Фракталы. Окружности Форда
Рассмотрение математического множества, обладающего свойством самоподобия. Решение проблемы нахождения радиуса и координат центра произвольной окружности при помощи компьютерных методов. Построение первых n поколений фрактала в графическом модуле.
| Рубрика | Математика |
| Вид | творческая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 20.04.2015 |
| Размер файла | 125,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Специализированный учебно-научный центр - факультет МГУ им. М.В. Ломоносова
школа им. А.Н. Колмогорова
Творческая работа
по теме: Фракталы. Окружности Форда.
Выполнил ученик 10 Г класса
Хальзов Ян Павлович
Научный руководитель:
Курышова Юлия Владимировна
2014
Фрактал (лат. fractus -- дроблёный, сломанный, разбитый) -- математическое множество, обладающее свойством самоподобия, то есть однородности в различных шкалах измерения -- любая часть фрактала подобна всему множеству целиком.
Окружности Форда
Пусть даны 2 касающиеся окружности с радиусами R0 и R1, и их общей касательной. Тогда в образовавшийся криволинейный треугольник можно будет вписать окружность. Её радиус R2 и координаты центра можно найти используя теорему Пифагора из соотношения
,
.
Откуда
(1)
(2)
В результате образуется 2 криволинейных треугольника в которые тоже можно вписать окружности, и так далее. Для того чтобы найти радиус и координату центра любой из получившихся окружностей сначала необходимо установить удобную нумерацию. Назовём поколением все окружности, получившиеся вписыванием во все криволинейные треугольники на одном конкретном шаге. Будем слева направо нумеровать окружности поочерёдно из каждого поколения. Будем считать, что первая полученная окружность является 1 поколением. Тогда на n поколении будут окружности с по . Будем называть две окружности предками 3-ей, если они вместе с прямой образуют криволинейный треугольник, в который она вписана. Для того, чтобы найти индексы окружностей, которые образуют произвольную выбранную окружность, нарисуем граф взаимосвязей между окружностями.
Из графа видно одним из предков окружности с индексом i будет окружность с индексом , а индекс второго предка лишь косвенно зависит от индекса нашей окружности. Поэтому индексы лучше находить не аналитической формулой, а рекуррентно. Пусть k индекс искомой окружности, x индекс левого предка, y индекс правого предка, тогда методы поиска индексов предков будут зависеть от четности k. Если к четно то
x:=k div 2; y:=x;
while y mod 2 =0 do begin
y:=y div 2; end;
y:=(y+1) div 2;
if k=2 then x:=0;
Если k нечетно то
x:=(k+1) div 2; y:=x;
while x mod 2=1 do
x:=(x+1) div 2;
x:=x div 2;
if x=1 then x:=0;
Поэтому проблему нахождения радиуса и координаты центра произвольной окружности можно решить лишь компьютерными методами. Радиус можно посчитать рекуррентно, зная радиусы предков по формуле (1), а координату центра можно найти прибавив к координате левого предка значение формулы (2). Следующая программа выводит радиусы первых 9 окружностей.
Program Ford;
const n=8;
type mas = array [0..n] of real;
var r1,r2:real; i:longint; a,c:mas;
function rs(m,n:real):real;
begin rs:=m*n/sqr((sqrt(m)+sqrt(n))) end;
function cord(q,w:real):real;
begin cord:=2*sqrt(q*w) end;
procedure radius(var b,d:mas; k:integer);
var x,y:integer;
begin
if k mod 2 = 0 then
begin
x:=k div 2; y:=x;
while y mod 2 =0 do begin
y:=y div 2; end;
y:=(y+1) div 2;
if k=2 then x:=0;
end
else
begin
x:=(k+1) div 2; y:=x;
while x mod 2=1 do
x:=(x+1) div 2;
x:=x div 2;
if x=1 then x:=0;
end;
b[k]:=rs(b[x],b[y]);
d[k]:=d[x]+cord(b[x],b[k]);
end;
begin
readln(r1,r2);
a[0]:=r1; a[1]:=r2; c[0]:=0; c[1]:=cord(r1,r2);
for i:=2 to n do
radius(a,c,i);
for i:=0 to n do begin
write('R',i,'=',a[i]:4:6,' C',i,'=',c[i]:4:6,' '); end;
writeln;
end. фрактал математический множество окружность
Используя эти данные, можно построить первые n поколений фрактала в графическом модуле. Из-за округления данных, и дискретности представления изображения при выведении на экран картинки, при большом приближении заметны некоторые неточности.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Определение положения точки в пространстве. Правая декартова (или прямоугольная) система координат. Способы измерения дуг. Определение координат точки в пространстве. Определение окружности и ее радиуса. Построение сферической системы координат.
контрольная работа [59,3 K], добавлен 13.05.2009Биссектриса треугольника, центр вписанной окружности треугольника, точка Жергонна. Центр тяжести окружности треугольника. Решение задач на применение свойств биссектрисы. Окружность и прямая Эйлера, свойства окружности. Ортоцентр окружности треугольника.
курсовая работа [330,3 K], добавлен 13.05.2015Определение связи между полярными и прямоугольными координатами. Рассмотрение уравнений прямой, окружности, эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах. Представление в исследуемой системе координат спирали Архимеда. Построение графиков функций.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 10.02.2012Ознакомление с формулами длины окружности, площади круга (частью плоскости, ограниченной окружностью) и исходящими из них формулами расчета радиуса, диаметра. Получение навыков применения формул, закрепление полученных знаний в ходе выполнения упражнений.
конспект урока [227,7 K], добавлен 17.05.2010Вписанная и описанная окружности в треугольниках и четырехугольниках, их определение и построение. Теорема Пифагора. Определение площади треугольника, трапеции и параллелограмма. Решение типовых задач по изложенным темам с применением полученных знаний.
реферат [187,3 K], добавлен 28.05.2009Нахождение длины сторон и площади треугольника, координат центра тяжести пирамиды, центра масс тетраэдра. Составление уравнений геометрического места точек, высоты, медианы, биссектрисы внутреннего угла, окружности. Построение системы линейных неравенств.
контрольная работа [1,2 M], добавлен 13.12.2012Классические фракталы. Самоподобие. Снежинка Коха. Ковер Серпинского. L-системы. Хаотическая динамика. Аттрактор Лоренца. Множества Мандельброта и Жюлиа. Применение фракталов в компьютерных технологиях.
курсовая работа [342,4 K], добавлен 26.05.2006Определение вписанной и описанной окружности, их свойства и признаки. Взаимное расположение прямой и окружности. Свойства прямоугольного треугольника и теорема Пифагора. Задачи с окружностью, вписанной и описанной в треугольниках и четырехугольниках.
реферат [298,7 K], добавлен 16.06.2009Сетка Вульфа (стереографическая сетка) - проекция меридианов и параллелей сферической поверхности на плоскость основного меридиана. Нахождение длины дуги окружности и радиуса. Построение линий параллелей. Чертеж линии меридиана с заданной долготой.
контрольная работа [591,2 K], добавлен 13.05.2009Применение метода инверсии при решении задач на построение в геометрии. Решение задачи Аполлония, лемма об антипараллельных прямых. Инвариантные окружности и сохранение углов при инверсии. Недостатки применения инверсии и работа инверсора Гарта.
дипломная работа [790,0 K], добавлен 30.09.2009Сущность метода системосовокупностей как одного из распространенных и универсальных методов решения неравенств любого типа. Обобщение метода интервалов на тригонометрической окружности. Эффективность и наглядность графического метода решения задач.
методичка [303,7 K], добавлен 14.03.2011Модель Пуанкаре геометрии Лобачевского: вопрос о ее непротиворечивости. Инверсия, ее аналитическое задание. Преобразование окружности и прямой, сохранение углов при инверсии. Инвариантные прямые и окружности. Система аксиом геометрии Лобачевского.
дипломная работа [1,3 M], добавлен 10.09.2009Понятие окружности и круга, основные теоремы и свойства. Касание прямой и окружности, случаи их взаимного расположения. Вписанные и описанные фигуры. Относительное положение двух окружностей. Свойства хорд и расстояние до них. Определение длин и площадей.
презентация [536,1 K], добавлен 16.04.2012Определение алгебраической линии на плоскости. Теорема о независимости порядка линии от выбора аффиной системы координат. Классификация алгебраической линии. Понятие алгебраической линии на плоскости и окружности как составляющих метода координат.
курсовая работа [197,3 K], добавлен 29.09.2014Число "пи" как математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине ее диаметра, его обозначение и история исследований. Основные свойства данного значения, формулы его нахождения, геометрический период. 14 марта как День числа "пи".
презентация [300,2 K], добавлен 24.01.2012Свойства множества Кантора. Исследование заданной функции на непрерывность. Выражение множества B (кладбище Серпинского) и D (гребёнка Кантора) через множество Кантора. Свойства и построение всюду непрерывной, но нигде не дифференцируемой функции.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 24.06.2015Полярная система координат. Построение линий в полярной системе координат с помощью математического пакета MathCAD. Уравнение в полярных координатах логарифмической спирали. Полярное уравнение архимедовой спирали. Координаты, применяемые в математике.
научная работа [3,2 M], добавлен 18.01.2011Метод Форда-Беллмана для нахождения расстояния от источника до всех вершин графа. Алгоритмы поиска расстояний и отыскания кратчайших путей в графах. Блочно-диагональный вид и матрица в исследовании системы булевых функций и самодвойственной функции.
курсовая работа [192,1 K], добавлен 10.10.2011Рассмотрение способов нахождения вероятностей происхождения событий при заданных условиях, плотности распределения, математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения и построение доверительного интервала для истинной вероятности.
контрольная работа [227,6 K], добавлен 28.04.2010Понятие и особенности определения функциональных рядов. Специфика выражения радиуса сходимости степенного ряда через его коэффициенты. Способы нахождения его области и интервала сходимости. Логический ход математического доказательства теоремы Абеля.
презентация [86,5 K], добавлен 18.09.2013
