Решения уравнений численными методами

Размещено на http://www.allbest.ru/

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА

«ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ »

Цель лабораторной работы - ознакомиться с основными правилами решения уравнений и систем уравнений численными методами пакета MathCAD.

Определение комплексных чисел

Решения некоторых уравнений содержат комплексные числа. MathCAD воспринимает комплексные числа в форме a+bi, где a и b ? обычные числа.

Комплексные числа могут также возникать в результате вычислений, даже если все исходные значения вещественны. Например, если вычислить ?1 , MathCAD возвращает i. При вводе комплексных чисел нельзя использовать i саму по себе для ввода комплексной единицы. Нужно всегда печатать 1i, в противном случае MathCAD истолкует i как переменную. Когда курсор покидает выражение, содержащее 1i, MathCAD скрывает избыточную единицу.

Некоторые операции над комплексными числами показаны на рис. 1.

Рисунок 1.

Решение систем линейных уравнений

Для решения систем линейных уравнений в системе MathCAD введена функция lsolve(A,B), которая возвращает вектор X для системы линейных уравнений A*X=B при заданной матрице коэффициентов A и векторе свободных членов B. Если уравнений n, размерность вектора B должна быть n, а размерность матрицы A ?nxn. Пример решения системы линейных уравнений:

Решение нелинейных уравнений

Многие уравнения, например трансцендентные, и системы из них не имеют аналитических решений. Однако они могут решаться численными методами с заданной погрешностью, определяемой переменной TOL (в меню Сервис > Опции рабочей области > Переменные)

Для простейших уравнений вида F(x)=0 решение находится с помощью функции root(Выражение, Имя_переменной).

Эта функция возвращает значение переменной, при котором выражение дает 0. Функция реализует вычисления итерационным методом, причем можно задать начальное значение переменной. Это особенно полезно, если возможно несколько решений. Тогда выбор решения определяется выбором начального значения переменной. Первое применение этой функции позволяет найти первый корень X1. Для поиска второго корня X2 первый исключается делением F(x) на (x-X1). Соответственно для поиска третьего корня X3 F(x) делится еще и на (x-X2). Пример использования функции приведен на рис. 3.

Для поиска корней обычного полинома p(x)степени n можно использовать функцию polyroots(V).

Она, как показано на рис. 4, возвращает вектор корней многочлена (полинома) степени n, коэффициенты которого находятся в векторе V, имеющем длину, равную n+1.

Функцию root можно использовать и в составе функции пользователя, создаваемой специально для решения конкретной задачи. Например, как показано на рис. 5, с ее помощью можно организовать решение уравнения при различных значениях параметра a.

Решение систем нелинейных уравнений

При решении систем нелинейных уравнений используется специальный вычислительный блок, открываемый служебным словом ? директивой Given, имеющей следующую структуру:

Given

Уравнения

Ограничительные условия

Выражения с функциями Find и Minerr

Рекомендуется дополнять блок проверкой решения системы.

В блоке может использоваться одна из следующих функций:

Find(v1,…,vn) ? возвращает значение одной или ряда переменных для точного решения;

Minerr(v1,…,vn) ? возвращает значение одной или ряда переменных для приближенного решения;

Между этими функциями существует принципиальные различия. Первая функция используется тогда, когда решение реально существует (хотя и не является аналитическим). Вторая функция пытается найти максимальное приближение даже к несуществующему решению путем минимизации среднеквадратической погрешности решения.

Ограничительные условия вводятся следующими операторами:

В решающих блоках для определения условия равенства используется знак логического равенства =, извлекаемый из меню или вводимый комбинацией клавиш Ctrl +

Функции Find и Minerr, как показано на рис. 6, могут использоваться для решения одного уравнения.

Для нахождения начальных приближений поиска вещественных корней весьма полезно построить графики кривых, входящих в систему уравнений.

Полученные точки пересечения можно использовать для дальнейшего поиска корней. Пример такого решения приведен на рис. 7.

При использовании функции Minerr при решении систем нелинейных уравнений нужно проявлять осторожность и обязательно предусматривать проверку решений. Полезно как можно точнее указывать начальное приближение к решению.

Порядок выполнения работы

1. Войти в систему MathCAD. Внимательно ознакомиться с описанием лабораторной работы. Выполнить рассмотренные примеры и сохранить в отдельный файл. уравнение численный погрешность кубический

2. Выполнить средствами пакета MathCAD последовательность заданий из, указанного преподавателем варианта. Решения задач оформить в виде единого документа. Каждую задачу обязательно сопровождать комментариями.

2.1 Определить все корни уравнения.

2.2 Составить программу решения системы линейных уравнений. Выполнить проверку решения.

2.3. Решить систему нелинейных уравнений второго порядка. Выполнить проверку решения. Варианты функций приведены в таблице 1

Таблица 1

2.4. Рассчитайте значения токов в ветвях сложной электрической цепи, схема которой приведена на рисунке 8, а параметры элементов данной цепи приведены в таблице 2.

Таблица 2

Пример расчета

Пусть дана схема, приведенная на рисунке, со следующими параметрами: ЭДС Е1 = 110 В, Е3 = 111 В, Е4 = 108 В, внутренние сопротивления источников Rвн.1 = 0,5 Ом, Rвн.3 = I Ом, Rвн.4 = 0,2 Ом, сопротивления R1 = 4,5 Ом, R2 = 20 Ом, R4 = 25,8 Ом. Определить токи в ветвях.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 8 - Эквивалентная схема сложной электрической цепи

1. Между точками а1 и а2 нет включенного сопротивления или ЭДС, следовательно, их потенциалы одинаковы и их можно объединить в общий узел. Аналогично объединяются точки в1 и в2. Следовательно, схема имеет два узла, между которыми включены четыре ветви и число неизвестных токов равно четырем. Выбранные положительные направления токов и направления обхода контуров показаны на схеме.

2. Схема имеет два узла и четыре ветви, поэтому по первому закону Кирхгофа надо составить q - 1 = 2 - 1 = 1 уравнение, а по второму - p - (q - 1) = 4 -- 1 = 3 уравнения.

3. Составим одно уравнение по первому закону для узла в:

-- I1 + I2 - I3 - I4 = 0

и три по второму, принимая направление обхода контуров по направлению движения часовой стрелки:

Е1 = (Rвн1 + R1) I1 + R2 I2 - контур 1;

Е3 = -- R2 I2 - Rвн3 I3 - контур 11;

Е3 + Е4 = Rвн3 I3 - (Rвн4 + R4) I4 - контур 111.

В полученную систему уравнений подставим численные значения ЭДС и сопротивлений:

I1 + I2 - I3 - I4 = 0; (1)

110 = (0,5 + 4,5)I1 + 20I2; (2)

111 = -- 20I2 - 1I3; (3)

111 + 108 = 1I3 - (0,2 + 25,8)I4 . (4)

Решим систему уравнений (1) - (4) методом подстановки. Из (2)

I2 = (110 -5I1)/20 =(22 - I1)/4, из (3) I3 = 111 - 20I2 = 1 +5I1, из (4)

I4 = (- 219 + I3)/26 = (- 218 + 5I1)/26.

Подставив значения I2, I3, I4 в (1), получим:

I1 + - 1 - 5I1 - = 0,

откуда I1 = 2 А; затем найдем I2 = 5 А, I3 = 11 А, I4 = - 8 А.

Размещено на Allbest.ru