Вычисление корреляционного отношения

Размещено на http://allbest.ru

Введение

В природе многие явления и процессы взаимосвязаны между собой. В физической культуре и спорте, в спортивной команде и в организме спортсмена тоже существует много взаимосвязей между различными признаками. Например, с повышением количества занимающихся в каком-либо виде спорта повышаются результаты в этом виде; осложнения во взаимоотношениях между игроками одной команды ухудшает её результативность; с повышением интенсивности нагрузки у спортсмена повышается пульс; увеличивается скорость кровообращения ; регулярность тренировок, оптимально подобранные нагрузки по их виду, объему и интенсивности улучшают результаты спортсмена и т.д.

Влияние одних признаков на другие может быть положительным и отрицательным. Грамотный специалист должен хорошо разбираться в таких взаимосвязях в своей области, устранять или уменьшать негативное влияние и уметь своевременно и в достаточной мере использовать полезные взаимосвязи.

Некоторые методы математической статистики могут помочь любому специалисту выявить взаимосвязи, раскрыть их особенности. Одним из таких методов и является метод корреляционного анализа. Она направлен на то, чтобы на основе статистического материала выявить факт влияния одного признака на другой, установить полезность или вред этого влияния и оценить уверенность в полученных выводах. При этом различают два вида зависимости - функциональную и статистическую (корреляционную).

Корреляция - статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин (либо величин, которые можно с некоторой допустимой степенью точности считать таковыми). При этом, изменения значений одного или нескольких из этих величин приводят в систематическому изменению значений другой или других величин.

Корреляция считается простой, когда речь идет об отношениях между двумя величинами или переменными ( например, между потреблением и доходами), и множеством, если в ней участвуют три и более переменных (например, потребление, доходы, цены). Частичная К. определяет отношения между двумя переменными когда для третьей переменной берется определенная постоянная величина (например, корреляция между потреблением и доходами для данного возрастного класса участников). Математической мерой корреляции двух случайных величин служит коэффициент корреляции в теории вероятности и статистике - это показатель характера изменения двух случайных величин.



1. Построение корреляционной таблицы

Таблица 1. Исходные данные

X	Y	X	Y	X	Y	X	Y	X	Y
0	185	24	85	53	2	85	40	121	180
2	180	24	90	55	4	87	45	123	174
3	175	27	75	57	0	89	35	125	185
5	170	28	82	59	2	90	64	127	196
7	160	29	64	63	5	92	60	129	200
8	155	30	70	64	2	95	83	130	196
10	140	33	58	67	8	98	94	132	210
12	140	34	50	69	10	100	100	134	220
12	145	36	40	70	4	103	112
14	125	38	30	72	6	105	120
14	118	38	25	75	10	108	125
15	124	40	23	77	15	110	140
17	120	42	25	77	20	112	146
19	100	45	14	79	25	114	135
20	95	46	12	81	30	115	154

Параболическая зависимость имеет вид:

у=а+bx+cx².

Для получения такого вида строят корреляционную таблицу.

Для того чтобы построить корреляционную таблицу , необходимо представить вариационный ряд (табл.1) в виде интервального ряда (табл.2). Для этого воспользуемся формулой величины интервала.

h = (X_max-X_min)/ (1+3,2lg(n))

h = (Y_max- Y_min)/(1+3,2lg(n))

где Xmax, Ymax - максимальное значение изучаемого признака

Xmin, Ymin - минимальное значение изучаемого признака

n = 72 - количество проб

В нашем случае:

Xmax=134, Xmin=0

Ymax=220, Ymin=0

Таблица 2.

Границы интервалов для x:	Границы интервалов для y:
0-20	0-32
20-40	32-64
40-60	64-96
60-80	96-128
80-100	128-160
100-120	160-192
120-140	192-224

В корреляционной таблице факторный признак X, располагают в строках, а результативный признак Y - в столбцах таблицы. Числа, расположенные на пересечении строк и столбцов таблицы, означают частоту повторения данного значения X и Y.

Корреляционная таблица, а также расчет дополнительных величин представлен в таблице 2.

Таблица 3.

	?	-4	-3	-2	-1	0	1	2	my	my з	myз 2
З		0-20	20-40	40-60	60-80	80-100	100-120	120-140
-4	0-32		3	8	10	1			22	-88	352
-3	32-64		4			6			10	-30	90
-2	64-96	1	5			2			8	-16	32
-1	96-128	5	1			1	3		10	-10	10
0	128-160	5					4		9	0	0
1	160-192	4					1	3	8	8	8
2	192-224							5	5	10	20
У	15	13	8	10	10	8	8	72 -126 512
?mx	-60	-39	-16	-10	0	8	16	-101
?2mx	240	117	32	10	0	8	32	439
?3mx	-960	-351	-64	-10	0	8	64	-1313
?4mx	3840	1053	128	10	0	8	128	5167
Уmз	-3	-35	-32	-40	-27	-2	13	-126
Уз2 m	13	105	128	160	79	4	23	512
?Уmз	12	105	64	40	0	-2	26	245
?2Уmз	-48	-315	-128	-40	0	-2	52	-481
УУmy= Уmy/Уm	2064	751,998	128	160	576	1088	1568	6335,998
	137,6	57,846	16	16	57,6	136	196	617,046



2. Вычисления параметров уравнения

2.1 С помощью корреляционной решетки

Уравнение регрессии в форме параболы второго порядка имеет вид (в координатах з и ?) :

з= а'+ b' ?+c' ?² (1)

2)Параметры этого уравнения определяют по способу наименьших квадратов, решая систему уравнений(2):

Уmз = a'n + b'У ? m+c'У ? ²m

? Уmз = a' У ? m + b'У ? ²m +c'У ? ³m (2)

? ²Уmз = a'У ? ²m + b'У ? ³m +c'У(? ² )²m

Из таблицы 2 находим необходимые данные

N=72 ,У ? m = -101, У ? ²m= 439, У ? ³m= -1313, У(? ² )²m= 5167

Подставляем данные в систему уравнений(2), и получаем систему уравнений (А):

-126= a'72-b'101+c'439

245= -a' 101 +b'439 -c'1313

-481= a' 439 - b' 1313 +c' 5167

Решая эту систему уравнений найдем a',b',c':

a'= -2,896 ,

b'=1,456 ,

c'= 0,523

Уравнение параболы имеет вид:

з= -2,896+ 1,456?+0,523?²

Произведя в уравнении параболы замену переменных и найдем уравнение параболической регрессии :

Y=(y-144)/32;

X=(x-90)/20;

Подставив в уравнение вместо з, ?, получим уравнение параболической регрессии:

(y-144)/32= -2,896+ 1,456(x-90)/20+0,523((x-90)/20)²

Упростив, мы получим:

У=0,042x²-5,202x-497,24

2.2 С помощью матриц по формуле Крамера

Определим параметры параболической регрессии по формуле Крамера

Уmз = a'n + b'У ? m+c'У ? ²m

? Уmз = a' У ? m + b'У ? ²m +c'У ? ³m (2)

? ²Уmз = a'У ? ²m + b'У ? ³m +c'У(? ² )²m



Для нашей системы уравнений определитель будет иметь вид:

А=

D=18313896

Дополнительные определители a,b,c:

D1:= -53037696

D2:= 26656518

D3:= 9575106

Корни уравнения равны:

a' = D1 / D = -53037696/18313896=-2,896

b' = D2 / D = 26656518/18313896=1,456

c' = D3 / D = 9575106/18313896=0,523

Подставив, получим уравнение:

Y=0,042x²-5,202x-497,24



3. Вычисление корреляционного отношения

Такая задача как измерение тесноты зависимости, для всех форм связи, в том числе и параболы, может быть решена при помощи вычисления эмпирического корреляционного отношения :

дисперсия в ряду выровненных значений результативного показателя;

средняя внутригрупповая дисперсия у.

Проведем дополнительные расчеты.

Определим средние значения у для каждой группы по х (по данным таблицы 2):

У(10)=137,6

У(30)=57,846

У(50)=16

У(70)=16

У(90)=57.6

У(110)=136

Для значения у вычисляют дисперсия по группам по формуле:

у = У(y_i-y_i)²*m_i/У*m_i



у₁₀=(80-137,6)²*1+(112-137,6)²*5+(144-137,6)²*5+(176-137,6)²*4/15=846,507

у₃₀=(16-57,846)²*3+(48-57,846)²*4+(80-56,846)²*5+(112-57,846)²*1/13=848,284

у₅₀=(16-16)²*8/8=0

у₇₀=(16-16)²*10/10=0

у₉₀=(16-57,6)²*1+(48-57,6)²*6+(80-57,6)²*2+(112-57,6)²*1/10=624,64

у₁₁₀=(112-136)²*3+(144-136)²*4+(176-136)²*1/8=448

у₁₃₀=(176-196)²*3+(208-196)²*5/8=240

Средневзвешенное значение дисперсии показывает рассеяние содержания уза счет прочих факторов, кроме х. Оно вычисляется по формуле:

у² = У(у _i)²*m_i/У*m_i

у² = (846,507+848,284+624,64+448+240)/72 =41,77

Влияние содержания х на содержание у отражает межгрупповая дисперсия:

у²=У(y_i-y_i)²*m_i/У*n,

где у среднее вычисляется по формуле:

у=Уy_i*m_i/n

у²=(846,507*15)+(848,284*13)+(0*8)+(0*10)+(624,64*10)+(448*8)+(240*8)/72=492,77

Среднее значение у в целом по совокупности данных:

Тогда:

=3653,062

Общую дисперсию находим по правилу сложения дисперсий

Тогда корреляционное отношение равно:

Корреляционное отношение измеряет близость эмпирической линии связи к теоретической. Значение корреляционного отношения, которое мы получили равно 0.88 ближе к 1, свидетельствует о том, что связь является тесной.



4. Оценка надежности корреляционного отношения

Значимость корреляционного отношения определим с использованием критерия Стьюдента. Расчет t-критерия проводится по формуле:

Расчет:

Табличное значение t-критерия при уровне значимости 0,88 и степенях свободы 72-2=70 равно 1,989. Расчетное значение выше критического, следовательно, корреляционное отношение значимо.



5. Построение линии регрессии

Найдем теоретические значения Ут. Для этого воспользуемся уравнением параболической регрессии:

У=0,042x²-5.202x-497.24

Составим таблицу:

Таблица 4.

Х	10	30	50	70	90	110	130
Уп.	137,6	57,846	16	16	57,6	136	196
Ут.	135,424	62,048	23,04	18,4	48,128	112,224	210,688



Заключение

Управление корреляционной связи измеряет зависимость между вариацией результативного признака и вариации факторного признака. Меры тесноты связи измеряют долю вариации результативного признака, которая связана корреляционно с вариацией факторного признака. Интерпретировать корреляционные показатели следует строго в терминах вариации ( различий в пространстве) отклонения от средней величины.

Корреляционное отношение измеряет близость эмпирической линии связи к теоретической. В моем случае значение корреляционного отношения ф=0,88 - по шкале Чеддока - это весьма высокая связь.



Список использованной литературы

корреляционный параболический регрессия крамер

1. Статистика: учебник. Под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Высшее образование, 2008. - 566 с.

2. Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория вероятностей. Математическая статистика. - М.: Гардарика, 1998. - 328 с.

3. Лекции по теории вероятностей. Елисеев В.М.

4. Лекции по статистике. Елисеев В.М.

5. Яковлева Н.В., Венсковская В.И. теория вероятностей и математическая статистика. - М.: РУДН, 2009 - 130 с.

Размещено на Allbest.ru

...