Размещено на http://www.allbest.ru/

Основные правила комбинаторики

Введение

Термин "комбинаторика" был введён в математический обиход знаменитым Лейбницем. Всемирно известный немецкий учёный, занимался философией, математикой, физикой, организовал Берлинскую академию наук и стал её первым президентом. В математике он вместе с И. Ньютоном разделяет честь создателя дифференциального и интегрального исчислений.

В 1666 году Лейбниц опубликовал "Рассуждения о комбинаторном искусстве".

В течение всей своей жизни Лейбниц многократно возвращался к идеям комбинаторного искусства. Комбинаторику он понимал весьма широко, именно, как составляющую любого исследования, любого творческого акта, предполагающего сначала анализ (расчленение целого на части), а затем синтез (соединение частей в целое). Мечтой Лейбница, оставшейся, увы, неосуществлённой, оставалось построение общей комбинаторной теории. Комбинаторике Лейбниц предрекал блестящее будущее, широкое применение.

В XVIII веке к решению комбинаторных задач обращались выдающиеся математики. Так, Леонард Эйлер рассматривал задачи о разбиении чисел, о паросочетаниях, о циклических расстановках, о построении магических и латинских квадратов.

В 1713 году было опубликовано сочинение Я. Бернулли "Искусство предположений", в котором с достаточной полнотой были изложены известные к тому времени комбинаторные факты. "Искусство предположений" появилось после смерти автора, и не было автором завершено. Сочинение состояло из 4 частей, комбинаторике была посвящена вторая часть, в которой содержатся формулы:

· для числа перестановок из n элементов,

· для числа сочетаний (называемого Я. Бернулли классовым числом) без повторений и с повторениями,

· для числа размещений с повторениями и без повторений.

Для вывода формул автор использовал наиболее простые и наглядные методы, сопровождая их многочисленными таблицами и примерами. Сочинение Я. Бернулли превзошло работы его предшественников и современников систематичностью, простотой методов, строгостью изложения и в течение XVIII века пользовалось известностью не только как серьёзного научного трактата, но и как учебно-справочного издания. В работах Я. Бернулли и Лейбница тщательно изучены свойства сочетаний, размещений, перестановок. Перечисленные комбинаторные объекты относятся к основным комбинаторным конфигурациям. В математике в XIX веке появился сначала термин "геометрическая конфигурация" в лекциях по проективной геометрии профессора университета в Страсбурге К.Т. Рейе (1882).

Комбинаторика, пройдя многовековой путь развития, обретя собственные методы исследования, с одной стороны, широко используется при решении задач алгебры, геометрии, анализа, с другой стороны, сама использует геометрические, аналитические и алгебраические методы исследования.

В конце XVIII века учёные, принадлежащие комбинаторной школе Гинденбурга, попытались построить общую комбинаторную теорию, используя бесконечные ряды. Исследователи этой школы изучили большое количество преобразований рядов: умножение, деление, возведение в степень, извлечение корней, обращение рядов, разложение трансцендентных функций. Использование производящих функций в комбинаторике можно отнести к (уже) классическим традициям.

В XX веке комбинаторика подверглась мощному процессу алгебраизации благодаря работам Дж.-К. Рота (1964), а затем Р. Стенли. Изучение ими частично упорядоченных множеств, свойств функции Мёбиуса, абстрактных свойств линейной зависимости, выявление их роли при решении комбинаторных задач способствовали обогащению комбинаторных методов исследования и дальнейшей интеграции комбинаторики в современную математику.

Комбинаторика

Раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненным тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов называется комбинаторикой.

Основные правила комбинаторики

Большинство комбинаторных задач решается с помощью двух основных правил - правила суммы и правила произведения.

Правило суммы. Если некоторый объект А можно выбрать n способами, а другой объект B можно выбрать m способами, то выбор "либо A, либо B" можно осуществить n +m способами.

Правило произведения. Если объект A можно выбрать n способами, а после каждого такого выбора другой объект B можно выбрать (независимо от выбора объекта A) m способами, то пары объектов A и B можно выбрать n Ч m способами.

Комбинаторные соединения

Комбинаторные соединения - это такие комбинации из каких-либо элементов.

Типы соединений:

* Перестановки

* Размещения

* Сочетания

ПЕРЕСТАНОВКИ

Перестановки без повторений - комбинаторные соединения, которые могут отличаться друг от друга лишь порядком входящих в них элементов.

Формула для нахождения количества перестановок без повторений:

Рn = n(n-1)Ч…Ч1 = n!

Перестановки с повторениями - комбинаторные соединения, в которых среди образующих элементов имеются одинаковые. В таких соединяниях участвуют несколько типов объектов, причём имеется некоторое количество объектов каждого типа. Поэтому в выборках встречаются одинаковые.

формула для нахождения количества перестановок с повторениями:

Pn (m1,m2,…,mk) =

Пример. Возьмем буквы Б, А, Р. Какие перестановки из этих букв можно получить? Сколько таких наборов получится, если: 1) буквы в наборе не повторяются; 2) буква А повторяется два раза?

Решение.

1. Получатся наборы: БАР, БРА, АРБ, АБР, РАБ, РБА.

По формуле получаем:

наборов.

2. Получатся наборы: БАРА, БРАА, БААР, ААРБ, ААБР, АБАР, АРАБ, АРБА, АБРА, РАБА, РААБ, РБАА.

По формуле получаем:

наборов.

Размещения

Размещения без повторений - комбинаторные соединения, составленные из n элементов по m. При этом два соединения считаются различными, если они либо отличаются друг от друга хотя бы одним элементом, либо состоят из одних и тех же элементов, но расположенных в разном порядке.

Размещения с повторениями - комбинаторные соединения, составленные из n элементов по m. При этом каждый из n элементов может содержаться сколько угодно раз или вообще отсутствовать.

Пример. Возьмем буквы Б, А, Р. Какие размещения из этих букв, взятых по две, можно получить? Сколько таких наборов получиться, если: 1) буквы в наборе не повторяются; 2) буквы могут повторяться?

Решение.

1. Получатся следующие наборы: БА, БР, АР, АБ, РБ, РА.

По формуле получаем:

наборов.

2. Получатся наборы: ББ, БА, БР, АА, АБ, АР, РР, РБ, РА.

По формуле получаем: наборов.

Сочетания

Сочетания без повторений - комбинаторные соединения из n элементов по m, составленные из этих элементов и отличающиеся друг от друга только составом. комбинаторика математический лейбниц

Формула для нахождения количества сочетаний без повторений:

Сочетания с повторениями - комбинаторные соединения из n элементов по m, составленные из этих элементов без учета порядка с возможностью многократного повторения предметов.

Формула для нахождения количества сочетаний с повторениями:

Пример. Возьмем буквы Б, А, Р. Какие сочетания из этих букв, взятых по две, можно получить? Сколько таких наборов получится, если: 1) буквы в наборе не повторяются; 2) можно брать по два одинаковые буквы.

Решение.

1. Получатся наборы: БА (БА и АБ - один и тот же набор), АР и РБ

По формуле получаем:

наборов.

2. Получатся наборы: ББ, БА, БР, АА, АР, РР.

По формуле получаем:

наборов.

Уровни решения комбинаторных задач

1. Начальный уровень.

Задачи поиска хотя бы одного решения, хотя бы одного расположения объектов, обладающих заданным свойствами

- отыскание такого расположения десяти точек на пяти отрезках, при котором на каждом отрезке лежит по четыре точки;

- такого расположения восьми ферзей на шахматной доске, при котором они не бьют друг друга.

Иногда удаётся доказать, что данная задача не имеет решения (например, нельзя расположить 10 шаров в 9 урнах так, чтобы в каждой урне было не более одного шара - хотя бы в одной урне окажется не менее двух шаров).

2. Второй уровень.

Если комбинаторная задача имеет несколько решений, то возникает вопрос о подсчете числа таких решений, описании всех решений данной задачи.

3. Третий уровень.

Решения данной комбинаторной задачи отличаются друг от друга некоторыми параметрами. В этом случае возникает вопрос отыскания оптимального варианта решения такой задачи.

Например:

Путешественник хочет выехать из города А, посетить города В, С, и D. После чего вернуться в город А.

На рис. изображена схема путей, связывающих эти города. Различные варианты путешествий отличаются друг от друга порядком посещения городов В, С, и.D. Существует шесть вариантов путешествия. В таблице указаны варианты и длин каждого пути:

Разделы комбинаторики

Перечислительная комбинаторика

Перечислительная комбинаторика (или исчисляющая комбинаторика) рассматривает задачи о перечислении или подсчёте количества различных конфигураций (например, перестановок) образуемых элементами конечных множеств, на которые могут накладываться определенные ограничения, такие как: различимость или неразличимость элементов, возможность повторения одинаковых элементов и т. п.

Количество конфигураций, образованных несколькими манипуляциями над множеством, подсчитывается согласно правилам сложения и умножения.

Типичным примером задач данного раздела является подсчете количества перестановок. Число перестановок n-элементного множества равно факториалу числа n, то есть n!.

Структурная комбинаторика

К данному разделу относятся некоторые вопросы теории графов, а также теории матроидов.

Экстремальная комбинаторика

Теория Рамсея

Теория Рамсея изучает наличие регулярных структур в случайных конфигурациях элементов. Примером утверждения из теории Рамсея может служить следующее:

в группе из 6 человек всегда можно найти три человека, которые либо попарно знакомы друг с другом, либо попарно незнакомы.

В терминах структурной комбинаторики это же утверждение формулируется так: в любом графе с 6 вершинами найдется либо клика, либо независимое множество размера 3.

Вероятностная комбинаторика

Топологическая комбинаторика

Аналоги комбинаторных концепций и методов используются и в топологии, при изучении дерева принятия решений, частично упорядоченных множеств, раскрасок графа и др.

Размещено на Allbest.ru