Анализ определения математической функции

Размещено на http://www.allbest.ru/

Функция

1. Определение функции

Как уже говорилось выше, переменная величина может быть независимой, ее чаще всего называют аргументом, и зависимой или функцией.

Определение 1. Пусть заданы два множества и . Если каждому элементу множества ставится в соответствие элемент множества , говорят, что на множестве задана функция , или что переменная является функцией .

Чаще всего используется обозначение или . Функция называется однозначной, если каждому соответствует единственный элемент множества . Если каждому соответствует несколько элементов множества , функция - многозначная. Если каждому соответствует единственный элемент множества и каждому элементу соответствует один элемент множества , функцию называют взаимно однозначной.

Определение 2. Множество называется областью существования, или областью задания функции . Иногда область задания может быть уже области существования. Например, областью существования функции является вся числовая ось, однако, можно использовать (задать) ее только на одном периоде .

Областью существования является вся числовая ось, либо ее часть. Частью числовой оси может быть интервал (промежуток), или отрезок (сегмент). Вся числовая ось обозначается или . Интервал обозначается или и включает в себя все точки от a до b, кроме самих этих точек. Отрезок или , кроме внутренних, точек включает обе граничные точки. Областью существования может быть и полуинтервал, например, (или ), включающий в себя все внутренние точки от a до b и граничную точку b.

Определение 3. Множество называют областью значений функции .

Определения 1-3 относятся к функциям одной независимой переменной (функции одной переменной).

Определение 4. Если функция зависит от большего количества независимых переменных, ее называют функцией многих переменных.

Так функция трех переменных, функция n переменных. Сокращенная запись таких функций , , здесь M - точка n - мерного евклидова пространства, обозначенного , (о нем речь пойдет ниже). При имеем функцию одной переменной, при - функцию двух переменных и так далее.

Областью существования функции двух переменных может быть либо плоскость , либо ее часть. Часть плоскости без граничных точек называется открытой (аналог интервала) и замкнутой, если граничные точки входят в нее (аналог отрезок).

Пример. Рассмотрим две функции и .

Первая функция существует при , то есть в области . Но это круг радиуса 1 с центром в начале координат. Из неравенства следует, что точки области, лежащие на границе, то есть точки окружности входят в область существования, являющейся, следовательно, замкнутой.

Вторая функция существует при , то есть в открытой области , поскольку граничные точки в нее не входят.

На данном этапе будут рассматриваться только функции одной переменной.

2. Способы задания функции

Функция может задаваться аналитически (с помощью формулы), таблицей, или графиком. Выбор задания функции является прерогативой исследователя, руководствуется он соображениями удобства, наглядности, или возможностями используемой при расчетах техники.

Остановимся на аналитическом задании функции. Возможно

a) явное задание функции , дающее возможность считать независимой переменной (аргументом), а функцией,

b) неявное задание функции , когда одна из двух переменных является зависимой, поскольку определяется из уравнения, и в то же время позволяющее не определять, какая из них зависимая, если на данном этапе исследования это установить невозможно,

c) параметрическое задание , здесь некоторый параметр, позволяющий получить дополнительную информацию об исследуемом процессе, что покажем на примере. Имеем уравнение окружности . Это уравнение является примером неявного задания функции.

Решив это уравнение относительно , получаем явное задание той же функции, в котором определено, что аргументом является , а функцией . Если принять , приходим к параметрическому заданию той же окружности, поскольку при таком задании переменных неявное уравнение окружности превращается в тождество. Преимущество этого задания функции в следующем. Предположим, что исследуется движение точки, описываемое указанными уравнениями. Явное и неявное уравнения дают информацию, что движение происходит по окружности. Параметрическое задание указывает, кроме того, месторасположение движущегося тела на окружности. Так при тело имеет декартовы координаты , при оно перемещается в верхнюю точку окружности . Это позволяет при необходимости следить за движением тела. В частности, снимать информацию со спутников Земли, движущихся по орбитам, близким к эллипсу, устанавливая промежутки времени, когда спутник находится в "радиовидимости".

3. Элементарные функции

Эти функции подробно изучались в школе. Здесь приводятся уравнения чаще всего встречающихся функций, области их существования и графики.

1. Степенная функция , основание этой функции переменная величина, показатель степени постоянная.

Область существования зависит от показателя степени. При целом и положительном область существования , другая запись . При положительном, дробном и нечетном область существования та же, при положительном, дробном и четном область существования , другая запись . При целом и отрицательном область существования , то есть вся числовая без точки 0, при целом и положительном область существования .

Некоторые графики степенной функции:

a)	b)
с)	d)

e)

2. Тригонометрические функции

а) , b) .

Область существования обеих функций вся числовая ось, область значений .

с) ,

область существования - числовая ось, кроме точек

,

где любое целое число.

d) ,

область существования - числовая ось, кроме точек . Область значений функций и вся числовая ось.

Графики тригонометрических функций

3. Показательная функция , при этом считается, что основание и не равно единице. Область существования и область значений - вся числовая ось. График функции

4. Логарифмическая функция , область существования , область значений - вся числовая ось. График функции

4. Последовательности, их пределы

Определение 1. Последовательностью называется множество, поставленное в соответствие по определенному закону множеству натуральных чисел.

Нетрудно заметить, что последовательность является частным случаем функции, область существования которой представляет собой множество натуральных чисел. Однако при определении функции элементы множества перебираются произвольным образом, а в числовой последовательности они последовательно принимают значения от 1 до .

Обозначение последовательности , причем в фигурных скобках указан закон, по которому строится последовательность (общий ее член)

Последовательности бывают числовыми, когда каждый ее элемент - число, и функциональными, если каждый ее элемент - функция.

Последовательности бывают сходящимися, если имеют предельную точку, и расходящимися, когда таковой нет. Покажем это на примерах.

Рассмотрим числовые последовательности



Заметим, что элементы первой последовательности с ростом n убывают, оставаясь положительными. Очевидно, при больших значениях n они все меньше отличаются от нуля. Следовательно, предельной точкой этой последовательности (ее пределом) является 0. Элементы второй последовательности возрастают с ростом n, стремясь к бесконечности. Значит, эта последовательность расходящаяся. Элементы третьей последовательности не возрастают и не убывают, предельной точки у нее нет. Итак, первая последовательность сходящаяся, две другие - расходящиеся. Обозначение предела последовательности . Следовательно,

.

Можно записать , то есть, предельной точки нет.

Определение 2. Последовательность называется ограниченной сверху, если имеется такое число M, что все . Последовательность называется ограниченной снизу, если имеется такое число m, что все . Последовательность называется ограниченной, если она ограничена снизу и сверху.

Теорема. Монотонно возрастающая и ограниченная сверху последовательность имеет предел. Монотонно убывающая и ограниченная снизу последовательность имеет предел.

Пример. Рассмотрим последовательность



Ясно что все элементы последовательности положительны, они возрастают с ростом n, и поскольку числитель всегда меньше знаменателя, ни один элемент не превышает единицы. Итак, последовательность монотонно возрастающая и ограничена сверху единицей, она сходящаяся. Рассмотри ее предел

.

Определение 3. Подпоследовательностью последовательности называется любая последовательность, целиком входящая в .

Так последовательности

являются подпоследовательностями последовательности .

Теорема. Если последовательность имеет предел, любая ее подпоследовательность имеет тот же предел.

Нетрудно заметить, что как сама последовательность , так и обе вышеприведенные ее подпоследовательности имеют предел 0.

5. Предел функции

Начнем рассмотрение этого вопроса с примера. Дана функция . Рассмотрим ее предел . Дробь с ростом монотонно убывает, принимая только положительные значения. Следовательно, ее предел не может быть отрицательным числом. Рассмотрим положительное число . Может ли оно быть пределом данной функции при ? Очевидно, нет, так как при дробь принимает значения, меньшие этого числа. История повторяется, если взять в качестве предела любое другое, сколь угодно малое число. Все это позволяет утверждать, что . Итак, предел функции при совпадает с пределом последовательности . Однако, в отличие от предела последовательности x не обязательно должен стремиться к бесконечности. Можно рассмотреть, например, . Если стремить x к нулю, подходя к этой точке справа или слева, с уменьшением x дробь возрастает, и при очень малых значениях x она принимает сколь угодно большие положительные значения. Ясно, что . Можно вычислить . Исследуя график этой функции, устанавливаем, что с какой стороны не приближаться к точке 3, получаем

.

Отсюда следуют два заключения. Первое - в отличие от предела последовательности, когда n всегда стремится к бесконечности, предел функции можно вычислять при стремлении x к любому числу. Второе - предел функции показывает, к чему стремится функция при подходе к предельной точке, поэтому вычисление пределов имеет смысл только тогда, когда в предельной точке функция не существует, в других точках проще подсчитать ее значение непосредственной подстановкой. Так функция при имеет значение . Очевидно, график этой функции приведет нас в точку . Никаких пределов вычислять не надо. В то же время, не имея возможности вычислить значение функции при , но зная, что можно утверждать, что график функции при возрастании x все ближе и ближе подходит к оси . Аналогично, не имея возможности подсчитать значение функции при (деление на нуль) и зная, что , можно установить, что при подходе к этой точке как слева, так и справа функция принимает все большие значения, уходя в бесконечность вдоль оси .

Дадим математические определения предела функции.

Определение 1. Число b называется пределом функции при , если для любой сходящейся к a, последовательности значений аргумента функции , соответствующая ей функциональная последовательность сходится к b.

Это определение обобщает рассмотренные выше примеры, однако не дает возможности вычислять пределы. В самом деле, выбрав некоторую последовательность значений аргумента , подходящую к предельной точке , скажем, справа и установив, что соответствующая ей функциональная последовательность , мы ничего еще не доказали, поскольку всегда остается вопрос, а для другой последовательности , но слева, будет ли также стремиться к b? А для третьей, четвертой? Приведем пример, когда для разных последовательностей последовательности стремятся к разным значениям. Рассмотрим функцию . И посмотрим, как она ведет себя при ? Выберем последовательность значений аргумента

,

где n - натуральное число. Очевидно, при , оставаясь положительным, то есть последовательность подводит нас к точке 0 справа. Ясно и то, что дробь при приближении к нулю возрастает, оставаясь положительной и, следовательно, стремится к плюс бесконечности. Рассмотрим другую последовательность аргументов

.

Очевидно, принимает отрицательные значения, также стремясь при этом к нулю. Итак, , а дробь , возрастая по величине, отрицательна, следовательно, стремится к минус бесконечности. Итак, при подходе к предельной точке справа функциональная последовательность

,

а при подходе слева функциональная последовательность Отсюда следует, что в соответствии с определением не существует. Как быть в таких случаях, рассмотрим позднее.

Определение 2.

.

Словесная формулировка этого определения: число b называется пределом функции при x стремящемся к a, если для любого положительного существует такое, что при выполнении неравенства , выполняется неравенство .

В литературе имеется доказательство эквивалентности этих двух определений.

6. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определение 1. Функция называется бесконечно малой функцией (бесконечно малой) при , если .

Определение 2. Функция называется бесконечно большой функцией (бесконечно большой) при , если .

Замечание. Бесконечно малая функция не всегда принимает малые значения так же, как и бесконечно большая функция может принимать и небольшие значения. Более того, одна и та же функция может быть и бесконечно малой и бесконечно большой. Так функция является бесконечно малой при , так как . Эта же функция является бесконечно большой при , поскольку . Однако, являясь бесконечно большой при , эта функция принимает малые значения при больших значениях , например при , она равна .

Ясно также и то, что если называется бесконечно малой функцией при , то - бесконечно большая при . Аналогично, бесконечно малая при .

Определение 3. Если при является бесконечно малой и , где K - конечное число, то при бесконечно малая того же порядка малости, что . При эти две функции называются эквивалентными бесконечно малыми.

Определение 4. Если при является бесконечно малой и , то при есть бесконечно малая более высокого порядка малости, чем .

Свойства бесконечно малых (функций)

1. Сумма двух бесконечно малых - есть бесконечно малая.

Доказательство. Даны две бесконечно малые , при . Из второго определения предела функции следует, что

,

,

причем чем меньше , тем меньше и .

Очевидно, найдутся такие , при которых

,

и если , то при выполняются оба неравенства и . Из неравенства следует, что

,

то есть , что требовалось доказать.

Следствие. Сумма конечного числа бесконечно малых - есть бесконечно малая.

2. Бесконечно малая, умноженная на конечное число остается бесконечно малой.

Доказательство. Пусть , а конечное число . Из определения бесконечно малой следует

,

тогда найдется такое при ( при ), что

.

Поскольку , имеем



Другими словами . Свойство доказано.

3. Произведение бесконечно малых также бесконечно малая. По сути это свойство следует из предыдущего.

Лемма. Значение функции отличается от ее предельного значения на бесконечно малую. Другими словами, если и , то .

Необходимость. Пусть и докажем, что бесконечно малая при . Из второго определения предела имеем

,

но , следовательно,

,

следовательно, бесконечно малая.

Достаточность. Имеем , причем , нужно доказать, что . Из следует и поскольку , имеем

.

Доказано.

7. Свойства пределов функции

1. Предел постоянной равен самой этой постоянной.

Свойство следует из первого определения предела функции. В самом деле, пусть тогда для любой последовательности значений аргумента , функциональная последовательность , то есть все ее элементы равны c. Очевидно .

2. Предел суммы двух функций равен сумме их пределов, другими словами, если существую пределы , , то

.

Доказательство. Из леммы следует

,

где бесконечно малые при . Суммируем два полученных из леммы равенства

,

но подчеркнутые члены являются бесконечно малой как сумма бесконечно малых. Следовательно, левая часть формулы отличается от на бесконечно малую. Из той же леммы следует

,

что требовалось доказать.

3. Предел произведения равен произведению пределов, то есть при существовании пределов , имеет место

.

Доказательство. Из леммы имеем

.

Перемножаем левые и правые части равенств

.

Из свойств бесконечно малых следует, что подчеркнутое выражение является бесконечно малой, откуда имеем

.

,

если пределы числителя и знаменателя существуют и (без доказательства).

5. Постоянную можно выносить из под знака предела. Это утверждение следует из свойства 3.

6. Если в окрестности предельной точки , то .

Доказательство. Рассмотрим функцию . Она положительна в окрестности предельной точки. Следовательно, ее предел не может быть отрицательной величиной, тогда

.

7. Если , причем , то .

Доказательство. Переходим к пределу в двойном неравенстве с учетом предыдущего свойства. Очевидно, . С другой стороны, . Выполнение обоих неравенств возможно лишь при . Это правило иногда называют "правилом двух полицейских", суть которого в следующем. Если вас ведут под руки двое полицейских и идут они в участок, то вы окажетесь там же.

8. Левый и правый пределы функции

Как уже говорилось выше, особый интерес представляет вычисление предела функции при стремлении ее аргумента к особой точке - точке, в которой функция не существует. В этом случае можно установить поведение функции в окрестности этой особой точки. Остается открытым вопрос, как выяснить поведение функции вблизи особой точки, если предела в этой точке не существует? Для этого вводятся понятия левого и правого пределов функции (предел слева, предел справа).

Левый предел функции существует и равен b, если для любой последовательности значений ее аргумента при соответствующая функциональная последовательность сходится к b.

Правый предел функции существует и равен с, если для любой последовательности значений ее аргумента при соответствующая функциональная последовательность сходится к c.

Обозначения этих пределов соответственно, .

Очевидно, необходимым условием существования предела функции является равенство левого и правого ее пределов.

Итак, левый и правый пределы функции показывают ее поведение при подходе к предельной точке соответственно слева и справа. Выше была рассмотрена функция . Там же исследовалось поведение этой функции в окрестности точки 0, в которой функция не существует. Для этого были рассмотрены две последовательности значений аргумента и , то есть фактически вычислялись левый и правый пределы этой функции. Для первой последовательности предел функциональной последовательности , следовательно, левый предел равен , правый предел равен . Нетрудно заметить, что непосредственное вычисление пределов с использованием только их определений весьма затруднительно. Позже будут показаны другие процедуры, позволяющие значительно упростить вычисление пределов. Замечание. Понятие предела легко обобщается на функцию нескольких переменных. Рассмотрим функцию , , где M - точка n - мерного евклидова пространства, обозначенного ранее , другими словами . Пусть точка является предельной точкой, в окрестности которой необходимо знать поведение функции. Как уже говорилось выше, для этого следует вычислить предел

.

Если для вычисления предела функции одной переменной достаточно было рассмотреть последовательности значений аргумента лежащих на оси , то для функции двух переменных приходится рассматривать последовательности, подходящие к предельной точке со всех других направлений (сверху, снизу, под различными углами к оси ). И доказывать, что функциональные последовательности для каждой из последовательностей аргумента стремятся к одному и тому же числу. Еще хуже ситуация при большем значении независимых переменных. Все это значительно усложняет вычисление предела непосредственно из его определения. последовательность предел функция интервал

9. Замечательные пределы

1. Первый замечательный предел

.

2. Второй замечательный предел

,

где иррациональное число, как и представимое "бесконечной" десятичной дробью. С точностью до второго десятичного знака .

3. Третий замечательный предел

.

Здесь используется, так называемый, натуральный логарифм , то есть логарифм, основанием которого является только что введенное число e. Следует заметить, что в высшей математике чаще всего используют именно эти логарифмы.

4. Четвертый замечательный предел

.

Здесь вводится новая показательная функция с основанием e, чаще всего называемая экспонентой.

10. Непрерывность функции в точке и на интервале

Введем несколько определений непрерывной функции в точке.

Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если предел этой функции при ,стремящемся к , равен значению функции в этой точке, то есть .

Определение 2. Функция непрерывна в точке , если

.

Поскольку оба определения предела функции эквивалентны, эти два определения непрерывной функции также следуют одно из другого.

Определение 3. Предел приращения функции стремится к нулю при стремлении к нулю приращения ее аргумента. Пусть приращение аргумента, то есть число, на которое изменилось значение аргумента . Приращение может быть как положительным, так и отрицательным. Обозначим приращение функции, то есть ее изменение в результате приращения аргумента . Если , то . При этом называют исходным значением функции, а наращенным ее значением. Приращение функции также может быть как положительным, так и отрицательным числом. Аналитическая форма записи третьего определения непрерывности .

Покажем, что это определение следует из первого, а следовательно, и из второго, используя свойство пределов

.

Значение предела равно , что следует из первого определения непрерывности функции, , так как не зависит от . Итак,

.

Определение 4. Функция непрерывна в точке a, если

.

Справедливость этого определения следует из того, что предел функции существует, если левый предел равен правому, но если это так, то четвертое определение эквивалентно первому.

Определение 5. Функция называется непрерывной в некоторой области, если она непрерывна в каждой точке этой области.

Непрерывную в некоторой области функцию можно изобразить, не отрывая карандаша от бумаги.

Свойства непрерывных функций

1. Сумма непрерывных в некоторой области функций непрерывна в этой области.

2. Произведение непрерывных функций - есть функция непрерывная.

3. Частное непрерывных функций - есть функция непрерывная, кроме точек, в которых ее знаменатель обращается в нуль.

4. Непрерывная функция от непрерывной функции - есть функция непрерывная (непрерывность сложной функции). Например, функции и непрерывны всей на числовой оси, следовательно, сложная функция (функция сложного аргумента) - непрерывна при всех значениях x.

Очевидно, элементарные функции непрерывны в области существования.

Точки разрыва функции

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва, или особыми точками. В этих точках происходит разрыв графика функции.

Разрывы бывают конечными (разрыв первого рода), если левый и правый пределы функции конечны, но не равны, то есть

Разрывы бесконечны (разрыв второго рода), если левый, или правый, или оба предела равны .

Устранимые разрывы имеют место, когда левый и правый пределы конечны и равны , но функция в предельной точке не существует. Разрыв устраняется введением новой функции, совпадающей с прежней во всех точках области, кроме особой точки, но являющейся непрерывной и в точке, где первая функция имеет особенность. Например, дана функция . Очевидно, она непрерывна на всей числовой оси, кроме точки , поскольку в этой точке происходит не допускаемое в математике деление на 0. Введем функцию

.

Эта функция совпадает с функцией при всех , но является определенной и в точке 0, более того, она непрерывна везде, в том числе и в точке 0, что следует из первого замечательного предела.

Замечание. Непрерывность функции нескольких переменных определяется аналогично, первое определение, например, принимает вид

.

Следует при этом отметить, что для функции многих переменных могут существовать не только точки разрыва (особые точки), но и линии, поверхности разрыва.

Примеры.

1. Функция

имеет точку разрыва 0.

2. Функция

существует во всех точках плоскости, кроме прямой

,

эта прямая является линией разрыва функции.

3. У функции

поверхностью разрыва является сфера

.

4. Функция

имеет особую точку .

Непрерывность составных функций

Рассмотрим функцию, заданную следующим образом

.

Поскольку функции , (прямые), (парабола) непрерывны на всей числовой оси, а следовательно, и на указанных интервалах, заданная функция может иметь разрывы только в точках стыковки указанных функций, то есть при и . Исследуем поведение функции в окрестности каждой из этих точек, используя определение непрерывности функции с использованием левого и правого ее пределов. Функция непрерывна при , если выполняется условие

.

Проверим его

.

Замечание. При вычислении левого предела в соответствии с заданием функции считаем , при вычислении правого предела функция вычисляется по средней формуле , наконец, значение функции при также вычисляется по средней формуле . Условие непрерывности функции выполняется, функция при непрерывна.

Проверим функцию при .

.

Условие непрерывности в этой точке не выполняется, функция имеет конечный разрыв. График

11. Вычисление пределов функций

Обсудим процедуру вычисления пределов. Пусть необходимо вычислить предел , причем значение функции в предельной точке известно и равно конечному числу, или бесконечности. В этом случае , что следует из первого определения непрерывности функции в точке. Задача решена. Однако имеется альтернативный случай, когда значение функции в предельной точке не существует, тогда поступают следующим образом. Подставляя в функцию под знаком предела предельное значение аргумента и не получая желаемого результата, то есть , делаем вывод, что вместо ответа мы получили неопределенность, и от нее нужно каким-то образом избавляться. Эта процедура называется раскрытием неопределенности. Чтобы предметно говорить о раскрытии неопределенности, рассмотрим некоторые виды неопределенности. В символических обозначениях это . Нужно с пониманием относиться к этим обозначениям. Это вовсе не деление на нуль или бесконечность, не разность между бесконечностями и т.д., это обозначения того результата, который получается при подстановке предельного значения аргумента в функцию, стоящую под знаком предела, другими словами, это информация, к какому виду неопределенности мы пришли в результате совершенного действия. Раскрытие полученной неопределенности может производиться либо с помощью тожественных преобразований под знаком предела, либо с применением правила Лопиталя. Рассмотрим первый из способов раскрытия неопределенностей, правило Лопиталя будем использовать ниже после введения понятия производной.

Рассмотрим пример, в котором даются две последовательности одинаковых операций, одна вне предела, другая - под знаком предела.



В первой цепочке операций первое равенство справедливо. Действительно, обе дроби равны, но переход к третьей функции после сокращения неверен, поскольку функции

и , хотя и в одной точке , но не равны. Следовательно, указанное сокращение недопустимо, первая цепочка действий не верна.

Рассмотрим вторую последовательность операций, которая осуществляется под знаком предела. Она справедлива, поскольку все действия производятся при , причем не принимает предельного значения 3. В этом смысл пределов, когда исследование производится вблизи предельной точки, но не в самой этой точке. Итак, поскольку вычисления производятся при , сокращение на скобку законно, и предел после очередного использования первого определения непрерывности функции оказывается равным 1.

Сформулируем, опираясь на рассмотренный пример, правила вычисления предела .

1. Подставляем в функцию под знаком предела вместо аргумента его предельное значение . Если в результате подстановки получаем конкретное значение или бесконечность, то рассматриваемый предел равен этому конкретному значению или бесконечности, что находится в полном соответствии с первым определением непрерывности функции.

2. Если после указанной подстановки вместо его предельного значения получаем неопределенность, раскрываем ее с помощью тождественных преобразований. Получив в результате тождественных преобразований под знаком предела новую функцию, опять подставляем в нее предельное значение аргумента. Если неопределенность исчезла, записываем полученное значение предела. Если неопределенность сохранилась, либо перешла в другую неопределенность, продолжаем тождественные преобразования до тех пор, пока не добьемся положительного результата.

Примеры.

1. ,

2. ,

3.

Отметим, что при решении третьего примера в фигурных скобках указан вид неопределенности, что делать не обязательно. После перехода от предела произведения к произведению пределов видим, что первый равен 1, что следует из первого замечательного предела, второй вычисляется по вышеупомянутому правилу, и поскольку , получаем ответ.

Замечание. Вычисление пределов последовательностей проводится с применением тех же правил.

Способы раскрытия неопределенностей

I. Самым простым видом неопределенности является неопределенность , поскольку правило ее раскрытия единое - переход от бесконечно больших к конечным величинам и бесконечно малым. Для этого в числителе и знаменателе выносим за скобки самые большие величины с учетом предельного значения аргумента и проводим сокращение этих больших величин. Это позволяет в большинстве случаев устранить неопределенность и вычислить предел.

Примеры.

1. ,

поскольку предел постоянной равен самой постоянной, а пределы бесконечно малых функций равны нулю.

2. ,

так как предел выражения в скобках в числителе равен 1, предел скобки в знаменателе равен 2.

3. .

Примеры для самостоятельного решения

,

,

,

,

,

.

Ответы.

, 6.2 , 6.3 , 6.4 , 6.5 , 6.6 0.

II. Раскрытие неопределенностей .

Вычисление пределов, приводящих к неопределенности , считается более сложной, чем предыдущая, задачей. Это связано с тем, что нет единого тождественного преобразования, приводящего к конечному результату. Рассмотрим некоторые приемы, позволяющие раскрыть данную неопределенность.

1). В числителе и знаменателе выражения под знаком предела - многочлены. В этом случае каждый из многочленов записывается в виде произведения простейших множителей, причем один из этих множителей известен до решения примера, поскольку предельное значение аргумента является корнем как числителя, так и знаменателя. После сокращения, как правило, неопределенность "исчезает", и предел вычисляется.

а) ,

б) .

2). В числителе или знаменателе стоят радикалы. Рассмотрим вначале случай с квадратным корнем

,

отметим, что тождественное преобразование в этом примере представляет собой умножение числителя и знаменателя на "сопряженное" числителю выражение, позволяющее использовать формулу разности квадратов.

Следующий пример содержит кубической корень, что требует применения затем формулы разности кубов:

.

3). Выражение под знаком предела содержит тригонометрические или обратные тригонометрические функции, это в большинстве случаев предполагает использование первого замечательного предела.

а) ,

б)

.

В последнем примере вначале использовалась замена переменной, затем - первый замечательный предел.

Примеры для самостоятельного решения

,

,

,

,

,

,

,

,

.

6.7. , 6.8. , 6.9. , 6.10. , 6.11. ,

6.12. , 6.13. , 6.14. , 6.15. .

III. Раскрытие неопределенностей и .

Общий прием раскрытия этих неопределенностей - сведение их к выражению, не содержащему неопределенности, или к неопределенностям , . Покажем это на примерах.

1.

,

2.

,

3.

,

4.

,

Примеры для самостоятельного решения

,

,

,

,

.

Ответы: 6.16. , 6.17. , 6.18. 2, 6.19. , 6.20. (), 6.21. .

IV. Неопределенности .

Такого вида неопределенности раскрываются, как правило, с помощью второго замечательного предела

.

Покажем, как это делается на примерах.

1.

,

2.

В этом примере вначале внутри скобок выделяется единица, затем делается замена и после тождественных преобразований используется второй замечательный предел.

=.

В последнем примере замена переменной не делается, но подготавливается соответствующими тождественными преобразованиями, а затем совершается "мысленно". Такой прием несколько экономичнее, поскольку сокращает запись решения примера.

Примеры для самостоятельного решения

,

Ответы: 6.22. , 6.23. , 6.24 .

Определить точки разрыва функции , если они существуют, построить рисунки

,

.

Подсчитаем некоторые пределы на Maxime.

Размещено на Allbest.ru

...