Размещено на http://www.allbest.ru/

Оглавление

Введение

1. Основные виды линейных интегральных уравнений

2. Приближенное вычисление характеристических чисел и собственных функций симметричного ядра

2.1 Общие замечания

2.2 Метод Ритца

2.3 Метод моментов

2.4 Метод Келлога

2.5 Метод следов

3. Метод итераций

3.1 Простая итерация

3.2 Условия сходимости

Заключение

Литература



Введение

Актуальность. В данной курсовой работе дается краткое описание алгоритмов решения интегральных уравнений.

Задача решения интегральных уравнений возникает как вспомогательная при решении краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными и как самостоятельная при исследовании работы ядерных реакторов, при решении так называемых обратных задач геофизики, при обработке результатов наблюдений и т. п. Мы ограничимся рассмотрением случая интегральных уравнений с одной неизвестной функцией и одной независимой переменной.

Интегральные уравнения в совокупности с численными методами их решения являются мощным средством исследования и математического моделирования различных задач математической физики. К интегральным уравнениям часто сводятся краевые задачи для дифференциальных уравнений, обыкновенных и с частными производными. Такими уравнениями описываются многие модели процессов и явлений из таких областей математической физики, как теория упругости, акустика, гидродинамика, электродинамика.

Целью курсовой работы является применение численных методов для решения интегральных уравнений.

В соответствии с целью поставлены и решены следующие задачи:

1. Изучение теории по исследуемой теме.

2. Определить круг задач в которых применяется данная теория.

3. Решение задач по данной теме.

Объект исследования: интегральные уравнения.

Предмет исследования: решение интегральных уравнений численными методами.



1. Основные виды линейных интегральных уравнений

Под интегральным уравнением понимается уравнение, содержащее неизвестную функцию под знаком определенного интеграла.

Приведем некоторые наиболее часто встречающиеся типы интегральных уравнений. Уравнение вида

где (ядро) и -- известные функции, называется интегральным уравнением Фредгольма первого рода.

Уравнение вида

где -- числовой параметр, носит название интегрального уравнения Фредгольма второго рода.

Параметр вводится по следующим соображениям: при данном значении интегральное уравнение (2) не всегда имеет решения. Варьируя параметр , можно добиться того, чтобы решение уравнения (2) существовало. Параметр можно также ввести в левую часть уравнения Фредгольма первого рода (1).

Если в (2) , то получается однородное уравнение

допускающее нулевое (тривиальное) решение . Те значения параметра , при которых однородное интегральное уравнение (3) имеет нетривиальные решения, называются собственными значениями (собственными числами) ядра или соответствующего уравнения (2), а отвечающие им ненулевые решения -- собственными функциями. Основной результат теории следующий (теорема Фредгольма)

1) если не есть собственное значение ядра , то соответствующее неоднородное интегральное уравнение Фредгольма (2) с регулярным ядром и непрерывным свободным членом имеет единственное непрерывное решение ;

2) если же есть собственное значение, то уравнение (2) или не имеет решений, или же допускает бесчисленное множество их.

Симметрическое ядро обладает следующими свойствами:

1) для всякого симметрического ядра существует по меньшей мере одно собственное значение; интегральный уравнение математический

2) все собственные значения симметрического ядра действительны;

3) собственные функции и симметрического ядра, соответствующие различным собственным значениям и , ортогональны между собой на основном промежутке , т. е.

Также встречаются интегральные уравнения вида

И

которые носят названия интегральных уравнений Вольтерра соответственно первого и второго рода. Вводя функцию

уравнения Вольтерра (4) и (5) можно записать в виде соответствующих уравнений Фредгольма с ядром . Таким образом, теория уравнений Вольтерра сводится к теории уравнений Фредгольма; однако в некоторых случаях уравнения Вольтерра полезно изучать независимо.

Примером уравнения Вольтерра первого рода является обобщенное уравнение Абеля

где -- известная непрерывно дифференцируемая функция. Решение уравнения (6) дается формулой

в чем можно убедиться непосредственно.

Заметим, что если ядро и -- непрерывно дифференцируемые функции, причем при , то уравнение Вольтерра первого рода (4) сводится к уравнению Вольтерра второго рода (5). Действительно, дифференцируя уравнение (4) по будем иметь

Отсюда



2. Приближенное вычисление характеристических чисел и собственных функций симметричного ядра

2.1 Общие замечания

В настоящем параграфе через будет обозначаться симметричное ядро, так что Принимается, что и суть вещественные переменные, пробегающие один и тот же промежуток который может быть и бесконечным; все последующее верно, впрочем, и тогда, когда и суть точки одной и той же области пространства любого числа измерений или, в более общем случае, одного и того же измеримого множества. Ядро считается таким, что интегральный оператор

(1)

вполне непрерывен в пространстве для этого достаточно например, чтобы двойной интеграл

был конечным -- в ряде случаев будем принимать это допущение. Другой важный класс ядер, делающий оператор (1) вполне непрерывным; это ядра со слабой особенностью (их называют также ядрами со слабой полярностью); они имеют вид

где постоянная заключена в пределах , а функция ограничена и в случае симметричного ядра сама симметрична. Если и не вещественные числа, а точки - мерного многообразия, то показатель может быть заключен в пределах . Если ядро имеет слабую особенность, то промежуток (в общем случае -- область или многообразие, которое пробегают точки и ) следует считать конечным -- тогда оператор (1) будет вполне непрерывным в пространстве

Характеристическим числом ядра называется такое значение численного параметра , при котором однородное интегральное уравнение

имеет нетривиальное (отличное от тождественного нуля) решение; это решение называется собственной функцией ядра, соответствующей характеристическому числу . Если оператор (1) вполне непрерывен, то каждому его характеристическому числу соответствует только конечное число линейно независимых собственных функций; множество характеристических чисел конечно или счетно, в последнем случае оно имеет единственную предельную точку на бесконечности.

Характеристическое число называется простым, если ему соответствует лишь одна линейно независимая функция, и кратным в противном случае. Число линейно независимых собственных функций, соответствующих данному характеристическому числу, называется его кратностью.

Характеристические числа данного ядра можно выписать в виде последовательности, расположенной в порядке возрастания модулей. Принято при этом повторять каждое характеристическое число столько .раз, какова его кратность. При такой записи среди характеристических чисел могут встречаться равные, но каждому характеристическому числу соответствует только одна линейно независимая собственная функция.

Числа, обратные к характеристическим числам ядра, называются собственными числами этого ядра.

Характеристические числа симметричного ядра вещественны; соответствующие собственные функции можно считать ортогональными и нормированными (как мы будем говорить короче, ортонормированными).

С симметричным ядром можно связать так называемую квадратичную форму этого ядра

ее значения вещественны.

Теорема 1. Собственные числа симметричного ядра совпадают со стационарными значениями его квадратичной формы, которые она принимает на множестве нормированных функций соответствующие собственные функции суть те функции, на которых эти стационарные значения достигаются.

На практике часто бывает удобно пользоваться следующими теоремами.

Теорема 2. Наибольшее по модулю собственное число , симметричного ядра равно по абсолютной величине максимуму выражения при условии соответствующая собственная функция совпадает с функцией, на которой указанный максимум достигается.

Теорема 3. Пусть -- первые собственных чисел симметричного ядра , расположенные в порядке убывания их модулей, и пусть , -- соответствующие им ортонормированные собственные функции. Абсолютная величина ближайшего по модулю к данным числам собственного числа равна максимуму выражения при условиях

соответствующая собственная функция совпадает с функцией, которая удовлетворяет условиям (6) и на которой упомянутый максимум достигается.

Симметричное ядро называется положительно определенным, если его квадратичная форма принимает при только положительные значения; эти ядра представляют наибольший интерес, и ниже в этом параграфе мы главным образом такие ядра и будем иметь в виду. Для положительно определенных ядер теоремы 2 и 3 упрощаются и приводятся к следующим.

Теорема 2а. Наибольшее собственное число положительно определенного ядра равно максимуму его квадратичной формы при условии ; соответствующая собственная функция совпадает с функцией, на которой этот максимум достигается.

Теорема За. Пусть -- первые собственных чисел положительно определенного ядра , следующие в порядке убывания, и -- соответствующие им ортонормированные собственные функции. Ближайшее к данным собственное число равно максимуму квадратичной формы при условиях (6); соответствующая собственная функция совпадает с функцией, которая удовлетворяет условиям (6) и на которой указанный максимум достигается.

2.2 Метод Ритца

Выберем последовательность функций , называемых координатными. Эти функции должны удовлетворять следующим трем условиям:

каково бы ни было число , функции линейно независимы;

последовательность координатных функций полна в ; это означает, что по данной функции и данному числу можно подобрать натуральное число и коэффициенты так, чтобы

Заметим, что всем перечисленным условиям можно удовлетворить, взяв в качестве координатной любую полную в ортонормированную систему.

По методу Ритца полагаем

коэффициенты подчиняем условию , что дает

и ищем при этом условии стационарные значения квадратичной формы

По методу Лагранжа это приводит к однородной линейной системе относительно коэффициентов ( - множитель Лагранжа):

определитель которой должен быть равен нулю:

Корни уравнения (11) дают приближенные значения собственных чисел ядра Наибольший из корней уравнения (11) дает приближенное значение наибольшего собственного числа с недостатком, поэтому наименьшее характеристическое число получается с избытком. При стремлении к бесконечности первые корней уравнения (11), где --любое фиксированное натуральное число, стремятся к первым собственным числам ядра

Найдя из уравнения (11), можно подставить его в систему (10); ее нетривиальное решение, подставленное в выражение (7), приводит к приближенному выражению собственной функции, соответствующей найденному собственному числу.

Найдем по методу Ритца приближенное значение наименьшего характеристического числа положительно определенного симметричного ядра

конец промежутка интегрирования

За координатные функции возьмем полиномы где есть -й полином Лежандра. Полиномы ортогональны в промежутке (0,1), так что легко видеть также, что ( В формуле (7) ограничимся двумя слагаемыми, так что

Имеем:

Для вычисления значений заметим, что

Отсюда найдем:

Уравнение (11) принимает вид:

Или

Отсюда

Это дает приближенные значения первых двух характеристических чисел ядра (12):

Точные значения характеристических чисел ядра (12) суть

это легко установить, если заметить, что интегральное уравнение

где - ядро (12), равносильно дифференциальному уравнению и краевым условиям Точные значения первых двух характеристических чисел суть

Таким образом, использовав в методе Ритца две координатные функции, мы получили сравнительно точное значение и грубо неточное значение . Последнее не случайно: чтобы получить достаточно точное значение - го характеристического числа, надо использовать больше (и даже существенно больше) чем координатных функций.

2.3 Метод моментов

Метод моментов является одной из реализаций метода Ритца. Пусть -- первые координатных функций, -- натянутое на них подпространство и -- оператор проектирования из . Применение метода Ритца (формулы (7) -- (11)) равносильно отысканию характеристических чисел не оператора , а конечномерного оператора . Метод моментов состоит в том, что за координатные берутся функции где функция выбирается произвольно; предполагается только, что при выбранном функции линейно независимы. Вычисления по методу моментов производятся так: собственные числа оператора получаются как корни уравнения

(13)

коэффициенты которого в свою очередь находятся из системы

Метод моментов применим и к несимметричным ядрам.

Найдем приближенные значения характеристических чисел ядра

Положим и Имеем:

Для постоянных получаем систему

которая дает:

Уравнение (13) имеет вид

его корни:

откуда

Значения характеристических чисел, верные с точностью до выписанных знаков, суть

2.4 Метод Келлога

Пусть -- симметричное ядро, которое для простоты будем считать положительно определенным, и -- произвольная функция класса По методу Келлога строятся последовательность функций и последовательность чисел

Пусть суть ортонормированные собственные функции ядра , a - соответствующие характеристические числа. Пусть функция ортогональна к собственным функциям , но не ортогональна к собственной функции . Тогда последовательность (15) имеет пределом e характеристическое число , а последовательность функций

имеет пределом некоторую линейную комбинацию собственных функций, принадлежащих характеристическому числу . В частности, если функция не ортогональна к собственной функции , то предел последовательности (15) равен

К тому же пределу, что и последовательность (15), стремится последовательность

В предположении, что , получаем две приближенные формулы для наименьшего характеристического числа:

и приближенную формулу для первой собственной функции:

Формула (16) дает значение с избытком. Заметим еще, что формулой (17) можно пользоваться при достаточно больших . Если данное ядро симметричное, но не положительно определенное, то формулы (16) и (17) дают приближенные значения наименьшей абсолютной величины характеристических чисел данного ядра.

Вычислим по методу Келлога наименьшее характеристическое число ядра

Возьмем и . Заметим, что

отсюда легко получается

Отсюда

Полагая в формуле (16) последовательно = 2 и = 3, получим два приближенных значения с избытком:

2.5 Метод следов

-м следом ядра называется число

где означает -е итерированное ядро. Если ядро симметрично и удовлетворяет условию (2), то его следы, начиная со второго, конечны. Следы ядра связаны с его характеристическими числами соотношением

отсюда вытекают приближенные формулы для наименьшего характеристического числа, пригодные, если число достаточно велико;

В формуле (20) есть кратность характеристического числа . Если наряду с число -- также является характеристическим для данного ядра, то под следует понимать сумму кратностей характеристических чисел и -- .

Формула (19) дает значение с избытком, формула (20) -- с недостатком.

Можно получить приближенные формулы того же типа и для следующих характеристических чисел, но формулы эти оказываются довольно громоздкими. Так, если характеристические числа и простые, причем числа -- -- не суть характеристические числа данного ядра (это будет, например, если данное ядро положительно определенное), то верны приближенные формулы

формула (21) дает значение с избытком, формула (22) -- с недостатком.

При аналогичных предположениях имеем

Заметим еще, что следы четного порядка для симметричного ядра можно вычислять по формуле

требующей вдвое меньшего числа итераций.

Найдем по методу следов первое характеристическое число ядра (12). Легко найти, что

и по формуле (25)

Характеристические числа ядра (25) все положительны, поэтому, полагая в формуле (19) получим

Далее, характеристические числа ядра (12) также и простые, поэтому в формуле (20) надо принять полагая в этой формуле полуим

Квадраты корней функции Бесселя суть характеристические числа симметричного ядра

Найдем по методу следов первые два корня функции . Для второго итерированного ядра легко находим

Теперь по формуле (25)

Полагая

Получим:

Отсюда для первых двух корней функции полуаем приближенные значения с недостатком:

Более точные значения этих корней суть



3. Метод итераций

3.1 Простая итерация

Рассмотрим уравнение

ядро здесь и всюду ниже не предполагается обязательно симметричным. По методу простой итерации, называемому также методом последовательных приближений, с помощью рекуррентной формулы

строится последовательность функций {}, которые рассматриваются как приближения к искомому решению уравнения; начальное приближение может быть выбрано произвольно. Если в качестве начального приближения выбрать свободный член уравнения, так что то



3.2 Условия сходимости

Будем считать, что

эти требования не необходимы, но в случае их выполнения условия сходимости метода простой итерации формулируются проще.

Теорема 4. Пусть выполнены условия. Последовательность сходится в метрике к решению уравнения, если , где есть наименьшее по модулю характеристическое число ядра . Если ядро удовлетворяет еще дополнительному условию

то последовательность к решению уравнения равномерно в замкнутом промежутке

Справедлива теорема, в некотором смысле обратная теореме 4: если при некотором процесс простой итерации что \ D.30) 2] § 2. МЕТОД ИТЕРАЦИЙ 351 сходится, каков бы ни был свободный член уравнения, то .

Условие не всегда легко проверяемо, и мы укажем некоторые более простые достаточные условия сходимости простой итерации.

Процесс простой итерации сходится в метрике если

Если ядро удовлетворяет условию, то сходимость равномерна в

Если промежуток () конечен, а ядро ограничено:

то процесс простой итерации сходится равномерно при условии

При этом необязательно, чтобы свободный член удовлетворял условию D.30); достаточно, чтобы был конечным интеграл

Для ядра со слабой особенностью

процесс простой итерации сходится, если

Если промежуток конечен, а ядро вольтерровское, то процесс простой итерации сходится при любом значении . Если, кроме того, ядро ограничено, то процесс сходится равномерно, если только свободный член суммируем, т. е. существует упомянутый выше интеграл

Формула содержит зависящую от параметра квадратуру

для ее вычисления можно использовать известные квадратурные формулы. Пусть квадратурная формула имеет вид

Тогда значения функции в точках можно вычислить по формуле



Заключение

Как показали результаты экспериментов, предложенные в работе методы позволяют существенно повысить сходимость итерационных методов и сократить время, требуемое для численного решения интегральных уравнений многомерных задач математической физики.

Несмотря на наличие достаточно мощных вычислительных комплексов, вопрос повышения сходимости все еще остается актуальным, поскольку предположение о достаточности существующих средств для быстрого решения сегодняшних задач является весьма условным. Зачастую интегральные уравнения, особенно многомерные, решаются с достаточно низкой точностью аппроксимации. К тому же ограничения вычислительной техники нередко вынуждают пренебрегать многими параметрами и упрощать математическую модель.



Литература

1. Михлин С.Г., Смолицкий Х.Л. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. -М: 1965

2. Манжиров А.В., Полянин Ф.Д. Методы решения интегральных уравнений. Справочник. -М.: 1994

3. Демидович В.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения. -М.: 1967

4. Абрамов А.А., Березин И.С. Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений и квадратурные формулы. -М.: 1964

5. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Интегральные уравнения. -М.: 2003

6. Петровский И.Г. Лекции по теории интегральных уравнений.

7. Волков Е.А. Численные методы. -М.: 1987

8. Самарский А.А. Введение в численные методы. -СПб.: 2005

9. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. -М.: 1977

10. Кунцман Ж. Численные методы. -М.: 1979

11. Калиткин Н.Н. Численные методы. -М.: 1978

12. Формалев В.Ф., Ревизников Д.Л. Численные методы. -М.: 2004

Размещено на Allbest.ru

...