Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Задача 1

Решение

Имеем следующее соотношение:

Где g, h обозначают разрешаемые поправки, которые предстоит определить из получившейся системы линейных уравнений.

Второе уравнение после умножения матрицы на столбец дает:

0,4= (0,4+g)*0,1+0,5*0,4 + 0,4 *0,3 + 0,3* 0,2

Откуда g= -0,2

Вычислим g из третьего уравнения:

0,3= (0,3-g)*0,1+0,2*0,4 + 0,4 *0,3 + 0,1* 0,2

Откуда g= -0,5. Получились два разных значения для одного параметра g, что показывает, что систему неравенств удовлетворить невозможно. В данной задаче имеем *В*-модель внутреннего УП, так что по теореме 5 данная модель не является полной. Рассмотрим условие полной наблюдаемости. Имеем:



Т.е.

Сформируем вспомогательную таблицу С* объединением строк матриц С и АС:

Вычислим определитель

?= 1*1 *(0,4*0,3-0,1*0,1)= 0,11 ?0

Следовательно, условие полной наблюдаемости у данной модели УП выполняется.

Об устойчивом решении вопрос не ведется, так как решения в данной задаче нет. Ответ: Удовлетворить желаемые требования невозможно, нет полной УП', но есть полная наблюдаемость.

2. Задача 2

а=0,5; b= 0,4; c=0,3; у= 0,25 и желательно, чтобы стабилизировались на цифрах соответственно 0,3r(0), 0,9r(0).

Решение

Сначала необходимо составить систему уравнений, описывающих перераспределение ресурса в данном процессе от акта к акту. Так, изначально из вершины х1 уходил объем ar(х1,k) ресурса в вершину х2, но одновременно в х1 и х3 приходил ресурс сr(х3,k), т.е. оказывалось

r(х1,k+1)= (1-а) * r(х1,k)+ сr(х3,k)

на каждом шаге k. После присоединения центра УП х4 из х1 стал забираться еще объем fr(х1,k) ресурса, так что в итоге стало

r(х1,k+1)= (1-а-f) * r(х1,k)+ сr(х3,k).

Аналогично для каждых вершин.

Получим систему линейных уравнений и представим ее в векторной форме с соответствующей стохастической по столбцам матрицей Мk:

Последние равенства выражают условие сохранения ресурса в объединенной системе. Условие стабилизируемости означает предельный переход k>?, так что в пределе окажется

.

Кроме того, по условию задачи должно оказаться

=0,3r(0), = 0,9r(0),

тогда как значения

остаются неизвестными. Проведем сокращение на r(0) и представим систему уравнений с учетом исходных данных:

В системе неизвестны 4 параметра .

Из второго уравнения:

Из третьего уравнения вычислим

Вычислим из четвертого уравнения f:

0,9= f*0,24 +0,675

Откуда f = 0,94

Из последнего равенства вычислим h:

0,24+1,15=-1,2+h

h=2,59

Все получившиеся значения не приводят к противоречиям с физическим содержанием, при подстановке их в систему уравнений, и в частности все они ? 0, как и все элементы матрицы перехода. Следовательно, все параметры УП определены верно. Рассмотрим вариант внешнего УП.

Ориентируясь на теорему 9 имеем:



Так что при варианте внешнего УП условие полной УП ` в данной задаче сбывается.

Аналогичные расчеты проводим с матрицами и для выяснения условия полной наблюдаемости.

Так что по теореме 9 при варианте внешнего УП условие полной наблюдаемости в данной задаче тоже сбывается.

(b) Вариант внутреннего УП.

Условие полной УП `, в принципе, невыполнимо по теореме 8.

Выясним выполнение условия полной наблюдаемости.

Построим *В*-модель:

Вычисляем



Сформируем вспомогательную матрицу С(k)* из 8 строк, объединив матрицы С(k), С(k)Мk, C(k)Mk2, C(k)Mk3. Поскольку нам важны только линейно независимые строки матрицы С(k)*, то имеет смысл из получившихся в ней четырех одинаковых строк [0 0 0 1] оставить только одну. В итоге вместо матрицы С(k)* будем иметь эквивалентную ей матрицу С'(k) из пяти строк:

Из матрицы С'(k) имеет смысл удалить четвертую строку, а у получившейся квадратной матрицы C”(k) вычислить определитель:

? C”(k)?= -1*1*0,3*0,12?0.

Таким образом, матрица C”(k), а тогда и матрицы С'(k) и С(k)* имеют полный ранг.

Следовательно, вариант внутреннего УП дает вполне наблюдаемую модель УП

Так как в данной задаче в обоих пунктах (а) и (b) решение существует и является однозначным, то по теореме 10 это решение автоматически устойчиво.

Ответ: Желаемые требования удовлетворяются при f= 0,94, h= 2,59; при варианте внешнего УП сбываются и условие полной УП', и условие полной наблюдаемости, а при варианте внутреннего УП- только условие полной наблюдаемости; решение устойчиво.

Желательно, чтобы решение а) росло со скоростью экспоненты е3t; б) выходило на периодический режим.

Решение

В данном случае матрица D обязана иметь размерность 1 на 1, т.е. вырождаться в число. При этом:



Так что собственные числа л матрицы удовлетворяют алгебраическому уравнению:

Последнее уравнение является квадратным относительно л, имея два корня л1 и л2.

а) В данной задаче у одного из корней, например, у первого, вещественная часть должна быть равной 3, а у второго ?3; Re л1=3, Re л2?3. С этими корнями возможны две ситуации:

Ситуация 1. Когда оба корня комплексные, то они обязательно сопряжены друг другу, так что при этом непременно должно оказаться Re

л1= Re л2=3 и Im л1= Im л2.

Как следствие этих равенств обязано быть

л1+ л2=3+3=6,

так что по теореме Виета для квадратного уравнения получается 5D-7=6, откуда D=12/5.

Проверим, имеет ли квадратное уравнение комплексные корни при полученном D.

Уравнение принимает вид:

Проверим его дискриминант D2=122-4*1*(257/5)<0.

Ситуация 2. Когда оба корня вещественные, то каждый из них совпадает со совей вещественной частью, так что при этом должно оказаться л1=3.

Подставим это значение для л в квадратное уравнение, откуда D = -43.

Поскольку по теореме Виета обязательно

л1+ л2=5D-7=-215-7=-222.

Вычислим величину второго корня л2=-222 -3= -225.

Так как -225< 3 и 12/5< 3, то отвечающая второму корню экспонента е-225t, представляет при t>? величину более низкого порядка, чем экспонента е3t, отвечающая первому корню, аналогично е12/5t. Значит, возрастание решения векторного ДУ будет определяться именно экспонентой е3t, что и требовалось по условию задачи. Так что в ситуации 1 получаем D = 12/5, в ситуации 2 получаем одно искомое решение D = -43.

б) По требованию задачи решение должно быть периодическим, так что согласно дополнительным замечаниям теоремы 9, оба корня л1 и л2 должны быть чисто мнимыми, непременно сопряженными, а значит и противоположными друг другу комплексными числами:

л1 =iм, и л2=- iм

л1+ л2=5D-7 и л1* л2=16D+13, то в данных условиях

5D-7= iм- iм=0, 16D+13= iм*(- iм)= м2,

Откуда D=7/5, м=v177/5. Естественно, период решения при этом будет равен

Т= 2р?5/?177.

Для проверки условия полной УП' используем теоремы 11 и 2, учитывая, что в данной задаче используется вариант внешнего УП:

Так что условие полной УП' в данной задаче сбывается. Аналогично для проверки условия полной наблюдаемости используем теоремы 11 и 1, учитывая, что в данной задаче используется вариант внешнего УП:

Так что условие полной наблюдаемости в данной задаче тоже сбывается.

Поскольку в данной задаче размер вычислимой матрицы D равен 1, то здесь не может быть кратных собственных чисел, так что по теореме 13 полученный результат для этой матрицы является устойчивым. А по теореме 14 устойчивым является и желаемый режим.

Ответ. Желаемые требования удовлетворяются: а) при D=12/5 и D= -43; б) при D= 7/5, условия полной УП' и наблюдаемости выполнены; результат устойчивый.

Желательно, чтобы решение а) росло со скоростью экспоненты е2t; б) выходило на периодический режим.

Решение

В данном случае матрица D обязана иметь размерность 1 на 1, т.е. вырождаться в число. При этом:

Так что собственные числа л матрицы удовлетворяют алгебраическому уравнению:

Последнее уравнение является квадратным относительно л, имея два корня л1 и л2.

В данной задаче у одного из корней, например, у первого, вещественная часть должна быть равной 2, а у второго ?2; Re л1=2, Re л2?2. С этими корнями возможны две ситуации:

Ситуация 1. Когда оба корня комплексные, то они обязательно сопряжены друг другу, так что при этом непременно должно оказаться Re

л1= Re л2=2 и Im л1= Im л2.

Как следствие этих равенств обязано быть

л1+ л2=2+2=4,

так что по теореме Виета для квадратного уравнения получается 2D+7=4, откуда D=-3/2.

Проверим, имеет ли квадратное уравнение комплексные корни при полученном D.

Уравнение принимает вид:

Проверим его дискриминант

D2=42-4*1*(-2)>0.

Следовательно, в ситуации 1, решение не найдено.

Ситуация 2. Когда оба корня вещественные, то каждый из них совпадает со совей вещественной частью, так что при этом должно оказаться л1=2.

Подставим это значение для л в квадратное уравнение, откуда D = -2.

Поскольку по теореме Виета обязательно

л1+ л2=2D+7=-4+7=3.

Вычислим величину второго корня л2=3-2= 1.

Так как 1< 2, то отвечающая второму корню экспонента еt, представляет при t>? величину более низкого порядка, чем экспонента е2t, отвечающая первому корню. Значит, возрастание решения векторного ДУ будет определяться именно экспонентой е2t, что и требовалось по условию задачи. Так что в ситуации 2 получаем одно искомое решение D = -2.

б) По требованию задачи решение должно быть периодическим, так что согласно дополнительным замечаниям теоремы 9, оба корня л1 и л2 должны быть чисто мнимыми, непременно сопряженными, а значит и противоположными друг другу комплексными числами:

л1 =iм, и л2=- iм

при некотором вещественном м>0. Поскольку по теореме Виета для квадратного уравнения должно быть

л1+ л2=2D+7 и л1* л2=-8D-14, то в данных условиях

2D+7= iм- iм=0, -8D-14= iм*(- iм)= м2,

Откуда D=-7/2, м=v14. Естественно, период решения при этом будет равен

Т= 2р/?14.

Для проверки условия полной УП' используем теоремы 11 и 2, учитывая, что в данной задаче используется вариант внешнего УП:

Так что условие полной УП' в данной задаче сбывается. Аналогично для проверки условия полной наблюдаемости используем теоремы 11 и 1, учитывая, что в данной задаче используется вариант внешнего УП:

дискриминант квадратное уравнение матрица

Так что условие полной наблюдаемости в данной задаче тоже сбывается.

Поскольку в данной задаче размер вычислимой матрицы D равен 1, то здесь не может быть кратных собственных чисел, так что по теореме 13 полученный результат для этой матрицы является устойчивым. А по теореме 14 устойчивым является и желаемый режим.

Ответ. Желаемые требования удовлетворяются: а) при D= -2, б) при D=-7/2; условия полной УП' и наблюдаемости выполнены; результат устойчивый.

Список литературы

1. Джонстон Дж. Эконометрические методы. -М.: Статистика, 1980.

2. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: Учебник. -М.: Издательство "ДИС", 2008.

3. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы. -М.: Издательство "ДИС", 2010.

4. Исследование операций в экономике: Учеб.пособие для вузов / Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н; под ред.проф. Кремера Н.Ш.- М.: ЮНИТИ, 2011.

5. Четыркин Б.М. Статистические методы прогнозирования. - М.: Статистика, 2006.

Размещено на Allbest.ru

...