Уравнения с параметрами

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

МИНИСТЕРСТВО образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Казанский (Приволжский) федеральный университет»

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ им. Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО

КУРСОВАЯ РАБОТА

ТЕМА

«Уравнения с параметрами»

Казань - 2013



Введение

Уравнения с параметрами являются одними из самых трудных, требующих глубоких знаний и навыков заданий из школьного курса. Успешное решение заданий с параметрами требует высокого умения обобщения и систематизации знаний, их применения в нестандартной ситуации, а также проявления креативности и творческой активности. Разнообразие задач равносильно разнообразию математических моделей.

По данной теме можно найти очень много информации, однако, в обычных школьных учебниках категорически недостаточно информации, в них отсутствуют классификации методов и приемов решения данного вида заданий.Несмотря на это, в Едином Государственном Экзамене по математике включены задания с параметрами, они встречаются как и в части В, где требуется краткий ответ, так и в части С, где необходимо показать решение в развернутом виде. Это вызывает сложности у большинства выпускников.

Очевидно, что эти задания попали в перечень единых измерительных материалов не случайно, потому что с помощью параметрических уравнений проверяются такие знания и навыки, как формулы элементарной математики и техника владения ими, различные методы решения уравнений и неравенств, аккуратность при вычислении и, главным образом, умение выстраивать правильную логическую цепочку рассуждений. Именно по этим критериям можно выявить уровень логического мышления учащегося.

Исходя из того факта, что пониманию большинства учащихся подобные задания не даются вообще или даются трудно, в школьной программе времени на разбор данного вида заданий уделяется очень мало. Возможно, именно отсутствие систематизации видов заданий, классификации методов их решения по данной теме и является коренной причиной того, что преподаватели вынуждены рассматривать задание С5 лишь поверхностно.

Цель курсовой работы.

Осложнения при решении уравнений с параметрами обусловлены в основном именно тем, что наличие параметра исключает возможность решать задачу по шаблону, и заставляет учащихся рассматривать различные случаи, при каждом из которых способы решения существенно различаются друг от друга. Поэтому основная цель курсовой работы - систематизировать и обобщить виды уравнений с параметрами и методы их решения с целью дальнейшего использования полученного материала в школе.В данной курсовой работе представлена классификация основных видов уравнений с параметрами, а также разобраны различные способы и методы решения, что поможет учащимся научится быстро выстраивать верную логическую цепочку при самостоятельном решении уравнений с параметрами.



Параметры. Задачи с параметрами

Общее представление о задачах с параметрами.

Параметр - это независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.

Решить задачу с параметром - это значит, для каждого значения параметра найти значения x, удовлетворяющие условию этой задачи.

Уравнение вида называется уравнением, содержащим параметры, где a, b, c, ..., k- параметры, x - неизвестное. [1]

Наличие неизвестных переменных, сложных функций и параметров в формулировке задания может «напугать» учащихся, привести их в замешательство, они начинают опасаться, что от них требуется найти все решения х при всех значениях а. В большинстве задач найти все множество решений невозможно, нас об этом не просят и пытаться это сделать вовсе не нужно. Поэтому при решении заданий с параметраминеобходимо четко определить, что, собственно, нужно найти. С целью облегчения понимания структуры заданий с параметрами и предотвращения «паники» учащихся, выделим 4 типа формулировки заданий с параметрами.

Тип I. Задачи, которые необходимо решить для всех значений параметра или для значений параметра из заданного промежутка.

Тип II.Задачи, где требуется найти количество решений в зависимости от значения параметра.

Тип III. Задачи, где необходимо найти значения параметра, при которых задача имеет заданное количество решений.

Тип IV. Задачи, в которых необходимо найти значения параметра, при которых множество решений удовлетворяет заданным условиям.

Теперь выделим различные виды уравнений с параметрами и рассмотрим их подробное решений.

Основные основные виды уравнений с параметрами:

Линейные уравнения

Квадратные уравнения

Показательные уравнения

Тригонометрические уравнения

Логарифмические уравнения

Системы уравнений

Данные виды уравнений при включении параметров, переменных и неупрощенных выражений порождают бесконечное множество задач с параметрами. Нередко встречаются задания, которые требуют умения комбинировать несколько методов решений.

Итак,приступим к более подробному разбору каждого вида уравнений. Рассмотрим примеры с развернутыми решениями.

Линейные уравнения

Линейное уравнение с параметром имеет вид f(a)x = g(a). Чтобы решить уравнение при всех a, нужно рассмотреть два случая, когда f(a) = 0, и когда f(a) 0. Рассмотрим конкретный пример.

Пример №1. Тип I.Решите уравнение (a + 2)x = a?2 при всех возможных a.

Решение.

1) Пусть (a + 2) 0, т.е. a?2, тогда x =

2) Пусть (a + 2) = 0, т.е. a = ?2, тогда исходное уравнение перепишется: 0·x = ?4? 0 = ?4? x ??.

Ответ: При a = ?2 x ??; при a ?2x =

Пример №2.Тип III.Найдите а, при которых корнем уравнения

ax + 3a + 2(x?1) = 3x + a2 является любое число.

Решение. Преобразуем исходное уравнение:

ax + 3a + 2x?2 = 3x + a2?

(a?1)x = a2 ?3a + 2 ?

(a?1)x = (a?1)(a?2).

Если (a?1) 0, т.е. a 1, тогда x = = a?2.

Решением уравнения является единственное число a?2.

2) Если (a?1) = 0, т.е. a = 1, тогда исходное уравнение перепишется: 0·x = 0 ? x ? R. Решением уравнения является любое число.

Ответ: a = 1.

Пример №3.Тип I. Решите уравнение (а-1)(2а+4)х=3а+6 при всех возможных а

При а=1 получаем 0 = 9, нет решений

При а= -2 получаем 0 = 0 то есть х= (-? ; +?)

При а 1 и а - 2 получаем х =

Ответ: при а = 1 x ??; при а = - 2 х ?(-?;+?);

при а 1 и а - 2 х = .

Рассмотрим линейные уравнение с модулем и решим его графическим методом.

Пример №4.Тип III.Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение , имеет ровно 1 корень.

Решение

,

Построим графики функций , , .

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

При прямая пересекает график только в одной точке.

Значит, данное уравнение имеет ровно один корень при .

Ответ: 7.

Квадратные уравнения

Рассмотрим общий вид квадратных уравнений с параметром:

A(a)x2 + B(a)x + C(a) = 0

Заметим, что при решении таких уравнених случай, когда старший коэффициент A(a) = 0, необходимо рассмотреть отдельно,потому что уравнение из квадратного превращается в линейное. Во всех остальных случаях, а именно когда A(a) 0, нужно найти дискриминант уравнения или же воспользоваться теоремой Виета.

Пример №5.Тип IV. Найдите значение a, при котором уравнение

y = 4ax2 ?8x + 17 имеет две общие точки с осью Ox.

Решение. Данный квадратный трехчлен будет иметь два различных действительных корня, если выполнятся следующие два условия, записанные в виде системы:.

Решение системы - искомый промежуток a ? (??;0)?(0;).

Ответ: a ? (??;0)? (0 ;).

Пример №6.Тип IV.При каком значении параметра а сумма действительных корней уравнения x2 + 2(a2 ?5a)x?13 = 0 примет наибольшее значение?

Решение. Вычислим дискриминант уравнения. D = 4(a2 ?5a)2 + 169.

D> 0 при любом a. Это означает, что квадратное уравнение при любом значении параметра a имеет действительные корни. Так так в данном уравнении старший коэффициент А = 1, воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней уравнения x1 + x2 = ?2(a2 ? 5a) = ?2a2 + 10a. Функция y = ?2a2 + 10a на графике задает ветвями направленную вниз параболу. Как нам известно, наибольшее значение функции достигается в вершине параболы.

a0 = = 2.Итак, сумма корней уравнения принимает наибольшее значение при a = 2.

Ответ: a = 2.

Пример №7.Тип III.Найти все значения параметра а, при которых квадратное уравнение a(a + 1)x2 + (2a + 6)x?3a?4 = 0 имеет более одного корня.

Решение. В первую очередь рассмотрим случаи, когда исходное уравнение не является квадратным, т.е. старший коэффициент перед x2 равен нулю:

a(a + 1) = 0, тогда a = 0 или a = ?1.

При a=0 исходное уравнение перепишется: 6x = 4? x = . Это единственный корень. Данное значение а = 0 нам не подходит.

При a = ?1 исходное уравнение перепишется: 0·x2 + 4·x + 3 - 4 = 0

X=, это единственное решение и поэтому a = ?1 не нам подходит.

3) При a 0 и a ?1 коэффициент перед x2отличен от нуля, следовательно, исходное уравнение является квадратным и будет иметьдва корня при D > 0 ?

= 4a2 + 10a + 9> 0.

Дискриминант уравнения 4a2 + 10a + 9 = 0 отрицателен, следовательно,

4a2 + 10a + 9 > 0 при любых а.

Ответ: a ?

Пример №8.Тип III.Найти значения параметра a, для которых все корни уравнения ax2 ?2(a + 1)x + a?3 = 0 отрицательны.[2]

Решение. 1) При a = 0 уравнение имеет один корень x = -1,5, который удовлетворяет условию задачи.

Рассмотрим случай a 0. Если уравнение имеет два отрицательных корня, то их произведение будет положительным, а сумма - отрицательной. Таким образом, чтобы оба корня уравнения были отрицательны, необходимо и достаточно одновременное выполнение трех условий . Подставляя значения D/4 = (a + 1)2 ?a(a?3) = 5a + 1, x1·x2= , x1+ x2 = , решаем эту систему и находим, что a ? [;0). Ответ задачи объединяет два случая.

Ответ: a ?[; 0].

Показательные уравнения

После ряда преобразований решение показательных уравнений с параметром чаще всего сводится заменой переменных к квадратному или линейному уравнению. При решении показательных уравнений всегда нужно учитывать, что при замене ax = t, новая переменная t всегда положительна. Рассмотрим подробные примеры.

Пример №9.Тип III.Найдите значения параметра, при которых уравнение

a(2x + 2?x) = 9 имеет единственное решение.

Решение. Нетрудно заметить, что2x + 2?x> 0. Следовательно, a > 0. Введем новую переменную 2x = t, t> 0. Произведем замену и перепишем уравнение в виде:at + = 9, где 2x = t,t> 0, т.е.

at2 ?9t + a = 0 ? t1,2 =.

Уравнение имеет единственное решение, еслиD = 0, то есть

81 - 4a2 = 0, a =, с учетом того, что a > 0, получаем единственное решение задачи: a = .

Ответ: a =.

Пример №10.Тип IV.При каких значениях параметра a сумма loga(2x?1) и loga(2x?7) равна единице ровно при одном x?

Решение. Найдем ОДЗ: x > 3,5.

Допустимыми значениями параметра являются все a > 0, a 1.

Составим уравнение loga(2x ?1) + loga(2x ?7) = 1.

Обозначая t = 2x> 0, запишем систему, равносильную данному уравнению: или

t2 ?8t + 7?a = 0. Парабола f(t) = t2?8t+7?a имеет вершину в точке tв = 4, ветви направлены вверх, корни расположены симметрично относительно вершины, поэтому условию t > 7 может удовлетворять только больший корень, которому и будет соответствовать единственное решение уравнения. Необходимым и достаточным условием того,

чтобы больший корень был больше 7, является неравенство f(7) < 0

или 49?56 + 7?a < 0, откуда a > 0.

Ответ: a ? (0;1)?(1;+?).

Пример №11.Тип IV.С5. Найдите все значения параметра р, при каждом из которых уравнение

(0,5 - 1,75р) * 0,04-|х|+ (0,15p- 0,5) * 250,5|x|+0,5 + p + 3 = 0

имеет ровно р2+ 2р+ 4 различных корней.[ 3]

Решение.1) Так как 0,04-|х|= =52|х|,

250,5|х|+0,5 = 52(0,5|х|+0,5) = 5|х|+1=5|х|

то исходное уравнение можно привести к виду

(0,5 - 1,75р) * 52|х|+ (0,75р -2,5) * 5|х|+р +3 = 0.

Пусть 5|х|= t, тогда t1. Получаем квадратное уравнение относительно t с параметром р: (0,5 - 1,75р)t2+ (0,75р - 2,5)t + р+ 3 = 0. (*)

Число различных корней этого уравнения не больше 2, значит, число п различных корней исходного уравнения не больше 4, т.е. n<4.

2) Если п= 0, то по условию р2+ 2р+ 4 = 0, что невозможно, так как D= -12 <0.

Если п =1, то р2+ 2р+ 4 = 1, р2+ 2р+ 3 = 0, что невозможно, так как D= -8 <0.

Если п= 2, то р2+ 2р+ 4 = 2, р2+ 2р+ 2 = 0, что невозможно, так как D= -4 <0.

Если п= 3, то р2+ 2р+ 1 = 0, (р +I)2= 0, р =-1. Тогда уравнение (*) примет вид 9t2 -- 13t+ 8 = 0. Это уравнение не имеет корней, так как D<0. Следовательно, исходное уравнение не имеет корней, что противоречит равенству п= 3.

При п= 4, получаем р2+ 2р= 0, откуда p1= -2, р2= 0.

Пусть р = --2. Тогда уравнение (*) примет вид 4t2- 4t + 1 = 0, (2t-- 1)2= 0,t = 0,5, что не

удовлетворяет условию t1. Следовательно, исходное уравнение не имеет корней, что противоречит равенству п= 4.

При р= 0 уравнение (*) примет вид t2- 5t + 6 = 0. Оба корня t, = 2 и t2= 3 удовлетворяют условиюt1.

Итак, 5|х|= 2 или 5|х|= 3. Следовательно, исходное уравнение имеет ровно 4 различных корня. Значит, условию задачи удовлетворяет р= 0.

Ответ: 0.

Логарифмические уравнения

В первую очередь при решении логарифмических уравнений с параметром следует записать ОДЗ. После нескольких преобразований, как правило,уравнение сведется к более простому. Для успешного преобразования необходимо научиться умело и грамотно использовать свойства логарифмов и методы замены переменной.

Пример №12.Тип IV.Найдите все значения x> 3, при каждом из которых наибольшее из двух чисел

уравнение параметр квадратный

a = + 5- 1 и b = 23 - 2

не меньше 7.

Решение. Так как x> 3, то > 1.

Далее в решении учитываем условие > 1.

a + 5- 1 = + 5 - 8

+ - 8

b 23 - 2 2

Наибольшее из чисел a и b не меньше 7 тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них не меньше 7, то есть когда

Учитывая условия x> 3, получаем

3 <x или [3]

Ответ: 3 <x]

Пример №13.ТипI.Для всех значений a решите уравнение loga x2 + 2loga (x + 2) = 1. [4]

Решение. Чтобы данное уравнение имело смысл, запишем ОДЗ, то есть, должно выполняться a > 0, a 1, x > ?2, x 0,

x ? (?2;0)?(0;+?).

Преобразовываем уравнение до вида x2(x + 2)2 = a, т.е. |x|(x + 2) = .

а) Если ?2 <x< 0, при раскрытии модуля уравнение принимает вид

?x(x + 2) = .

Далееx2 + 2x += 0, отсюда получаем корни:x1,2 = ?1± .

Выражение под радикалом 1?> 0, значит при 0 <a< 1 оба корня лежат в промежутке (?2;0).

б) Если x > 0, то уравнение принимает вид x(x + 2) = , т.е. x2 + 2x?= 0. Отсюда x3,4 = ?1±.

Корень x4 = ?1 - не принадлежит интервалу (0;+?).

Корень x3 = ?1 + ? (0;+?) при условии, что a > 0.

Ответ: при a0 решений нет; при 0 < a < 1 x1,2 = ?1± ; x3 = ?1 + ; при a > 1 x = ?1 +

Тригонометрические уравнения

Помимо знания и применения основных тригонометрических формул, для успешного решения тригонометрических уравнений следует учитывать область значений тригонометрических функций. Это значительно облегчает нам решение задачи. Например, уравнения sinx = a и cosx = a имеют решения только при a ? [?1;1], а уравнения tgx = a и ctgx = a имеют решения при всех a.

Пример №14. ТипIV.При каких значениях параметра a сумма loga(cos2 x+1) и loga(cos2 x+5) будет равна единице хотя бы при одном значении x? [5]

Решение. Допустимыми значениями параметра являются все a > 0, a 1.

Из уравнения loga(cos2 x+1)+loga(cos2 x+5) = 1 получим, что

(cos2 x + 1)(cos2 x + 5) = a.

Обозначим cos2 x = t, 0 t 1,

тогда уравнение примет вид f(t) = t2 + 6t + (5?a) = 0.

Условия задачи будут выполнены, если последнее уравнение будет иметь хотя бы один корень из отрезка [0;1]. Ветви параболы направлены вверх, вершина находится в точке tв = ?3, следовательно, на отрезке [0;1] функция f(t) монотонно возрастает.

Для того, чтобы на [0;1] существовал корень, в силу непрерывности необходимо и достаточно, чтобы на концах отрезка f(t) имела разные знаки f(0)·f(1) 0 или (5?a)(1+6+5?a) 0.

Решая последнее неравенство, получаем Ответ: a ? [5;12].

Пример №15.Тип I. При всех значениях параметра a решите уравнение

tg|x?2| = a.[6]

Решение. Решаем исходное уравнение:|x?2| = arctga+рn,n ? Z.

Так как|x?2|? 0, то arctga+рn ? 0.

а) Если a ? 0, то n = 0,1,2,3,4,...

б) Если a < 0, то n = 1,2,3,4,... Из |x?2| = arctga + рn следует, что x = 2±(arctga + рn).

Ответ: при a ? 0 x = 2±(arctga + рn),n = 0,1,2,3,...; при a < 0 x = 2±(arctga + рn),n = 1,2,3,....

Системы уравнений

В процессе решения систем уравнений при некоторых значениях параметра могут возникать уравнения типа 0·x = 0, тогда система будет иметь бесконечно решений или же 0·x = a 0, тогда система вообще не будет иметь решений. Проследим за решением систем уравнений на примерах.

Пример №16.ТипI. Решить при всех значениях параметра a

Решение. Умножим первое уравнение на 2 и вычтем второе:

? 6y?ay = 9 ? (6?a)y = 9.

Мы получили линейное уравнение с параметром, которое мы умеем решать. 1) Пусть (6?a) = 0, тогда a = 6 и уравнение перепишется: 0·y = 9 ? нет решений.

Пусть (6?a) 0, тогда y = .

Найдем x, подставив y в первое уравнение системы:

2x + 3()= 5 ? 2x = 5?? x =

Ответ: при a = 6 решений нет; при a 6 x = y =.

Пример №17.Тип III. Найти все значения a, при которых система

имеет решения.

Решение: перепишем уравнение в виде:

или

Решим первую систему, используя прием параллельного переноса параболы найдем точку касания прямой у=х-1 и параболы . Уравнение должно иметь решение. Значит, дискриминант должен быть неотрицательным, 4а-3, . Аналогично для прямой и параболы,

Значит, .

Общие рекомендации по решению задач с параметрами

Итак, чтобы успешно решить уравнение с параметром следует помнить о следующем:

Во-первых, найти область допустимых значений, при которых уравнение будет иметь смысл. Во-вторых, при решении уравнений с параметрами надо сделать то, что делается при решении любого уравнения, нужно совершить ряд элементарных преобразований и привести заданное уравнение к более простому виду, если это возможно:

-рациональное выражение следует разложить на множители;

-тригонометрический многочлен по формулам разложить на множители;

- с учетом найденной ОДЗ избавиться от модулей, логарифмов и т. д.

- ввести новые переменные, разбить объемное уравнение на несколько простых.

Затем необходимо несколько раз внимательно прочитать задание, определить тип (что не позволит вам запутаться при выборе ответа) и вид (это поможет учесть главные нюансы при решении), затем выбрать наиболее подходящий метод решения уравнения. В случае, когда спрашиваются конкретные виды решений, необходимо вспомнить и попытаться применить специальные свойства входящих в уравнение функций (например, четность/нечетность, периодичность тригонометрических, и т.п.), которые позволят судить о существовании некоторого специального множества решений.

Построение эскизов графиков уравнений иногда значительно облегчает нахождение искомых решений. Существует ряд задач, в которых просто необходимо нарисовать эскиз графика функции. Чаще всего достаточно рассмотрение графика в обычной декартовой плоскости (х;у) , а иногда лучше рассмотреть графики в несколько иной плоскости (x;a), где x - независимая переменная, а a - параметр. Это очень удобно в задачах, где приходится строить знакомые графики: прямые, параболы, окружности, простейшие логарифмические, показательные функции и т. д. Многие уравнения предполагают решение как и графичеким, так и аналитическим методом. Бывает, что задача решается без всяких графиков, но более громоздко. Кроме того, эскизы графиков при аналитическом путе решения здорово помогают наглядно увидеть и «ход» решения.

При решении рациональных уравнений f(x;a) = 0 надо помнить, что для разных степеней многочлена f(x;a) методы решений разные. Поэтому в первую очередь рассматривают решение при тех значениях параметра, при которых обращается в ноль коэффициент при старшей степени x многочлена f(x;a), понижая тем самым степень многочлена. Например, квадратное уравнение A(a)x2+B(a)x+C(a) = 0 при A(a) = 0 превращается в линейное, если при этом B(a) 0, а методы решения линейных и квадратных уравнений различны, и т.д.



Заключение

Подробное рассмотрение и изучение уравнений с параметрами необходимо учащимся в наше время, как при подготовке к ЕГЭ, так и к вступительным экзаменам в вузы. Владение приемами решения задач с параметрам можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического мышления.

Решение задач, уравнений с параметрами, открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применяемых в исследованиях и на любом другом математическом материале. Именно такие задачи играют большую роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, поэтому учащиеся, владеющие методами решения задач с параметрами, успешно справляются с другими задачами.



Список использованной литературы

[1] - В. Голубев, А. Гольдман. О задачах с параметром. Первоначальные сведения. // Математика - 2002 - №23 с. 27-32

[2] -Задачи с параметрами: Учебное пособие для факультета довузовской подготовки СГАУ. Ефимов, Коломиец. Самара, 2006.

[3] - Научно-теоретический и методический журнал «Матматика в школе», второй выпуск 2009 года

[4] - http://www.fipi.ru/view/sections/141/docs/

[5] - Колесникова С. И. Математика. Решение сложных задач Единого государственного экзамена. 2007

[6] - Справочное пособие для подготовки к ЕГЭ. Л. А. Владимирович, П. Н. Владимирович, Х. Д. Оганесович. 2013

Размещено на Allbest.ru

...