Теория вероятности

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования Российской Федерации «Институт «ИНФО»

Контрольная работа

Теория вероятности

1. Что называется вероятностью случайного события?

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Явление, которое может произойти или не произойти при осуществлении некоторого комплекса условий, называется случайным событием. Случайные события будем обозначать большими латинскими буквами: А, В, С, ... Всякое осуществление комплекса условий, при которых изучается случайное событие, будем называть испытанием.

Рассмотрим n одинаковых испытаний, в каждом из которых может появиться некоторое событие А.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Пусть в n испытаниях событие А появилось m раз. Относительной частотой или просто частотой события А в данной серии испытаний называется отношение числа испытаний, в которых событие А появилось, к общему числу испытаний:

.

При небольшом числе испытаний частота может сильно колебаться и является поэтому плохой характеристикой случайного события. Однако по мере увеличения числа испытаний, частота постепенно стабилизируется, т.е. принимает значения, мало отличающийся от некоторого вполне определенного числа. Таким образом, с рассматриваемым событием можно связать некоторое число, около которого группируются частоты и которое является величиной оценки возможности появления данного события. Это число называется вероятностью события.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3. Вероятностью случайного события называется предел его частоты при неограниченном увеличении, числа испытаний, т.е.

.



Это определение вероятности называется статистическим.

2. Сформулируйте классическое определение вероятности. В каких случаях им можно пользоваться?

Наряду со статистическим определением вероятности, приведенным ранее, существует определение, называемое классическим, позволяющее легко вычислять вероятности интересующих нас событий в ряде случаев.

Каждый из возможных результатов испытания назовем элементарным исходом. Например, при бросании монеты возможны два .элементарных исхода: выпадение "орла" и выпадение "решки"; при бросании игральной кости возможны 6 элементарных исходов: выпадение числа 1, числа 2 и т.д. до 6; при однократном розыгрыше тиража лотереи элементарных исходов столько, сколько билетов лотереи участвует в тираже.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1. Элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, назовем исходами, благоприятствующими этому событию.

Так, при бросании игральной кости событие D: “выпало четное число очков” благоприятствуют 3 элементарных исхода - выпадение 2, 4 или 6 очков.

Таким образом, событие D наблюдается, если в испытании наступает один из элементарных исходов, благоприятствующих ему; в этом смысле событие D “подразделяется” на несколько элементарных событий, сами же элементарные события не разделяются на другие события.

Будем рассматривать равновозможные элементарные события, образующие полную группу попарно несовместимых событий.

Определения последних двух терминов приведены в лекции, что же касается равновозможности, то, как правило, эти свойство элементарных событий вытекает из их "равноправности". Так, например, если игральная кость симметрична то выпадение любого числа очков от 1 до 6 равновозможно.

Описанная схема носит название схемы случаев, а сами элементарные события, обладающие перечисленными свойствами, называются случаями. Классическое определение верно только для схемы, которая не применима, например, если число возможных исходов бесконечно.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2. Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов (m) к общему числу всех исходов данного испытания (n):

.

3. Сформулируйте статистическое определение вероятности. Что такое частота случайного события?

Статистическое определение вероятности дано в определении 1.3. Вероятностью случайного события называется предел его частоты при неограниченном увеличении, числа испытаний, т.е.

.

Описание частоты случайного события приведено в определении 1.2. Пусть в n испытаниях событие А появилось m раз. Относительной частотой или просто частотой события А в данной серии испытаний называется отношение числа испытаний, в которых событие А появилось, к общему числу испытаний:

.

4.Что называется суммой и произведением двух событий? Докажите теоремы сложения и умножения вероятностей?

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.1. Суммой двух событий А + В называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий.

Произведением двух событий АВ, называется событие, состоящее в наступлении каждого из этих событий.

Теорема 4.1. Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме их вероятностей:

(4.1) ,

если события несовместимы.

Доказательство: Действительно, обозначим m-- число исходов, благоприятствующих событию А, l -- число исходов, благоприятствующих событию В, n -- общее число исходов данного испытания. Тогда:

,

если события несовместимы. Отсюда следует равенство

(4.1): .

Следствие 4.1. Вероятность суммы n попарно несовместимых событий равна сумме их вероятностей:

(4.2) , если при i j.



В общем случае верна следующая теорема:

ТЕОРЕМА 4.2 (Теорема сложения вероятностей). Вероятность суммы двух событий равна сумме их вероятностей минус вероятность их произведения:

(4.2) Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ).

Доказательство. Обозначим n общее число возможных элементарных исходов, m₁ -- число исходов, благоприятствующих событию А, m₂ -- число исходов благоприятствующих событию В, m -- число исходов, благоприятствующих одновременному наступлению событий А и В

Количество исходов, благоприятствующих событию А+В, равно m₁ + m₂ - m. Тогда получим:

(4.3) .

ТЕОРЕМА 4.3 (Теорема произведения вероятностей). Вероятность произведения двух событий ровна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

(4.4) .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2. Условней вероятностью Р(А/В) = Р_В (А) называют вероятность события А, вычисленную в предположении того, что событие В уже наступило.

Доказательство. Обозначим n -- общее количество возможных элементарных исходов,

вероятность дискретный распределение

m₁ -- число исходов, благоприятствующих событию А, m - число исходов из числа m₁, благоприятствующих событию В (см. рис.). Очевидно:

Р(А) = m₁ / n, Р(АВ) = m / n,

Р(В/А) = m/m₁.

Таким образом:

.

5. Какие задачи решаются с помощью формул полной вероятности и Бейса? Каким условиям должны удовлетворять события?

ТЕОРЕМА 5.1 (Формула полной вероятности). Вероятность события А, которое может наступить только вместе с одним из попарно несовместимых событий Н₁,Н₂ ... Н_n, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

(5.1) .

Метод решения задач на формулу полной вероятности сводится к следующему. В условиях теоремы 5.1 обозначается событие А, вероятность которого нужно найти в примере. Затем обозначаются гипотезы Н_i и вычисляются их вероятности Р(Н_i). Наконец, определяются условные вероятности события А и по формуле полной вероятности (5.1) находится искомая вероятность события А.

ТЕОРЕМА 5.2 (Формула Бейеса). В условиях формулы полной вероятности для i = 1, . . . , n:

(5.2) .

Формула Бейеса используется, когда событие А уже произошло. Тогда если до опыта вероятности гипотез были Р(Н_i), то после опыта условные вероятности гипотез будут определяться уже по формуле Бейеса (5.2).

6. В чем заключается задача о повторении испытаний? Приведите формулу Бернулли.

Предположим, что производится n независимых испытаний, в результате каждого из которых может наступить или не наступить некоторое событие А. Обозначим и определим Р_n(m) -- вероятность что событие А произойдет m раз в n испытаниях. Будем записывать возможные результаты испытаний в виде комбинаций букв А и ; например, А А, что означает, что событие А осуществилось в 1-м и 4-м испытаниях и не осуществилось во 2-ом и 3-м. Всякую комбинацию, в которой А встречается m раз, а встречается n -- m раз, назовем благоприятной. Количество благоприятных комбинаций равно количеству способов, которыми можно выбрать m мест из n, чтобы разместить буквы А (буквы на оставшихся местах разместятся однозначно), т.е. числу сочетаний из n по m:

.

Вероятности всех благоприятных комбинаций одинаковы, в каждой из них событие А (также, как и ) происходит одинаковое количество раз, поэтому посчитаем вероятность комбинации в которую А входит m раз, а входит n -- m раз.

Вероятность этой комбинации в силу независимости испытаний на основании теоремы умножения вероятностей, равна также как и для остальных комбинаций:

,

где количество комбинаций .

Все благоприятные комбинации являются несовместными, поэтому по теореме сложения:

,

мы получали формулу Бернулли:

(6.1) , где .

7. Сформулируйте локальную и интегральную теоремы Лапласа. В каких случаях ими надо пользоваться?

ТЕОРЕМА 7.1 (Локальная теорема Лапласа). Если вероятность р появление события А в каждом из n независимых испытаний постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Р_n(m) того, что событие А появиться m раз в n испытаниях приближенно равна (при n, р 0, р 1):



(7.1) , где .

Значения функции (х) имеются в таблицах в учебниках по теории вероятностей и вычисляются в математических и статистических программах для компьютеров (например, в ЕХСЕL, МаtСаd, МаtLаb и прочих).

Вычисления по формуле Бернулли при больших n громоздки и приводят к значительным погрешностям. Локальная теорема Лапласа дает асимптотическую формулу, позволяющую приближенно найти вероятность появления события ровно m раз в n испытаниях, если n достаточно велико.

ТЕОРЕМА 7.2 (Интегральная теорема Лапласа). Если вероятность р появления события А в каждом из n независимых испытаний постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие А появится не менее m₁ раз, но не более m₂ раз в n испытаниях приближенно равна (при n, р 0, р 1):

(7.2) , где

- функция Лапласа.

Значения функции Лапласа имеются в таблицах в учебниках по теории вероятностей и вычисляются в математических и статистических программах для компьютеров (например, в ЕХСЕL, МаtСаd, МаtLаb и прочих).

Теорема 7.2 и формула (7.2) используются для вычисления суммарной (“интегральной”) вероятности того, что число появлений события А находится в заданных пределах (при больших n).



8. Что называется дискретной случайной величиной? Назовите формы ее закона распределения.

Кроме случайных событий и вероятностей их появления, в теории вероятностей нас обычно интересуют некоторые величины, связанные со случайными событиями и называемые случайными величинами. Так, в азартных играх, кроме вероятностей выигрыша, обычно интересуются размером выигрыша.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8.1. Случайной называют величину, которая в результате испытания принимает то иди иное значение в зависимости от исхода испытания.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8.2. Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные значения из конечного или бесконечного счетного множества.

Дискретные значения можно "пересчитать" -- поставить им в соответствие натуральные числа. Так, например, число родившихся девочек среди 10 младенцев есть случайная величина, принимающая значения 0,1,2, ... , 10.

Измерение роста человека не является дискретной случайная величиной.

Дискретная случайная величина полностью определяется своим законом распределения -- таблицей, в которой перечислены все значения, принимаемые случайной величиной в соответствующие им вероятности (см. табл.).

	х1	х2	…	хn
р	р1	р2	…	рn

В таблице для случайной величины принимающей n значений х₁,…,х_n перечислены вероятности р_i = Р{= х_i}.

Поскольку в данном испытании случайная величина обязательно принимает одно из своих n значений, события = х_i образуют полную группу попарно несовместных событий. Применяя теорему сложения вероятностей получаем, что сумма их вероятностей равна вероятности достоверного события, т.е. 1: р₁ +…+ р_n = 1.

Иногда удобно изобразить закон распределения графически: по оси абсцисс отложить значение х_i, а по оси ординат - соответствующие вероятности р_i. Полученные точки соединяют отрезками прямых. Получившийся график называется многоугольником вероятностей.

9. Какая случайная величина называется непрерывной? Что называется функцией распределения и плотностью вероятности? Какова связь между ними?

Наряду с дискретными случайными величинами, существуют другие, принимающие все значения из некоторого промежутка. Такие случайные величины называются непрерывными. Их невозможно задать перечислением всех принимаемых ими значений, поэтому был предложен универсальный способ задания случайной величины, пригодный во всех случаях.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9.1. Функцией распределения F(х) случайной величины называется вероятность того, что приняла значение меньшее х:

(9.1) .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9.2. Функция F(х) обладает кусочно-непрерывной производной, если ее производная F(х) непрерывна везде, кроме конечного (или бесконечного счетного) множества точек, в которых F(х) может иметь разрывы 1-го рода.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9.3. Случайная величина называется непрерывной, если ее функция F(х) непрерывна и обладает кусочно-непрерывной производной F(х).

Плотность распределения.

Вероятность попадания случайной величины в заданный промежуток зависит от скорости роста функции распределения, т.е. от ее производной. Поэтому непрерывную случайную величину задают, используя производную от функции распределения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9.4. Плотностью распределения (х) (или дифференциальной функцией распределения) непрерывной случайной величины называют производную от её функции распределения:

(9.2) .

Связь между функцией распределения F(х) и плотностью распределения (х) определяется формулой (9.2).

10. Назовите свойства математического ожидания и дисперсии случайной величины. По каким формулам они находятся для дискретных и непрерывных случайных величин? Что называется средним квадратичным отклонением?

Закон распределения полностью определяет дискретную случайную величину. Однако иногда удобнее характеризовать её с помощью нескольких числовых характеристик, каждая из которых определяет одно из свойств этой случайной, величины. Одной из таких числовых характеристик является математическое ожидание.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10.1. Математическим ожиданием М() дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие вероятности:

(10.1) .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10.2. Математическим ожиданием М() непрерывной случайной величины с плотностью распределения (х) называется:

(10.2) .

Перечислим свойства математического ожидания.

· Математическое ожидание константы равно константе: М(С) = С.

· Постоянный множитель выносятся за знак математического ожидания: .

· Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин: .

· Математическое ожидание двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: .

· Для n независимых случайных величин ₁, . . . , _n, математическое ожидание их произведения равно произведению их математических ожиданий: .

Кроме среднего значения случайной величины, полезно было бы знать характеристику степени их разброса вокруг среднего значения. В качестве такой характеристики разброса случайной величины вокруг её среднего значения рассматривают математическое ожидание квадрата отклонения (дисперсию).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10.3. Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математическою ожидания:

(10.3) .

Для дискретной случайной величины дисперсия вычисляется по формулам:

(10.4) .

(10.5) .

С учетом формулы (10.2) для непрерывной случайной величины

.

Свойства дисперсии:

· , поскольку все слагаемые в формуле (10.2 - 10.4) неотрицательные.

· .

· .

· Для независимых случайных величин и : . Это свойство распространяется на сумму любого числа независимых случайных величин.

Вероятностный смысл дисперсии заключается в том, что она характеризует степень рассеяния случайной величины около её среднего значения (математического ожидания).

Однако, если среднее значение М() имеет ту же размерность, что и сама случайная величина, то D() имеет другую размерность, равную квадрату размерности случайной величины. Это не всегда удобно, поэтому ввели другую характеристику рассеяния (среднее квадратическое отклонение), имеющую ту же размерность, что и сама случайная величина.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10.4. Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратный корень из ее дисперсии:

(10.6) .

Свойства среднего квадратического отклонения:

· .

· .

· .

11. Дайте определение начальных и центральных моментов, моды, медианы, асимметрии и эксцесса

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1. Центральным моментом k-го порядка случайной величины называется:

(11.1) .

Центральный момент первого порядка всегда равен нулю, а второго порядка есть дисперсия.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.2. Начальным моментом k -го порядка случайной величины называется

(11.2) .

Начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.3. Коэффициентом асимметрии распределения случайной величины называется:

(11.3) .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.4. Эксцессом распределения случайной величины называется:

(11.4) .

12. Докажите первое и второе неравенство Чебышева

Теорема 12.1 (Неравенство Чебышева). Для случайной величины при > 0 верно неравенство:

.

Доказательство:

Оценим вероятность противоположного события:

.

Здесь: (х) плотность случайной величины ; первое неравенство верно, т.к. подынтегральная функция умножена на выражение , а в области интегрирования х удовлетворяет неравенству ; второе неравенство верно, т.к. при увеличении интервала интегрирования интеграл от неотрицательной функции не уменьшается.

Из полученного неравенства перейдя к вероятности противоположного события получаем неравенство Чебышева. Следовательно, теорема доказана.

13. Докажите законы больших чисел в форме Бернулли и Чебышева

Теорема 13.1 (Закон больших чисел в форме Чебышева). Если ₁, ₂,…, _n,… - независимые случайные величины с равномерно ограниченными дисперсиями (), то для 0 будет:

.



Доказательство. Обозначим . Тогда получим

.

На основании неравенства Чебышева получаем:

.

Перейдя к пределу при n , получаем пределы левой и правой части равные 1. В результате теорема доказана.

Следствие 12.1. Если в условиях теоремы 12.1 , то для 0 будет:

.

Действительно, в этом случае

.

Теорема 13.2 (Закон больших чисел в форме Бернулли). При независимых испытаниях Бернулли с вероятностью р появления события А в каждом для 0 будет:

,

здесь m - число появлений события А в n испытаниях.

Доказательство. Представим относительную частоту в виде отношения , где случайная величина _i = 1, если в i-м испытании появилось событие А. Для случайных величин ₁, ₂,…, _n выполняется следствие 12.1, т.к. . На основании следствия 12.1 теорема 13.2 доказана.

14. Сформулируйте теорему Ляпунова

Теорема 14.1 (Теорема Ляпунова). Если случайная величина _n является суммой большого числа n независимых случайных величин _i, удовлетворяющих условию Ляпунова, то _n имеет распределение близкое к нормальному:

,

.

Условие Ляпунова заключается в следующем:

· Все случайные величины ₁, ₂,… имеют одинаковое распределение.

· Все дисперсии конечны и отличны от нуля.

· Для 0 .

15. Перечислите известные вам законы распределения. Каковы их числовые характеристики?

· Биномиальное распределение.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 15.1. Распределение дискретной случайной величины, задаваемое формулой Бернулли называется биномиальным.

По формуле Бернулли

(15.1) ,

где n - число независимых испытаний,

р - вероятность появления события А в каждом испытании (испытания Бернулли), - случайная величина равная числу появления события А в n испытаниях, q = 1 - р, m = 0,1,…,n.

Для биномиального распределения случайной величины :

.

· Распределение Пуассона.

Пусть в испытаниях Бернулли n , р 0, так, что nр . Тогда вероятность Р_n(m) приближенно определяется с помощью формулы Пуассона:

(15.2) .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 15.2. Распределение дискретной случайной величины, задаваемое формулой (15.2) называется распределением Пуассона или пуассоновским распределением.

Для случайной величины , имеющей распределение Пуассона: .

· Экспоненциальное распределение.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 15.3. Распределение непрерывной случайной величины называется экспоненциальным (показательным), если плотность распределения имеет вид:

(15.3)

Экспоненциальное распределение определяется одним параметром > 0.

Функция распределения имеет вид:

Для экспоненциально распределенной случайной величины: .

· Нормальное распределение.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 15.4. Случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами и , если ее плотность распределения имеет вид:

(15.4) .



Функция распределения нормального закона:

.

Для случайной величины, имеющей нормальное распределение:

.

Кроме перечисленных законов распределения, в математической статистике применяются следующие непрерывные распределения:

· Распределение ² (хи-квадрат).

· Распределение Стьюдента.

· F - распределение Фишера-Снедекора.

Размещено на Allbest.ru

...