Решение линейных уравнений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Российский государственный профессионально-педагогический университет»

Факультет повышения квалификации и профессиональной переподготовки работников образования

Задания и методические указания по выполнению

самостоятельных работ

по дисциплине «Математика»

для студентов всех форм обучения специальностей

100701 Коммерция (по отраслям),

140448 Техническая эксплуатация и обслуживание электрического и электромеханического оборудования (по отраслям),

190631 Техническое обслуживание и ремонт автотранспорта,

230401 Информационные системы (по отраслям),

230701 Прикладная информатика (по отраслям)

Исполнитель Овчинникова О.В.

Екатеринбург

РГППУ

2013

Пояснительная записка

Задания и методические указания по выполнению самостоятельных работ по дисциплине «Математика» составлены в соответствии с рабочей программой курса «Математика» ОПОП ФГОС СПО и призваны помочь студентам лучше освоить основные разделы и темы, предусмотренные рабочей программой, научиться применять основные методы решения типовых заданий, а также применять теоретические знания на практике.

Целью изучения дисциплины «Математика» является формирование математической компетентности выпускников, т.е. они должны не только овладеть специфическими для математики знаниями и видами деятельности, но и научиться преобразовывать знания и применять их в учебных и вне учебных ситуациях, а также овладеть математической терминологией, ключевыми понятиями, методами и приемами. Дисциплина «Математика», входящая в программу основного общего образования, призвана сформировать и развить у студентов качества, присущие математическому мышлению- логику, интуицию, свободное владение абстрактными понятиями.

Цели изучения дисциплины «Математика»:

* овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, для продолжения образования;

* интеллектуальное развитие, формирование качеств мышления, необходимых для профессионального образования;

* формирование представлений об идеях и методах математики, о математике, как форме описания и методе познавания действительности.

* формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры.

* формирование общекультурных и профессиональных компетенций, основанное на развитии абстрактного мышления, а так же способности выделять главное, устанавливать логические связи между понятиями, фактами и свойствами, анализировать информацию и прогнозировать последствия действий, искать оптимальные способы решения, следовать заданным алгоритмам и находить свои собственные пути разрешения проблемы.

*формирование уровня абстрактного и логического мышления и алгоритмической культуры, необходимого для обучения в высшей школе и будущей профессиональной деятельности;

* формирование представлений о математике как форме описания и методе познания действительности, об идеях и методах математики, об особенностях математического метода исследования и его отличии от методов естественных и гуманитарных наук.

Указанные цели направлены на формирование математической (прагматической), социально-личностной, общекультурной и предметно-мировоззренческой компетентностей выпускника старшей школы:

Цель изучения алгебры и начал анализа на первом курсе - систематическое изучение функций, как важнейшего математического объекта средствами алгебры и математического анализа, раскрытие прикладного значения общих методов математики, связанных с исследованием функций, подготовка необходимого аппарата для изучения специальных дисциплин.

Цель изучения геометрии - систематическое изучение свойств геометрических фигур в пространстве; развитие пространственных представлений; освоение способов вычисления практически важных геометрических величин, дальнейшее развитие логического мышления.

Настоящие указания состоят из набора задач для проведения самостоятельных работ и примеров решений аналогичных заданий. Примеры решений сопровождаются комментариями, в которых излагаются основные приемы и свойства, приводятся необходимые формулы, указывается алгоритм решения задачи. Большое внимание уделяется пошаговому ходу решения, что должно помочь учащемуся не только запомнить способ решения, но и увидеть логику решения, которую в дальнейшем учащийся сможет обнаруживать самостоятельно в процессе решения других задач в ходе дальнейшего изучения математики. Самостоятельная работа проводится после изучения тем, составляющих раздел учебной программы. Указания построены в соответствии с основными темами курса и состоят из трех разделов, соответствующих разделам учебной программы: «Раздел 1.Действительные числа. Линейные и квадратные уравнения и неравенства. Системы уравнений и способы их решения»; «Раздел 2. Показательная функции, ее свойства и график. Показательные уравнения и показательные неравенства»; «Раздел 3. Логарифмическая функция, ее свойства и график. Логарифмические уравнения и неравенства».

Выполнение самостоятельных работ студентом является обязательным учебным элементом и учитывается при выставлении внутрисеместровой оценки успеваемости студента по дисциплине. Работы выполняются в тетради для самостоятельных работ. При оформлении результатов решения в тетради студент оставляет поля для пометок преподавателя.

После проверки результатов выполнения заданий и аттестации студентов тетрадь выполненных заданий выдается на руки студенту для использования в последующем курсе обучения.

Методические указания

Решение контрольных заданий оформляется по следующему алгоритму:

1. Перед решением каждой задачи должно быть полностью приведено ее условие.

2. Непосредственно развернутое решение.

3. Построение графика (если это указано в задании).

4. Обобщение результатов в виде ответа

Решение задачи следует сопровождать формулами, развернутыми расчетами, краткими пояснениями и выводами, если это предполагает условие задачи и ход решения. Обязательно приводятся единицы измерения именованных показателей, если они есть.



РАЗДЕЛ 1.

Действия с комплексными числами

Системы линейных уравнений с тремя неизвестными

Решение линейных неравенств, содержащих знак модуля

Цель - студенты должны продемонстрировать следующие умения:

· производить арифметические действия с комплексными числами, заданными в алгебраической форме.

· решать системы линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера (определитель третьего порядка) и методом Гаусса.

· решать линейные неравенства, содержащие знак модуля.

Контрольная работа №1

Вариант 1

1. а и в -- комплексные числа, где

Найти:

.

2. Решить систему уравнений методом Крамера:

3.Решить систему уравнений методом Гаусса:

4. Решить неравенство:

Вариант 2

1. а и в -- комплексные числа, где

Найти:

2. Решить систему уравнений методом Крамера:

3. Решить систему уравнений методом Гаусса:

4. Решить неравенство:

Вариант3

1. а и в -- комплексные числа, где

Найти:

2. Решить систему уравнений методом Крамера:

3. Решить систему уравнений методом Гаусса:

4. Решить неравенство:

Вариант4

1. а и в -- комплексные числа, где

Найти:

2. Решить систему уравнений методом Крамера:

3. Решить систему уравнений методом Гаусса:

4. Решить неравенство:

Указания и примеры решения

Задание 1. а и в -- комплексные числа, где

Найти:

Сумма и разность комплексных чисел находится по следующему правилу: действительная часть складывается (вычитается) с действительной частью, мнимая часть - с мнимой.-комплексное число, в нем а - и b-действительная числа, a число i, определяемое равенством i²=-1, называется мнимой единицей. Рассмотрим число . Это алгебраическая запись комплексного числа.

Сложим два комплексных числа:

1) =

Вычтем из одного комплексного числа другое:

2)

При умножении комплексного числа на комплексное число коэффициенты перемножаются по общему правилу, важно помнить, что. Например,, ==

-по формуле сокращенного умножения:

(т.к.)=.

При делении комплексного числа на комплексное используется понятие «сопряженное выражение» и свойство дроби: числитель и знаменатель дроби можно умножить на одно и то же число, при этом значение дроби не изменится. Число является сопряженным числу. Умножим числитель и знаменатель данной дроби на число сопряженное знаменателю.

Чтобы записать ответ в виде комплексного числа, разделим оба слагаемых числителя на знаменатель

Ответ: .

Задание 2. Решить систему уравнений методом Гаусса:

Данный метод основан на поочередном исключении неизвестных и состоит из шести шагов.

1. Избавляемся от х. Для этого выбираем два уравнения, например:

Умножим обе части второго уравнения на 5, чтобы коэффициенты перед х стали одинаковыми, и при вычитании из одного уравнения другого слагаемые с х взаимно уничтожились.

После вычитания получаем уравнение:

2. Снова выбираем два уравнения из системы (одно - прежнее), чтобы еще раз избавиться от х:

Умножим второе уравнение на 3 и вычтем из одного уравнения другое, чтобы избавиться от х:

Получим:

Составим новую систему, оставив в ней одно уравнение с х и два получившихся коротких без х:

4. Избавимся от слагаемых с у. Возьмем два уравнения и выберем наименьшее общее кратное для чисел 4 и 11. Это число 44.Умножим одно уравнение на 11, а другое - на 4.Теперь при вычитании слагаемые «44у» взаимно уничтожатся.

Получаем:

Вычтем из одного уравнения другое. Получим:

Первое неизвестное z найдено.

5. Из любого та называемого «короткого» уравнения находим у.

Например,

Мы теперь знаем, что z=2:

Найдено неизвестное у.

6. Из любого уравнения, содержащего х, находим последнее неизвестное х:

Ответ: (3;3;2).

Задание 3. Решить уравнение методом Крамера.

Формулы Крамера

Пусть дана система линейных уравнений с тремя переменными. Обозначим коэффициенты перед неизвестными x, y и z буквами соответственно,а буквами- значение, к которому приравнено каждое уравнение, где индекс «n»-номер строки.

Запишем определительсистемы. Составляем матрицу из коэффициентов перед неизвестными

=

Полученное число будет значением определителя системы. Определитель нужен для того, чтобы вычислить неизвестные х, у, z по формуле Крамера.

x=

у =

z =

Вычислим определитель Для этого используем коэффициенты.

-

Полученное число будет значением определителя По формуле Крамера значение.

Вычислим у через определитель у и определитель системы.

Для вычисления у используем коэффициенты :

Вычислим определитель у по той же самой формуле, по какой мы вычисляли определитель х:

-=

Полученное число будет значением определителя .

По формуле Крамера у = .

Теперь, когда известны х и у, мы можем найти z, подставив найденные значения х и у в любое уравнение системы. Это проще и быстрее, чем вычислять z через определитель, хотя и для вычисления z существует определитель z. Используются коэффициенты :

-

По формуле Крамера z =

Итак, мы нашли х, y, z.

Пример решения:

Составим определитель системы из коэффициентов перед неизвестными х, у, z:

Вычислим определитель системы по формуле Крамера:

-

=

Вычислим определитель х.

Используем коэффициенты :

= -

=

Находим х по формуле:

Х =

Находим определитель у, используя коэффициенты

-=

=

Переменную z находим, подставив х и у в любое уравнение системы:

Ответ: (3; 1; -5).

Задание 4. Решить неравенство, содержащее знак модуля

Модуль числа показывает, чему равно расстояние от этого числа до 0, т.е. каково количество единичных отрезков между этим числом и нулем. Но поскольку числа располагаются на числовой оси бесконечно в двух направлениях - в положительном и в отрицательном, на расстоянии 5 ед. отрезков от 0, например, расположены два числа «5» и «-5». Поэтому, =5, =5. В случае уравнения, содержащего знак модуля:решение «распадается» на два равенства:

(число расположено на положительной части числового луча);

(число расположено на отрицательной части числового луча).

Если речь идет о решении неравенства, то искомое число расположено дальше от нуля, чем 6 и дальше, чем -6, (больше 6 и меньше -6), т.е. мы имеем опять два неравенства в решении:

Ответ:

Если мы решаем неравенство число находится в промежутке от -6 до 6, т.е. расстояние от числа до точки 0 меньше, чем 6. Решая неравенство, мы находим, при каком х данное число находится в указанном промежутке (-6; 6).

Ответ

Примеры решения:

или

Ответ:.

Ответ записываем, начиная с отрицательного промежутка, слева направо. Символ - знак объединения двух промежутков в общий ответ - числа из одного и другого промежутка удовлетворяют условию неравенства.

2. Решить неравенство

Искомое число находится на числовой оси между числами -6 и 6, расстояние от этого числа до нуля меньше шести единичных отрезков. Поэтому составляем двойное неравенство:

Прибавим ко всем частям неравенства 8, чтобы найти 2х:

Разделим все части неравенства на 2, чтобы найти х. Получим:

Ответ:



РАЗДЕЛ 2

Показательная функции, ее свойства и график

Показательные уравнения и неравенства

Цель - студенты должны продемонстрировать следующие знания:

· степень числа и ее свойства;

· способы решения простейших показательных уравнений и неравенств;

· свойства показательной функции.

Применяя знания, студенты должны продемонстрировать следующие умения:

· находить область определения и область значений показательной функции, заданной формулой у =;

· решать показательные уравнения и неравенства.

Контрольная работа №2

Вариант1

1. Найти область определения и область значения функции:

2. Решите уравнения:

3. Решите неравенства:

Вариант 2

1. Найти область определения и область значения функции:

2. Решите уравнения:

3. Решите неравенства:

Указания и примеры решений

1. Найти область определения и область значения функции .

Область определения показательной функции - все действительные числа, и когда показательная функция задана, например, формулой или , мы можем найти значение у для любого значения х (правда, в ряде случаев нужно будет воспользоваться калькулятором или специальными таблицами). Но в случае функции показатель - функция f(x), а у этой функции область определения - неотрицательные числа, т.е..Решив это неравенство, получим Значит, областью определения функции является промежуток

Область значения показательной функции вида - все положительные числа, или по-другому, промежуток (0 Действительно, в какую бы степень мы ни возводили число, всегда получится положительное значение. Например, отличается от функции (вида ) слагаемым «+1». Значит, при одном и том же значении х значение функции будет больше значения функции на 1.Следовательно, областью значений функции является промежуток .

Ответ:

2. Решите уравнения:

Данное задание включает в себя три вида показательных уравнений. Соответственно, для решения этих уравнений необходимо знать свойства показательной функции и свойства степени, а также приемы решения показательных уравнений.

Если (если две степени с одинаковыми основаниями равны между собой, то равны и показатели степени).

Если т.к. (любое число, кроме нуля, в степени 0 равно 1)

Свойства степени:

1.

2.

3..

Решить уравнение:

Решение:

Если равны основания, то равны и показатели:

Поскольку область определения показательной функции - все числа R, то проверку корня делать не надо. Даже, если степень числа 6 окажется отрицательной, корень уравнения не будет «лишним корнем».

Ответ:.

Решение уравнений:

Для решения этого уравнения применяем метод подстановки. Назовем неизвестное буквой t:

Тогда уравнение будет выглядеть так:

Это квадратное уравнение. Его можно решить по теореме Виета (т.к. а=1) или через дискриминант:

t_1,2 = ==

Решаем квадратное уравнение и находим его корни:

Возвращаемся к подстановке:

Это уравнение не имеет корней, т.к. при любом х.

Ответ:

Решить уравнение:

Разделим обе части уравнения на 4. Получим:

Представим (теперь основания в обеих частях уравнения одинаковы):

Если равны если две степени с одинаковыми основаниями равны между собой, то равны и показатели степени:

Поскольку область определения показательной функции - все числа R, то проверку корня делать не надо.

Ответ:

Решить уравнение:

(по свойству степени №1),

(по свойству степени №2)

Преобразуем исходное уравнение:

Вынесем общий множитель за скобки:

Ответ:

Для решения неравенств необходимо помнить свойства показательных неравенств:

· знак неравенства сохраняется при

если;

если.

· знак неравенства меняется на противоположный при

(т.е. а - дробное число, у которого числитель меньше знаменателя):

если

если

Решить неравенство:

·

Знак неравенства сохранился, т.к. .

Ответ:.

Решить неравенство:

Знак неравенства поменялся на противоположный, поскольку.

Ответ

Решить неравенство:

Представим степени в виде степеней с одинаковыми основаниями:

Применяем метод подстановки (заменяем число любой буквой, например,t):

Тогда:

Получаем квадратное неравенство:

Решаем квадратное неравенство. Находим корни квадратного уравнения:

Отмечаем их на числовой прямой и находим промежутки, где .

Получаем, чтопри: t < -1и t> 4.

Возвращаемся к подстановке:

поскольку всегда положительное число (, то решения у неравенства нет:

²

Ответ:



РАЗДЕЛ 3

Логарифмическая функция, ее свойства и график

Логарифмические уравнения и неравенства

Цель - студенты должны продемонстрировать следующие знания:

· логарифма числа и его свойства;

· способы решения простейших логарифмических уравнений и неравенств.

Студенты должны продемонстрировать следующие умения:

· находить область определения логарифмических функций вида ;

· решать логарифмические уравнения и неравенства.

Контрольная работа №3

уравнение линейный неравенство функция

Вариант 1

1. Вычислить:

2. Решить уравнение:

3. Решить уравнение:

4. Найти область определения функции:

5. Решить неравенство:

6. Решить неравенство:

7. Решить неравенство:

Вариант 2

1. Вычислить:

2. Решить уравнение:

3. Решить уравнение:

4. Найти область определения функции:

5. Решить неравенство:

6. Решить неравенство:

7. Решить неравенство:

Вариант 3

1. Вычислить:

2. Решить уравнение:

3. Решить уравнение:

4. Найти область определения функции:

5. Решить неравенство:

6. Решить неравенство:

7. Решить неравенство:

Вариант 4

1. Вычислить:

2. Решить уравнение:

3. Решить уравнение:

4. Найти область определения функции:

5. Решить неравенство:

6. Решить неравенство:

7. Решить неравенство:

Указания и примеры решений

Определение логарифма

Пусть - любое число ()

если

Пример: , т.к.

т.к.

Свойства логарифма:

1.т.е. сумма логарифмов равна логарифму произведения.

Например:

2.т.е., разность логарифмов равна логарифму частного.

Например:

3.т.е. показатель степени p умножается на логарифм.

Например:

4. т.е. показатель степени p основания b логарифма в виде обратного числаумножается на логарифм. Условие: .

Например:.

1. Вычислить значение выражения:

Для того, чтобы выполнить данное задание, необходимо привести все логарифмы к общему основанию, поскольку применить свойство логарифма можно только тогда, когда основания одинаковые. Т.к. 8 = 2³, что запишем, следуя свойству 4.

По свойству 2 можно сделать следующее преобразование:

т.к.

=

Ответ: 4.

2. Решить уравнение:

Воспользуемся свойством 2 логарифма:

Воспользуемся определением логарифма:

3¹

Находим числитель дроби:

Поскольку область определения логарифмической функции- только положительные числа, нам необходимо проверить будет ли при х=2.

Мы видим, что, значит, корень подходит.

Ответ:

3. Решить уравнение:

Отличительной чертой этого уравнения является то, что в основании логарифма стоит х, а не просто число. Но, как и во всех других случаях, воспользуемся определением логарифма если

Переносим все слагаемые вправо, меняя знаки на противоположные:

Решаем полученное квадратное уравнение (через дискриминант или по теореме Виета - поскольку, а=1) и находим корни:

Проверим, входят ли оба эти корня в область определения данного логарифма.

Область определения данного логарифма: (основание логарифма должно быть положительным и не равно единице, а в нашем примере х находится не только под знаком логарифма в сумме х+6, но еще и в основании логарифма):

Установлено, что корень является «лишним корнем». Остается корень , он подходит.

Ответ:

1. Найти область определения функции

Область определения логарифмической функции - множество всех положительных чисел. Это можно обозначить так:. Но функция содержит под знаком логарифма функцию . Поэтому, для того чтобы найти область определения функции необходимо установить, при каких значения х . Для этого необходимо решить неравенство

Проверим, можно ли взять оба эти промежутка для ответа. По формуле сокращенного умножения - «разность квадратов» можно записать:

,

а по свойству логарифма:

=

Это тождественное преобразование и его необходимо учитывать, указывая область определения функции При функция не существует, т.к. . Значит, промежуток не входит в область определения функции

Ответ:

5.Решить неравенство:

Чтобы решить логарифмическое неравенство, надо помнить основные правила. Еслито (знак неравенства не меняется, если ), и (знак меняется, если). Это вытекает из того, что функция - возрастающая, если убывающая, если. Возрастание функции: чем больше х, тем больше значение функции у. Убывание функции: чем больше х, тем меньше у.

По определению логарифма . Но у нас неравенство, поэтому:

нак неравенства сохраняется, поскольку основание логарифма больше единицы (2>1):

, т.к. ()

Решаем квадратное неравенство и получаем ответ: . Но область определения данного логарифма при Необходимо найти общую область для двух промежутков .

Промежуток удовлетворяет области определения логарифма и удовлетворяет условию неравенства

Ответ .

Решить неравенство:

Это неравенство относится к группе уравнений, решаемых подстановкой. Это специальный прием в математике, облегчающий решение. Если заменить буквой, например,t (), то мы получим привычное квадратное неравенство

Решаем квадратное уравнение и находим корни:

,

Отметим на числовой прямой эти точки и области, где Получаем: при.

Возвращаемся к подстановкеи не забываем, что х>0 (область определения функции

Т.к. основание равно 10 ( - специальное обозначение для ) и, знаки неравенств остаются неизменными.

Ответ



Литература

Основная

1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: учеб. пособие для среднихпроф. учеб. заведений / Н.В. Богомолов.- 10-е изд., перераб.- М.: Высш.шк., 2008.- 495 с.

2. Богомолов Н.В. Математика: учеб.для ссузов / Н.В.Богомолов, П.И. Самойленко. - 4-е изд., стереотип. - М.:Дрофа, 2008.- 395 с.: ил.

Дополнительная

1. Алимов Ш.А. Алгебра и начала анализа: учеб. для 10-11 кл. сред. шк. / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др.- 2-е изд. - М.: Просвещение, 1993.- 254 с.: ил.

2. Пехлецкий И.Д. Математика: учебник для студ. средних. проф. учеб. заведений - М.: Мастерство, 2001.- 304 с.

Размещено на Allbest.ru

...