Размещено на http://www.allbest.ru/

Вступ

Важливість вивчення простих чисел визначається в значній мірі тим, що вони відіграють центральну роль в більшості теоретико-числових закономірностей. Дуже часто питання, які на перший погляд далекі від теорії подільності, при більш детальному дослідженні, тісно пов'язані з теорією простих чисел.

Однією із задач теорії чисел є задача про те, які натуральні числа розкладають на суми двох та чотирьох квадратів цілих чисел (не обов'язково відмінних від нуля).

Питання про можливість представлення чисел у вигляді суми двох та чотирьох квадратів має дуже довгу історію. Воно розглядалося ще в "Арифметиці" Діофанта (біля 250 року нашої ери), але точний сенс тверджень Діофанта незрозумілий. Вирішення цього питання дав уперше німецький математик Жирар в 1625 р. і трохи пізніше Ферма. Першим з відомих нам доказів є доказ Ейлера, опублікований в 1749 році.

Жирар і Ферма помітили, що будь-яке натуральне число представляється як сума чотирьох квадратів цілих чисел. Враховуючи, що в такому представленні деякі доданки можуть дорівнювати нулю, цю теорему можна перефразовувати так: кожне натуральне число представляється як сума не більше чотирьох квадратів натуральних чисел. Деякі історики вважають, що цей факт був відомий вже Діофанту з Александрії: він не вказав необхідних умов представлення числа сумою чотирьох квадратів, відмітивши, проте, що сумою двох або трьох квадратів можуть бути представлені лише числа деякого типу.

У 1749 р. Л. Ейлер опублікував доведення теореми про представлення натурального числа сумою двох квадратів. Ж. А. Лагранж в 1770 році довів, що кожне натуральне число подається сумою не більше чотирьох квадратів цілих чисел, а в 1875 році А. М. Лежандр сформулював критерій існування нетривіального рішення діофантового рівняння.

К. Ф. Гаус у своїй праці "Арифметичні дослідження "на основі розвиненої ним теорії бінарних квадратичних форм довів теорему Лежандра повністю.

Якобі в 1829 році за допомогою еліптичних функцій отримав в неявному виді формули для представлень цілих чисел у вигляді суми 4, 6, 8 квадратів. Пізніше, в 1834 р., Якобі дав чистий арифметичний доказ формули для кількості представлень чисел у вигляді суми чотирьох квадратів.

Таким чином бачимо, що обрана нами тема курсового дослідження «Подання натуральних чисел сумами двох та чотирьох квадратів» є надзвичайно важливою в математиці.

Метою курсової роботи є доведення можливості подання натуральних чисел у вигляді сум двох та чотирьох квадратів цілих чисел.

Об'єктом дослідження є наука Теорія чисел. Предметом дослідження виступають натуральні числа та теореми, які доводять можливість подання натуральних чисел у вигляді сум двох та чотирьох квадратів.

Із всього вищесказаного слідують завдання роботи:

1. Ознайомитись із історією розвитку теорії чисел.

2. Розглянути адитивні проблеми теорії чисел.

3. Довести можливість подання натурального числа у вигляді суми двох та чотирьох квадратів, а також вказати можливості застосування такого подання.

Структура курсової роботи. Робота складається із вступу, основної частини, висновків та списку використаної літератури. Основна частина в свою чергу містить чотири пункти із підрозділами. Загальний обсяг роботи складає 32 сторінки друкованого тексту.

1. З історії розвитку теорії чисел

Важливі властивості цілих чисел були встановлені в давнину. У Греції в школі Піфагора (6 ст. до н.е. ) вивчалися питання подільності чисел, розглядалися різні категорії чисел, наприклад, прості, складені, досконалі, дружні. У своїх "Началах" Евклід (3 ст. до н.е.) дає алгоритм для визначення НСД двох чисел, що являється основою теорії подільності, викладає основні властивості подільності цілих чисел, доводить теорему про те, що прості числа утворюють нескінченну множину. Ератосфен (3 ст. до н.е.), що дав спосіб для виділення простих чисел з ряду натуральних чисел (сито Ератосфена), зробив подальший крок в теорії простих чисел. Велике значення мали роботи грецького математика Діофанта з Олександрії (біля 3 ст. н.е.). Значну частину своєї роботи він присвятив рішенню невизначених рівнянь в раціональних числах (у Китаї з другого століття займалися невизначеними рівняннями).

Подальший розквіт теорії чисел починається в новий час і пов'язаний з ім'ям французького математика 17 століття Пьера Ферма. Ферма, під впливом робіт Діофанта досліджував передусім рішення багатьох рівнянь в цілих числах: велика теорема Ферма. Ферма стверджував, що рівняння не має цілочисельних рішень з . Це твердження за триста років було перевірене для усіх , але до останнього часу в загальному випадку залишалося не доведеним. Історія взаємозв'язку між теоремою Ферма і еліптичними кривими починається в 1955 році, коли японський математик Ютака Таніяма (1927-1958) сформулював проблему, що є декілька ослабленою версію наступної:

Гіпотеза 1 (Таніяма).

Будь-яка еліптична крива, визначена над полем раціональних чисел, являється модулярною. У такій формі гіпотеза Таніями з'явилася на початку 60-х років в роботах Горо Шимури. У наступні роки Шимурою і французьким математиком Андре Вейлем був показаний фундаментальний зв'язок гіпотези Таніями з багатьма розділами арифметики еліптичних кривих. На рубежі 60 і 70-х років французький математик Ів Еллегарш зіставив з рівнянням Ферма еліптичну криву і використовував на той час результати, що стосуються теореми Ферма, для вивчення точок кінцевого порядку на еліптичних кривих. Подальший розвиток подій показав, що зіставлення рівняння Ферма з еліптичною кривою є істинно революційним. У 1985 р. німецький математик Герхард Фрей припустив, що відповідна крива, відповідна контрприкладу до теореми Ферма, не може бути модулярною (у протиріччя з гіпотезою Таніями). Самому Фрею не вдалося довести це твердження, проте незабаром доказ був отриманий американським математиком Кеннетом Рібетом. Іншими словами, Рібет показав, що остання теорема Ферма є наслідком гіпотези Таніями. 23 червня 1993 р. математик з Пристона Ендрю Уайлс, виступаючи на конференції з теорії чисел в Кембріджі (Великобританія), анонсував доказ гіпотези Таніями для широкого класу еліптичних кривих (так званих напівстабільних кривих), в який, зокрема, входять усі криві виду . Тим самим він заявив, що довів теорему Ферма. Подальші події розвивалися досить драматично. На початку грудня 1993 р. за декілька днів до того, як рукопис роботи Уайлса повинен був піти в друк, в його доказі були виявлені помилки. Виправлення їх зайняло понад рік. Текст з доказом гіпотези Таніями, написаний Уайлсом в співпраці з Тейлором, вийшов у світ влітку 1995 року. Сформулюємо твердження, доведене Ендрю Уайлсом:

Гіпотеза 2 (гіпотеза Таніями для напівстабільних кривих).

Всяка напівстабільна еліптична крива, визначена над полем раціональних чисел, являється модулярною. А з гіпотези Таніями для напівстабільних еліптичних кривих слідує остання теорема Ферма. Помітимо, на закінчення, що значення гіпотези Таніями зовсім не обмежується її зв'язком з теоремою Ферма. З гіпотези Таніями витікає гіпотеза Хассе-Вейля (для еліптичних кривих над полем раціональних чисел ці гіпотези еквівалентні), а разом з нею відкриваються нові горизонти в дослідженні арифметики еліптичних кривих.

Великий внесок у розвиток теорії чисел вніс член Петербурзької Академії Наук великий Л. Ейлер, життя і наукова діяльність якого тісно пов'язана з Росією. До теорії чисел з робіт Ейлера відносяться більше 100 мемуарів. Ейлер довів майже усі теореми Ферма, які останній залишив без доказів. Якраз в листуванні Ейлера з петербурзьким академіком Гольдбахом в 1742 р. виникла складна аддитивна проблема, знаменита "проблема Гольдбаха", а саме, що всяке парне число (більше трьох) є сумою двох простих і всяке непарне (більше шести) - сума трьох простих чисел (майже для усіх чисел . І.М. Винограду за допомогою свого методу тригонометричних сум довів останнє твердження).

У 1930 р. Шнірельман відкрив новий метод, що має дуже важливе значення в аддитивній теорії чисел, так званий метод складання числових послідовностей. За допомогою цього методу він довів, що кожне натуральне число, окрім 1, є сумою не більше ніж С простих чисел, де С не залежить від цього числа( С< 210).

Проблема Варинга (анг. математик): Всяке позитивне ціле число N може бути представлене як сума n-их мір позитивних цілих чисел, тобто у виді .

Проблеми, гіпотези: простих чисел-близнюків - нескінченно багато?, чи існують непарні досконалі числа?, прості числа Ферма при n=0,1,2,3,4 а чи існують ще такі числа.

Низка запитань теорії чисел знаходить собі застосування на практиці, наприклад, в теорії телефонних мереж (кабелів), в кристалографії, при рішенні деяких завдань теорії наближених обчислень.

Виниклі в теорії чисел поняття "кільця" і "ідеалу" є одними з основних понять усієї математики нашого часу.

2. Адитивні проблеми теорії чисел

тригонометричний сума дільник число

Аддитивна теорія чисел - це розділ теорії чисел, в якому вивчаються завдання про розкладання цілих чисел на доданки заданого виду, а також аналоги алгебри і геометричних таких завдань, що відносяться до полів чисел алгебри і до безлічі точок решітки. Ці завдання називаються адитивними завданнями. Зазвичай розглядаються адитивні завдання про розкладання великих чисел

До класичних проблем адитивної теорії чисел відносяться:

1. Проблема Варинга (1770) про представлення всякого натурального числа у вигляді суми ненегативних k-их степенів з фіксованим ;

2. Проблема Гольдбаха про представлення непарних натуральних чисел, більших 5, сумою трьох простих і проблема Ейлера - Гольдбаха про представлення парних чисел, більших 2, сумою двох простих (поставлені в 1742); ослаблена проблема Гольдбаха, проблема представлення натуральних чисел сумою обмеженого числа простих;

3. Проблема Харді - Літлвуду про представлення всякого цілого числа, більшого 1, у вигляді суми простого і двох квадратів (сформульована в 20-х рр. 20 ст.);

4. Адитивна проблема дільників;

5. Проблема дільників Тічмарша;

6. Завдання про представлення усіх досить великих парних чисел сумами двох чисел з обмеженим числом простих співмножників;

7. Завдання про представлення цілих чисел квадратичними формами з трьома і чотирма змінними і аналогічні завдання; а також інші завдання.

Для вирішення завдань адитивної теорії чисел застосовуються аналітичні, алгебраїчні, елементарні і змішані методи, а також методи, засновані на імовірнісних міркуваннях Залежно від методів рішення, адитивні завдання входять складовою частиною в інші розділи теорії чисел - аналітичну теорію чисел, теорію алгебри чисел, імовірнісну теорію чисел.

Тепер розглянемо найважливіші завдання адитивної теорії чисел окремо

2.1 Проблема Варинга

Проблема теорії чисел, сформульована Е Варингом (Е, Waring) в 1770 р, в наступному виді: всяке натуральне число є сума чотирьох квадратів, дев'яти кубів, дев'ятнадцяти четвертих степенів. Іншими словами: для будь-кого існує таке , залежне тільки від і, що будь-яке натуральне число є сума Аі-степенів ненегативних цілих чисел. Перше загальне рішення проблеми Варинга з дуже грубою оцінкою величини k залежно від і дано в 1909 р, Д Гільбертом (D. Hilbert), у зв'язку з чим проблема Варинга іноді називається проблемою Гільберта - Варинга. Якщо через позначити число рішень в цілих ненегативних числах рівняння

то теорема Гільберта затверджує, що існує , для якого при будь-кому .

У 1928 р.. Г. X. Харді і Дж. І Літлвуд (G, Н, Hardy, J, Е, Littlewood), застосувавши до проблеми Варинга круговий метод, довели, що при має місце асимптотична формула виду

де а і - деякі постійні. Отже, при початкове рівняння має рішення. У зв'язку з цим результатом виникли три проблеми: встановити порядок трьох величин - найменших цілих чисел, для яких, :

а) початкове рівняння вирішуване при і ;

б) початкове рівняння вирішуване при і ;

в) для величини при має місце приведена вище асимптотична формула

а) Відомо, що

У 1934 р.. І. М. Винограду за допомогою створеного їм методу довів, що

Крім того, є багато результатів відносно G(n) для невеликих значень (X. Давенпорт, 1939), G(3) = 7 (Ю, В, Лінник, 1942)

б) В 1936 р.. Л. Діксон і С Піллаі (L, Dickson, S, Pillai), застосувавши метод Виноградова, довели, що для усіх , для яких

Остання ж умова доведена К. Малером (К. Mahler) в 1957 р, для усіх досить великих n

в) Найкращий результат належить І. М. Виноградову, який довів, що

Елементарний доказ проблеми Варинга даний Ю.В. Лінником в 1942 р.. Існує багато різних узагальнень проблеми Варинга (змінні пробігають деяку підмножину безлічі натуральних чисел; замість одночленів в представленні числа n розглядаються многочлени , замість рівняння розглядається порівняння і т.д.

Особливе значення проблеми Варинга полягає в тому, що при її рішенні створені потужні методи аналітичної теорії чисел.

2.2 Проблема Гольдбаха

Одна з відомих проблем теорії чисел. Полягає в доказі того, що всяке ціле число, більше або рівне шести, може бути представлене у вигляді суми трьох простих чисел. Цю проблему висунув в 1742 р., X. Гольдбах в листі до Л. Ейлера. У відповідь Ейлер помітив, що для вирішення проблеми досить довести, що кожне парне число є сумою двох простих. Протягом довгого часу не вдавалося знайти ніяких шляхів дослідження проблеми Гольдбаха. В 1923 р.. Г. Харді і Дж. Літлвуду вдалося показати, що якщо вірні деякі теореми (не доведені і понині) відносно L-рядів Діріхле, то всяке досить велике непарне число є сумою трьох простих чисел. В 1937 р.. І.М.Виноградов створив новий метод в аналітичній теорії чисел - метод оцінок тригонометричних сум з простими числами, за допомогою якого довів асимптотичну формулу для кількості представлень непарного числа сумою трьох простих чисел. З цієї формули виходить, що кожне досить велике непарне число є сумою трьох простих чисел. Це - одне з найбільших досягнень сучасної математики.

Метод І.М. Виноградова дозволив вирішити і ряд істотно загальніших завдань. Завдання про розбиття парного числа на суму двох простих ще не вирішена

2.2.1 Метод оцінок тригонометричних сум. (Метод І.М. Виноградова)

Один з найсильніших і загальніших методів аналітичної теорії чисел - метод тригонометричних сум був створений І.М. Виноградовим. Багато проблем аналітичної теорії чисел досить просто формулюються на мові кінцевих сум доданків виду

де- дійсна цілочисельна функція. Таким чином, центр тяжкості цих проблем переноситься на завдання вивчення таких сум і, зокрема, на завдання отримання можливо точнішої оцінки модуля таких сум. І. М. Виноградов, використовуючи глибокі арифметичні властивості даних сум, отримав виключно сильні оцінки модуля широкого класу таких сум. Цей метод дозволив Виноградову отримати фундаментальні, близькі до гранично можливих результати в цілій низці запитань теорії чисел в таких класичних завданнях, як проблема Варинга, проблема Гільберта - Камке, проблема оцінок сум Вейля. Іншим наслідком методу оцінок тригонометричних сум було рішення ряду аддитивних проблем з простими числами і, зокрема, вирішення проблеми Гольдбаха

2.3 Проблема Харді - Літлвуда

Завдання знаходження асимптотичної формули для числа Q(n) рішень рівняння де р - просте, х та у - цілі, n - натуральне число. Аналогом цього завдання є проблема знаходження асимптотики для числа рішень рівняння де l - фіксоване ціле число, .

Дисперсійний метод, розроблений Ю.В, Лінником, дозволив йому знайти асимптотику для першого рівняння:

де

З аналогічної формули для другого рівняння слідує нескінченність безлічі простих чисел виду , За допомогою дисперсійного методу знайдена асимптотика для числа рішень узагальненого рівняння Харді - Літлвуда , де p - просте, - задана примітивна позитивно певна квадратична форма.

Розгляд аналогічного рівняння призводить до доказу нескінченності безлічі простих чисел виду

Теорема Виноградова - Бомб'єрі про розподіл простих чисел в арифметичних прогресіях в середньому також доставляє рішення проблеми Харді - Літлвуду, замінюючи фактично розширену гіпотезу Рімана теоремами типу великого решета.

2.3.1 Теорема Виноградова - Бомб'єрі

Нехай нами використовується оцінка виду :

де

Теорема стверджує, що існують постійні c1>0 і c2>0 такі, що

Де - модуль, для якого існує єдиний примітивний дійсний примітивний характер такий, що має нуль при s= .

Звідси і з теореми Зігеля витікає, що

при будь-якому A.

2.4 Адитивна проблема дільників

Адитивна проблема дільників - проблема, що полягає в пошуку асимптотичного значення сум виду:

де - кількість різних розкладань цілого числа до множників, вважаючи і порядок , і - натуральні числа, - фіксоване ціле число, відмінне від нуля, - досить велике натуральне число, Зокрема, число дільників для числа . Суми виражають, відповідно, кількість рішень рівнянь

Аддитивна проблема дільників при і будь-якому натуральному була вирішена з допомогою дисперсійного методу Ю.В. Лінником. Цей метод буде розглянутий далі

2.5 Проблема дільників Титчмарша

Проблема дільників Титчмарша: - просте, - натуральні;

Проблема відшукування асимптотичної формули для числа рішень невизначених рівнянь виду :

,

де - просте число, - фіксоване ціле.

А загальна задача - пошук асимптотики для сум виду :

де - число дільників .

Проблема дільників Тітчмарша була поставлена Е.Тітчмаршем і вирішена ним умовно в припущенні справедливості розширеної гіпотези Рімана ( її розглянемо нижче ). Дисперсійний метод, розроблений Ю.В.Лінником, дозволяє знайти асимптотику числа рішень для невизначеного рівняння: , при , Б.М. Бредихін вирішив це завдання для будь-якого фіксованого . Бредихін довів асимптотичну формулу з залишком , де

Теорема Виноградова - Бомб'єрі про розподіл простих чисел в арифметичних прогресіях в середньому також призводить до вирішення проблеми дільників Тітчмарша. При цьому припущення про справедливість розширеної гіпотези Рімана замінюється фактично теоремами типу великого решета.

3. Подання натуральних чисел у вигляді суми двох квадратів та єдиність такого подання

3.1 Подання чисел у вигляді суми двох квадратів

Питання про подання чисел у вигляді суми двох квадратів - дуже старе питання; воно розглядається ще в "Арифметиці" Діофанта (біля 250 року нашої ери), але точний сенс тверджень Діофанта неясний. Правильну відповідь на це питання уперше дав німецький математик Жирар (Albert Girard) в 1625 році і трохи пізніше Ферма. Можливо, що у Ферма був доказ його результату, але першим з відомих нам доказів є доказ Ейлера, опублікований в 1749 році.

Легко встановити, що деякі числа не представляються у вигляді суми двох квадратів. По-перше, квадрат будь-якого парного числа порівнянний з 0 по mod 4, а квадрат будь-якого непарного числа порівнянний з 1 по mod 4. Звідси витікає, що сума будь-яких двох квадратів порівняна з 0+0, або з 0+1, або з 1+1 по mod 4, тобто з 0, 1 або 2 по mod 4. Таким чином, жодне число виду 4k+3 не представляється сумою двох квадратів.

Але ми можемо піти далі. Нехай число N має простий множник q виду 4k+3; рівняння переходить у рівняння , а оскільки - 1 є квадратичним невирахуванням по модулю q це порівняння вирішуване лише при і . Отже, х і у діляться на q, отже, N ділиться на і рівняння можна скоротити на . Якщо ще ділиться на q, то таке ж міркування показує, що ділиться на і так далі; таким чином ми знаходимо, що точний степінь k, що ділить N, має бути парним. Отже, всяке число, подане у вигляді суми двох квадратів, містить у своєму розкладанні лише парні степені простих виду 4k+3. Колишня умова полягала в тому, що N не повинне мати вигляду 4k+3. Вказана тепер умова сильніша, оскільки всяке число виду 4k+3 містить хоч би один простий множник виду 4k+3 в непарній мірі.

Якщо відкинути числа, які, згідно з цією умовою, свідомо не представили сумою двох квадратів, то ряд чисел, що залишилися, починається з 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 17, 18, 20,..; читач шляхом послідовних проб може переконатися, що кожне з цих чисел представляється у вигляді суми двох цілих квадратів. Це вірно і в загальному випадку: необхідна і достатня умова подання числа N у вигляді суми двох квадратів полягає в тому, що будь-який простий множник N виду 4k+3 повинен входити в N в парному степені.

Доведемо тепер це твердження. Важливу роль в доведенні грає тотожність, що представляє добутків двох сум квадратів у вигляді суми двох квадратів. Ця тотожність

(1)

належить Леонардо з міста Піза (його називають також Фібоначчі); він приводить цю тотожність у своїй "Книзі Абак" в 1202 році.

Будь-яке число, що задовольняє вказаним вище умовам, складається з множників, рівних 2, простих виду 4k+1 і квадратів простих виду 4k+3. Повторне застосування тотожності (1) показує, що якщо кожен з таких співмножників представляється у вигляді суми двох квадратів, то і саме число також подається у вигляді суми двох квадратів. Число 2 представимо у виді ; якщо q просте виду 4k+3, то представляється у вигляді . Залишається довести, що будь-яке просте виду 4k+1 подано у виді , цей результат ми встановимо в наступному пункті. З нього витікатиме, що вищезгадана умова необхідна і достатня для того, щоб дане число представлялося у вигляді суми двох квадратів.

У нашому викладі допускаються представлення , в яких х і у можуть мати загальні множники (наприклад,); але це не дуже істотно: вимога взаємної простоти х і у призводить до результату, що мало відрізняється від попереднього.

3.2 Прості виду 4k+1

Ми приведемо тут класичний доказ того, що кожне просте виду 4k+1 подано як сума двох квадратів; цей доказ належить, по суті, Ейлерові. Він складається з двох кроків. Перший крок полягає у встановленні того, що деяке кратне подано у виді ; на другому кроці ми встановимо, що уявно у виді .

Перший крок еквівалентний доказу вирішення рівняння

для будь-якого простого виду 4k+1. Ми вже знаємо, що це так, з критерію Ейлера для квадратичних вирахувань і невирахувань.

Другий крок доказу починається із вже встановленого факту, з якого виходить, що існує таке натуральне m, для якого

Ми можемо, звичайно, припускати, що z лежить між і (цього можна добитися, віднімаючи з r відповідне кратне р). Припустивши це, отримуємо



Звідси, зокрема, витікає, що існують такі цілі х і 2/, для яких виконується рівність

(2)

де m - натуральне число, менше . Покажемо тепер, що якщо m>1, то знайдеться таке натуральне , менше m, для якого рівняння все ще вирішується в цілих х і у. Звідси (якщо повторити це міркування кілька разів) слідуватиме, що вирішується рівняння , в якому m=1.

Міркування проводяться таким чином. Визначимо два цілі числа u і v, що лежать між і (включно, якщо m парне), які порівнюються відповідно з х і у по модулю m :

(3)

Тоді , так що (4)

для деякого цілого r. Помітимо, що r не може бути рівне 0, оскільки тоді u і v дорівнювали б 0, а тому х і у були б кратні m; а це суперечить рівності (2), бо звідси та із (2) витікає, що просте число ділиться на m. Число r задовольняє нерівності

Перемножимо рівність (2) і (4), застосовуючи тотожність (1). Це дає

(5)

Важливо відмітити, що кожне з чисел і ділиться на m. Дійсно, зважаючи на рівняння (3) i

Отже, (5) можна розділити на m2, що дає з деякими цілими X і Y. Тим самим ми довели, що існує таке натуральне число r, менше m, для якого rp подано у вигляді суми двох квадратів.

Як ми вже говорили, цього вистачає, щоб довести представлення у вигляді суми двох квадратів. Проілюструємо цей доказ на чисельному прикладі. Візьмемо це просте виду 4k+1. Ми знаємо, що рівняння вирішуване і його рішення легко знайти підбором або за допомогою таблиці індексів. Число є рішенням цього рівняння:

Початковим пунктом доказу, як і в загальному випадку, служить рівність . Наслідуючи план доказу, приводимо числа 60 і 1 по модулю 13; отримаємо числа -5 і 1.

Аналогом рівності (4) служить рівність

Наступний крок полягає в перемножуванні двох рівностей і застосуванні тотожності (1). Отримуємо

Числа справа, як це і повинно бути, діляться на 13, скорочення призводить до рівності

Далі цей процес повторюється. Числа -23 і 5, приведені по модулю 2, дають 1, відповідне рівняння має вигляд

Перемножуючи його з попередньою рівністю і застосовуючи тотожність (1), отримуємо

І, нарешті

У зв'язку з доведеною загальною теоремою треба помітити що представлення р у вигляді єдине (якщо виключити очевидні можливості заміни х і зміни їх знаків). Ферма, звернувши увагу на цей факт, назвав його "фундаментальною теоремою про прямокутні трикутники": звідси витікає, що існує рівно один прямокутний трикутник, гіпотенуза якого рівна , а катети вимірюються натуральними числами.

Довести єдиність представлення не важко. Припустимо, що має місце рівність

(6)

Ми знаємо, що рівняння має рівно два рішення: . Значить

Оскільки знаки чисел х, у, X, Y несуттєві, можна вважати, що виконано

 (7)

Перемножимо рівність (6) і застосуємо тотожність (1). Тоді отримаємо

Далі в силу (7). Значить, обидва числа справа діляться на р і рівність можна розділити на . Це дає представлення 1 у вигляді суми двох квадратів, а таке представлення єдине: . Таким чином, в попередній рівності одне з чисел xX+yY і xY - уХ має дорівнювати 0. Якщо хY - уХ = 0, то, оскільки х, у і X, Y взаємно прості, або х = X і у = Y, або х = -X і у = - Y. Аналогічно, якщо хХ + уУ = 0, то або х = Y і у= -X, або х = -Y і у =X. У кожному з цих випадків обидва представлення в (6), по суті, однакові.

3.3 Конструкція для х і у

Будь-яке просте р виду 4k+1 однозначно подається як ; математики намагалися знайти вирази для х і у в термінах р, оскільки конструкція зазвичай приносить більше задоволення, чим чистий доказ існування, хоча межа між ними не завжди виразно проводиться. Відомі чотири конструкції для х і у, вони належать Лежандру (1808), Гаусу (1825), Серре (1848) і Якобшталю (1906); ми викладемо їх, не входивши в деталі доказів. Представляє інтерес різноманітність методів, використовуваних в цих конструкціях.

Конструкція Лежандра заснована на розкладанні в безперервний дріб. Період складається з симетричних частин за якими слідує . В такій формі це застосовано не лише до простого виду 4k+1, але і до будь-якого числа, що не є точним квадратом. Нагадаємо, що якщо в симетричній частині немає центрального члена, то вирішуване рівняння Вірне і зворотне, хоча це і не було доведено. Лежандр абсолютно елементарним способом довів, що якщо р - просте виду 4k+1, то рівняння має розв'язки. Отже, в силу тільки що сформульованої зворотної теореми центральний елемент в розкладанні відсутній і період має вигляд

Нехай тепер б - повна частка, що починається в середині періоду, саме:

Це чисто періодичний безперервний дріб, період, який складається з . Оскільки цей період симетричний, ми маємо де означає число, зв'язане з . Представимо тепер у виді

з цілими Р і Q. Рівняння дає



або

Це конструкція Лежандра. Як приклад розглянемо випадок р = 29. Розкладання в безперервний дріб протікає так:

Безперервний дріб для тому рівна Потрібна нам повна частка - число , звідси Р = 2 і Q = 5, і

Друга конструкція була запропонована Гаусом; за формою ця конструкція найбільш проста (хоча обгрунтувати її і не так просто). Якщо р = 4k + 1, покладемо

де х і у вибрані між Тоді Доказ був даний Кошs і Якобшталем, обидва докази не дуже прості. Щоб проілюструвати конструкцію, покладемо знову р = 29. Тоді

Ця конструкція, незважаючи на свою елементарність, не дуже зручна для обчислень.

Третя конструкція - конструкція Серре. Вона, подібно до побудови Лежандра, використовує безперервні дроби, але тут розкладається в безперервний дріб раціональне число. Розкладемо в безперервний дріб (h задовольняє рівнянню і . Можна довести, що цей безперервний дріб має вигляд

(8)

отже послідовність елементів безперервного дробу симетрична і центральний член відсутній. Покладемо

Тоді



Наприклад, якщо р = 29, то h = 12, оскільки

Безперервний дріб

Звідси

Та ж побудова в декілька іншій формі було запропоновано в 1855 році Смітом. Він хотів дати простий і безпосередній доказ того, що всяке просте число виду +1 подається як сума двох квадратів. Не користуючись рівняннями, Сміт довів, що існує таке h, що і безперервний дріб має вигляд (8). Визначаючи х і у, як і раніше, він довів, наслідуючи Серре, що

Перейдемо тепер до конструкції Якобшталя (Jacobsthal). Розглянемо наступну суму символів Лежандра :

де а - яке-небудь число, не порівнянне з 0 по mod р, а підсумовування поширюється на деяку повну систему вирахувань, наприклад на числа . Легко довести, що має лише два можливі значення: одне, коли а - квадратичне вирахування, інше, коли а - квадратичне невирахування. Більше того, обидва ці значення парні, бо доданок з n = 0 дорівнює 0, а складові, відповідні n і -п, однакові, оскільки . Покладемо

де R - яке-небудь квадратичне вирахування, a N - якесь квадратичне невирахування. Тоді

Доказ цього досить простий.

Як приклад візьмемо знову р = 29. Покладемо R = 1, а N=2 (2 квадратичне невирахування по модулю 29). Значення по складаються з 0 і чисел

кожне з яких зустрічається двічі. Сума відповідних їм символів Лежандра дорівнює 5, так що х = 5. Значення по складаються з 0 і чисел узятих по два рази кожне. Сума значень їх символів Лежандра дорівнює 2, звідки у = 2.

4. Подання натурального числа у вигляді суми чотирьох квадратів

Жирар і Ферма помітили, що будь-яке натуральне число представляється як сума чотирьох квадратів цілих чисел. Враховуючи, що в такому представленні деякі доданки можуть дорівнювати нулю, цю теорему можна перефразовувати так: кожне натуральне число представляється як сума не більше чотирьох квадратів натуральних чисел. Деякі історики вважають, що цей факт був відомий вже Діофанту з Александрії: він не вказав необхідних умов представлення числа сумою чотирьох квадратів, відмітивши, проте, що сумою двох або трьох квадратів можуть бути представлені лише числа деякого типу.

Ейлер багаторазово намагався довести цю теорему, але безуспішно. Його спіткала невдача, можливо, через те, що він намагався представити кожне число у вигляді суми двох чисел, кожне з яких представляється сумою двох квадратів. Таким шляхом довести цю теорему нелегко. Перший доказ був даний в 1740 році Лагранжем. Лагранж відмітив, що ним були використані роботи Ейлера.

Доведення Лагранжа аналогічне доведенню теореми про суму двох квадратів, розглянутому вище, і лише трохи складніше за нього. В цьому випадку також є тотожність, що виражає добуток двох сум чотирьох квадратів у вигляді суми чотирьох квадратів. Ця тотожність (що належить Ейлерові) має вигляд

(9)

Завдяки цій тотожності досить довести, що кожне просте число представляється як сума чотирьох квадратів; тоді можливість представлення складених чисел слідуватиме після повторного застосування цієї тотожності. Оскільки ми знаємо, що просте число 2 і усі прості виду 4k+1 представляються у вигляді суми двох квадратів, то залишається лише довести, що будь-яке просте виду 4k+3 представляється у вигляді суми чотирьох квадратів.

Як і в п. 2, доказ розпадається на два кроки. Перший крок полягає в доведенні того, що деяке кратне mp числа р, де , представляється у вигляді суми чотирьох квадратів. На наступному кроці звідси випливає, що саме р представляється у такому вигляді. Перший крок доведення буде завершений, якщо ми встановимо можливість вирішення рівняння

Дійсно, можна вибрати рішення з х і у, чисельно меншими , і ми отримаємо

(10)

з

Ейлер дав просте доведення, що можливість вирішення (10) без всяких обчислень. Перепишемо порівняння (10) у виді

Будь-яке квадратичне невирахування порівнянне з числом виду , оскільки - 1 - квадратичне невирахування для будь-якого простого виду 4k+3. Так, щоб вирішити вищезгадане рівняння, досить знайти квадратичне вирахування R і квадратичне невирахування N такі, що R + 1 = N. Якщо як N узяти перше квадратичне невирахування у ряді 1, 2, 3,.., то ця умова, очевидно, виконуватиметься, звідки і слідує можливість вирішення рівняння.

Помітимо, між іншим, що можливість вирішення рівняння (10) є окремим випадком теореми Шевалле. Ми бачили, що

рівняння вирішуване з х, у, z, не порівнянними з 0. Припускаючи і визначаючи X і Y так, щоб , отримаємо

Перейдемо тепер до другого кроку доведення, що починається з представлення mp у виді

(11)

де . Ми доводитимемо, що якщо , то знайдеться r, що лежить в проміжку і, має ту ж властивість, що і m. Звідси, повторюючи це міркування, можна отримати, що 1 має цю властивість і, значить, р представляється у вигляді суми чотирьох квадратів.

Почнемо з приведення a, b, с, d по модулю m: саме, визначимо числа А, В, C, D так, щоб вони були порівнянні відповідно з а, b, c, d по модулю m і задовольняли умовам



Існує таке число r, що

(12)

Число r не дорівнює нулю, оскільки інакше усі числа А, В, C, D дорівнювали б нулю і усs а, b, c, d були б кратні m. З (11) ми отримали б, що mp ділиться на m2 або р ділиться на m, а це неможливо, оскільки р просте, а m більше 1, але менше р. Далі ми маємо

Але цього недостатньо; нам треба, щоб r було строго менше m. Можливість r=m здійсниться, тільки якщо усі А, В, С, D рівні . У такому разі т парне і усі А, В, С, D порівняні з по модулю т. Але тоді ; аналогічні порівняння мають місце і для b, c, d. З (11) витікає, що , а це, як ми вже бачили, неможливо. Отже, число r в (12) задовольняє нерівності

Продовжуючи доведення, перемножимо рівність (11) і (12) і застосуємо тотожність (9). Отримаємо

 (13)

де через х, у, z, w позначені чотири вираження в правій частині (9). Усі ці вирази є числами, що діляться на т. Дійсно

аналогічно досліджуються z і w. Ми можемо скоротити на обидві частини рівності (13); тоді вийде представлення rр у вигляді суми чотирьох квадратів. Цим доведення теореми закінчується.

Приведене доведення теореми Лагранжа про суму чотирьох квадратів трохи простіше, ніж його первинне доведення, і по суті співпадає з доведенням, даним пізніше Ейлером. Хоча деталі доведення можна видозмінювати, не існує ніякого іншого простого і елементарного доведення, що принципово відрізняється від цього.

Висновки

На Різдво 1640 року в листі від 25 грудня П'єр Ферма сповіщав знаменитого Мерсенна, друга Декарта і головного посередника в листуванні учених того часу, про те, що "всяке просте число, яке при діленні на чотири дає одиницю, єдиним способом представляється як сума двох квадратів".

У ту пору математичних журналів ще не існувало, інформацією обмінювалися в листах, і як правило, результати лише анонсувалися, але не супроводжувалися детальними доказами.

Правда, після майже двадцяти років після листа Мерсенну в листі до Каркави, відправленому в серпні 1659 року, Ферма трохи відкриває задум доведення описаної вище теореми. Він пише, що основна ідея доведення полягає в методі спуску, що дозволяє з припущення, що для якогось простого числа виду 4n+1 висновок теореми невірний, отримати, що воно невірне і для меншого числа того ж і т. д., поки ми не дістанемося до числа 5, коли остаточно прийдемо до протиріччя.

Перші докази, які згодом були опубліковані, знайдені Ейлером між 1742 і 1747 роками. Причому, бажаючи затвердити пріоритет Ферма, до якого він переживав почуття якнайглибшої пошани, Ейлер придумав доведення, відповіднеописаному вище задуму Ферма.

Віддаючи належне обом великим ученим, ми називаємо цю теорему теоремою Ферма-Эйлера.

Можливість же подання числа у вигляді суми чотирьох квадратів була помічена ще відомими математиками Жераром і Ферма. Довгий час їхню теорему намагався довести Ейлер, але його намагання не увінчались успіхом. Першим, хто зміг довести теорему став Лагранж у 1740 році. Його доведення зроблене по аналогії з доведенням теореми про подання натурального числа у вигляду суми двох квадратів, але доведення Лагранжа дещо складніше.

Таким чином ми вказали і довели можливість подання натуральних чисел у вигляді суми двох та чотирьох квадратів. Більше того, були вказани критерії, при яких працюють дані твердження.

Отже, можна сказати, що ми повністю досягли всіх зпоставлених на початку завдань і мети курсової роботи.

Список використаної літератури

1. Айерленд К., Роузен M. Классическое введение в современную теорию чисел. М.:Мир, 1987.

2. Дэвенпорт Г.. Высшая арифметика. М.: Наука. 1965 г.

3. Венков Б. А.. Элементарная теория чисел. М. 1937 г.

4. Коган Л. А. О представлении целых целых положительно определенными квадратичными формами. Ташкент. 1971 г.

5. Белозеров Г. С. Асимптотические формулы для числа решений некоторых диофантовых уравнений: Дисс. к. ф.-м. н. Одесса. 1991.

6. Плаксин В. А. Асимптотическая формула числа решений нелинейного уравнения с простыми числами. //Известия АН СССР. Сер. матем. Т. 45. №2. 1981. С. 321-397.

7. Виноградов И. M. Основы теории чисел. М.:Наука. 1981.

8. Титчмарш Е. К. Теория дзета-функции Римана. Череповец: Меркурий-ПРЕСС. 2000.

9. Хооли К. Метод решета в теории чисел. М.: Наука. 1987.

10. Прахар К. Распределение простых чисел. М.:Мир. 1967.

11. Бухштаб А.А. Теория чисел. М.:Просвещение. 1966.

12. Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. М.'.Едиториал УРСС. 2004.

13. Андреева Т.Ю. О числе решений квадратичного диофантова уравнения. Чебышевский сборник. Т. 6. Вып. 2(14). 2005. С. 20-30.

14. Андреева Т.Ю. О числе решений квадратичного диофантова уравнения. V Материалы Научной конференции "Ломоносовские чтения"2006 года и V Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов-2006". 2006. С. 134.

15. Андреева Т.Ю. Асимптотическая формула для числа представлений натуральных чисел квадратичной формой. Вестник Самарского государственного университета. №6/1(46). 2006. С. 5-18.

16. Андреева Т.Ю. Оценка числа решений квадратичного диофантова уравнения с дополнительным условием на переменные. МИГУ., 2006, Деп. в ВИНИТИ 18.09.06 № 1152-В2006, 32 с. Библ. указатель ВИНИТИ "Депонированные научные работы", 2006, №11.

Размещено на Allbest.ru

...