Расчет положительного корня
Локализация корня путем осуществления выбора начального отрезка. Определение достаточного условия сходимости метода на выбранном отрезке. Проверка монотонности при помощи первой производной. Рассмотрение условия выхода из цикла уточнения корня.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лабораторная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 24.04.2015 |
| Размер файла | 385,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Министерство образования и науки Российской Федерации
ФГАОУ ВПО "Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина "
Энергетический институт
Кафедра прикладной математики
Отчет по первой лабораторной работе
Предмет: Численные методы
Преподаватель A.Б. Ложников
Студент гр. Эн-321201 Г.Н. Анцупов
Екатеринбург 2015
Формулировка задачи:
С точностью найти наименьший положительный корень уравнения
указанными методами(a=2).
Уравнение:
Расчетные формулы методов:
Локализуем корень, выбрав начальный отрезок [0.2,1].
Выбираем начальное приближение:
.
Метод деления отрезка пополам
Достаточное условие сходимости метода на выбранном отрезке:
Пусть функция непрерывна на [a,b] и принимает на концах отрезка разные знаки, тогда на этом отрезке есть минимум один корень уравнения .
Локализуем корень, выбрав начальный отрезок [0.2;1]. Выбор отрезка находим графическим путем:
На левом конце отрезка:
На правом конце отрезка:
График показывает, что функция f(x)= монотонна и непрерывна на области [0.2;1].
Достаточное условие выполняется f(a)*f(b)<0, значит f(x)-непрерывна
Проверим монотонность с помощью первой производной.
Она равна:
f `(x)=
f `(0.2)= -2.3061
f `(1)= -0.6040
Очевидно, что корней у производной не существует, и для каждого значения х из отрезка [0.2;1] функция f `(x)<0. Следовательно, на нашем отрезке [0.2;1] функция монотонна(строго убывает), а значит на нем только один корень.
Достаточное условие сходимости метода деления отрезка пополам выполнено.
Условие выхода из цикла уточнения корня:
1) Остановка итераций происходит, когда , где [a,b] - отрезок, на котором находится искомый корень.
2) Остановка итераций происходит, при условии: | |<E,
где E =;
Априорное число итераций: => на моем отрезке требуется минимум 18 итераций для нахождения корня.
Текст программы
корень отрезок сходимость производная
format long;
a = 0.2;
b = 1;
k = 0;
E = 0.5 * 10^(-5); % точность
while (abs(b-a) > E)
c = (a + b)/2;
if ((exp(-2*a) - a^(1/3)) * (exp(-2*с) - с^(1/3)) <0)
b = c;
else
a = c;
end
k=k+1;
end
c = (a + b)/2;
k
c
Результат работы программы:
k =18
с = 0.238734436035156
Метод простой итерации
Приводим уравнение к виду, пригодному для проведения итераций:
Достаточное условие сходимости метода на выбранном отрезке:
q=max
Если q, то метод простой итерации сходится к корню для любого начального приближения из некоторой окрестности корня.
Максимум модуля равен максимуму на концах отрезка. Проверим с помощью оценки сверху:
Следовательно, метод простых итераций сходится.
Условие выхода из цикла уточнения корня:
3) Остановка итераций происходит, когда , где [a,b] - отрезок, на котором находится искомый корень.
4) Остановка итераций происходит, при условии: | |<E,
где E =;
Априорная оценка итераций:
Следовательно, при моем начальном приближении достаточно 71 итерации для нахождения корня с заданной точностью.
Текст программы
format long;
a = 0.2;
b = 1;
k = 0;
E = 0.5 * 10^(-5); % точность
x0=(a+b)/2; % начальное приближение
x=log(x0^(1/3))/(-2);
while (abs(x0-x)>E)
x0=x;
x= log(x0^(1/3))/(-2);
k=k+1;
end
k
x0
Результат работы программы:
k =33
x0 = 0.238731945731936
|
Метод |
Начальное приближение |
Априорное число итераций |
Фактическое число итераций |
Полученный корень |
|
|
Дел. отрезка пополам |
с=0.4 |
18 |
0.2387344360352 |
||
|
МПИ |
x0=0.4 |
33 |
0.2387319457319 |
Значение корня вычисленное с помощью встроенной функции fzero пакета Matlab
fzero('exp(-2*x)-x^(1/3)',[0.1 1])
ans = 0.2387341293163
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Контрольный пример к алгоритму метода хорд. Вычисление и уточнение корня методом хорд и касательных. Нахождение второй производной заданной функции. Уточненное значение корня решаемого уравнения на заданном интервале. Код программы данного примера.
лабораторная работа [276,9 K], добавлен 02.12.2014Приближенные значения корней. Метод дихотомии (или деление отрезка пополам), простой итерации и Ньютона. Метод деления отрезка пополам для решения уравнения. Исследование сходимости метода Ньютона. Построение нескольких последовательных приближений.
лабораторная работа [151,3 K], добавлен 15.07.2009Расчет площади треугольника АВС, при условии, что размер каждой клетки равняется 1*1 см. Определение корня уравнения (4x+5)=5. Поиск значения выражения 7*5log52. Определение наибольшего значения заданной функции y=4x-4tgx+п-9 на отрезке [-п/4;п/4].
контрольная работа [13,5 K], добавлен 27.12.2013Приближенные решения кубических уравнений. Работы Диофанта, Ферма и Ньютона. Интерационный метод нахождения корня уравнения. Геометрическое и алгебраическое описания метода хорд. Погрешность приближенного решения. Линейная скорость сходимости метода.
презентация [255,1 K], добавлен 17.01.2011Общая постановка задачи. Отделение корня. Уточнение корня. Метод половинного деления (бисекции). Метод хорд (секущих). Метод касательных (Ньютона). Комбинированный метод хорд и касательных. Задания для расчётных работ.
творческая работа [157,4 K], добавлен 18.07.2007Геометрическая интерпретация методов Ньютона, итерации и спуска. Определение корня уравнения с заданной степенью точности. Решение систем нелинейных алгебраических уравнений. Нахождение эквивалентного преобразования для выполнения условия сходимости.
курсовая работа [371,6 K], добавлен 14.01.2015Извлечение квадратного корня - операция нахождения квадратного корня из неотрицательного числа. Сравнительный анализ способов приближенного извлечения квадратных корней. Характеристика арифметического способа. Вавилонский способ (первый метод Герона).
реферат [48,7 K], добавлен 15.05.2012Метод Гаусса, LU-разложение. Прогонка для решения линейных систем с трехдиагональными матрицами коэффициентов. Метод квадратного корня для решения систем: краткая характеристика, теоретическая основа, реализация, тестирование и листинг программы.
курсовая работа [340,9 K], добавлен 15.01.2013Изучение методов уточнения корней нелинейных уравнений (половинного деления, хорд, касательных, простой итерации). Метод хорд и касательных дает высокую скорость сходимости при решении уравнений, и небольшую - метод половинного деления и простой итерации.
контрольная работа [58,6 K], добавлен 20.11.2010Вычисление корня функции нелинейного уравнения методом деления отрезка пополам. Способы ввода, вывода и организации данных. Модульная организация программы. Разработка блок-схемы алгоритма задачи. Порядок создания программы на алгоритмическом языке.
реферат [30,0 K], добавлен 28.10.2010Осуществление интерполяции с помощью полинома Ньютона. Уточнение значения корня на заданном интервале тремя итерациями и нахождение погрешности вычисления. Применение методов Ньютона, Сампсона и Эйлера при решении задач. Вычисление производной функции.
контрольная работа [155,2 K], добавлен 02.06.2011Решение неравенств и определение области сходимости рядов по признаку Даламбера и теореме Лейбница для знакопеременных рядов. Условия и пределы сходимости ряда. Исследование границ интервала. Проверка условия Лейбница при знакочередующемся ряде.
контрольная работа [127,2 K], добавлен 07.09.2010Биография Исаака Ньютона, его основные исследования и достижения. Описание порядка нахождения корня уравнения в рукописи "Об анализе уравнениями бесконечных рядов". Методы касательных, линейной аппроксимации и половинного деления, условие сходимости.
реферат [1,6 M], добавлен 29.05.2009Смысл метода Ньютона для решения нелинейных уравнений. Доказательства его модификаций: секущих, хорд, ложного положения, Стеффенсена, уточненного для случая кратного корня, для системы двух уравнений. Оценка качества метода по числу необходимых итераций.
реферат [99,0 K], добавлен 07.04.2015Основные понятия и определения кубических уравнений, способы их решения. Формула Кардано и тригонометрическая формула Виета, сущность метода перебора. Применение формулы сокращенного умножения разности кубов. Определение корня квадратного трехчлена.
курсовая работа [478,4 K], добавлен 21.10.2013Поиск нулей функции - исследование и построение различных функций зависимостей. Исследование непрерывных процессов. Метод простой итерации. Итерационный процесс Ньютона, аналитическое задание системы уравнений и локализация области нахождения корня.
реферат [54,1 K], добавлен 08.08.2009Исследование зависимости погрешности решения от погрешностей правой части системы. Определение корня уравнения с заданной точностью. Вычисление точностных оценок методов по координатам. Сплайн интерполяция и решение дифференциального уравнения.
контрольная работа [323,4 K], добавлен 26.04.2011Характеристика способов решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Описание проведения вычислений на компьютере методом Гаусса, методом квадратного корня, LU–методом. Реализация метода вращений средствами системы программирования Delphi.
курсовая работа [118,4 K], добавлен 04.05.2014Определение корня первого и второго многочлена, вычисление предела функции. Применение правила Лопиталя (предел отношения функций равен пределу отношения их производных). Пример использования замечательного предела, который применяется в виде равенства.
контрольная работа [95,5 K], добавлен 19.03.2015Вычисление производной функции и ее критических точек. Определение знака производной на каждом из интервалов методом частных значений. Нахождение промежутков монотонности и экстремумов функции. Разложение подынтегральной функции на простейшие дроби.
контрольная работа [134,7 K], добавлен 09.04.2015
