Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЗВА УЧБОВОГО ЗАКЛАДУ

РЕФЕРАТ

” Разновидности систем счисления ”

Понятие системы счисления. Виды систем счисления

Система счисления -- совокупность нескольких названий и знаков, позволяющая записать любое число и дать ему имя.

Система счисления:

· даёт представления множества чисел (целых и/или вещественных);

· даёт каждому числу уникальное представление (или, по крайней мере, стандартное представление);

· отражает алгебраическую и арифметическую структуру чисел.

Системы счисления подразделяются на:

· Позиционные;

· Непозиционные;

· Смешанные.

Позиционные системы счисления

Позиционная система счисления -- это система, в которой значение каждой цифры зависит от ее числового эквивалента и от ее места (позиции) в числе, т.е. один и тот же символ (цифра) может принимать различные значения.

Изобретение позиционной нумерации, основанной на поместном значении цифр, приписывается шумерам и вавилонянам. Развита была такая нумерация индусами и имела неоценимые последствия в истории человеческой цивилизации.

Наиболее известной позиционной системой счисления является десятичная система счисления, возникновение которой связано со счётом на пальцах. В средневековой Европе она появилась через итальянских купцов, в свою очередь заимствовавших её у мусульман.

Любая позиционная система счисления характеризуется основанием. Основание или базис (n) естественной позиционной системы счисления -- это количество знаков или символов, используемых для изображения числа в данной системе. Поэтому, возможно бесчисленное множество позиционных систем, т.к. за основание можно принять любое натуральное число n>1, образовав новую систему счисления.

Когда представляют или записывают, некоторое число в позиционной системе счисления, размещают соответствующие цифры числа по отдельным нужным позициям, которые принято называть разрядами числа в данной позиционной системе счисления. Количество разрядов в записи числа называется разрядностью числа и совпадает с его длиной.

Общая система счисления может быть определена, как такая группировка целых и дробных чисел, при которой каждое из них представляется формулой:

или

где x -- произвольное число, записанное в системе счисления с основанием n; символ ai -- коэффициент ряда, т.е. i-таю цифра записи числа; k, m -- количество целых и дробных разрядов соответственно.

Каждая степень nk в такой записи называется весовым коэффициентом разряда. Старшинство разрядов и соответствующих им цифр определяется значением показателя k (номера разряда). Номера разрядов в позиционной системе счисления отсчитываются в целой части влево от запятой, а в дробной -- вправо от запятой. Причем, нумерация разрядов начинается с 0. Величина основания позиционной системы счисления определяет ее название: для десятичной системы это будет 10, для восьмеричной -- 8, для двоичной -- 2 и т.д. Обычно вместо названия системы счисления используют термин "код числа". Например, под понятием двоичный код подразумевается число, представленное в двоичной системе счисления, под понятием десятичный код - в десятичной системе счисления и т.д.

Если не возникает разночтений (например, когда все цифры представляются в виде уникальных письменных знаков), число x записывают в виде последовательности его n-ричных цифр, перечисляемых по убыванию старшинства разрядов слева направо:

Наиболее употребляемыми в настоящее время позиционными системами являются:

· 2 -- двоичная (в дискретной математике, информатике, программировании);

· 3 -- троичная (в троичных ЭВМ (например, «Сетунь»));

· 8 -- восьмеричная (используется в программировании, информатике);

· 10 -- десятичная (используется повсеместно);

· 12 -- двенадцатеричная (счёт дюжинами);

· 16 -- шестнадцатеричная (используется в программировании, информатике);

· 60 -- шестидесятеричная (единицы измерения времени, измерение углов и, в частности, координат, долготы и широты).

В позиционных системах чем больше основание системы, тем меньшее количество разрядов (то есть записываемых цифр) требуется при записи числа.

Двоичная система счисления -- позиционная система счисления с основанием 2. Благодаря непосредственной реализации в цифровых электронных схемах на логических вентилях, двоичная система используется практически во всех современных компьютерах и прочих вычислительных электронных устройствах. В двоичной системе счисления числа записываются с помощью двух символов (0 и 1). Чтобы не путать, в какой системе счисления записано число, его снабжают указателем справа внизу. Например, число в десятичной системе 510, в двоичной 1012. Иногда двоичное число обозначают префиксом 0b, например 0b101.

Правила переводов

Перевод из любой системы счисления в десятичную систему счисления

Для перевода целого числа из любой системы счисления в десятичную, необходимо записать данное число в общем виде:

anbn+an-1bn-1+an-2bn-2+...+a2b2+a1b1+a0b0

Например: переведем число 12568 в десятичную систему счисления.

12568=1·83+2·82+5·81+6·80=1·512+2·64+5·8+6·1=68610.

Перевод числа из десятичной системы счисления в другую систему

1) Делим данное число на основание той системы, в которую необходимо перевести число.

2) Полученное число делим аналогично на основание системы, в которую необходимо перевести число.

3) Пункт 2 повторяем до тех пор пока, полученное частное не будет меньше основания.

4) Выписываем остатки от деления в порядке от последнего к первому.

Правило перевода чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную

1) Разбиваем число по три цифры на группы начиная с младшего разряда.

Если не хватает до целой тройки цифр, то добавляем необходимое количество нулей слева.

2) Каждую полученную тройку цифр заменяем цифрой из восьмеричной системы счисления.

3) Дробную часть разбиваем на тройки вправо от запятой.

Если не хватает цифр, то приписываем нули справа.

Перевод чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную

1) Разбиваем число по четыре цифры на группы начиная с младшего разряда.

Если не хватает до целой четверки цифр, то добавляем необходимое количество нулей слева.

2) Каждую полученную четверку цифр заменяем цифрой из восьмеричной системы счисления.

3) Дробную часть разбиваем на четверки вправо от запятой.

Если не хватает цифр, то приписываем нули справа.

Правило перевода чисел из восьмеричной системы счисления в двоичную

1) Заменяем каждую цифру данного восьмеричного числа соответствующим ей двоичным эквивалентом.

2) Если до полной тройки не хватает цифр, то в данной тройке добавляем недостающее количество нулей слева.

Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную

1) Заменяем каждую цифру данного шестнадцатеричного числа соответствующим ей двоичным эквивалентом.

2) Если до полной четверки не хватает цифр, то в данной четверке добавляем недостающее количество нулей справа.

Необычные позиционные системы счисления

Необычные счисления не находят широкого применения, однако они могут быть интересными с точки зрения теории. Среди необычных систем счисления можно выделить: счисление позиционный символический знак

· системы счисления с ненатуральными основаниями

o отрицательными,

o иррациональными,

o комплексными (напр.: 1 + i);

· системы счисления с несколькими основаниями;

o вложенными (двоично-десятичная, десятично-шестидесятеричная и др.)

· системы счисления с нестандартными наборами цифр:

с набором цифр, симметричным относительно нуля.

Системы счисления с отрицательными основаниями

Отрицательные основания позволяют выражать отрицательные числа без введения дополнительного символа для знака. Для выражения чисел используется тот же набор цифр, что и для системы с равным по модулю натуральным основанием. Таким образом, нечётные разряды числа имеют отрицательный вес.

Системы счисления с иррациональным основанием

Иррациональное число вида можно выразить в системе счисления с иррациональным основанием , употребив цифры .

Системы счисления с комплексным основанием

Подобно системам с отрицательным основаниям, комплексные основания позволяют выражать комплексные числа.

Для этого основание системы счисления берётся вида:

удовлетворяющее условию -- количество цифр в наборе.

Системы основания с вложенными основаниями

Если цифры системы счисления с большим основанием представить числами в системе счисления с меньшим основанием, то получится особый составной род системы счисления.

Хорошо известна десятично-шестидесятеричная система счисления, используемая для измерения времени -- часы, минуты и секунды, записанные десятичной системой здесь предстают в качестве разрядов шестидесятеричной системы счисления. Эта система пришла из Вавилона, где широко использовалась для записи чисел шестидесятеричная система, основанная всего на трёх клинописных символах:

· вертикльный клин -- единица разряда;

· уголок из клиньев -- десяток разряда;

· наклонный клин -- нуль, пустой разряд;

Двоично-десятичная система счисления используется в вычислительной технике. Двоичные разряды группируются по четыре, где каждая четвёрка (тетрада, ниббл) кодирует одну десятичную цифру. Это позволяет работать с приборами, имеющими десятичную индикацию и ввод без преобразования систем счисления.

Нестандартные наборы цифр, наборы, симметричные относительно нуля

Альтернативным способом записи отрицательных чисел без использования знака минуса (кроме отрицательных оснований) является использование цифр с отрицательным весом. При этом не требуется увеличения количества различных цифр для записи числа -- вместо набора можно использовать любой набор вида .

Замечательным в этом отношении является использование симметричного набора цифр. Если взять систему счисления с нечётным основанием вида 2p + 1, то набор цифр будет иметь вид .

Такой подход нашёл применение в троичных ЭВМ (например, «Сетунь»).

Смешанная система счисления

Смешанная система счисления является обобщением n-ричной системы счисления и также зачастую относится к позиционным системам счисления. Основанием смешанной системы счисления является возрастающая последовательность чисел , и каждое число в ней представляется как линейная комбинация:

В зависимости от вида ni как функции смешанные системы счисления могут быть степенными, показательными, факториальными, фибоначчиевыми и т. п. Когда для некоторого n, смешанная система счисления совпадает с показательной n-ричной системой счисления.

Самый яркий пример смешанной системы счисления -- это представление времени в виде количества суток, часов, минут и секунд. При этом величина «d дней, h часов, m минут, s секунд» соответствует значению

секунд.

Непозиционные системы счисления

Непозиционная система счисления -- это система, для которой значение символа, т.е. цифры, не зависит от его положения в числе. При этом система может накладывать ограничения на положение цифр, например, чтобы они были расположены в порядке убывания.

Биномиальная система счисления

В биномиальной системе счисления число x представляется в виде суммы биномиальных коэффициентов:

При всяком фиксированном значении n каждое натуральное число представляется уникальным образом.

Система остаточных классов (СОК)

Представление числа в системе остаточных классов основано на понятии вычета и китайской теореме об остатках. СОК определяется набором попарно взаимно простых модулей с произведением так, что каждому целому числу из отрезка ставится в соответствие набор вычетов , где

СОК гарантирует однозначность представления для чисел из отрезка

В СОК арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление) выполняются покомпонентно, если про результат известно, что он является целочисленным и также лежит в [0,M-1].

Недостатками СОК является возможность представления только ограниченного количества чисел, а также отсутствие эффективных алгоритмов для сравнения чисел, представленных в СОК.

Исторические системы счисления

Единичная система счисления

Хронологически первая система счисления каждого народа, овладевшего счётом. Натуральное число изображается путём повторения одного и того же знака (чёрточки или точки). Впоследствии, ради удобства восприятия больших чисел, эти знаки группируются по три или по пять. Затем равнообъёмные группы знаков начинают заменяться каким-либо новым знаком -- так возникают прообразы будущих цифр.

Пятеричная система счисления (Счёт на пятким)

Существовал в России. Применялся в народе как минимум до конца XVIII -- начала XIX вв.

Древнеегипетская система счисления

Древнеегипетская десятичная непозиционная система счисления возникла во второй половине третьего тысячелетия до н. э. Для обозначения чисел 0, 1, 10, 102, 103, 104, 105, 106, 107 использовались специальные цифры. Числа в египетской системе счисления записывались как комбинации этих цифр, в которых каждая из цифр повторялась не более девяти раз. Значение числа равно простой сумме значений цифр, участвующих в его записи.

Алфавитные системы счисления

Алфавитными системами счисления пользовались древние армяне, грузины, греки (ионическая система счисления), арабы (абджадия), евреи и другие народы Ближнего Востока. В славянских богослужебных книгах греческая алфавитная система была переведена на буквы кириллицы.

Римская система счисления

Каноническим примером почти непозиционной системы счисления является римская, в которой в качестве цифр используются латинские буквы:

I обозначает 1,

V -- 5,

X -- 10,

L -- 50,

C -- 100,

D -- 500,

M -- 1000

Римская система не является полностью непозиционной, так как меньшая цифра, идущая перед большей, вычитается из неё.

Система счисления майя

Майя использовали 20-ричную систему счисления за одним исключением: во втором разряде было не 20, а 18 ступеней, то есть за числом 17 19 сразу следовало число 1 0 0. Это было сделано для облегчения расчётов календарного цикла, поскольку 1 0 0 = 360 примерно равно числу дней в солнечном году.

Для записи основными знаками были точки (единицы) и отрезки (пятёрки).

Кипу инков

Прообразом баз данных, широко использовавшихся в Центральных Андах (Перу, Боливия) в государственных и общественных целях в I--II тысячелетии н. э., была узелковая письменность Инков -- кипу, состоявшая как из числовых записей десятичной системы, так и не числовых записей в двоичной системе кодирования. В кипу применялись первичные и дополнительные ключи, позиционные числа, кодирование цветом и образование серий повторяющихся данных. Кипу впервые в истории человечества использовалось для применения такого способа ведения бухгалтерского учёта как двойная запись.

Список используемой литературы

1. А. Г. Цыпкин. "Справочник по математике для средних учебных заведений"

Размещено на Allbest.ru