Основные понятия в теории вероятности

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Основные понятия теории вероятности

Событие - всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.

Вероятность события - численная мера степени объективной возможности того, что событие может произойти. В теории вероятностей в качестве единицы измерения степени возможности появления события принята вероятность достоверного события, т.е. такого события, которое в результате опыта непременно произойдет. Вероятность такого события равна единице, а вероятность противоположного события, которое называется невозможным, равна нулю. Отсюда следует, что вероятность любого другого события изменяется в пределах от нуля до единицы.

Полная группа событий - несколько событий в данном опыте образуют полную группу событий, если в результате опыта непременно должно появиться, хотя бы одно из них.

Несовместные события - несколько событий называются несовместными в данном опыте, если никакие два из них не могут появиться вместе.

Противоположными событиями называются два несовместных события, образующих полную группу.

Равновозможные события - несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если по условиям симметрии есть основание считать, что ни одно из этих событий не является объективно более возможным, чем другое.

Случаи - события, образующие группу, обладающую всеми тремя свойствами, называются случаями.

Благоприятный случай - случай, называется благоприятным некоторому событию, если появление этого случая влечет за собой появление данного события.

Непосредственный подсчет вероятностей

Если опыт сводится к схеме случаев, то вероятность события А вычисляется как отношение числа благоприятных случаев к общему количеству случаев:

,

где Р(А) - вероятность события А; n - общее число случаев; m - число случаев, благоприятных событию А. Как видно из этой формулы вероятность события заключена между нулем и единицей.

Статистическая вероятность

Если произведена серия из n опытов, в каждом из которых могло появиться некоторое событие А, то статистической вероятностью называется отношение числа опытов, в которых появилось событие А, к общему числу произведенных опытов:

,

где m - число появлений события А; n - общее число произведенных опытов.

Характерной особенностью статистической вероятности, в отличие от классической, является то, что она является случайной величиной, значение которой зависит от числа произведенных опытов. Однако при увеличении числа опытов частота события все более теряет свой случайный характер и приближается к некоторой постоянной величине.

Геометрическая вероятность

Если в результате опыта число исходов имеет мощность континиумма, т.е. их число бесконечное множество, тогда вероятность события определяется как отношение меры множества благоприятствующих исходов к мере множества всех исходов:

,

где s - ,например, площадь множества благоприятствующих исходов, S - общая площадь всех исходов опыта. Заметим, что геометрическая вероятность - тоже постоянная величина и может быть вычислена до проведения опыта.

2. Центральная предельная теорема

Центральные предельные теоремы (Ц. П. Т.) -- класс теорем в теории вероятностей, утверждающих, что сумма достаточно большого количества слабо зависимых случайных величин, имеющих примерно одинаковые масштабы (ни одно из слагаемых не доминирует, не вносит в сумму определяющего вклада), имеет распределение, близкое к нормальному.

Так как многие случайные величины в приложениях формируются под влиянием нескольких слабо зависимых случайных факторов, их распределение считают нормальным. При этом должно соблюдаться условие, что ни один из факторов не является доминирующим. Центральные предельные теоремы в этих случаях обосновывают применение нормального распределения.

Классическая Ц.П.Т

Пусть есть бесконечная последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, имеющих конечное математическое ожидание и дисперсию. Обозначим последние и , соответственно. Пусть также

.

Тогда

по распределению при ,

где -- нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и стандартным отклонением, равным единице. Обозначив символом выборочное среднее первых величин, то есть , мы можем переписать результат центральной предельной теоремы в следующем виде: по распределению при .

Скорость сходимости можно оценить с помощью неравенства Берри -- Эссеена.

Примечание:

· Неформально говоря, классическая центральная предельная теорема утверждает, что сумма независимых одинаково распределённых случайных величин имеет распределение, близкое к . Эквивалентно, имеет распределение близкое к .

· Так как функция распределения стандартного нормального распределения непрерывна, сходимость к этому распределению эквивалентна поточечной сходимости функций распределения к функции распределения стандартного нормального распределения. Положив , получаем , где -- функция распределения стандартного нормального распределения.

· Центральная предельная теорема в классической формулировке доказывается методом характеристических функций (теорема Леви о непрерывности).

· Вообще говоря, из сходимости функций распределения не вытекает сходимость плотностей. Тем не менее в данном классическом случае это имеет место.

Локальная Ц.П.Т

В предположениях классической формулировки, допустим в дополнение, что распределение случайных величин абсолютно непрерывно, то есть оно имеет плотность. Тогда распределение также абсолютно непрерывно, и более того,

при ,

где -- плотность случайной величины , а в правой части стоит плотность стандартного нормального распределения.

Обобщение вероятность статистический геометрический линдеберг

Результат классической центральной предельной теоремы справедлив для ситуаций гораздо более общих, чем полная независимость и одинаковая распределённость.

Ц.П.Т Линдеберга

Пусть независимые случайные величины определены на одном и том же вероятностном пространстве и имеют конечные математические ожидания и дисперсии: .

Пусть .

Тогда .

И пусть выполняется условие Линдеберга:

где функция - индикатор.

Тогда по распределению при .

Ц.П.Т Ляпунова

Пусть выполнены базовые предположения Ц. П. Т. Линдеберга. Пусть случайные величины имеют конечный третий момент. Тогда определена последовательность

.

Если предел

(условие Ляпунова),

то

по распределению при .

Ц.П.Т для мартингалов

Пусть процесс является мартингалом с ограниченными приращениями. В частности, допустим, что

и приращения равномерно ограничены, то есть

п.н.

Введём случайные процессы и следующим образом:

и

.

Тогда по распределению при .

Задача

Вероятность выхода из строя за время Т одного конденсатора равна 0.2. Определить вероятность того, что за время Т из 100 конденсаторов выйдут из строя не менее 20 конденсаторов;

Решение

По условию p=0.2; n=100; m=20; g=1-0,2=0,8. Поскольку n=100 - достаточно большое число, применим локальную теорему Муавра-Лапласа:

P(a ? x ? b) =

P(20 ? x) =

Ответ: Вероятность того, что за время Т из 100 конденсаторов выйдут из строя не менее 20 конденсаторов равна 0,5.

Размещено на Allbest.ru