Роль и функции математики в естествознании

Размещено на http://www.allbest.ru/

Белорусский государственный университет

Институт бизнеса и менеджмента технологий

Основы современного естествознания

Реферат на тему:

“Роль и функции математики в естествознании”

Студентка 1 курса, группы №213

Работу проверил: Доцент Буров Л.И

Минск 2012



Содержание

Введение

1. История развития. Зарождение счета в системе первобытного общества

1.1 Развитие математических знаний в эпоху классообразования и цивилизаций Древнего Востока

1.2 Мир как число. Пифагорейский союз и его естественно-научные достижения

1.3 Математические открытия средневековой арабской культуры

2. Математическая и научная программа

3. Методы научного познания. Применение математических методов в естествознании

Заключение

Список литературы



Введение

Естествознание -- неотъемлемый компонент культуры, определяющий мировоззрение человека[1]. Научное мировоззрение обеспечивает восприятие достижений науки обществом и устойчивость к манипуляциям общественным сознанием. Рациональный метод, сформировавшийся в рамках естественных наук, проникает и в гуманитарную сферу, и в общественную жизнь. Он существенно дополняет художественный метод познания действительности.

В своем реферате я бы хотела рассмотреть математику как метод научного познания и применение математических методов в естествознании, а также подробнее остановится на истории ее развития.



1. История развития. Зарождение счета в системе первобытного сознания

Одна из особенностей развития первобытного сознания - формирование способности отражать и выражать количественные характеристики действительности. Становление категории количества, способности количественного исчисления предметов являлось важнейшей чертой развивающегося первобытного сознания. И действительно, ведь счет, в сущности, выступает первой теоретической деятельностью рассудка, абстрактной способностью мышления. Развитие способности счета - главный показатель уровня развития абстрагирующей, обобщающей, теоретической стороны человеческого сознания.

Проблема происхождения первоначальной способности человечества к счету - одна из интереснейших в проблематике первобытной культуры. Загадочность этого явления неоднократно использовалась в качестве главного аргумента для разного рода мистических трактовок истории человеческого мышления. Достижение археологии, антропологии, истории и других наук (особенно в XX в.) позволяют воспроизвести в общих чертах картину процесса становления количественных представлений и систематического счета в первобытном обществе[2].

Прежде всего следует указать на три главные предпосылки становления количественных представлений, способности счета.

Первая - это повседневная практическая деятельность человека, многообразие действий человека по разделению целого на части (изготовление орудий труда, разделение добычи, туш животных и др.) и сложение некоторого целого из частей (строительство жилища, составных орудия и т.п.). Такие повседневные практические вещи повторялись первобытным человеком многократно, являясь необходимой стороной его повседневной жизнедеятельности.

Вторая важная предпосылка - природные ритмы, в особенности взаимосвязи ритмов человеческого организма (включая его физиологические ритмы) с ритмами природной среды.

И третья важная предпосылка - познавательная процедура сравнения, выделения качественно определенных характеристик природных предметов и соотнесение их между собой. Процедура сравнения исторически сложилась на базе психики высших приматов еще в условиях первобытного стада.

В процессе своего исторического становления долгое время первобытный человек ориентировался в окружающей среде, имея возможность отражать и фиксировать лишь качественные (а не количественные) свойства предметов. При этом, очевидно, важную роль играла образная память. Для нормальной жизнедеятельности в узких рамках потребностей и возможностей нижнепалеолитического хозяйства (на достаточно длительном историческом промежутке времени - около 2 млн. лет) было вполне достаточно выделения и запоминания качественных признаков вещей. (По этнографическим свидетельствам, оленеводы Северной Азии, не умея пересчитать количество оленей в стаде, состоящем из нескольких сотен голов, тем не менее, знали индивидуальные признаки каждого оленя в стаде). Исторически первой формой становления количественных представлений являлась, очевидно, абстрактная фиксация качественного своеобразия некоторого множества, состоящего из отдельных предметов, свойства которых хорошо усвоены субъектом. Так, первобытный оленевод сразу же определял отсутствие в стаде оленей нескольких особей, индивидуальные признаки которых ему хорошо известны.

Важнейший этап (и условие) выработки понятия о счете связан с ситуациями, в которых человек вынужден соотносить элементы одного множества однотипных вещей (предметов) с элементами другого, качественно другого множества. Цель такого соотнесения - констатация равенства ( или не равенства) этих множеств (групп) предметов. Такие процедуры постоянно возникали в условиях уравнительного распределения внутри общины, а также в условиях межобщинного обмена (например, аборигены Австралии меняли определенное число рыб на определенное число съедобных кореньев).

Революционным по своей значимости шагом в развитии систем счета (понятия количества) стало введение в процедуру соотнесения элементов двух различных множеств некоторого третьего множества, являющегося опосредующим звеном между двумя исходными (т.е. подлежащими сравнению). В качестве такого третьего опосредующего звена могли выступать самые различные естественные вещи, например, природные предметы: четыре части света, простейшие парные отношения (тепло и холод, день и ночь, восход и заход и др.), раковины палочки, камешки и др. Для измерения времени наиболее удобны природные ритмы, их совпадение с ритмами человеческого организма, ритмами хозяйственной жизни. Такая опосредующая система должна быть удобной для коллективного пользования, т.е. понятна и приемлема для всех членов первобытных родовых общин. Этнографическими исследованиями зафиксировано множество примеров использования племенами Австралии и Африки приемов счета, построенных на подобного рода «естественных» системах отсчета. Заметим, что в каждой родовой общине складывались свои системы счета.

Следующий родовой этап развития количественных понятий (систем счета) связан с заменой естественных посредников искусственными. В качестве их выступали зарубки, нарезки, насечки на палках, костях или других предметах, узелки, полосы краски и т.п. Так исторически формируется система искусственных «предметов-посредников», выражающая собой значение абстрактных количественных отношений. Этот этап развития счета хорошо изучен археологией, историей первобытного общества, этнографией. Известно достаточно много знаково-символических изображений эпохи верхнего палеолита, имевших, по-видимому, математическое значение. Одна из характерных особенностей данного этапа состояла в том, что он непосредственно способствовал зарождению древнейших астрономических представлений, первобытной астрономии.

И наконец, завершение становления систем счета (количественных представлений действительности) связано с разработкой понятия числа. Абстрактное понятие числа выражает количественные отношения уже независимо от содержания, от конкретных, вещественных признаков совокупностей предметов.

Весьма интересен вопрос о зарождении астрономических знаний. В последнее время в понимании истоков первобытной астрономии произошли значительные изменения. Ранее истоки развития астрономии связывали лишь с древними цивилизациями Востока (IV-III тыс. до н.э.). Но за последние 30-40 лет археологами накоплен значительный материал, позволяющий утверждать, что еще в палеолите происходило накопление астрономических знаний. В верхнепалеолитических стоянках в разных частях Европы и Азии найдены наскальные изображения, браслеты, пряжки, изделия из бивня мамонта и т.п., которые содержат ритмически повторяющиеся нарезки и ямки. Анализ этих изображений показал, что их структура и подразделения соответствуют лунным циклам, т.е. они представляют собой древнейшие формы первобытного календаря (10 лунных месяцев - около 280 суток). Например, браслеты устроены так, что особым образом выделяется число 7. (Ведь 7 суток - длительность одной фазы Луны).

Астрономическое познание зарождалось в единстве с математическим знанием. Число не имело тогда еще своего самостоятельного, абстрактного значения. Оно обязательно связывалось с каким-то конкретным природным процессом, множеством. Отсюда, в частности, и истоки числовой магии, мистификации чисел в их связи с какими-либо природными событиями, процессами. Интересно, например, отметить, что число 2 («магическая семерка») вообще имело в первобытной культуре особое значение: оно связывалось с лунными ритмами (которые трактовались, как «рожденье» и «умиранье» Луны на небе); со структурой Космоса (четыре стороны света + три части «мирового дерева», т.е. корень, ствол, верхушка); с ритмами деятельности самого человека.

Фундаментальные свойства физиологии и психики человека также нашли свое отражение в формировании первичных абстракций и количественных понятий первобытного человека. В частности, важная роль числа 7 в астральных мифах и ритуалах палеолита определяется закономерностями психики человека: в экспериментальной психологии постоянство границ оперативной памяти и внимания определяется обычным числом 7 (или 7±2). Кроме того, целая серия прямоугольных фигур в искусстве палеолита имеет пропорции 1:0,62. Это соотношение тоже, что и экспериментально установленное в психологии пороговое отношение в процессе восприятия (закон Вебера-Фехнера).

Среди множества разнообразных систем счета (после длительного предварительного их отсева) в итоге преимущественно закрепляется десятеричная система. Это, безусловно, нельзя считать случайным: 10 лунных месяцев беременности, что для эпохи матриархата было очень важным природным ритмом; 10 пальцев рук как главного естественного орудия труда, связывающего предмет и цели деятельности человека, и др.

Таким образом, в системе сознания первобытной родовой общины на уровне повседневного стихийно-эмпирического знания был накоплен значительный массив первичных сведений о мире, сложились важные исходные абстракции (и среди них - абстракция количества), разработаны системы счета, календари, зафиксированы простейшие биологические , астрономические, медицинские и другие закономерности. Рациональное знание, накопленное в эпоху первобытной родовой общины, было тем пьедесталом, на котором надстраивалась и развивалась протонаука древнего мира[3].

1.1 Развитие математических знаний в эпоху классобразования и цивилизаций Древнего Востока

В рассматриваемую эпоху математические знания развивались в следующих основных направлениях.

Во-первых, расширяются пределы считаемых предметов, появляются словесные обозначения для чисел свыше 100 единиц - сначала до 1000, а затем вплоть до 10 000.

Во-вторых, закладываются предпосылки позиционной системы счисления. Они состояли в совершенствовании умения считать не единицами, а сразу некоторым набором единиц (4, 5, чаще всего 10). Когда нужно было пересчитать большое количество одинаковых предметов (например, стадо скота), применялся так называемый групповой счет. Такой счет вело несколько человек: один вел счет единицами, второй - десятками, третий - сотнями [4]. Развитие хозяйства, торговли требовало не просто умения считать, но и умения сохранять на длительное время или передавать на расстояния результаты счета (очень часто - большие числа). Для этого применялись известные еще с давних времен бирки, шнуры, нарезки или узлы, на которых уже обозначаются не только единицы, но и группы единиц (по 4, 5,10,20 единиц). По сути, формировался прообраз различных форм счисления.

В-третьих, формируются простейшие геометрические абстракции - прямой линии, угла, объема и др. Развитие земледелия, отношений земельной собственности требуют умения измерять расстояния, площади земельных участков (отсюда и происхождение слова «геометрия» - от древнегреческого «землемерие»). Развитие строительного дела, гончарного производства, распределение урожая зерновых и проч. требовало умения определять объемы тел. В строительстве было необходимо уметь проводить прямые горизонтальные и вертикальные линии, строить прямые углы и т.д. Натянутая веревка служила прообразом представления о геометрической прямой линии. Одним из важнейших свидетельств освоения человеком геометрических абстракций является зафиксированный археологами бурный всплеск использования геометрических орнаментов на сосудах, ткани, одежде. Геометрическая отвлеченность начинает превалировать в художественной изобразительной деятельности, в передаче изображений животных человека.

На Древнем Востоке математика получила особое развитие в Месопотамии. Математика развивалась как средство решения повседневных практических задач, возникавших в царских храмовых хозяйствах (землемерие, вычисление объемов строительных и земляных работ, распределение продуктов между большим числом людей и др.). Найдено около сотни клинописных математических текстов, которые относятся к эпохе Древневавилонского царства (1894-1595 гг. до н.э.). Их расшифровка (Варден ван дер Б. Л. И др.) показала, что в то время уже были освоены операции умножения, определения обратных величин, квадратов и кубов чисел, существовали таблицы с типичными задачами на вычисление, которые заучивали наизусть[5,6]. Математики Древнего Вавилона уже оперировали позиционной системой счисления (в которой цифра имеет разное значение в зависимости от занимаемого ею места в составе числа). Система счисления была шестидесятеричной. Жителями Древнего Вавилона были известны приближенные значения отношения диагонали квадрата к его стороне ( они считали равным приблизительно 1,24; число р - приблизительно равным 3,125).

Вавилонская математика поднялась до алгебраического уровня, оперируя не числом конкретных предметов (людей, скота, камней и проч.), а числом вообще, числом как абстракцией. При этом числа рассматривались как некий символ иной, высшей реальности (наряду с множеством других символов такой высшей реальности). Но у древних вавилонян, по-видимому, еще не было свойственного древнегреческой математике представления о числах как о некоторой абстрактной реальности, находящейся в особой связи с материальным миром. Поэтому у них не вызывали мировоззренческих проблем вопросы о природе несоизмеримых отношений и иррациональных чисел.

На современном математическом языке те типовые задачи, которые могли решать вавилоняне, выглядят следующим образом:

Алгебра и арифметика:

Уравнение с одним неизвестным

AX = B; X² = A; X² + AX= B; X² - AX = B; X³ = A; X² (X + 1) = A;

Системы уравнений с двумя неизвестными

XY = В, X + Y = A;

XY = В, X - Y = A;

X² + Y² = В, X - Y = A;

X² + Y² = В, X + Y = A;

Им были известны следующие формулы:

(A + B)² = A² + 2AВ + B²

(A + B)(A - B) = A² - B²

1 + 2 + 4 + … + 2ⁿ = 2ⁿ + (2ⁿ - 1)

1² + 2² + 3² + … +N² = ( + … + N)



и суммирование геометрических прогрессий.

Геометрия:

пропорциональность для параллельных прямых;

теорема Пифагора;

площадь треугольника и трапеции;

площадь круга ? 3R²;

длина окружности ? 6R;

объем призмы и цилиндра;

объем усеченного конуса они считали по неправильной формуле:

1?2 (3R² + 3r²),

на самом деле он равен

1?3(R² - r²).

Объем усеченной пирамиды с высотой Н, квадратным верхним (В) и нижним(А) основаниями они определяли по неправильной формуле:

1?2(А² + В²)Н;

на самом деле он равен

1?3(А² + АВ + В²)Н.

Основная общая особенность и общий исторрический недостаток древневосточной математики - ее преимущественно рецептурный, алгоритмический, вычислительный характер. Математики Древнего Востока даже не пытались доказать истинность тех вычислительных формул, которые они использовали для решения конкретных практических задач. Все такие формулы строились в виде предписаний: “делай так-то и так-то”. Потому и учение математике состояло в механическом заучивании и зазубривании веками не изменявшихся способов решения типовых задач. Идеи математического доказательства в древневосточной математике еще не было.

Вместе с тем у древних вавилонян уже складывались отдельные предпосылки становления математического доказательства. Они состояли в процедуре сведения сложных математических задач к типовым задачам, а так же в таком подборе задач, который позволял осуществлять проверку правильности решения.

1.2 Мир как число. Пифагорейский союз и его естественно-научные достижения

В конце VI в.до н.э. центр научной мысли Древней Греции перемещается с востока средиземноморского мира на его запад на побережье Южной Италии Сицилии, где греки основали свои колонии. В городе Кротоне сложилась, по-видимому, первая (из известных нам) в истории человечества научно-филосовско-религиозно-политическая школа - Пифагорейский союз. Он просуществовал с конца VI в.до середины IV в.до н.э. и оказал громадное влияние на развитие древнегреческой культуры, науки, философии. При этом он активно вмешивался и в политическую жизнь италийских полисов. Основателем Пифагорейского союза был Пифагор, мыслитель, о котором сложено множество легенд и мало что известно достоверного. Пифагор - личность противоречивая, в его воззрении тесно переплетались элементы мифологии, религии, магии, философии и науки.

Выходец из острова Самоса, Пифагор много лет учился в Египте и Вавилоне, возможно, даже в Индии. Известна легенда о встрече в Милете юного Пифагора с Фалесом незадолго до смерти последнего. Оказавшись в Кротоне, он основал научно-филосовское и религиозно-политическое сообщество единомышленников, получившее впоследствии название «Пифагорейский союз». Это была закрытая, тайная организация с определенным уставом, культивирующий размеренный, созерцательный образ жизни, который следовал из их представления о Космосе как упорядоченном, гармоничном, симметричном целом, постигнуть который дано не всем, а только избранным, т.е. тем, кто ведет особый образ жизни созерцателя, самоуглубляющегося, самосовершенствующегося мудреца.

Основное мировоззренческое положение (которое принадлежит, очевидно, Пифагору) - «все есть число». Ранние пифагорейцы воспринимали число как божественное начало, сущность мира, а в исследованиях числовых отношений видели средство спасения души, некий религиозный ритуал, очищающий человека и сближающий его с богами. Это филосовско-религиозное учение о том, что «мир есть число», ускоряло перевод математики из области практически-прикладной, вычислительной в сферу теоретическую, в систему понятий, логически связанных между собой процедурой доказательства. Мир целостен, гармоничен, в нем все взаимосвязано. В то же время «мир есть число», значит, что все числа связаны между собой, а занятия математикой позволяют эти связи установить, прояснить их логическими доказательствами. Кто изучит и поймет божественные числовые отношения, тот сам станет божественным (подобно Пифагору), а его душа перестанет переселяться в другие существа (реинкарнация) и возвыситься до абсолютного блаженства. Так закладывались философско-религиозные предпосылки математического и естественно-научного познания.

Математические и естественно-научные достижения пифагореизма. При всей противоречивости пифагореизма (а может быть, благодаря ей) пифагорейская школа внесла величайший вклад в развитие конкретно-научного познания. Прежде всего это касается математики. Основные направления математических исследований раннего Пифагорейского союза:

- доказательство тех положений, которые были получены в египетской и вавилонской математике (включая теорему Пифагора);

- разработка теории пропорций, музыкальной теории (важнейшие гармонические интервалы могут быть получены при помощи отношения чисел 1,2,3 и 4);

- разработка теории чисел;

В теории чисел пифагорейцами была проведена большая работа по типологии натуральных чисел. Пифагорейцы делили их на классы. Выделялись класс совершенных чисел (число, равное сумме своих собственных делителей, например, 6 = 1 + 2 + 3), класс дружественных чисел (каждое из которых равно сумме делителей другого, например, 220 и 284; ведь 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 11 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284 и 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220), класс фигурных (треугольное число, квадратное число и т.д.) чисел, простых и др.

В эту эпоху также стали известны формулы суммирования простейших арифметических прогрессий и результатов, в современном математическом языке выражающиеся формулой типа

Рассматривались также вопросы делимости чисел. Введены арифметическая, геометрическая и гармоническая пропорции, а также различные средние: арифметическое, геометрическое, гармоническое.

На ряду с геометрическим доказательством теоремы Пифагора был найден способ отыскания неограниченного ряда троек «пифагоровых чисел», т.е. чисел, удовлетворяющих соотношению A² + B² = C². Было открыто много математических закономерностей теории музыки, совершенствовались приемы геометрического доказательства и т.д.

Важнейшим событием в истории пифагореизма (уже после смерти Пифагора) было открытие несоизмерности диагонали стороны квадрата, равной еднице (современным математическим языком ). Это открытие имело не только чисто научное, математическое, но и большое мировоззренческое значение. Философский смысл его состоял в крахе общей идеи гармоничности, цельности, стройности, пропорциональности, измеримости, организованности Космоса. Под сомнением оказалась сама идея о том, что члены Союза пытались замалчивать это открытие, не предавать его гласности. Открытие несоизмеримости стало поворотным пунктом в истории математики и по своему значению может быть сопоставлено с открытием неевклидовой геометрии в XIX в.

Для решения проблемы несоизмеримости надо было иметь четко представление о следующих вещах: является ли неограниченной продолжительность процесса нахождения общей меры; как выразить бесконечную малость последней; как выразить то, что она должна содержать бесконечное число раз в сравниваемых величинах.

Теоретически были возможны два выхода. Первый связан с обобщением понятий числа и включением в него более широкого класса математических величин (как рациональных, так и иррациональных). По этому пути математика пойдет много позже, в эпоху Возрождения.

Второй путь - геометризация математики, т.е.решение алгебраических задач с использованием геометрических образов (геометрическая алгебра помогает выражать как рациональные, так и иррациональные отрезки). Поскольку совокупность геометрических величин (например, отрезков) более полна, чем множество рациональных чисел, поскольку такое исчисление можно построить в геометрической форме. Так возникла геометрическая алгебра. Например, уравнение X² = 2 не может быть решено ни в области целых чисел, ни даже в области отношений чисел. Но оно вполне разрешимо в области прямолинейных отрезков: его решением является диагональ квадрата со стороной, равной единице. Следовательно, для того чтобы получить решение такого квадратного уравнения, из области чисел надлежит перейти в область геометрических величин. Геометрическая алгебра применима не только к соизмеримым, но и к несоизмеримым отрезкам и тем не менее является точной наукой.

Первичные элементы геометрической алгебры - отрезки прямой. По отношению к ним определялись арифметические вычислительные операции. Сложение интерпретировалось как приставление отрезков, вычитание - как отбрасывание от отрезка части, равной вычитаемому отрезку. Умножение отрезков приводило к построению площадей (произведение отрезков А и В считался прямоугольник со сторонами А и В). Произведение трех отрезков давало параллелепипед. Произведение большего числа сомножителей в геометрической алгебре не могло рассматриваться. Деление было возможно лишь при условии, что размерность делимого больше размерности делителя и выступало как задача приложения площадей.

Методы геометрической алгебры имели принципиальные ограниченности: они позволяли определить только один, положительный корень квадратного уравнения; средствами построения были циркуль и линейка; объектами построения были геометрические образы размерности не выше второй; уравнения степени выше третьей в геометрической алгебре были просто не возможны.

Недостаточность геометрической алгебры как общей математической теории несоизмеримых величин проявилась при выделении класса задач, не поддающихся решению с помощью циркуля и линейки. Среди них наиболее известны задачи удвоения куба, трисекции угла и квадратуры круга. Попытки их разрешения привели в дальнейшем к появлению и усовершенствованию новых перспективных математических методов. Так, был разработан метод конических сечений, метод исчерпывания (как предпосылка метода пределов), разработаны основы общей теории отношений, применимой как для соизмеримых, так и для несоизмеримых величин.

Значительны и астрономические идеи пифагорейцев. Есть сведения о том, что еще Пифагор высказал идею шарообразности Земли[7]. Пифагорейцы первыми в Древней Греции научились распознавать на небесном своде планеты, отличать их от звезд (в то время распознавались лишь пять планет). Им же принадлежит идея гармонии «небесных сфер». Представители пифагорейской школы сформулировали идею гелиоцентризма, которую впоследствии развивал Аристарх Самосский.

Всемирно-историческая заслуга пифагореизма - в осмыслении и утверждении категории количества. Мир не является многообразием качественно различных предметов, вещей, за таким качественным разнообразием лежит количественное единство вещей. Каждая вещь и ее свойства имеют определенную меру, степень роста, изменчивости, насыщенности своих качеств. Мера изменчивости определенного качества и есть его количество. Каждая определенная вещь есть некоторое единство качества и количества. Нельзя постичь вещь в ее сущности и в ее целостности без выявления количественных характеристик вещи, а они постигаются математикой.

Пифагорейцы заложили основы такого представления о мире и его познании, в соответствии с которым математические знания (о числах и их отношениях) являются важнейшим условием, ключом к познанию природы. Начиная с Пифагора в истории культуры развивается установка на широкое развитие математических исследований. Обратим внимание на еще одну особенность пифагореизма. По сути, из ложной посылки, что основа мира есть число, вытекает очень разумный и плодотворный вывод: математика есть средство познания устройства мира. И это далеко не единственный пример того, когда из ложных общих идейных философских посылок следуют плодотворные и истинные научные программы.

1.3 Математические достижения средневековой арабской культуры

Арабы существенно расширили античную систему математических знаний. Они заимствовали из Индии и широко использовали десятичную позиционную систему счисления. Она проникала по караванным путям на Ближний Восток в эпоху Сасинидов (224-641), когда Персия, Египет и Индия переживали период культурного взаимодействия. И уже из арифметического трактата аль-Хорезми «Об индийских числах», переведенного в XII в. На латынь, десятичная система стала известна в Европе.

Получила также значительное развитие (свойственная еще Древнему Востоку) традиция создания новых вычислительных приемов и специальных алгоритмов. Так, например, аль-Каши с помощью вписанных и описанных правильных многоугольников вычислил число р до 17 верных знаков.

Развивались методы приближенного извлечения корней. Например, такой известный в древности прием:

где, Т - целое, был распространен на случай любого натурального показателя корня:

Известен им был и метод вычисления корней, который ныне называется методом Руффини-Горнера[8]: если



,

то последовательное вычисление знаков корня связано с отысканием разностей

Арабские математики умели также суммировать арифметические и геометрические прогрессии, включая нахождение сумм вида:

Не ограничиваясь методами геометрической алгебры, арабские математики смело переходят к операциям над алгебраическими иррациональностями. Они создали единую концепцию действительных чисел путем объединения рациональных чисел и отношений и постепенно стерли грань между рациональными числами и иррациональными. В Европе эту идею восприняли лишь в XVI в.

Арабские математики совершенствовали методы решения уравнений 2-й и 3-й степеней; решали отдельные типы уравнений 4-й степени. В трактате аль-Хорезми «Книга об операции джерб(восстановление) и кабала(приведение)», по которому европейские ученые в XII в. Начали знакомиться с алгеброй, содержались систематические решения уравнений 1-й и 2-й степени следующих типов:

АХ = В; Х² + ВХ = А;

АХ² = В; Х² + А = ВХ;

АХ² = ВХ; ВХ + А = Х².

Наиболее значительным достижением арабов в алгебре был «Трактат о доказательствах задач» Омара Хайяма, посвященный в основном кубическим уравнениям. Хайям построил теорию кубических уравнений, основанную на геометрических методах древних. Он классифицировал все кубические уравнения с положительными корнями на 14 видов; каждый вид уравнения он решал соответствующим построением. Хайям пытался найти правило решения кубических уравнений в общем виде, но безуспешно.

Если отдельные зачаточные элементы сферической тригонометрии были известны еще древним грекам (например, Птолемей пользовался понятием «хорда угла»), то в систематическом виде тригонометрия создана арабскими математиками. Уже в работах аль-Баттани содержится значительная часть тригонометрии, включая таблицы значений котангенса для каждого градуса.

Историческая заслуга средневековых арабских математиков состояла в том, что они начали глубокие исследования по основаниям геометрии. Так, в сочинениях О. Хайяма и Насирэддина ат-Туси предприняты попытки доказать постулат о параллельных, основанные на введении эквивалентных этому постулату допущений (сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым и др.).



2. Математическая научная программа в развитии

Математическая программа, выросшая из философии Пифагора и Платона, начала развиваться уже в античные времена. В основе программы лежит представление о Космосе как упорядоченном выражении начальных сущностей, которые могут быть разными. Для Пифагора это были числа.

Арифметика трактовалась как центральное ядро всего Космоса в раннем пифагореизме, а геометрические задачи -- как задачи арифметики целых, рациональных чисел, геометрические величины -- как соизмеримые. Как заметил Ван-дер-Варден, «логическая строгость не позволяла им допускать даже дробей, и они заменяли их отношением целых чисел». Постепенно эти представления привели к возвышению математики как науки высшего ранга. Поздний пифагореец, Архит, писал: «Математики прекрасно установили точное познание, и потому вполне естественно, что они правильно мыслят о каждой вещи, какова она в своих свойствах... Они передали нам ясное и точное познание о скорости (движении) звезд, об их восхождениях и захождениях, а также о геометрии, о числах, о сферике и в особенности о музыке». Картина мира гармонична: протяженные тела подчинены геометрии, небесные тела -- арифметике, построение человеческого тела -- канону Поликлета.

Переход от наглядного знания к абстрактным принципам, вводимым мышлением, связывают с Пифагором. Софисты и элеаты, разработавшие системы доказательств, стали задумываться над проблемами отражения мира в сознании, так как ум человека влияет на его представление о мире. Платон отделил мир вещей от мира идей -- мир вещей способен только подражать миру идей, построенному иерархически упорядоченно. Он утверждал: «Необходимо класть в основу всего число». Мир идей созидается на основе математических закономерностей по божественному плану, и по этому пути математического знания об идеальном мире пойдет наука. Открытие несоизмеримости стороны квадрата и его диагонали, иррациональности чисел нанесло серьезный удар не только античной математике, но и космологии, теории музыки и учению о симметрии живого тела.

Математики стали задумываться над основаниями своей теории. Ее основой выбрали геометрию, сумевшую представить отношения, невыразимые с помощью арифметических чисел и отношений. Геометрия Платона -- «наука о том, как выразить на плоскости числа, по природе своей неподобные. Кто умеет соображать, тому ясно, что речь идет здесь о божественном, а не о человеческом чуде». Евдокс сформулировал теорию пропорций и ее приложения к геометрии. Он пришел к изучению сложных форм несоизмеримости с помощью беспредельного уменьшения остатков. Как позже писал Евклид: «Новое, более широкое понимание пропорций означало, что здесь, по сути дела, закладываются новые основания математики, новые представления об ее исходных понятиях, где иррациональные величины уже охвачены ими». Геометрия Евклида определила во многом структуру всей науки. Исходные понятия -- точка, прямая, плоскость, на них построены «идеальные объекты второго уровня» -- геометрические фигуры. При этом исходные понятия задаются системой аксиом.

Галилей и Ньютон создавали классическую физику по образцу «Начал» Евклида. Они сохранили системность и иерархичность. Частицы и силы -- «первичные идеальные объекты», заданные в рамках определенного раздела науки. С XVII в. утвердился взгляд на научность (достоверность, истинность) знания как на степень его математизации. «Книга природы написана на языке математики», -- считал Галилей. Математический анализ, развитие статистических методов анализа, связанных с познанием вероятностного характера протекания природных процессов, способствовали проникновению методов математики в другие естественные науки. И. Кант писал: «В любом частном учении о природе можно найти науки в собственном смысле лишь столько, сколько в ней имеется математики». Уравнения Максвелла оказались «умнее автора», показав, что свет есть волна электромагнитная. Специальная и общая теории относительности Эйнштейна опираются на новое представление о пространстве и времени. Продолжением их являются многочисленные программы «геометризации» различных физических полей по образцу гравитационного, по созданию многомерных пространств, в связи с чем появляются и различные обобщения римановой геометрии.

Главное достоинство математики в том, что она может служить как языком естествознания, так и источником моделей природных процессов. Хотя модели несколько односторонни и упрощенны, они способны отразить суть объекта. Одна и та же модель может успешно применяться в разных предметных областях, и потому ее эвристические возможности возрастают. А в чем «непостижимая эффективность математики» в естественных науках -- вопрос дискуссионный. Использование ЭВМ для облегчения умственного труда подняло метод моделирования на уровень наблюдения и эксперимента как основных средств познания. Среди всех преобразователей информации (зеркало, фотоаппарат, поэтический текст) ЭВМ при работе с любыми входными воздействиями перед совершением операции приводит их к «одному знаменателю», представляя их в виде конечности последовательности цифр -- информационной модели. Появились возможности оптимизировать сложные системы и уточнять цели и средства реконструкции действительности. Кибернетика дает новое представление о мире, основанное на связи, управлении, информации, вероятности, организованности, целесообразности[9].

математический естествознание научный



3. Методы научного познания. Применение математических методов в естествознании

Структура научного исследования представляет собой в широком смысле способ научного познания или научный метод как таковой. Метод - это совокупность действий, призванных помочь достижению желаемого результата. Первым на значение метода в Новое время указал французский математик и философ Р. Декарт в работе «Рассуждения о методе». Но еще ранее один из основателей эмпирической науки Ф. Бэкон сравнил метод познания с циркулем. Способности людей различны, и для того, чтобы всегда добиваться успеха, требуется инструмент, который уравнивал бы шансы и давал возможность каждому получить нужный результат. Таким инструментом и является научный метод.

А. Пуанкаре справедливо подчеркивал, что ученый должен уметь делать выбор фактов. «Метод -- это, собственно, и есть выбор фактов; и прежде всего, следовательно, нужно озаботиться изобретением метода»[10]. Не только уравнивает способности людей, но также делает их деятельность единообразной, что является предпосылкой для получения единообразных результатов всеми исследователями.

Современная наука держится на определенной методологии - совокупности используемых методов и учении о методе - и обязана ей очень многим. В то же время каждая наука имеет не только свой особый предмет исследования, но и специфический метод, имманентный предмету. Единство предмета и метода познания обосновал немецкий философ Гегель.

Следует четко представлять различия между методологиями естественнонаучного и гуманитарного познания, вытекающими из различия их предмета. В методологии естественных наук обычно не учитывают индивидуальность предмета, поскольку его становление произошло давно и находится вне внимания исследователя. Замечают только вечное круговращение. В истории же наблюдают самое становление предмета в его индивидуальной полноте. Отсюда специфичность методологии исторического познания.

Вообще, методология социального познания отличается от методологии естественнонаучного познания из-за различий в самом предмете:

1) социальное познание дает саморазрушающийся результат («знание законов биржи разрушает эти законы», -- говорил основатель кибернетики Н. Винер);

2) если в естественнонаучном познании все единичные факторы равнозначны, то в социальном познании это не так.

Поэтому методология социального познания должна не только обобщать факты, но иметь дело с индивидуальными фактами большого значения. Именно из них проистекает и ими объясняется объективный процесс.

«В гуманитарно-научном методе заключается постоянное взаимодействие переживания и понятия», -- утверждал В. Дильтей в статье «Сущность философии». Переживание столь важно в гуманитарном познании именно потому, что сами понятия и общие закономерности исторического процесса производны от первоначального индивидуального переживания ситуации. Исходный пункт гуманитарного исследования индивидуален (у каждого человека свое бытие), стало быть, метод тоже должен быть индивидуален, что не противоречит, конечно, целесообразности частичного пользования в гуманитарном познании приемами, выработанными другими учеными (метод как циркуль, в понимании Ф. Бэкона). Научный метод как таковой подразделяется на методы, используемые на каждом уровне исследований. Выделяются таким образом эмпирические и теоретические методы. К первым относятся: 1) наблюдение -- целенаправленное восприятие явлений объективной действительности; 2) описание -- фиксация средствами естественного или искусственного языка сведений об объектах; 3) измерение -- сравнение объектов по каким-либо сходным свойствам или сторонам; 4) эксперимент -- наблюдение в специально создаваемых и контролируемых условиях, что позволяет восстановить ход явления при повторении условий.

К научным методам теоретического уровня исследований следует отнести: 1) формализацию -- построение абстрактно-математических моделей, раскрывающих сущность изучаемых процессов действительности; 2) аксиоматизацию -- построение теорий на основе аксиом -- утверждений, доказательства истинности которых не требуется; 3) гипотетико-дедуктивный метод -- создание системы дедуктивно связанных между собой гипотез, из которых выводятся утверждения об эмпирических фактах.

Другим способом деления будет разбивка на методы, применяемые не только в науке, но и в других отраслях человеческой деятельности; методы, применяемые во всех областях науки; и методы, специфические для отдельных разделов науки. Так мы получаем всеобщие, общенаучные и конкретно-научные методы.

Среди всеобщих можно выделить такие методы, как:

1) анализ -- расчленение целостного предмета на составные части (стороны, признаки, свойства или отношения) с целью их всестороннего изучения;

2) синтез -- соединение ранее выделенных частей предмета в единое целое;

3) абстрагирование -- отвлечение от ряда несущественных для данного исследования свойств и отношений изучаемого явления с одновременным выделением интересующих нас свойств и отношений;

4) обобщение -- прием мышления, в результате которого устанавливаются общие свойства и признаки объектов;

5) индукция -- метод исследования и способ рассуждения, в котором общий вывод строится на основе частных посылок;

6) дедукция -- способ рассуждения, посредством которого из общих посылок с необходимостью следует заключение частного характера;

7) аналогия -- прием познания, при котором на основе сходства объектов в одних признаках заключают об их сходстве и в других признаках;

8) моделирование -- изучение объекта (оригинала) путем создания и исследования его копии (модели), замещающей оригинал с определенных сторон, интересующих исследователя;

9) классификация -- разделение всех изучаемых предметов на отдельные группы в соответствии с каким-либо важным для исследователя признаком (особенно часто используется в описательных науках -- многих разделах биологии, геологии, географии, кристаллографии и т. п.).

Большое значение в современной науке приобрели статистические методы, позволяющие определять средние значения, характеризующие всю совокупность изучаемых предметов. «Применяя статистический метод, мы не можем предсказать поведение отдельного индивидуума совокупности. Мы можем только предсказать вероятность того, что он будет вести себя некоторым определенным образом... Статистические законы можно применять только к большим совокупностям, но не к отдельным индивидуумам, образующим эти совокупности»[11].

Характерной особенностью современного естествознания является также то, что методы исследования все в большей степени влияют на его результат (так называемая «проблема прибора» в квантовой механике).

После триумфа классической механики Ньютона химия в лице Лавуазье, положившего начало систематическому применению весов, встала на количественный путь, а вслед за ней и другие естественные науки. «Таково первое основание, по которому физик не может обойтись без математики; она дает ему единственный язык, на котором он в состоянии изъясняться[12].

Дифференциальное и интегральное исчисление хорошо подходит для описания изменения скоростей движений, а вероятностные методы--для необратимости и создания нового. Все можно описать количественно, и тем не менее остается проблемой отношение математики к реальности. По мнению одних методологов, чистая математика и логика используют доказательства, но не дают нам никакой информации о мире (почему А. Пуанкаре и считал, что законы природы конвенциальны), а только разрабатывают средства его описания. Однако еще Аристотель писал, что число есть промежуточное между частным предметом и идеей, а Галилей полагал, что Книга Природы написана языком математики.

Не имея непосредственного отношения к реальности, математика не только описывает эту реальность, но и позволяет, как в уравнениях Максвелла, делать новые интересные и неожиданные выводы о реальности из теории, которая представлена в математической форме. Как же объяснить непостижимую истинность математики и ее пригодность для естествознания? Может все дело в том, что «механизм математического творчества, например, не отличается существенно от механизма какого бы то ни было иного творчества»[13]? Или более пригодны более сложные, системные объяснения?

По мнению некоторых методологов, законы природы не сводятся к написанным на бумаге математическим соотношениям. Их надо понимать как любой вид организованности идеальных прообразов вещей, или пси-функций. Есть три вида организованности: простейший -- числовые соотношения; более сложный -- ритмика 1-го порядка, изучаемая математической теорией групп; самый сложный -- ритмика 2-го порядка -- «слово». Два первых вида организованности наполняют Вселенную мерой и гармонией, третий -- смыслом. В рамках этого объяснения математика занимает свое особое место в познании[14].



Заключение

Без знания современной науки, без освоения ее идей, языка и методов невозможно принятие ответственных решений, которые требуются для управляемого развития. Как-то Станислав Лем подчеркнул, что «общая тенденция, заметная буквально повсюду, в том числе и в США, такова, что возрастающей сложности государственных, социальных, технических, наконец, глобальных проблем сопутствует явное снижение уровня компетентности правящих»[15].

Многочисленные кризисы, как и экологический кризис, поставивший нашу планету на грань катастрофы, возникли не из-за развития науки и техники, а из-за недостаточного распространения знания и культуры, в силу безответственности решений некомпетентных руководителей, равнодушия и бесконтрольного развития человеческих потребностей. Поэтому люди, собирающиеся стать управленцами, экономистами или юристами, должны понимать естественно-научную сущность анализируемых объектов, проблем и современных технологий. Сказанные ранее слова А. Эйнштейна дополняют эту мысль: «Ограничение области знания лишь небольшой группой людей ослабляет философский дух народа и ведет к духовному обнищанию»[16].

Общество ответственно за формирование реальных ценностей развития науки и техники, за воспитание нравственных устоев будущего человечества. Сейчас важно, чтобы научные разработки были восприняты обществом и востребованы им. Создание научной общественности должно быть одной из важнейших задач в обучении молодежи, поскольку восприятие достижений науки зависит от сознания общества больше, чем от самих достижений. Это особенно актуально в наше время, когда в условиях свободы слова средства массовой информации обеспечивают нас сенсациями на любой вкус. Только общественность, умеющая правильно оценить достижение и отличить его от ложного успеха, может помочь науке развиваться по правильному пути.

Список литературы

1. Дубнищева Т.Я. Концепции современного естествознания.6-е изд. Москва, 2006(стр.3);

2. Фролов Б.А. Числа в графике палеолита. Новосибирск, 1974 (239с.);

3. Найдыш В.М. Концепции современного естествознания. Москва, 1999 (стр.26-31);

4. Миклухо-Маклай Н.Н. Собр. соч. М.; Л., 1950. Т.1. (стр.141);

5. Вандер ванн дер Б.Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. М.: ГИФМЛ, 1959 (460 с.);

6. Рыбников К.А. История математики. 2-е изд. М., 1974 (455 с.);

7. Дитмар А.Б. География в античное время. (Очерк развития физико-географических идей.) М., 1980 (149 с.);

8. Рыбников К.А. История математики. М., 1974 (стр. 99);

9. Дубнищева Т.Я. Концепции современного естествознания.6-е изд. Москва, 2006(стр. 31-33);

10. А. Пуанкаре. Цит. соч. (стр.291);

11. А. Эйнштейн, Л. Инфельд. Эволюция физики.- М., 1965 (стр.231);

12. А. Пуанкаре. Цит. соч. (стр.220);

13. А. Пуанкаре. Цит. соч. (стр.285);

14. Горелов А.А. Концепции современного естествознания. Москва, 1997(стр. 21-23);

15. Коптюг В.А. Наука спасет человечество. Новосибирск, 1997 (стр.243)

16. Дубнищева Т.Я. Концепции современного естествознания.6-е изд. Москва, 2006(стр.600)

Размещено на Allbest.ru

...