Роль математики в экономике

Одна из важнейших задач, решаемых школой на современном этапе, - развитие у учащихся способностей самостоятельно решать жизненно важные задачи. В условиях перехода к рыночной экономике особую актуальность приобретает формирование у учащихся экономического мышления, обеспечивающего понимание сущности происходящих экономических процессов. Одним из самых распространенных средств воспитания экономической грамотности на уроках математики являются задачи, фабулы которых связаны с производственной и другими видами экономической деятельности. В учебниках по математике мы находим задачи, в которых используются такие экономические понятия, как себестоимость, прибыль, рентабельность, доход, объем производства продукции (работ и услуг). Но учащиеся часто видят в задаче только повод для математических действий. Ее экономическое содержание проходит мимо внимания подростков. Поэтому учителю желательно посвятить специальную беседу познавательному элементу задачи.

Перед решением задачи целесообразно пояснить учащимся понятие о нахождении процентного отношения чисел, нахождение процентов данного числа, сложного процента, понятие рентабельности, себестоимости, затрат, производительности труда, фондоотдачи, материалоотдачи. Процент - одна из самых трудных тем для школьников. Это можно объяснить, в частности, тем, что понятие процента не является математическим, а относится к экономическим и производственным категориям. Задачи на вычисление сложных процентов имеют особое экономическое содержание, посредством которого определяется уровень риска в процессе принятия решений по оптимизации производства; определению направления вложения ресурсов и т.д. Только войдя в курс дела, привыкнув к новым словам, ученик может понять, почему получается такое несоответствие: если число x увеличить на число y, а затем полученный результат уменьшить на y, то снова получится x, но, если число x увеличить на 10 %, а затем полученный результат уменьшить на 10 %, то получится не x, а 0,99x. Процент в экономическом понимании характеризует уровень выполнения задания. Задачи линейного программирования широко используются в обосновании принимаемых хозяйственных решений, направленных на выбор оптимального варианта в отношении производительности труда; объема производства; рентабельности производства и т.д. Оптимизационные задачи используются для выбора оптимальных экономических решений в ходе реализации программы, на основе определения благоприятного варианта перераспределения ресурсов. Использование математического аппарата во взаимосвязи с конкретными экономическими проблемами, а также использование знаний организации информационных процессов обработки экономической информации позволяет:

* повысить восприятие учащимися информационного содержания экономических понятий;

* сформировать навыки умения решений экономических задач;

* развить элементы экономического мышления на основе математического аппарата и информационных технологий обработки экономической информации.

Решению этих задач и способствует данное пособие, которое содержит краткие пояснения к изучению теоретического материала, примеры решения задач, задачи для самостоятельной работы. Издание предназначено для учащихся экономических лицеев, школ и классов с углубленным изучением экономики, а также для учителей, средних и специальных учебных заведений. В связи с существенным расширением в последние годы международного сотрудничества России цена продукции в ряде задач дана в условных денежных единицах (д. е.), которыми могут быть рубли, доллары США, марки Германии и т.д.

1. Задачи на использование процентов

Некто планирует разместить в банке вклад в 10 000 руб. на длительный срок. Процентная ставка в банке - 10

% годовых. Необходимо проанализировать возможный рост процентных денег на условиях простых и сложных процентов.

Решение. Имеем В = 10 000, р = 10 % (или 0,1).

Результаты расчетов представим следующей таблицей.

Для большей наглядности представим на графике процесс наращивания процентных денег (данные таблицы за вычетом первоначальной суммы 10 000 руб.) при простых и сложных процентах.

Из таблицы и рис. 1 видно, что различие процентных денег при простых и сложных процентах с течением времени (с увеличением количества периодов начисления процентов) становится все более ощутимым и, если через 10 лет на простых процентах вклад удвоится, то на сложных увеличится почти в 2,6 раза.

2. Решение уравнений в целых числах

Для перевозки зерна имеются мешки, в которые входят либо 60 кг, либо 80 кг зерна. Сколько надо иметь тех

и других мешков для загрузки одной тонны зерна таким образом, чтобы все мешки были полными? Какое наименьшее

количество мешков при этом может понадобиться?

Решение. Составим математическую модель задачи. Пусть х - количество мешков по 60 кг, а y - по 80 кг,

необходимых для загрузки 1 т = = 1000 кг зерна, тогда

60х + 80y = 1000

3х + 4y = 50.

Одно целочисленное решение последнего уравнения легко угадать.

Это х0 = - 50, y0 = 50, так как 3?(-50) + 4?(50) = 50.

Тогда общее решение задается формулами:

х = ?50 ? 4t; y = 50 + 3t, t ? Z .

По условию задачи х и y могут быть только натуральными числами (ни х, ни y не могут быть равны нулю в уравнении 3х + 4y = 50), поэтому

Итак, -16 ? t ? ?12,75.

В целых числах эта оценка записывается в виде: ?16 ? t ? ?13.

t1 = -16: x1 = -50 - 4(-16) = 14, y1 = 50 + 3(-16) = 2;

t2 = -15: x2 = -50 - 4(-15) = 10, y2 = 50 + 3(-15) = 5;

t3 = -14: x3 = -50 - 4(-14) = 6, y3 = 50 + 3(-14) = 8;

t4 = -13: x4 = -50 - 4(-13) = 2, y4 = 50 + 3(-13) = 11.

В каждом из этих случаев для загрузки 1000 кг пшеницы потребуется целое число мешков (мешки будут наполнены

полностью); при этом в первом случае необходимо 14 + 2 = 16 мешков, во втором - 10 + 5 = 15 мешков, в третьем - 6 + 8 =14 мешков и в четвертом - 2 + 11 = 13 мешков - наименьшее количество.

3. Использование алгебраических уравнений и их систем

Человеку часто приходится решать задачи оптимизации своей деятельности: или при наименьших затратах сил, средств и материалов получить заданный результат (например, изготовить металлическую емкость заданного объема, израсходовав наименьшее количество материала), или при заданных исходных данных получить наилучший (максимальный) результат (например, из данного листа металла изготовить емкость максимального объема).

Если зависимость между исходными и выходными данными задана функцией, то задача формулируется как поиск наименьшего и наибольшего значения этой функции в заданной области.

В реальных условиях исходные данные имеют ограниченный диапазон изменения, который и определяет эту область.

Рассмотрим, например, задачу: найти стороны х и y прямоугольника, имеющего при данном периметре p максимальную площадь.

Дано: Пусть S - площадь прямоугольника, тогда S = ху .

Из условия известно, что 2(х + у) = р. Тогда Тогда S=x( - x) - функция одной переменной х.

Так как S ? 0, то 0 р ? х ? и и задача ставится следующим образом: найти максимальное значение функции S(x)=x( - x) на отрезке [0; ].

Процесс нахождения наименьшего (наибольшего) значения функции на отрезке определяется, во многом, свойствами самой функции. Так, если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значения (теорема Вейерштрасса), т.е. решение задачи существует.

Поиск этого решения существенно упрощается, если дополнительно известно, что на этом отрезке функция монотонна:

возрастает при х2 > х1 ?(х2) > ?(х1) или убывает при х2 > х1 ?(х2) < ?(х1).

В случае ? (х), возрастающей на [a, b], ? (а) будет ее наименьшим, а ? (b) - наибольшим значениями; в случае f (х), убывающей на [a, b], f(а) - наибольшее, а f(b) - наименьшее значения (рис. 2).

Если же (рис. 3) в точке х1?(а, b) меняется характер монотонности функции: возрастание - на убывание (? (х)) или наоборот (f (х)), а других - таких точек нет, то наибольшее и наименьшее значения функции выбираются путем сравнения значений f (a ),f ( x) и f (b) или ?(а), ?(х1) и ?(b).

Вообще, если непрерывная функция f (x ) имеет на отрезке [а, b] конечное число точек х1, х2, ..., хn, в которых меняется характер монотонности, то, сравнивая значения функции в этих точках, а также в граничных х = а и х = b, можно определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [a, b].

Точки, в которых меняется характер монотонности, являются так называемыми точками экстремума: максимума, если при возрастании аргумента возрастание функции меняется на убывание, и минимума, если убывание изменяется на возрастание. Определить точки, которые будут точками экстремума, можно, используя теорему (необходимое условие экстремума): если - точка экстремума для функции f (x ) , то производная f ? ( )или равна нулю, или не существует.

Достаточным же условием экстремума является смена знака производной в окрестности точки х0, где f ? = 0 или не существует. При смене знака с "+" на "-" х0 - точка максимума, если наоборот, то минимума.

В подавляющем большинстве практических экономических задач точка экстремума на отрезке, где исследуется функция, одна, поэтому, определив ее характер (минимум или максимум), мы одновременно определим точку, где функция принимает, соответственно, наименьшее или наибольшее значения.

Пример. Исследуется функция y = на отрезке [0, 3].

Решение. Найдем производную y' = 2 (х - 2); y' = 0 при х = 2.

При х < 2 y' < 0, при х > 2 у' > 0, поэтому х = 2 - точка минимума и функция y = достигает в этой точке наименьшего значения.

Действительно, сравнивая значения f (0) = = 4, f (2) = = 0 и f (3) = = 1, определяют, что в точке х = 2 функция достигает наименьшего значения.

Подытожив все теоретические выдержки, можно наметить схему решения задач на наибольшее и наименьшее значения:

1) построить математическую модель задачи (найти функцию f (x ) );

2) определить отрезок [a, b], исходя из условий задачи;

3) найти точки х1, ..., хn интервала (а, b), в которых производная функции равна нулю или не существует;

4) вычислить значения f (a),f ( ), ...,f (n ), f(b ) , сравнить и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

Методы линейного программирования состоят в нахождении наибольшего и наименьшего значений линейной функции нескольких переменных при заданных в виде линейных неравенств ограничениях для данных переменных. Рассмотрим метод на примере функции двух переменных.

Дана функция F(, ) = А + В, и дополнительно известно, что переменные и удовлетворяют системе неравенств

Требуется найти такие пары (, ), при которых F принимает наибольшее (наименьшее) значение.

С геометрической точки зрения каждое линейное уравнение вида ах1 + bх2 = с на плоскости Оопределяет прямую, а неравенство а + b > с - одну из полуплоскостей, на которые прямая а + b = с делит плоскость О.

Поэтому система неравенств - результат пересечения полуплоскостей (их общая часть). В зависимости от условий это может быть замкнутая область (часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной линией -многоугольником) или неограниченная многоугольная область.

Существует доказательство, что если в плоскости О перемещаться в направлении вектора N = {A,B } (перпендикулярного прямой A+B=C) , то значения функции F(,)= A+B, будут увеличиваться (в противоположном направлении - уменьшаться).

Пусть на плоскости О дана прямая l: А + В= С, а N = { A, B}?l (рис. 5). Выберем на прямой точку (, ), а вне

прямой - точку (). Находясь в одной полуплоскости, вектора N и образуют острый угол б, поэтому их скалярное произведение

В координатной форме это условие запишется в виде: А() + + В() > 0 или А + В > А + В, но

А + В = F(), а А + В = = F(, ) и, следовательно, F() > F(), т.е. значение функции F, подсчитанное

в произвольной точке, взятой в направлении вектора N , больше, чем значение F в точке .

Рис.5

Очевидно, что если расположить на прямой l, то скалярное произведение ( N, )равно нулю, а F() = F(), т.е. значения линейной функции во всех точках прямой l равны между собой.

Это свойство линейной функции F () = А + В возрастать в направлении вектора N = {A,B } можно использовать для нахождения ее наибольшего и наименьшего значений в точках плоскости, ограниченной многоугольником, или неограниченной многоугольной области.

Рассмотрим первый случай (pис. 6): пусть необходимо найти наибольшее и наименьшее значения функции F(х1, х2) =

Ах1 + Вх2 в точках многоугольной области Вектор N = { A, B}. Передвигаясь в направлении вектора N, мы войдем в область многоугольника в точке . Значение F в точке будет наименьшим, так как другие точки многоугольной области расположены по направлению вектора N, а, следовательно, значение функции F в этих точках будет большим, чем F(). (Прямая l, перейдя в положение l?, может иметь с областью не одну общую точку , а ребро это не нарушает метода, так как в этом случае во всех точках ребра функция F будет принимать одинаковые значения). Перейдя в положение l?? прямая l окажется на выходе из многоугольной области: - крайняя (последняя) точка области при движении в направлении вектора N, поэтому значение F () будет наибольшим по сравнению с ее значениями в других точках области.

Таким образом ищутся наименьшее и наибольшее значения линейной функции в точках многоугольной области; практически эти значения имеют место в вершинах многоугольника.

При постановке задачи в том виде, как мы рассмотрели, схема решения задачи линейного программирования выглядит следующим образом:

1) используя условие, записать целевую функцию F();

2) используя условие, построить многоугольную область возможных значений ;

3) найти координаты вершин многоугольника, подсчитать значение функции F в этих точках, сравнить их и выбрать наименьшее и наибольшее.

Если вершин у многоугольника настолько много, что задача нахождения их координат более трудоемкая, чем построение вектора N и "прохождение" им через многоугольник, то целесообразнее построить вектор и найти "крайние" точки, как это сделано в рассмотренном примере.

Зачастую некоторые или все переменные задачи являются целочисленными, т.е. их значениями могут быть только целые числа (как во втором разделе данного задачника). В общем случае многих переменных такие задачи решать достаточно сложно; если же задача целочисленного программирования имеет две переменные, то ее можно решить графически. Как и при решении обычной задачи линейного программирования, надо двигать линию уровня в направлении экстремума и уловить последнюю целочисленную точку. Она и дает искомое оптимальное целочисленное решение (см. ниже задачу)

Примеры решения задач