Основы математики
Ознакомление с методами обозначения частной производной функции. Определение условий дифференцирования функции. Рассмотрение символики для обозначения частных производных. Исследование теоремы о частных производных. Анализ сущности смешанных производных.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 13.04.2015 |
| Размер файла | 114,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
1. Частные производные
Прежде всего, договоримся, что здесь и далее все определения и утверждения мы будем формулировать для функции двух (или трех) переменных. Это придаст изложению наглядность. А в случае необходимости результаты легко обобщить на случай функции большего числа неизвестных.
Пусть в некоторой открытой области плоскости задана функция двух переменных . Возьмем произвольную точку в этой области и придадим приращение , оставляя значение неизмененным. При этом функция получит приращение .
Оно называется частным приращением этой функции по в точке . Запишем отношение
Предел этого отношения при (если он существует и конечен) называется частной производной функции по переменной в точке .
Для обозначения частной производной функции по в точке используют символы
, , ,
, , , .
Замечание. Обозначения частной производной и надо понимать как целые символы, а не как частное двух величин. Отдельно взятые выражения и смысла не имеют.
Аналогично, считая постоянной и придавая приращение , мы получим частное приращение функции по переменой в точке
,
а
(если он существует и конечен) называется частной производной функции по переменной в точке . Для ее обозначения используют символы
, , ,
, , , .
Физический смысл частных производных: отношение
дает среднюю скорость изменения функции по переменной на отрезке , где . Значит предел этого отношения при (если он существует и конечен) характеризует скорость изменения данной функции по в самой точке . Аналогично, частная производная характеризует скорость изменения функции точке , только по .
Найдя частные производные по и от функции в тех точках области , в которых они существуют, мы получим две новые функции (в общем случае тоже двух переменных), которые называют соответственно частной производной функции по переменной и по переменной и обозначаются соответственно
, , , , ,
, , , , , .
Операция нахождения частных производных и называется дифференцированием функции по переменной и соответственно.
Фактически, частная производная функции по (по ) есть по определению обыкновенная производная функции , рассматриваемой как функция одной переменной (соответственно ) при постоянном значении другой переменной. Поэтому, вычисление частных производных по (по ) от конкретных функций производится по известным для функции одной переменной правилам. Только требуется помнить, по какой переменной ищется производная, а другую переменную считать константой.
Для функции считая постоянной, в любой точке имеем
;
считая постоянной, в любой точке имеем
.
Аналогично определяются и обозначаются частные производные функции любого числа независимых переменных. А именно, частная производная от функции по любой из независимых переменных в точке есть предел отношения частного приращения функции в этой точке по к приращению при (если это предел существует и конечен):
.
Частные производные функции двух переменных имеют простой геометрический смысл. Предположим, что функция имеет в точке частную производную по переменной . Пусть поверхность является графиком функции . Проведем плоскость . В сечении этой плоскости с поверхностью получится линия , где . Построим в точке касательную к линии . Пусть прямая образует с осью угол . Тогда
Размещено на http://www.allbest.ru/
.
Действительно, по определению есть обыкновенная производная по от функции одной переменной при . Но производная функции одной переменной по в данной точке равна тангенсу угла наклона к оси касательной к графику этой функции в точке . Следовательно, есть тангенс угла наклона к оси касательной к графику функции в точке . Но линия и есть график функции , а прямая - требуемая касательная.
Аналогично, если функция имеет в точке частную производную по переменной , то
Размещено на http://www.allbest.ru/
,
где - угол наклона к оси касательной, проведенной в точке к линии пересечения поверхности и плоскости .
2. Частные производные высших порядков
Пусть функция определена в некоторой области . Если функция имеет частные производные и , то они в общем случае тоже будут функциями двух переменных и , определенных в области или ее части. Будем называть в дальнейшем функции и частными производными первого порядка (или просто первыми частными производными) функции . Частные производные по и по от функций и , если они существуют, называются частными производными второго порядка (вторыми частными производными) функции . Обозначают частные производные второго порядка функции следующим образом:
1) производная по от функции обозначается одним из следующих символов
, , , ;
2) производная по от функции обозначается
, , , ;
3) производная по от обозначается
, , , ;
4) производная по от обозначается
, , , .
Частные производные второго порядка в общем случае снова будут функциями двух переменных. Если их можно дифференцировать по и по , то получим частные производные третьего порядка (третьи частные производные) функции и т.д.
Вообще, частные производные от частных производных ()-го порядка некоторой функции называются частными производными -го порядка этой функции.
Символика для обозначения частных производных -го порядка () аналогична символике для частных производных второго порядка. Например:
, , .
Найти частные производные второго порядка функции
Имеем , .
Дифференцируя функции и по и по , получаем
, ,
, .
Частные производные второго и высших порядков, взятые по разным аргументам, называются смешанными.
В рассмотренном выше примере оказалось, что . Это свойство имеет место для широкого класса функций, что подтверждает следующая теорема.
ТЕОРЕМА. Если функция в некоторой области имеет все частные производные до -го порядка включительно и эти производные непрерывны, то смешанные производные порядка (), отличающиеся лишь последовательностью дифференцирований, совпадают между собой.
Например, будет иметь место равенство
(при условии, что указанные производные непрерывны).
Условие непрерывности частных производных является существенным. Можно привести примеры, которые показывают, что если оно не выполняется, то результат дифференцирования существенно зависит от порядка дифференцирований. дифференцирование производный теорема
Определения и обозначения частных производных высших порядков для функции трех и более числа переменных даются аналогичным образом. Остается в силе и теорема о независимости смешанных производных от последовательности дифференцирований при условии их непрерывности.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Вычисление производной функции и ее критических точек. Определение знака производной на каждом из интервалов методом частных значений. Нахождение промежутков монотонности и экстремумов функции. Разложение подынтегральной функции на простейшие дроби.
контрольная работа [134,7 K], добавлен 09.04.2015Метод интегрирования по частям. Задача на нахождение частных производных 1-го порядка. Исследование на экстремум заданную функцию. Нахождение частных производных. Неоднородное линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка. Условия признака Лейбница.
контрольная работа [90,0 K], добавлен 24.10.2010Основные определения и теоремы производной, дифференциала функции; техника дифференцирования. Применение производных к вычислению пределов. Исследование функции на монотонность и точки локального экстремума. Полное исследование функции, асимптоты графика.
контрольная работа [539,8 K], добавлен 20.03.2016Исследование функции на непрерывность. Алгоритм вычисления производных первого и второго порядков. Порядок определения скорости и ускорения в определенный момент времени при помощи производных. Особенности исследования функции на наличие точек экстремума.
контрольная работа [362,7 K], добавлен 23.03.2014Основные определения теории уравнений в частных производных. Использование вероятностных, численных и эмпирических методов в решении уравнений. Решение прямых и обратных задач методом Монте-Карло на примере задачи Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона.
курсовая работа [294,7 K], добавлен 17.06.2014Производная - основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции. Исследование правил дифференцирования, которые используют при нахождении производных. Определение производной алгебраической суммы конечного числа.
презентация [175,0 K], добавлен 21.09.2013Решение эллиптических и параболических дифференциальных уравнений в частных производных. Суть метода Кранка-Николсона и теории разностных схем для теплопроводности. Построение численных методов с помощью вариационных принципов, описание Matlab и Mathcad.
курсовая работа [1,4 M], добавлен 13.03.2011Нахождение частных производных по направлению вектора. Составление уравнения касательной плоскости к поверхности в заданной точке. Исследование на экстремум функции двух переменных. Определение условного максимума функции при помощи функции Лагранжа.
контрольная работа [61,5 K], добавлен 14.01.2015Задания на установление заданных пределов без использования правила Лопиталя. Определение точек разрыва функции и построение ее графика. Правило вычисления производной, заданной неявно. Исследование функции методами дифференциального исчисления.
контрольная работа [570,8 K], добавлен 10.10.2011Предел отношения приращения функции к приращению независимого аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Обозначения производной. Понятие дифференцирования функции производной и ее геометрический смысл. Уравнение касательной к кривой.
презентация [246,0 K], добавлен 21.09.2013Изучение способов нахождения пределов функций и их производных. Правило дифференцирования сложных функций. Исследование поведения функции на концах заданных промежутков. Вычисление площади фигуры при помощи интегралов. Решение дифференциальных уравнений.
контрольная работа [75,6 K], добавлен 23.10.2010Обзор таблицы производных элементарных функций. Понятие промежуточного аргумента. Правила дифференцирования сложных функций. Способ изображения траектории точки в виде изменения ее проекций по осям. Дифференцирование параметрически заданной функции.
контрольная работа [238,1 K], добавлен 11.08.2009Расчет частных производных первого порядка. Поиск и построение области определения функции. Расчет полного дифференциала. Исследование функции на экстремум. Поиск наибольшего и наименьшего значения функции в замкнутой области. Производные второго порядка.
контрольная работа [204,5 K], добавлен 06.05.2012Определение частных производных первого и второго порядков заданной функции, эластичности спроса, основываясь на свойствах функции спроса. Выравнивание данных по прямой методом наименьших квадратов. Расчет параметров уравнения линейной парной регрессии.
контрольная работа [99,4 K], добавлен 22.07.2009Нахождение частных производных, градиента функции. Вычисление интеграла, переход от двойного интеграла к последовательному, пределов интегрирования. Общее и частное решение дифференциального уравнения второго порядка. Применение признака Даламбера.
контрольная работа [297,6 K], добавлен 11.05.2013Подборка нелепых отрывков из конспектов студентов механико-математического факультета и некоторых казусных высказываний их преподавателей. Анализ теории вероятностей и теории функции Зильберта. Методика вычисления интегралов методом подгонки под ответ.
учебное пособие [237,6 K], добавлен 28.03.2010Основные теоремы и понятия дифференциального исчисления, связи между свойствами функции и её производных (или дифференциалов); применение математических методов в естествознании и технике. Решение уравнений и неравенств с помощью теорем Ролля и Лагранжа.
курсовая работа [609,9 K], добавлен 09.12.2011Правило нахождения производной произведения функций. Формулы нахождения производных для функций, заданных параметрически. Геометрический смысл производной. Приращение и дифференциал функции. Наибольшее и наименьшее значения на замкнутом множестве.
контрольная работа [75,5 K], добавлен 07.09.2010Теория полуколец находит своё применение в теории автоматов, компьютерной алгебре и других разделах математики. Построение классического полукольца частных. Построение полного полукольца частных. Связь между полным и классическим полукольцами частных.
реферат [227,2 K], добавлен 27.05.2008Условия существования предела в точке. Расчет производных функции, заданной параметрически. Нахождение точки экстремума, промежутков возрастания и убывания функций, выпуклости вверх и вниз. Уравнение наклонной асимптоты. Точка локального максимума.
курсовая работа [836,0 K], добавлен 09.12.2013
