Использование пакета Maple для визуализации экстремалей функционалов двух функциональных аргументов
Особенность построения решения в евклидовом пространстве. Главная сущность составления системы уравнений Эйлера. Основной анализ определения функционала с помощью выбора пространственной кривой. Характеристика изображения плоскостей в пакете Maple.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 02.05.2015 |
| Размер файла | 225,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Использование пакета Maple для визуализации экстремалей функционалов двух функциональных аргументов
Шкадова А.Р.
Рассмотрим функционал, зависящий от двух функциональных аргументов:
с заданными (закреплёнными) граничными значениями обеих функций:
Чтобы найти экстремали этого функционала, нужно решить систему двух дифференциальных уравнений 2-го порядка:
где F - подынтегральная функция пяти аргументов. Решение системы (3) определяет в пространстве двухпараметрическое семейство интегральных кривых. Это семейство экстремалей данной задачи.
Построим решение в евклидовом пространстве .
Функционал (1) определяется выбором пространственной кривой y=y(x), z=z(x) (рис.1). Эту кривую можно задать пересечением двух цилиндров с такими же уравнениями.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рис.1. Пространственная кривая y=y(x), z=z(x), определяющая функционал
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рис.2. Варьирование пространственной кривой
Если варьировать только y(x) (фиксируя z(x)), то мы изменим кривую так, что её проекция на плоскость XOZ не изменится, т.е. кривая всё время будет оставаться на проектирующем цилиндре z=z(x) (рис.2). Аналогично, фиксируя у(х) и варьируя z(х), мы будем изменять кривую АВ так, что она всё время будет лежать на проектирующем цилиндре y=y(x).
Пример 1. Найти экстремали функционала
с граничными условиями
.
Решение. Для составления системы уравнений Эйлера найдём частные производные подынтегральной функции
:
.
Это линейное однородное уравнение 4-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение: . Общее решение содержит 2п=4 произвольных постоянных:
.
Отсюда
.
Произвольные постоянные найдём из граничных условий: . пространство уравнение функционал плоскость
Таким образом, . Экстремальная кривая является пересечением этих цилиндров.
Проиллюстрируем данную задачу с помощью пакета Maple. Цилиндры можно изобразить, используя команду для рисования поверхностей, заданных в неявной форме (рис.3):
> implicitplot3d([y=sin(x), z=-sin(x)], x=0..Pi/2, y=0..1, z=-1..0, color=black, scaling=constrained, axes=boxed, orientation=[-60,60], numpoints=1500, style=hidden, grid=[20,20,20]);
Рис.3. Экстремаль как пересечение двух синусоидальных цилиндров
Рис.4. Изображение экстремали в параметрической форме
На рисунке чётко видна линия пересечения поверхностей, которая и будет являться экстремалью данного функционала.
Построим эту же линию без цилиндров, в параметрической форме:
.
> spacecurve([t,sin(t),-sin(t)], t=0…Pi/2, axes=boxed, orientation=[-60,60], color=black, thickness=2);
Теперь экстремаль изображена не хуже, но менее наглядно (рис.4).
Пример 2. Найти экстремали функционала .
Здесь F - произвольная функция, зависящая только от производных функциональных аргументов.
,
.
Составим систему уравнений Эйлера:
.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рис. Экстремаль как пересечение
двух плоскостейЭто система линейных однородных алгебраических уравнений относительно и . Решим её методом Крамера. Главный определитель
.
Если 0, то имеем только тривиальное решение
Интегрируя, получим - два семейства плоскостей в пространстве, являющихся частными случаями цилиндров. Экстремалью будет прямая, являющаяся пересечением двух плоскостей с коэффициентами, найденными из граничных условий. (рис.5).
Пусть заданы граничные условия: . Соответствующие плоскости имеют уравнения:
.
Изобразим эти плоскости в пакете Maple (рис.6):
> implicitplot3d([y=x+1, z=-1/2*x], x=0..2, y=1..3, z=-1..0, color= black, scaling=constrained, axes=boxed, style=hidden, grid=[25,25,25], orientation=[-165,70]);
Линия пересечения плоскостей, являющаяся экстремалью, видна очень хорошо. Построим её в параметрической форме:
.
> spacecurve([t,t+1,-0.5*t)], t=0…2, axes=boxed, orientation=[-165,70], color=black, thickness=2);
Рис. Экстремальная прямая, задаваемая пересечением плоскостей
Рис. Экстремальная прямая в параметрической форме
Библиографический список
1. Л.Э. Эльсгольц. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.:Наука, 1969. 424 с.
2. Матросов А.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики. СПб.: БХВ-Петербург, 2001. - 528 с.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Анализ методов решения систем нелинейных уравнений. Простая итерация, преобразование Эйткена, метод Ньютона и его модификации, квазиньютоновские и другие итерационные методы решения. Реализация итерационных методов с помощью математического пакета Maple.
курсовая работа [820,5 K], добавлен 22.08.2010Понятия, связанные с рядами и дифференциальными уравнениями. Необходимый признак сходимости. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов. Уравнение Эйри и Бесселя. Примеры интегрирования в Maple. Приближенные вычисления с помощью рядов.
курсовая работа [263,9 K], добавлен 11.12.2013Составление уравнения Эйлера, нахождение его общего решения. Нахождение с использованием уравнения Эйлера-Лагранжа оптимального управления, минимизирующего функционал для системы. Использование метода динамического программирования для решения уравнений.
контрольная работа [170,3 K], добавлен 01.04.2010Дифференциальные уравнения как модели эволюционных процессов. Автономные системы дифференциальных уравнений и их фазовые пространства. Асимптотическая устойчивость линейных однородных автономных систем. Изображения фазовых кривых при помощи ПО Maple.
дипломная работа [477,4 K], добавлен 17.06.2015Использование компьютерной системы "Maple" для изображения многогранников. Евклид и задачи с недоступными точками. Арифметическая прогрессия и степень с рациональным показателем. Проведение олимпиад, конкурсов и турниров. Подготовка к экзамену.
книга [19,0 M], добавлен 01.12.2010Виды и методы решения функциональных уравнений, изучаемых в школьном курсе математики, с применением теории матриц, элементов математического анализа и сведения функционального уравнения к известному выражению с помощью замены переменной и функции.
курсовая работа [472,1 K], добавлен 07.02.2016Изучение способов приближенного решения уравнений с помощью графического изображения функций. Исследование метода определения действительных корней квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки для приведенных семи уравнений, построение их графиков.
творческая работа [12,5 M], добавлен 04.09.2010Решение дифференциальных уравнений. Численный метод для заданной последовательности аргументов. Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции. Применение шаговых методов решения Коши.
дипломная работа [1,2 M], добавлен 16.12.2008История возникновения уравнений, понятие их решения и виды упрощения. Анализ способов решения ряда занимательных задач с помощью уравнений. Обращение Аль-Хорезми с уравнениями как с рычажными весами. Параметры и переменные, область определения и корень.
реферат [38,0 K], добавлен 01.03.2012Пространство обобщенных функций. Дифференциальные уравнения в обобщенных функциях. Преобразования Лапласа и Фурье. Обобщенные функции, отвечающие квадратичным формам с комплексными коэффициентами. Нахождение решения в математическом пакете Maple.
курсовая работа [516,1 K], добавлен 25.06.2013Метод Эйлера: сущность и основное содержание, принципы и направления практического применения, определение погрешности. Примеры решения задачи в Excel. Метод разложения решения в степенной ряд. Понятие и погрешность, решение с помощью метода Пикара.
контрольная работа [129,0 K], добавлен 13.03.2012Гиперкомплексные числа: общее понятие и основные свойства. Нахождение корней трансцендентного уравнения в комплексных числах на примере уравнения классической задачи теории флаттера в математическом виде. Программная реализация решения в среде Maple.
контрольная работа [1,2 M], добавлен 28.06.2013Метод Зейделя как модификация метода простой итерации. Особенности решения систем линейных алгебраических уравнений. Анализ способов построения графика функций. Основное назначение формул Симпсона. Характеристика модифицированного метода Эйлера.
контрольная работа [191,3 K], добавлен 30.01.2014Характеристики метода Эйлера. Параметры программы, предназначенной для решения систем линейных уравнений и ее логическая структура. Блок-схема программы и этапы ее работы. Проведение анализа результатов тестирования, исходя из графиков интераций.
курсовая работа [866,0 K], добавлен 27.03.2011Определение, свойства и примеры функциональных уравнений. Основные методы их решения, доказательство некоторых теорем. Понятие группы функций, применение их при решении функциональных уравнений с несколькими переменными. Класс уравнений типа Коши.
курсовая работа [86,3 K], добавлен 01.10.2011Содержание понятия, исследование свойств и применение различных методов решения функциональных уравнений. Порядок решения функциональных уравнений Коши на множестве Q рациональных чисел, на оси R, полуоси R. Измеримые функции и гиперболические косинусы.
дипломная работа [211,8 K], добавлен 01.10.2011Решение системы линейных уравнений по правилу Крамера и с помощью обратной матрицы. Нахождение ранга матрицы. Вычисление определителя с помощью теоремы Лапласа. Исследование на совместимость системы уравнений, нахождение общего решения методом Гауса.
контрольная работа [97,3 K], добавлен 24.05.2009Нахождение решения уравнения с заданными граничными и начальными условиями, система дифференциальных уравнений. Симметричное преобразование Фурье. Решение линейного разностного уравнения. Допустимые экстремали функционала. Уравнение Эйлера-Лагранжа.
контрольная работа [51,5 K], добавлен 05.01.2016Общая характеристика и особенности двух методов решения обычных дифференциальных уравнений – Эйлера первого порядка точности и Рунге-Кутта четвёртого порядка точности. Листинг программы для решения обычного дифференциального уравнения в Visual Basic.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 04.06.2010Общий вид системы линейных уравнений и ее основные понятия. Правило Крамера и особенности его применения в системе уравнений. Метод Гаусса решения общей системы линейных уравнений. Использование критерия совместности общей системы линейных уравнений.
контрольная работа [35,1 K], добавлен 24.06.2009
