Применение математических методов для исследования пассивного четырехполюсника

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «Автоматизация производственных процессов»

Допускаю к защите________________

Руководитель А.В Баев

«Применение математических методов для исследования пассивного четырехполюсника»

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

к курсовому проекту по дисциплине

«Математические основы теории автоматического управления» 1.016.00.00.ПЗ

Выполнил студент группы АТб-11-1-2 А.Н Погодаева

Нормоконтроль профессор, к.т.н.: А.В Баев

Иркутск 2013 г.



Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ

По курсу: Математические основы теории автоматического управления

Студента(ки): Погодаевой А.Н

Тема проекта: Применение математических методов и пакетов MatCad и MatLab в исследовании пассивного четырехполюсника

Исходные данные: Электрическая цепь, С₁=6 F,С₂=10 F, L=5 H, R=2 OM, Uвх=1 B.

Рекомендуемая литература

Чемоданов Б.К. Математические основы теории автоматического регулирования.- издательство «Высшая школа»,1997.

Ротач В.Я. Теория автоматического регулирования.: Учебник для вузов. - 3е изд.,_стереот. - М.: Издательство МЭИ, 2005.

Головенков С.Н., Сироткин С.В. Основы автоматики и автоматического регулирования станков с программным управлением. - М.: Машиностроение, 1980.

Основы автоматического регулирования и управления. Под ред. В.М. Понаморева, и А.Л. Литвинова. - М.: Высшая школа, 1974.

Айзерман М.А. Теория автоматического регулирования.-- М.: Наука, 1966.



Оглавление

Оглавление

Введение

Часть I. Описание электрической цепи по каналу «вход-выход»

Часть II. Запись уравнения электрической цепи в терминах пространства состояния и получение передаточной функции

Часть III. Описание электрической цепи в дискретной форме

Заключение

Библиографический список



Введение

В данной работе нужно исследовать электрическую цепь пассивного четырехполюсника с помощью математических методов. Математические методы реализовать на базе математических пакетов MatCad и MatLab.

Цель работы - закрепить теоретические знания, полученные в процессе изучения спецраздела математики

1. Для заданной электрической цепи составить дифференциальные уравнения при входном воздействии типа скачка.

2. Применить к полученному уравнению преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях.

3. Решить уравнение операторным методом.

4. Построить переходный процесс.

5. Записать выражение и построить частотные характеристики цепи: АЧХ, ФЧХ, ДЧХ, МЧХ и АФХ (амплитудно-фазовую характеристику).

6. Составить систему уравнений в терминах пространства состояний, получить передаточную функцию.

7. Преобразовать дифференциальное уравнение в дискретную форму с периодом дискретизации, равным 0,2Т и 3Т.

8. Построить переходный процесс для дискретной формы

9. Построить частотные характеристики для цепи дискретной формы.



Часть I. Описание электрической цепи по каналу «вход-выход»

электрический цепь дифференциальный дискретный

Рис. 1. Схема электрической цепи

При подстановке данных получаем окончательное дифференциальное уравнение



Применим преобразование Лапласа и запишем передаточную функцию для данной цепи

единичный скачок-

Выражение изображения выходной величины:

Решаем уравнение, считая входную переменную единичным скачком:

Найдём корни характеристического уравнения

разложим на простые дроби

Используя таблицу оригиналов и изображений, выводим конечное уравнение:



Рис. 2. График переходного процесса

Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ)

где j - мнимая единица, равная ,

щ - круговая частота, изменяющаяся от 0 до ?.

ДЧХ



МЧХ

АЧХ

С помощью MathCAD строим все виды характеристик цепи

Рис. 3. ДЧХ



Рис. 4. МЧХ

Рис. 5. АЧХ

Рис. 6. АФЧХ



Рис. 7. ФЧХ

Т.к. tg в точках Р/2+П • n (где n = 0,1,2,3…) не определен, фаза в этих точках стремиться к бесконечности, возникают скачки фазы на ФЧХ, поэтому эти точки необходимо исключить. Для этого найдем значения круговой частоты, при которых возникают скачки:



Часть II. Запись уравнения электрической цепи в терминах пространства состояния и получение передаточной функции

Опишем динамику нашей цепи в терминах пространства состояний.

Компактная форма:

Составляем уравнения, с дифференциалом в левой части:

Пусть,

тогда получаем систему уравнений:

Выражение для передаточной функции:

Составляем матрицу из алгебраического дополнения:

Находим определитель:

Транспонируем матрицу (Ep-A) и получаем присоединённую матрицу adj(Ep-A):

Обратную матрицу определяем по формуле:

Находим передаточную функцию:



Часть III. Описание электрической цепи в дискретной форме

Дискретная форма

Передаточная функция равна:

Найдём корни характеристического уравнения

разложим на простые дроби



Используя таблицу оригиналов и изображений, а так же полученный ранее результат находим f(p),f(t),f(z)

Находим период дискретизации:

т.к. корни характеристического уравнения мнимые, то первый период дискретизации будет равен 1/5 периода

Откуда Tд=5,5.

Получаем уравнение и приводим к общему знаменателю:



Упрощаем и делим числитель и знаменатель на z в max степени::

Выводим:

Рассчитаем для второго периода дискретизации

Tд(2)=5,5*3=16,5

Упрощаем и делим числитель и знаменатель на z в max степени::

Строим частотные характеристики. Имеем:

W(p)=



Найдем корни характеристического уравнения

W(p)=

.

Построим частотные характеристики для первого периода дискретизации Тд=5,5

W(z)= (+,

W(z)=

W(щ)=



АХЧ

МХЧ

АХЧ



ФЧХ

АФЧХ



Заключение

В данной работе исследована электрическая цепь пассивного четырехполюсника с помощью математических методов. Математические методы реализованы на базе математических пакета MatCad.Работа в первой части курсовой работы заключается в составлении дифференциального уравнения цепи, применении к нему преобразований Лапласа, составлении передаточной функции и графика переходного процесса. Так же получены частотные характеристики цепи: АЧХ, ФЧХ, ДЧХ, МЧХ и АФХ (амплитудно-фазовая характеристика). Во второй части работы описана динамика цепи в терминах пространства состояний. Проведены нужные преобразования, получена передаточная функция. Описание динамики электрической цепи в терминах пространства состояний позволило убедиться в правильности нахождения передаточной функции. В третей части работы цепь описана в дискретной форме, построены графики переходного процесса для первого и второго периода дискретизации. Так же построены АЧХ, ФЧХ, ДЧХ, МЧХ и АФХ (амплитудно-фазовая характеристика), для первого периода дискретизации. Это наглядно показывает, насколько различаются графики при разном периоде дискретизации.



Библиографический список

1. Головенков С.Н., Сироткин С.В. Основы автоматики и автоматического регулирования станков с программным управлением. - М.: Машиностроение, 1980.

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс / Д. Т. Письменный. -- 4-е изд. -- М.: Айрис-пресс, 2006. -- 608 с: ил. -- (Высшее образование).

3. Основы автоматического регулирования и управления. Под ред. В.М. Понаморева, и А.Л. Литвинова. - М.: Высшая школа, 1974.

4. Айзерман М.А. Теория автоматического регулирования.-- М.: Наука, 1966.

5. Анисимов В.И., Вавилов А.А., Фатеев А.В. Сборник примеров и задач по теории автоматического регулирования.-- М.; Л.: Госэнергоиздат, 1959г.

6. Биргер Х. Фотоупругость. В сб. «Экспериментальная механика». Кн.1 Под ред. А. Кобаяси. М.: Мир, 1990, с. 195-327.

Размещено на Allbest.ru

...