Обработка серий измерений

Размещено на http://www.allbest.ru/

КУРСОВАЯ РАБОТА

Обработка серий измерений

1. Однократное измерение

При однократном измерении физической величины получено показание средства измерения X = 10. Определить, чему равно значение измеряемой величины, если экспериментатор обладает следующей априорной информацией: вид закона распределения - нормальный; Значение оценки среднего квадратического отклонения S_x=0,1; доверительная вероятность Р = 0,95; значение мультипликативной поправки составляет

Решение.

Границы, в которых находится значение измеряемой величины без учета поправки, определяются следующим образом:

где E - доверительный интервал. Значение E при при нормальном законе распределения определяется по формуле:

,

где t , для заданной доверительной вероятности Р выбирается из таблиц интегральной функции нормированного нормального распределения Ф(t) (приложение Б /5/) при этом следует учитывать, что Р = 2Ф(t).

С учетом заданной доверительной вероятности t = 1,96.

Границы, в которых лежит измеряемая величина без учета мультипликативной поправки, будут:

С учетом мультипликативной поправки, значение измеряемой величины лежит в пределах:

2. Многократное измерение

При многократном измерении одной и той же физической величины получена серия из 24 результатов измерений Q_i , i [1...24]. Эти результаты после внесения поправок представлены в таблице 1. Определить результат измерения с доверительной вероятностью P = 0,95.

Таблица 1 Исходные данные

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Qi	483	480	487	482	481	483	486	483	483	484	493	480
i	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24
Qi	484	481	480	481	484	485	485	484	483	483	485	492

Решение.

1) Определяем точечные оценки результатов измерения: среднее арифметическое и среднее квадратическое отклонение .

и

2) Обнаружение и исключение ошибок.

Вычисляем наибольшее по абсолютному значению нормированное отклонение:

мультипликативный интервал доверительный

.

Задаемся доверительной вероятностью Р = 0,95, тогда: q=1-Р=0,05. По таблице (таблица В.1, /5/) находим соответствующее теоретическое значение:

н_{q =}2,701.

Сравниваем н с н_q. Так как н > н_q, то данный результат измерения Q₁₁ = 493 является ошибочным. Исключаем его из наших измерений. Повторяем вычисления по пунктам 1 и 2 для сокращенной серии результатов измерений: n=23.

По таблице (таблица В.1, /5/): н_q = 2,688. Так как н > н_q, то данный результат измерения Q₂₄ = 492 является ошибочным. Исключаем его из наших измерений. Повторяем вычисления по пунктам 1 и 2 для сокращенной серии результатов измерений: n=22.

По таблице (таблица В.1, /5/): н_q = 2,664. Так как условие выполняется, то ошибочных результатов нет. Все ошибки измерения исключены.

3) Проверка гипотезы о нормальности распределения оставшихся результатов измерений.

Проверка выполняется по составному критерию. Применяя критерий 1, вычислим отношение:

d = 0,786

Зададимся доверительной вероятностью Р₁ = 0,98 и для уровня значимости q₁ = 1 - Р₁ = 0,02 с учетом n = 22 по соответствующей таблице (/5/, таблица Г.1), прибегая к линейной интерполяции, для n=22 находим d_1-0.5ql и d_0.5ql:

d_1-0.5ql = d_0,99 = 0,6968;

d_0.5ql = d_0,01 = 0,8993.

Так как d_1-0,5ql < d < d_0,5ql, гипотеза о нормальном законе распределения вероятности результата измерения согласуется с экспериментальными данными.

Применяя критерий 2, задаемся доверительной вероятностью Р₂ = 0,98 и для уровня значимости q₂ = 1 - Р₂ = 0,02 с учетом n = 22 определим по таблицам (/5/, таблица Г.2) значения m и Р*.

m = 2 и Р* = 0,98.

Для вероятности Р* = 0,98 из таблиц для интегральной функции нормированного нормального распределения Ф(t) (/5/,таблица Б.1) определяем значение: t = 2,326. Рассчитываем доверительный интервал:

Е = t•S_Q

Е = 2,326 •1,963= 4,566

Так как ни одна разность не превосходит Е, то гипотеза о нормальном законе распределения вероятности результата измерения согласуется с экспериментальными данными и закон можно признать нормальным с вероятностью Р₀ (Р₁ + Р₂ - 1). В данном случае с вероятностью Р₀ 0,96.

4) Определение стандартного отклонения среднего арифметического.

Так как закон распределения вероятности результата измерений признан нормальным, то стандартное отклонение определяем как:

.

5) Определение доверительного интервала.

Так как закон распределения вероятности результата измерений признан нормальным, то доверительный интервал для заданной доверительной вероятности Р = 0,95 определяется из распределения Стьюдента:

Е = tS,

где t выбирается из таблицы (/5/, Д.1), при этом m = n-1, б = P.

t = 2,074;

Е =2 ,0740,419 = 0,9

Таким образом, результат измерения можно представить следующим образом:

, Р = 0,95, n = 22.

Ответ: , Р = 0,95, n = 22.

3. Обработка результатов нескольких серий измерений

При многократных измерениях одной и той же величины получены две серии по 12 (n_j) результатов измерений в каждой. Эти результаты после внесения поправок представлены в таблицах 2 и 3. Вычислить результат многократных измерений. Результат измерения следует получить с достоверностью 0,95.

Таблица 2 Результаты измерений первой серии

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
QIi	483	480	487	482	481	483	486	483	483	484	493	480

Таблица 3 Результаты измерений второй серии

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
QIIi	484	481	480	481	484	485	485	484	483	483	485	492

Решение.

Обработку экспериментальных данных каждой из серий будем производить как для многократных измерений по пунктам 1-3 задания 2.

1 Обработка экспериментальных данных в первой серии.

1) Определяем точечные оценки результатов измерения:

и

2) Обнаружение и исключение ошибок.

.

Задаемся доверительной вероятностью Р = 0,95, тогда: q=1-Р=0,05. По таблице (таблица В.1, /5/) находим соответствующее теоретическое значение:

н_{q =}2,688.

Так как н > н_q, то данный результат измерения Q₁₁ = 493 является ошибочным. Исключаем его из наших измерений. Повторяем вычисления по пунктам 1 и 2 для сокращенной серии результатов измерений: n=11.

и

Теоретическое значение: н_q = 2,688. Так как н < н_q, то результаты измерения с величиной Q₃ = 487 не являются ошибочными. Все ошибки измерения исключены.

3) Проверка гипотезы о нормальности распределения оставшихся результатов измерений.

Критерий 1.

d = 0,745

Задаемся доверительной вероятностью P₁ = 0,98 , тогда уровень значимости q₁ = 1-Р₁ = 0,02.

По соответствующей таблице для n=11 (/5/, таблица Г.1) определим квантили распределения d_1-0.5ql и d_0.5ql:

d_1-0.5ql = d_0,99 = 0,6675;

d_0.5ql = d_0,01 = 0,9359.

Так как d_1-0,5ql < d < d_0,5ql , гипотеза о нормальном законе распределения вероятности результата измерения согласуется с экспериментальными данными.

Применяя критерий 2, задаемся доверительной вероятностью Р₂ = 0,98 и для уровня значимости q₂ = 1 - Р₂ = 0,02 с учетом n = 11 определим по таблицам (приложение Г ) значения m и Р*.

m = 1 и Р* = 0,98.

Для вероятности Р* = 0,98 из таблиц для интегральной функции нормированного нормального распределения Ф(t) (/5/,таблица Б.1) определяем значение: t = 2,326. Рассчитываем доверительный интервал:

Е = t•S_Q

Е = 2,326 •2,212 = 4,906

Так как ни одна разность не превосходит Е (m_э < m), то гипотеза о нормальном законе распределения вероятности результата измерения согласуется с экспериментальными данными и закон можно признать нормальным с вероятностью Р₀ (Р₁ + Р₂ - 1). В данном случае с вероятностью Р₀ 0,96.

2 Обработка экспериментальных данных во второй серии.

1) Определяем точечные оценки результатов измерения:

и

2) Обнаружение и исключение ошибок.

.

Задаемся доверительной вероятностью Р = 0,95, тогда: q=1-Р=0,05. По таблице (/5/,таблица В.1) находим соответствующее теоретическое значение:

н_{q =}2,387.

Так как н > н_q, то данный результат измерения Q₁₂ = 492 является ошибочным. Исключаем его из наших измерений. Повторяем вычисления по пунктам 1 и 2 для сокращенной серии результатов измерений: n=11.

и

Теоретическое значение: н_q = 2,688. Так как н < н_q, то результаты измерения с величиной Q = 485 не являются ошибочными. Все ошибки измерения исключены.

3) Проверка гипотезы о нормальности распределения оставшихся результатов измерений.

Критерий 1.

d = 0,848

Задаемся доверительной вероятностью P₁ = 0,98 , тогда уровень значимости q₁ = 1-Р₁ = 0,02. По таблицам (/5/, таблица Г.1) определяем квантили распределения для n = 11 и q₁ = 0,02:

d_1-0,5ql = 0,6675 и d_0,5ql = 0,9359.

Так как d_1-0,5ql < d < d_0,5ql , гипотеза о нормальном законе распределения вероятности результата измерения согласуется с экспериментальными данными.

Применяя критерий 2, задаемся доверительной вероятностью Р₂ = 0,98 и для уровня значимости q₂ = 1 - Р₂ = 0,02 с учетом n = 11 определим по таблицам (/5/, таблица Г.2) значения m и Р*.

m = 1 и Р* = 0,98.

Для вероятности Р* = 0,98 из таблиц для интегральной функции нормированного нормального распределения Ф(t) (/5/,таблица Б.1) определяем значение: t = 2,326. Рассчитываем доверительный интервал:

Е = t•S_Q

Е = 2,326 •1,779= 4,138

Так как ни одна разность не превосходит Е (m_э < m), то гипотеза о нормальном законе распределения вероятности результата измерения согласуется с экспериментальными данными и закон можно признать нормальным с вероятностью Р₀ (Р₁ + Р₂ - 1). В данном случае с вероятностью Р₀ 0,96.

3 Проверка значимости различия средних арифметических серий.

Вычисляем моменты закона распределения разности:

.

G =-0,273..

.

.

Задавшись доверительной вероятностью Р = 0,95, определяем из соответствующих таблиц интегральной функции нормированного нормального распределения Ф(t) значение: t = 1,96.

t S_g = 1,96 0,856 = 1,678.

Так как |G|t·S_{g ,} то различие между средними арифметическими в сериях с доверительной вероятностью Р = 0,95 можно признать незначимым.

4 Проверка равнорассеянности результатов измерений в сериях.

Для проверки равнорассеянности результатов измерений в сериях определим значение отношения оценок дисперсий:

Задавшись доверительной вероятностью Р=0,95, определим из соответствующих таблиц значение аргумента интегральной функции распределения вероятности Фишера . При n₁=n₂=11 и доверительной вероятности Р=0,95 значение .

Т.к. , то серии с доверительной вероятностью Р=0,95 считают рассеянными.

5 Совместная обработка результатов измерения обеих серий.

Т.к. серии однородны (равнорассеянны с незначимым различием средних арифметических), то все результаты измерения следует объединить в единый массив и выполнить обработку. Определим оценку результата измерения и среднего квадратического отклонения :

,

;

,

где n₁ и n₂ - числа оставшихся результатов измерений, соответственно, в 1-й и 2-й сериях после исключения ошибок.

Задавшись доверительной вероятностью Р=0,95, определим из таблиц распределения Стьюдента значение t для числа степеней свободы m.

;

.

При m=20 и доверительной вероятности Р=0,95 коэффициент Стьюдента равен:

t=2,086.

Определим доверительный интервал

;

Таким образом, результат измерения для обеих серий можно представить следующим образом:

= 483,0± 0,9, Р = 0,95, n = 22

Ответ: = 483,0± 0,9, Р = 0,95, n = 22

4. Функциональные преобразования результатов измерений (косвенные измерения)

При многократных измерениях независимых величин X и У получено по 12 (n) результатов измерений. Эти результаты после внесения поправок представлены в таблице 4. Определить результат вычисления Z = f (X,У), (вид функции Z и характер величин X, У, Z представлены в таблице 5).

Таблица 4 Результаты измерений

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Xi	483	480	487	482	481	483	486	483	483	484	493	480
Yi	484	481	480	481	484	485	485	484	483	483	485	492

Таблица 5 Исходные данные

Z=f (X,Y)	Характер и единицы величин
	X	Y	Z
Z=X/(Y+10)	ЭДС, мВ	Сопротивление, Ом	Сила тока, А

РЕШЕНИЕ.

Обработка экспериментальных данных при функциональном преобразовании результатов измерений осуществляется с учетом того, что n = 12, следовательно, порядок расчетов и их содержание определяются условием 10...15 < n < 40...50.

При определении Z необходимо предварительно выразить значения величин X и Y в единицах системы СИ.

Таблица 6 Результаты измерений, выраженные в системе СИ

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Xi	0,483	0,480	0,487	0,482	0,481	0,483	0,486	0,483	0,483	0,484	0,493	0,483
Yi	484	481	480	481	484	485	480	481	483	483	485	492

1 Обработка результатов измерений величины X

Обработку экспериментальных данных будем производить как для многократных измерений по пунктам 1-3 задания 2.

Обработаем результаты измерений величин X и Y отдельно по алгоритму, изложенному в пп. 1-3 задания 2, при этом необходимо определить оценки результатов измерений X, Y и средних квадратических отклонений , ; обнаружить и исключить ошибки; проверить гипотезу о нормальности распределения оставшихся результатов измерений. Все расчеты приведены в задании 3.

В

Ом

В

Ом

3 Определение оценки среднего значения функции.

4 Определение поправки.

Поправку определяем по формуле:

5 Определение оценки стандартного отклонения функции.

Оценка стандартного отклонения функции находится по формуле:

6 Определение доверительного интервала для функции.

Доверительный интервал для функции находим из формулы: Е_Z = tS.

Так как законы распределения вероятности результатов измерения X и Y признаны нормальными, то t можно определить для принятой доверительной вероятности Р = 0,95 из таблиц для распределения Стьюдента. При этом число степеней свободы m определятся из выражения:



Так для Р = 0,95 и m = 10: t = 2,16;

Е_Z = 2,2161,610^-6 = 3,510^-6 А.

Результат вычисления можно представить так:

Ответ:

5. Обработка экспериментальных данных при изучении зависимости

При многократных совместных измерениях величин X и Y получено по 20 (n) пар результатов измерений. Эти измерения после внесения поправок представлены в таблице 7. определить уравнение регрессии Y по X: Y=f(X)

Таблица 7 Исходные данные

Х	91	92	93	94	95	96	97	98	99	100
Y	880	891	901	912	922	935	943	957	966	975
X	9	19	29	39	49	59	69	79	89	99
Y	87	188	286	386	485	575	667	770	868	966

Решение.

5.1 Исследование зависимости X=f(Y)

1) Построим в осях координат X и Y n экспериментальных точек с координатами и , (рис. 1).

Рисунок 1- Кривая по экспериментальным точкам в координатной плоскости Y от X

Для уравнения регрессии будем использовать полином степени m:

.

Выдвигаем гипотезу, что в первом приближении уравнение регрессии описывает полином первой степени, уравнение которого имеет вид:

.

2) Определим параметры уравнения регрессии по методу наименьших квадратов. Получим систему уравнений:

;

Решив систему, получим:

,

.

Таким образом, уравнение регрессии будет выглядеть следующим образом:

.

Строим график функции и уравнение регрессии (полином первой степени) по полученным коэффициентам в одной координатной плоскости (рисунок 2).



Рисунок 2 Кривая по экспериментальным точкам в координатной плоскости Y от X и уравнение регрессии) по полученным коэффициентам

3) Проверим правильность выбора вида уравнения регрессии. Применим непараметрический критерий серий и инверсий. - рассчитаем отклонения экспериментальных значений от соответствующих значений , рассчитанных для того же аргумента по полученному уравнению регрессии (таблица 8) - построим в осях координат и полученные значения для соответствующих (рис. 2).

- рассчитаем число серий в полученной последовательности (под серией понимается последовательность отклонений одного знака, перед и после которой следует отклонение противоположного знака или нет вообще никаких отклонений): .

- зададимся доверительной вероятностью , и для определим по таблице (/5/,таблица Ж) допустимые границы:

, ;

Таблица 8 Отклонения экспериментальных значений Y_эi от соответствующих значений Y_рi, рассчитанных для того же аргумента X_i по полученному уравнению регрессии

X	Y	Y'=A+B*X	ДY=Y-Y'
91	880	885,353	-5,353
92	891	895,037	-4,037
93	901	904,721	-3,721
94	912	914,405	-2,405
95	922	924,089	-2,089
96	935	933,773	1,227
97	943	943,457	-0,457
98	957	953,141	3,859
99	966	962,825	3,175
100	975	972,509	2,491
9	87	91,265	-4,265
19	188	188,105	-0,105
29	286	284,945	1,055
39	386	381,785	4,215
49	485	478,625	6,375
59	575	575,465	-0,465
69	667	672,305	-5,305
79	770	769,145	0,855
89	868	865,985	2,015
99	966	962,825	3,175



Рисунок 3 Полученные значения ДY_i для соответствующих X_i.

- рассчитаем число инверсий A в полученной последовательности (под инверсией понимается событие, заключающееся в том, что при )

,

где - это число инверсий j-го члена последовательности.

А=0+2+2+2+2+7+3+10+9+7+1+2+3+5+5+1+0+0+0=61

- зададимся доверительной вероятностью , и для определим по таблице (/5/,таблица И) допустимые границы:

,.

Т. к. и , то с вероятностью 0,98 можно считать, что отклонения экспериментальных значений , от соответствующих значений найденного уравнения регрессии являются случайными, не содержат аддитивного, мультипликативного или колебательного трендов, т. е. рассчитанное уравнение регрессии достоверно описывает экспериментально исследуемую зависимость между величинами и . Эта зависимость описывается уравнением: .

Ответ: .

Исследование зависимости X =f(Y)

1) Построим в осях координат X и Y n экспериментальных точек с координатами и , (рис. 4).

Рисунок 4 Кривая по экспериментальным точкам в координатной плоскости X от Y

Для уравнения регрессии будем использовать полином степени :

.

Выдвигаем гипотезу, что в первом приближении уравнение регрессии описывает полином первой степени, уравнение которого имеет вид:

.

2) Определим параметры уравнения регрессии по методу наименьших квадратов. Получим систему уравнений:

;

Решив систему, получим:

Подставляя значения X и Y, получаем:

В =0,103; А = -0,414

Таким образом, уравнение регрессии будет выглядеть следующим образом:

Строим график функции и уравнение регрессии (полином первой степени) по полученным коэффициентам в одной координатной плоскости (рисунок 5).



Рисунок 5 Кривая по экспериментальным точкам в координатной плоскости Y от X и уравнение регрессии) по полученным коэффициентам

3) Проверим правильность выбора вида уравнения регрессии. Применим непараметрический критерий серий и инверсий.

- рассчитаем отклонения экспериментальных значений от соответствующих значений , рассчитанных для того же аргумента по полученному уравнению регрессии (таблица 9)

- построим в осях координат и полученные значения для соответствующих (рис. 6).

- рассчитаем число серий в полученной последовательности (под серией понимается последовательность отклонений одного знака, перед и после которой следует отклонение противоположного знака или нет вообще никаких отклонений): .

- зададимся доверительной вероятностью , и для определим по таблице (приложение Ж) допустимые границы:

, ;

Таблица 9 Отклонения экспериментальных значений X_эi от соответствующих значений X_рi, рассчитанных для того же аргумента Y_i по полученному уравнению регрессии

Y	X	X'=A+B*Y	ДX=X-X'
880	91	90,226	0,774
891	92	91,359	0,641
901	93	92,389	0,611
912	94	93,522	0,478
922	95	94,552	0,448
935	96	95,891	0,109
943	97	96,715	0,285
957	98	98,157	-0,157
966	99	99,084	-0,084
975	100	100,011	-0,011
87	9	8,547	0,453
188	19	18,950	0,050
286	29	29,044	-0,044
386	39	39,344	-0,344
485	49	49,541	-0,541
575	59	58,811	0,189
667	69	68,287	0,713
770	79	78,896	0,104
868	89	88,990	0,010
966	99	99,084	-0,084



Рисунок 6 Полученные значения ДX_i для соответствующих Y_i.

- рассчитаем число инверсий A в полученной последовательности (под инверсией понимается событие, заключающееся в том, что при )

,

где - это число инверсий j-го члена последовательности.

А=129

- зададимся доверительной вероятностью , и для определим по таблице (/5/,таблица И) допустимые границы:

,.

Т. к. и , то с вероятностью 0,98 можно считать, что отклонения экспериментальных значений , от соответствующих значений найденного уравнения регрессии являются случайными, не содержат аддитивного, мультипликативного или колебательного трендов, т. е. рассчитанное уравнение регрессии достоверно описывает экспериментально исследуемую зависимость между величинами и . Эта зависимость описывается уравнением: .

Ответ: .

Список литературных источников

1 Шишкин И.Ф. Метрология, стандартизация и управление качеством - М.: Изд-во стандартов, 1990.

2 Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов / И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев - М.: Наука, 1986.- 544 с.

3 Атамалян Э.Г. Приборы и методы измерения электрических величин.- М.: Высшая школа, 1989.- 384 с.

4 Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных / Дж. Бендат, А. Пирсол. - М.: Мир, 1989. - 540 с.

5 Подмастерьев К. В., Пахолкин Е. В., Мишин В. В. Обработка результатов измерений - Методические указания по выполнению расчетно-графических и курсовых работ по метрологическим дисциплинам. Орел 2006.

Размещено на Allbest.ru

...