Теореми та їх доведення
Специфіка оберненої, протилежної і оберненої до протилежної теорем, їх виростання в розрахунках, найпростіші схеми правильних міркувань. Характеристика та значення дедуктивного доведення та повної індукції, опис та сутність методу від супротивного.
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 17.04.2015 |
| Размер файла | 25,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Види теорем. Методи доведення
Розрізняють пряму, обернену, протилежну і обернену до протилежної теореми.
1. АВ - пряма теорема,
2. ВА - обернена теорема,
3. - протилежна теорема,
4. - обернена до протилежної теорема.
Пряма і обернена до протилежної теореми є рівносильними.
Приклад: «Якщо кути вертикальні, то вони рівні» - пряма теорема.
А: «кути вертикальні», В: «кути рівні».
АВ - пряма теорема.
Обернена: ВА: «Якщо кути рівні, то вони вертикальні».
Протилежна: : «Якщо кути не вертикальні, то вони не рівні».
Обернена до протилежної: : «Якщо кути не рівні, то вони не вертикальні».
Існує зв'язок між названими видами теорем. Встановлено, що теореми АВ і рівносильні, тобто АВ . Отриману рівносильність називають законом контрапозиції.
Найпростіші схеми правильних міркувань
У математиці існує ряд загальних методів доведення теорем. Розглянемо деякі з них. теорема індукція дедуктивний доведення
Дедуктивне доведення.Це основний метод математичних доведень. Кожен його крок ґрунтується на певному логічному законі, аксіомі або даних теорем, і все доведення є ланцюжок логічних умовиводів. При такому доведенні з правильних умов теореми ми з необхідністю дістаємо правильний висновок.
Наприклад, теорема: «Якщо число ділиться на 2 і на 3, то, оскільки воно ділиться на 2 і не ділиться на 6, воно не ділиться на 3».
Введемо позначення: А- «число ділиться на 2», В - «число ділиться на 3», С - «число ділиться на 6».
Доведення цієї теореми запишемо за допомогою послідовних дедуктивних умовиводів.
1) А, В - умова теореми;
2) АВ;
3) АВ С;
4) (АВ С) (А);
5) (А).
На третьому кроці використано теорему: якщо число ділиться на кожне з двох взаємно простих чисел, то воно ділиться і на їхній добуток.
Повна індукція.Термін «індукція» походить від латинського induktio - наведення. У математиці використовуються повна й неповна індукції.
Доведення методом повної індукції полягає в розгляді всіх окремих випадків (чисел, фігур тощо), при яких теорема правильна. Кількість таких випадків повинна бути скінченною і невеликою за кількістю.
Теорема: Значення виразу с = а2 + b2, (а, bZ) є число, що при діленні на 4 не має остачі 3.
Доведення теореми проведемо, розглядаючи три випадки: 1) обидва числа парні; 2) обидва числа непарні; 3) одне число парне, друге - непарне.
Нехай а, b - парні, тобто а = 2m, b = 2n, m, n Z. Дістанемо
с = (2m)2 + (2n)2 = 4m2 + 4n2 = 4• (m2 + n2), тобто с 4, остача 0.
Нехай а, b - непарні числа, тобто а = 2m + 1, b = 2n + 1, m, n Z. Маємо
с = (2m + 1)2 + (2n + 1)2 = 4m2 + 4m + 1 + 4n2 + 4n + 1= 4 (m2 + n2 + m + n) + 2,
а це означає, що при ділені с на 4 дістанемо остачу 2 , а не 3.
Випадок 3) спробуйте розглянути самостійно.
Непрямі доведення
Зведення до абсурду. Цей метод полягає в тому, що в теоремі АВ припускають, що правильним буде . Якщо в результаті цього припущення приходять до неправильного висновку, абсурду, то роблять висновок, що наслідок В теореми АВ правильний.
Цим способом доводять, наприклад, таку теорему: Якщо дві різні прямі а і b паралельні третій прямій с, то вони паралельні між собою.
Припустимо , тобто а і b не паралельні. Тоді вони перетинаються в якійсь точці К, яка не належить с. Дістанемо, що через точку К поза прямою с можна провести дві прямі а і b, які паралельні с, а це суперечить аксіомі паралельності, тобто є хибним твердженням. Отже, правильним твердженням є В.
Метод від супротивного. Цей спосіб ґрунтується на законі контрапозиції АВ = .
Теорема: Довести, що коли аb- непарне число, то обидва множники а і b - непарні цілі числа.
Позначимо А: «добуток аb- непарне число», Т: «а - непарне число», S: «b - непарне число». Тоді теорема скорочено запишеться так:
A ST, або АВ, де В «ST».
Припустимо, що = = , тобто один із множників а або b є парним числом. Нехай, наприклад, а - парне, тобто а = 2m, mZ. Тоді ab = 2mb -парне число, тоді дістали . Таким чином довели теорему , а цим самим і дану теорему АВ.
Поширеним прикладом неправильних міркувань є непродумане використання неповної індукції, коли загальний висновок зроблено на основі окремих спостережень, експериментів, розгляду скінченної кількості їх. Використання неповної індукції може привести як до правильних, так і неправильних висновків. Так, побудувавши кілька графіків лінійних рівнянь з двома змінними в прямокутній системі координат і побачивши, що вони є прямими лініями, робимо висновок, що графік кожного лінійного рівняння з двома змінними є пряма лінія. Цей умовивід - правильний. Прикладом, коли неповна індукція приводить до хибного результату є теорема Ферма. Ще у XVII ст. математик П. Ферма (1601 - 1665) помітив, що числа виду Fn =22n+1 при n = 0, 1, 2, 3, 4 - прості: F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537.
Ферма висловив припущення, що при будь-якому n N числа такого виду є простими (їх стали називати простими числами Ферма). Ця гіпотеза була висловлена на основі кількох обчислювальних експериментів. У 1732 р. видатний математик Л. Ейлер (1707 - 1783) показав, що при n = 5
F5 = 4294967297 = 641 • 6700417, тобто F5 не є простим числом. Цей контрприклад спростував гіпотезу Ферма.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Вивчення теорем Чеви та Менелая на площині та в просторі, доведення нетривіальних наслідків цих теорем та розв’язання задач за їх допомогою. Застосування Теореми Менелая при доведенні теорем (наприклад, теорем Дезарга, Паппа, Паскаля, Гаусса та інших).
дипломная работа [4,0 M], добавлен 12.08.2010Методи перевірки чисел на простоту: критерій Люка та його теореми, їх доведення. Теорема Поклінгтона та її леми. Метод Маурера - швидкий алгоритм генерації доведених простих чисел, близьких до випадкового та доведення Д. Коувером і Дж. Куіскуотером.
лекция [138,8 K], добавлен 08.02.2011Запис системи рівнянь та їх розв'язання за допомогою методів оберненої матриці та Гауса. Поняття вектора-стовпця з невідомих та вільних членів. Пошук оберненої матриці до даної. Послідовне виключення невідомих за допомогою елементарних перетворень.
контрольная работа [115,2 K], добавлен 16.07.2010Теорія обернених матриць та їх знаходження за формулою. Оберненні матриці на основі яких складається написання програми обчислення оберненої матриці до заданої. Побудова матриць та їх характеристика. Приклади проведення розрахунків при обчисленні матриць.
курсовая работа [96,8 K], добавлен 06.12.2008Теорема Піфагора - важливий інструмент геометричних обчислень, її простота, значення; історичні відомості. Теорема Піфагора на площині та у просторі, її стереометричний аналог; цілочислові прямокутні трикутники. Доведення теореми, класифікація задач.
курсовая работа [2,5 M], добавлен 16.05.2011Означення модуля неперервності та його властивості. Дослідження поведінки найкращих наближень неперервної функції алгебраїчними многочленами на базі властивостей введених Діціаном і Тотіка. Вирішення оберненої задачі. Узагальнення теореми Джексона.
курсовая работа [1016,1 K], добавлен 09.07.2015Комічні вибірки з конспектів студентів механічно-математичного факультету. Особливості доведення теорем Зільберта-Штольца та Штрассермана. Принцип локалізації в’язів до (n-8) порядку включно. Аналіз та характеристика N-кутників у просторі Зільберта.
учебное пособие [315,9 K], добавлен 28.03.2010Основні поняття чисельних методів розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Алгоритм Гаусса зведення системи до східчастого виду послідовним застосуванням елементарних перетворень. Зворотній хід методу Жордана-Гаусса. Метод оберненої матриці.
курсовая работа [165,1 K], добавлен 18.06.2015Побудова математичної логіки як алгебри висловлень і алгебри предикатів. Основні поняття логіки висловлювань та їх закони і нормальні форми. Основні поняття логіки предикатів і її закони, випереджена нормальна форма. Процедури доведення законів.
курсовая работа [136,5 K], добавлен 27.06.2008Короткий нарис життя, особистісного та творчого становлення відомого французького математика П'єра Ферма. Історія розробок та формування Великої теореми Ферма, її призначення та сфери використання. Доказ першої та другої леми, доведення для показника 4.
реферат [17,0 K], добавлен 06.10.2009Перетворення звичайного дробу в десятковий за допомогою конгруенцій. Захоплення Йоганна Бернуллі, дільники реп’юнітів і представлення звичайних дробів десятковим, довжина періоду дробу з простим знаменником. Доведення теореми Ферма для заданих значень.
курсовая работа [481,8 K], добавлен 14.04.2015Методика введення основних понять теми, розв’язування задач векторним методом. Вибір тем, які легко викладаються з використанням векторного метода. Доведення теорем векторним методом. Виділення вмінь, необхідних для успішного оволодіння методом.
курсовая работа [1,6 M], добавлен 19.02.2014Великий математик П’єр Ферма. Історія виникнення теореми Ферма-Ойлера. Способи її доведення Лагранжем та Д. Цагиром. Інволютивність перетворення трійки натуральних чисел. Єдиність та кількість представлення простого числа у вигляді суми двох квадратів.
курсовая работа [39,4 K], добавлен 08.05.2014Вироджена (особлива) або не вироджена (не особлива) квадратна матриця та вироджене або не вироджене лінійне перетворення невідомих. Добуток матриці, асоціативності множення матриць. Опис програми Matrtest, містить початкову матрицю та її розмірність.
курсовая работа [95,0 K], добавлен 16.03.2009Поняття добутку формацій. Операції на класах груп, відображення множини. Однорідні, локальні, композиційні та порожні екрани. Формації з однорідним екраном. Побудова локальних формацій із заданими властивостями. Доведення теорем Подуфалова та Слепова.
курсовая работа [189,3 K], добавлен 26.12.2010Вивчення рівняння з однією невідомою довільного степеня та способів знаходження коренів таких рівнянь. Доведення основної теореми алгебри. Огляд способу Ньютона встановлення меж дійсних коренів алгебраїчних рівнянь. Відокремлення коренів методом Штурма.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 06.10.2012Сутність, особливості та історична поява чисел "пі" та "е". Доведення ірраціональності та трансцендентності чисел "пі" та "е". Методи наближеного обчислення чисел "пі" та "е" за допомогою числових рядів та розкладу в нескінченні ланцюгові дроби.
курсовая работа [584,5 K], добавлен 18.07.2010Історія створення і різні формулювання теореми Піфагора як актуальної математичної задачі, спроби докази теореми. Визначення теореми Фалеса про пропорційні відрізки, її рішення. Місце теореми Вієта та формули Герона в сучасному шкільному курсі геометрії.
курсовая работа [1,5 M], добавлен 25.05.2019Використання методу Монтгомері як ефективний шлях багаторазового зведення за модулем. Складність операцій з многочленами та обчислення їх значень. Алгоритм Руфіні-Горнера. Визначення рекурсивного процесу для множення. Доведення алгоритму Тоома-Кука.
контрольная работа [103,8 K], добавлен 07.02.2011Основні напрямки теорії ймовірностей. Сутність понять "подія", "ймовірність події". Перестановки, розміщення та сполучення. Безпосередній підрахунок ймовірностей. Основні теореми додавання та множення ймовірностей. Формула повної ймовірності та Байєса.
контрольная работа [89,9 K], добавлен 27.03.2011
