним приростом функції.

Теорема. Якщо частинні похідні , існують не лише в точці , а і в деякому її околі, а також вони неперервні в цій точці, то

де і - нескінченно малі при , . Така функція називається диференційованою у точці , а головна лінійна частина приросту, що дорівнює , називається повним диференціалом цієї функції. Оскільки диференціали незалежних змінних співпадають з їх приростами, тобто , , формулу повного диференціала можна записати таким чином:

або .

Приклад 1.6

Знайти диференціал функції .

Спочатку обчислимо частинні похідні даної функції:

; . Підставивши їх у формулу повного диференціала, одержимо:

Диференціал від диференціала першого порядку називають диференціалом другого порядку від і позначають . Диференціал другого порядку визначається за формулою

Або коротко

Остання формула узагальнюється на випадок диференціала будь-якого порядку

Питання для самоперевірки

1. Дайте означення функції двох змінних, функції n змінних.

2. Вкажіть геометричний зміст функції двох змінних.

3. Що називається областю визначення функції двох змінних?

4. Сформулюйте означення границі функції двох змінних.

5. Яка функція двох змінних називається неперервною?

6. Що називають лінією рівня функції двох змінних?

7. Дайте означення частинних похідних функції двох змінних.

8. Що називається повним диференціалом функції двох змінних?

9. Як визначаються частинні похідні вищих порядків?

10. Як знайти диференціал другого порядку?

Размещено на Allbest.ru