Теория вероятностей

Доказательство. Введем случайную величину - число появлений события в независимых испытаниях. Очевидно, что общее число появлений события в этих испытаниях равна сумме появлений события в отдельных испытаниях:

,

где число наступлений события в первом испытании, во втором, …., в -м.

Величины взаимно независимы, т.к. исходы испытаний не зависят друг от друга, поэтому



(*)

Вычислим дисперсию по формуле

.

В этой задаче (по условию)

,

Тогда

.

Очевидно, дисперсия каждой из остальных случайных величин в (*) также равна . Следовательно,

Замечание. Так как величина распределена по биномиальному распределению, то можно утверждать, что дисперсия биномиального распределения с параметрами и равна произведению

7. Среднее квадратическое отклонение

Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служит и среднее квадратическое отклонение.

Дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины.

Средним квадратическим отклонением случайной величины

называют квадратный корень из дисперсии:

Размерность совпадает с размерностью случайной величины .

Пример. Случайная величина задана законом распределения

2 3 10

Найти среднее квадратическое отклонение .

Решение. Дисперсию вычислим по формуле

,

которая содержит математические ожидания и .

Найдем

Найдем дисперсию

Искомое среднее квадратическое отклонение

8. Среднее квадратическое отклонение суммы взаимно независимых случайных величин

Пусть известны средние квадратические отклонения нескольких взаимно независимых случайных величин. Как найти среднее квадратическое отклонение суммы этих величин?

Теорема. Среднее квадратическое отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратических отклонений этих величин:

Доказательство. Обозначим через сумму рассматриваемых взаимно независимых величин:

.

Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых, поэтому

Отсюда



Окончательно

9. Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины

Известно, что по закону распределения можно найти числовые характеристики случайной величины. Отсюда следует, что если несколько случайных величин имеют одинаковые распределения, то и числовые характеристики одинаковы.

Рассмотрим взаимно независимых случайных величин которые имеют одинаковые распределения, следовательно, и одинаковые характеристики (математическое ожидание, дисперсию и др.).

Наибольший интерес представляет изучение числовых характеристик среднего арифметического этих величин.

Обозначим среднее арифметическое рассматриваемых случайных величин через :

=

Свойства среднего арифметического:

Св-во 1. Математическое ожидание среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равно математическому ожиданию каждой из величин:



Доказательство. Пользуясь свойствами математического ожидания, получим

Принимая во внимание, что математическое ожидание каждой из величин по условию равно , получим

Св-во 2. Дисперсия среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в раз меньше дисперсии каждой из величин:

Доказательство. Пользуясь свойствами дисперсии, имеем

Принимая во внимание, что дисперсия каждой из величин по условию равна , получим

(*)

Св-во 3. Среднее квадратическое отклонение среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в раз меньше среднего квадратического отклонения каждой из величин:

Доказательство. Так как то среднее квадратическое отклонение равно

(**)

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение служат мерами рассеяния случайной величины. Заключаем, что из свойств 2) и 3) следует, что среднее арифметическое достаточно большого числа взаимно независимых случайных величин имеет значительно меньшее рассеяние, чем каждая отдельная величина.

10. Начальные и центральные теоретические моменты

Рассмотрим дискретную случайную величин заданную законом распределения:

1 2 5 100

Найдем математическое ожидание

Напишем закон распределения

1 4 25 10000

Найдем математическое ожидание

Видим, что значительно больше Это объясняется тем, что после возведения в квадрат возможное значение величины , соответствующее значению величины , стало равным 10000, т.е. значительно увеличилось; вероятность же этого значения мала (0,01).

Таким образом, переход от к позволил лучше учесть влияние на математическое ожидание того возможного значения, которое велико и имеет малую вероятность. Вот почему оказывается целесообразным рассматривать математическое ожидание целой положительной степени случайной величины (дискретной, непрерывной).

Начальным моментом порядка случайной величины называют математическое ожидание величины :

,

В частности

, .

Пользуясь этими моментами, формулу для вычисления дисперсии

можно записать так:

.

Кроме моментов случайной величины целесообразно рассматривать моменты отклонения .

Центральным моментом порядка случайной величины называют математическое ожидание величины :

,

В частности,

Исходя из определения центрального момента и пользуясь свойствами математического ожидания, можно получить еще формулы:

.

Моменты более высокого порядка применяются редко.

Глава 9. Закон больших чисел

1. Замечания

Нельзя заранее уверенно предвидеть, какое из возможных значений примет случайная величина в итоге испытания; это зависит от многих случайных причин, учесть которые невозможно. Оказывается, что при некоторых сравнительно широких условиях суммарное поведение достаточно большого числа случайных величин почти утрачивает случайный характер и становится закономерным.

Для практики важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к результату, почти не зависящему от случая и позволяет предвидеть ход явлений. Эти условия указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел. К ним относятся теоремы Чебышева и Бернулли. Для доказательства этих теорем используется неравенство Чебышева.

2. Неравенство Чебышева

Неравенство Чебышева справедливо для дискретных и непрерывных случайных величин.

Рассмотрим дискретную случайную величину , заданную таблицей распределения:

….

….

Поставим задачу, оценить вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания не превышает по абсолютной величине положительного числа . Чебышев П.Л. доказал неравенство, позволяющее дать интересующую нас оценку.

Неравенство Чебышева. Вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа , не меньше, чем

.

3. Теорема Чебышева

Теорема Чебышева. Если попарно независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены (не превышают постоянного числа С), то для любого малого положительного числа , вероятность неравенства

будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико, т.е. при

Теорема Чебышева утверждает, что если рассматривается достаточно большое число независимых случайных величин, имеющих ограниченные дисперсии, то почти достоверным можно считать событие, состоящее в том, что отклонение среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий будет по абсолютной величине сколь угодно малым.

Доказательство. Введем в рассмотрение новую случайную величину - среднее арифметическое случайных величин

.

Найдем математическое ожидание Пользуясь свойством математического ожидания, получим:

.

Применяя к величине неравенство Чебышева, имеем

.

Пользуясь свойствами дисперсии, получим

.

По условию теоремы, дисперсии всех случайных величин ограничены постоянным числом , т.е.

…,

Поэтому

Тогда

Переходя к пределу при , и принимая, что вероятность не может превышать единицу, получим

Выше, при формулировке теоремы Чебышева предполагали, что случайные величины имеют различные математические ожидания. На практике часто бывает, что случайные величины имеют одно и то же математическое ожидание. Если при этом также допустить ограниченность дисперсии этих случайных величин, то к ним также применима теорема Чебышева.

Обозначим через математическое ожидание каждой из случайных величин, тогда и среднее арифметическое математических ожиданий, также будет равно . Тогда теорема Чебышева формулируется в виде:

Если попарно независимые случайные величины, имеющие одно и то же математическое ожидание , и если дисперсии этих величин равномерно ограничены (не превышают постоянного числа С), то для любого малого числа , вероятность неравенства

будет как угодно близка к единице, если число случайных величин велико, т.е. .

Другими словами, в условиях теоремы будет иметь место равенство



4. Сущность теоремы Чебышева

Хотя отдельные независимые случайные величины при испытаниях могут принимать значения, далекие от своих математических ожиданий, среднее арифметическое достаточно большого числа случайных величин с большой вероятностью принимает значения, близкие к определенному постоянному числу, а именно к числу или к числу в частном случае. Иными словами, отдельные случайные величины могут иметь значительный разброс, а их среднее арифметическое рассеяно мало. Нельзя уверенно предсказать, какое возможное значение примет каждая из случайных величин, но можно предвидеть, какое значение примет их среднее значение.

Среднее арифметическое достаточно большого числа независимых случайных величин, дисперсии которых равномерно ограничены, утрачивают характер случайной величины.

5. Значение теоремы Чебышева для практики

Обычно для измерения некоторой физической величины производят несколько измерений и их среднее арифметическое принимают в качестве искомого размера. При каких условиях этот способ измерения можно считать правильным? Ответ дает теорема Чебышева, при выполнении следующих условий:

1) измерения попарно независимы; 2) имеют одно и то же математическое ожидание; 3) дисперсии их равномерно ограничены.

Первое требование выполняется, если результат каждого измерения не зависит от результатов остальных. Второе требование выполняется, если измерения произведены без систематических (одного знака) ошибок. В этом случае математические ожидания всех случайных величин одинаковы и равны истинному размеру . Третье требование выполняется, если прибор обеспечивает определенную точность измерения. Хотя при этом результаты отдельных измерений различны, но рассеяние их ограничено. При достаточно большом вероятность неравенства

как угодно близка к единице. Другими словами, при достаточно большом числе измерений почти достоверно, что их среднее арифметическое как угодно мало отличается от истинного значения измеряемой величины.

Но ошибочно думать, что, увеличивая число измерений, можно достичь сколь угодно большой точности. Дело в том, что сам прибор дает показания лишь с точностью поэтому каждый из результатов измерений, следовательно, и их среднее арифметическое будут получены лишь с точностью, не превышающей точности прибора.

6. Теорема Бернулли

Пусть производится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна . Можно ли предвидеть, какова примерно будет относительная частота появлений события? На этот вопрос дал положительный ответ Яков Бернулли (1713 год).

Теорема Бернулли. Если в каждом из независимых испытаний вероятность появления события постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико.

Другими словами, если - сколь угодно малое положительное число, то при соблюдении условий теоремы имеет место равенство

.

Доказательство. Пусть числа появлений события в испытаниях. Каждая из величин может принять лишь два значения: 1 (событие наступило) с вероятностью и 0 (событие не появилось) с вероятностью .

Случайные величины попарно независимы, т.к. испытания независимы. Дисперсия любой величины , равна произведению так как , то произведение не превышает и, следовательно, дисперсии всех случайных величин ограничены числом , т.е. . Следовательно, к случайным величинам можно применить теорему Чебышева (частный случай).

При этом будем иметь

.

Принимая во внимание, что математическое ожидание каждой из величин (т.е. математическое ожидание числа появлений события в одном испытании) равно вероятности наступления события, получим

.

Покажем, что дробь равна относительной частоте появлений события в испытаниях. Каждая из величин при появлении события в соответствующем испытании принимает значение, равное единице; следовательно, сумма равна числу появлений события в испытаниях, значит

Учитывая это равенство, получим

.

Теорема Бернулли утверждает, что при относительная частота при достаточно большом числе испытаний обладает свойством устойчивости и оправдывает статистическое определение вероятности.

Коротко теорему Бернулли записывают так:

при (закон больших чисел).

Глава 10. Функция распределения вероятностей случайной величины

1. Определение функции распределения

Функцией распределения называют функцию , определяющую вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет значение, меньшее , т.е.

Геометрически это равенство можно истолковать так: есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки .

Иногда вместо термина «функция распределения» используется термин «интегральная функция».

Теперь можно дать более точное определение непрерывной случайной величины: случайную величину называют непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.

2. Свойства функции распределения

1). Значения функции распределения принадлежат отрезку :

Это свойство вытекает из определения функции распределения как вероятности: вероятность всегда есть число неотрицательное, не превышающее единицы.

2). - функция неубывающая, т.е. если

Доказательство. Пусть Событие, состоящее в том, что можно представить в виде двух событий: 1) с вероятностью 2) , с вероятностью . По теореме сложения вероятностей имеем

.

Отсюда

. (*)

Так как любая вероятность есть число неотрицательное, то или что и требовалось доказать.

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале , равна приращению функции распределения на этом интервале:

(**)

Это важное следствие вытекает из формулы (*) при

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение, равна нулю.

Положив в формуле (**)



Имеем

Разность при

3) Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , то: 1) при ; 2) при

Доказательство. 1) Пусть Тогда событие невозможно, т.к. значений, меньших , величина по условию не принимает, и, следовательно вероятность его равна нулю.

2) Пусть Тогда событие достоверно, т.к. все возможные значения меньше , и, следовательно, вероятность его равно единице (входят в интервал ).

Следствие. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на оси , то справедливы следующие предельные соотношения:

3. График функции распределения

График расположен в полосе, ограниченной прямыми (первое свойство).

При возрастании в интервале , в котором заключены все возможные значения случайной величины, график «подымается вверх» (второе свойство).

При ординаты графика равны нулю; при ординаты графика равны единице (третье свойство).

Пример. Функция распределения непрерывной случайной величины задана таблицей

x	1	4	8	12	15
p	0,3	0,1	0,6	0	0
F(x)	0	0,3	0,4	1	1

График этой функции приведен на рис.2.

Рис. 2

Глава 11. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины

1. Определение плотности распределения

Непрерывную случайную величину можно задать также плотностью распределения вероятности (дифференциальной функции).

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называют функцию - первую производную от функции распределения

Из определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения.

Замечание. Для описания распределения вероятностей дискретной случайной величины плотность распределения неприменима.

2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал

Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее заданному интервалу. Вычисление основано на теореме.

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от до .



.

Доказательство. Используем соотношение

По формуле Ньютона-Лейбница,

.

Таким образом

.

Так как

то

.

Геометрически полученный результат можно истолковать так: вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью кривой распределения и прямой и

Пример. Задана плотность вероятности случайной величины

Найти вероятность того, что в результате испытания примет значение, принадлежащее интервалу (0,5; 1).

Решение. Искомая вероятность

3. Нахождение функции распределения по известной плотности распределения

Зная плотность распределения , можно найти функцию распределения по формуле

.

По определению Неравенство можно записать в виде двойного неравенства , следовательно,

Полагая в формуле

,

Имеем

или

Таким образом, зная плотность распределения , можно найти функцию распределения и обратно, по известной функции распределения может быть найдена плотность распределения по формуле

.

Пример. Найти функцию распределения по данной плотности распределения:

Построить график найденной функции.

Решение. Воспользуемся формулой

Если , то по условию, следовательно,

Если то по условию, следовательно,

Если то

Получили искомую функцию распределения

4. Свойства плотности распределения

1) Плотность распределения - неотрицательная функция:

Доказательство. Функция распределения неубывающая функция, следовательно, ее производная - неотрицательная.

График плотности распределения расположен либо над осью , либо на этой оси и ее называют кривой распределения.

2) Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от до равен единице:



Доказательство. Несобственный интеграл выражает вероятность события, состоящего в том, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу . Такое событие достоверно и вероятность его равна единице.

Геометрически это означает, что вся площадь, ограниченная осью и кривой распределения, равна единице.

В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , то

5. Вероятностный смысл плотности распределения

Пусть функция распределения непрерывно

й случайной величины .

По определению плотности распределения

.

Разность определяет вероятность того, что примет значение, принадлежащее интервалу

По аналогии с определением плотности массы в точке, принятой в физике, целесообразно рассматривать значение функции в точке как плотность вероятности в этой точке.

Из дифференциального исчисления известно, что приращение функции приближенно равно дифференциалу функции (главной части приращения функции), т.е.

,

.

Это означает, что вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , приближенно равна произведению плотности вероятности в точке на длину интервала .

Иначе, вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , приближенно равно площади прямоугольника с основанием и высотой .

6. Закон равномерного распределения вероятностей

На практике приходится сталкиваться с различными распределениями

непрерывных случайных величин. Плотности распределения непрерывных случайных величин называют также законами распределения. Часто встречаются, например, законы равномерного, нормального и показательного распределения.

Распределение вероятностей называют равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняется постоянной.

Пример. Ошибка при округлении отсчета до ближайшего целого деления на шкале измерительного прибора, проградуированного в некоторых единицах.

Найдем плотность равномерного распределения , считая, что все возможные значения случайной величины заключены в интервале , на котором функция сохраняет постоянные значения, равные , т.е.

По условию вне интервала . Найдем постоянную .

Так как, по условию все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , то должно выполняться соотношение

или

Отсюда

Итак, искомая плотность вероятности равномерного распределения

Глава 12. Нормальное распределение

1. Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Математическое ожидание

Пусть непрерывная случайная величина задана плотностью распределения на отрезке . Разобьём этот отрезок на частичных отрезков длиной и выберем в каждом из них произвольную точку . Определим математическое ожидание непрерывной случайной величины по аналогии с дискретной. Составим сумму произведений возможных значений на вероятности попадания их в интервал : .

Перейдя к пределу при стремлении к нулю длины наибольшего из частных отрезков, получим определенный интеграл

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины , возможные значения которой принадлежат отрезку , называют определенный интеграл

.

Если возможные значения принадлежат всей оси , то

.



При этом предполагается, что несобственный интеграл сходится абсолютно (конечен, ограничен), т.е. существует интеграл .

По аналогии с дисперсией дискретной величины определяется и дисперсия непрерывной величины.

Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения.

Если возможные значения принадлежат отрезку , то

.

Если возможные значения принадлежат всей числовой оси, то

.

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется, как и для дискретной величины, равенством

Замечание 1. Можно доказать, что свойства математического ожидания и дисперсии дискретных величин сохраняются и для непрерывных величин.

Замечание 2. Легко получить, что

.

Пример. Найти математическое ожидание и дисперсию непрерывной случайной величины , распределенной равномерно в интервале .

Решение. Найдем математическое ожидание по формуле

,

учитывая, что плотность равномерного распределения

:

Найдем дисперсию по формуле

2. Нормальное распределение

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной

случайной величины, которое описывается плотностью

Видим, что нормальное распределение определяется двумя параметрами: и .

Покажем, что вероятностный смысл этих параметров: есть

математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение нормального распределения.

а) По определению математического ожидания непрерывной случайной величины,

Для интегрирования вводим новую переменную Отсюда Новые пределы интегрирования остаются равными старым. Получим

В этом выражении первый интеграл равен нулю, т.к. под знаком интеграла нечетная функция. Второе из слагаемых равна , т.к. интеграл Пуассона

.



Следовательно, .

Математическое ожидание нормального распределения равно параметру распределения .

б) По определению дисперсии непрерывной случайной величины, учитывая, что , имеем

Введем новую переменную

Отсюда

При этом пределы интегрирования не меняются и получим

Интегрируя по частям, положив

Найдем

Итак, среднее квадратическое отклонение нормального распределения равна параметру распределения.

Замечание. Общим называют нормальное распределение с произвольными параметрами и .

Нормированным называют нормальное распределение с параметрами и Например, если - нормальная величина с параметрами и , то

- нормированная нормальная величина, причем Плотность нормированного распределения

Эта функция табулирована и приводится в приложениях учебников.

3. Нормальная кривая

График плотности нормального распределения называют нормальной

кривой (кривой Гаусса)

На рис.3 приведен график плотности нормального распределения вероятностей при значениях: и .

Рис. 3

Исследуем эту функцию методами дифференциального исчисления.

1. Функция определена на всей числовой оси .

2. При всех значениях функция принимает положительные значения, т.е. нормальная кривая расположена над осью .

3. Предел функции при неограниченном возрастании (по абсолютной величине ) равен нулю: т.е. ось служит горизонтальной асимптотой графика.

4. Исследуем функцию на экстремум. Найдем первую производную:

при при при

Следовательно, при функция имеет максимум, равный

5. График функции симметричен относительно прямой

6. Исследуем функцию на точки перегиба. Вторая производная

.

Легко видеть, что при и вторая производная равна нулю, и при переходе через эти точки она меняет знак ( в этих точках значение функции равно

4. Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой

Известно, что графики функций и имеют одинаковую форму.

1) Изменение величины параметра (математического ожидания) не изменяет формы нормальной кривой, а приводит лишь к ее сдвигу вдоль оси : вправо, если возрастает, и влево, если убывает.

На рис. 4 приведены кривые распределения Гаусса с параметрами: , (ряд 1) и , (ряд 2).

Рис. 4

2) Влияние параметра на форму кривой.

С возрастанием максимальная ордината нормальной кривой убывает, а сама кривая становится более пологой, т.е. сжимается к оси ; при убывании нормальная кривая становится более «островершинной» и растягивается в положительном направленеии оси

На рис. 5 представлены кривые Гаусса при разных значениях параметров: а = 50, 2, 5 и 15.

Рис. 5

Заметим, что при любых значениях параметров и площадь, ограниченная нормальной кривой и оси , остается равной единице. Рисунок показывает, как изменение параметра сказывается на форме нормальной кривой.

Вероятностный смысл среднеквадратического отклонения состоит в том, что оно характеризует рассеяние случайной величины вокруг ее математического ожидания.

При и нормальную кривую

называют нормированной. График нормированной кривой изображен на рис. 6, где (

Рис. 6



5. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины

Если известно, что случайная величина задана плотностью распределения , то вероятность того, что примет значение, принадлежащее интервалу , находится по формуле

.

Пусть случайная величина распределена по нормальному закону.

Тогда вероятность того, что примет значение, принадлежащее интервалу , равна

.

Преобразуем эту формулу так, чтобы можно было пользоваться таблицами нормального закона распределения. Введем переменную . Отсюда

.

Найдем новые пределы интегрирования: если

то

если , то Таким образом, имеем

=

Пользуясь функцией Лапласа

окончательно получим

(*)

Пример. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами: и Найти вероятность того, что примет значение, принадлежащее интервалу (, ).

Решение. По формуле (*):

По таблице Приложения (функция Лапласа), находим, что

Отсюда

6. Вычисление вероятности заданного отклонения

Требуется вычислить вероятность осуществления неравенства , где - заданное положительное число.

Заменим неравенство равносильным ему двойным неравенством

или

По формуле

Получим

Функция нечетная, поэтому Следовательно,

и

.



В случае будем иметь

Пример. Случайная величина распределена нормально с параметрами

и Найти вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше трех, т.е.

Решение. Будем пользоваться формулой

.

т.к. по таблице

Искомая вероятность

7. Правило трех сигм

Преобразуем формулу , положив .

.

Если и, следовательно, то

То есть, вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического отклонения будет меньше утроенного среднеквадратического отклонения, равна 0, 9973. Это означает, что лишь в 0, 27 % случаев такое отклонение может произойти.

Из принципа невозможности маловероятных событий можно считать, что такие события практически невозможными. В этом и состоит сущность правила трех сигм: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превысит утроенного среднего квадратического отклонения

На практике правило трех сигм применяется так: если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, но условие, указанное в приведенном правиле, выполняется, то есть основание предполагать, что изучаемая величина распределена нормально; в противном случае она не распределена нормально.

8. Понятие о теореме Ляпунова. Формулировка центральной предельной теоремы

Известно, что нормально распределенные случайные величины широко распространены на практике. Чем это объясняется? Ответ на этот вопрос дает теорема А.М. Ляпунова. Эта теорема называется центральной предельной. Если случайная величина представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то имеет распределение, близкое к нормальному.

9. Оценка отклонения теоретического распределения от нормального. Асимметрия и эксцесс

Эмпирическим называют распределение относительно частот.

Эмпирические распределения изучает математическая статистика.

Теоретическим называют распределение вероятностей.

При изучении распределений, отличных от нормального, возникает необходимость количественно оценить это различие. Параметрами, характеризующими различие распределения случайных чисел от нормального, являются асимметрия и эксцесс. Для нормального распределения эти характеристики равны нулю. Большие значения асимметрии и эксцесса указывают на значительное отклонения распределения от нормального.

Асимметрией теоретического распределения называют отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднего квадратического отклонения:

.

Асимметрия положительна, если «длинная часть» кривой распределения расположена справа от математического ожидания; асимметрия отрицательна, если «длинная часть» кривой распределения слева от математического ожидания.

Для оценки «крутости» т.е. большего или меньшего подъема кривой теоретического распределения по сравнению с нормальной кривой, пользуются характеристикой - эксцессом.

Эсцессом теоретического распределения называют характеристику, которая определяется равенством

Для нормального распределения следовательно Поэтому, если эксцесс некоторого распределения отличен от нуля, то кривая этого распределения отличается от нормальной кривой.: если эксцесс положительный, то кривая имеет более высокую и «острую» вершину, чем нормальная кривая; если эксцесс отрицательный, то сравниваемая кривая имеет более низкую и «плоскую» вершину, чем нормальная кривая. При этом предполагается, что нормальное и теоретическое распределения имеют одинаковые математические ожидания и дисперсии.

Глава 13. Показательное распределение

1. Определение показательного распределения

Показательным (экспоненциальным) называют распределение

вероятностей непрерывной случайной величины , которое определяется плотностью

где постоянная положительная величина.

Показательное распределение определяется одним параметром Примером непрерывной случайной величины, распределенной по показательному закону, служит время между появлениями двух последовательных событий простейшего потока.

Найдем функцию распределения показательного закона:

Получили,

.

На рис. 7а приведен график показательного распределения при .

Рис. 7а

На рис. 7б приведен график функции распределения показательного закона при .

Рис. 7б



2. Вероятность попадания в заданный интервал показательно распределенной случайной величины

Найдем вероятность попадания в интервал непрерывной случайной величины , которая распределена по показательному закону, заданному функцией распределения

Используя формулу

Учитывая, что

Получим

3. Числовые характеристики показательного распределения

Пусть непрерывная случайная величина распределена по

показательному закону

Найдем математическое ожидание

Интегрируя по частям по формуле

,

получим

.

Таким образом, математическое ожидание показательного

распределения равно обратной величине параметра

Найдем дисперсию

Интегрируя по частям первую слагаемую, получим

Следовательно,



Среднее квадратичекое отклонение

Получили:

Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение показательного распределения равны между собой.

Глава 14. Система двух случайных величин

1. Понятие о системе нескольких случайных величин

Случайные величины , возможные значения которых определяются одним числом, называются одномерными.

Случайные величины, возможные значения которых определяются двумя, тремя и многими переменными, называются мерными.

Для простоты будем изучать двумерные случайные величины

Например, длина и ширина некоторого объекта.

2. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины

Законом распределения дискретной двумерной случайной величины называют перечень возможных значений этой величины, т.е. пар чисел и их вероятностей . Обычно закон распределения задают в виде таблицы с двойным входом (по строке и столбцу) (табл.1).

Строки таблицы содержат все возможные значения составляющей , а столбцы - все возможные значения составляющей . В клетке, стоящей на пересечении столбца и строки указывается вероятность того. что двумерная случайная величина примет значение .

Так как события образуют полную группу, то сумма вероятностей, помещенных во всех клетках таблицы, равна единице.

Зная закон распределения двумерной дискретной случайной величины, можно найти закон распределения каждой из составляющей. Например, события …, (первый столбец) - несовместны, поэтому вероятность того, что примет значение по теореме сложения такова:

++…+

То есть, вероятность того, что примет значение , равна сумме вероятностей столбца . Аналогично можно найти вероятности для всех строк и столбцов.

Таблица 1

Y	X
			……		….
..
..

3. Функция распределения двумерных случайных величин

Рассмотрим двумерную случайную величину (безразлично, дискретную или непрерывную). Пусть - пара действительных чисел. Вероятность события, состоящего в том, что примет значение, меньше , и при этом примет значение, меньше , обозначим через При изменении будут изменяться и т.е. есть функция от и .

Функцией распределения двумерной случайной величины называют функцию , определенную для каждой пары чисел вероятность того, что примет значение, меньше и при этом примет значение, меньше :

Геометрически это равенство можно истолковать так: есть вероятность того, что случайная точка попадает в бесконечный квадрант с вершиной расположенной левее и ниже этой вершины.

Пример. Найти вероятность того, что в результате испытания составляющая двумерной случайной величины примет значениеи при это составляющая примет значение , если известна функция распределения системы

Решение. По определению функции распределения двумерной случайной величины,

Положив , получим искомую вероятность



4. Свойства функции распределения двумерной случайной величии

Св-во 1. Значения функции распределения удовлетворяют неравенству

Доказательство. Свойство следует из определения функции распределения как вероятности: вероятность - число неотрицательное, не превышающее единицу.

Св-во 2. есть неубывающая функция по каждому аргументу, т.е.

если

если

Доказательство. Докажем, что - неубывающая функция по аргументу . Событие, состоящее в том, что составляющая примет значение, меньше и при этом составляющая можно подразделить на следующие два несовместных события:

- примет значение, меншее и при этом с вероятностью

- примет значение, удовлетворяющее неравенству и при этом с вероятностью

По теореме сложения,

Отсюда

Или

Так как любая вероятноть есть число неотрицательное, поэтому

или что и требовалось доказать.

Свойство становиться наглядным, если воспользоваться геометрическим истолкованием функции распределения как вероятности попадания случайной точки в бесконечный квадрант с вершиной При возрастании правая граница этого квадранта сдвигается вправо; при этом вероятность попадания случайной точки в “новый” квадрант, не может уменьшиться.

Аналогично доказывается, что есть неубывающая функция по аргументу .

Св-во 3. Имеют место предельные соотношения:

1) 2) 3) 1)

Доказательство. 1) есть вероятность события но такое события невозможно, поскольку невозможно событие следовательно, вероятность этого события равна нулю. 2) Событие невозможно, поэтому 3) Событие и невозможно, поэтому 4) Событие и достоверно, следовательно,

Св-во 4. а) При функция распределения системы становится функцией распределения составляющей

б) При функция распределения системы становится функцией распределения составляющей

Доказательство. а) Так как событие достоверно, то

определяет вероятность события т.е. представляет собой функцию распределения составляющей

б) Доказывается аналогично.

5. Вероятность попадания случайной точки в полуполосу

Используя функцию распределения системы случайных величин и , легко найти вероятность того, что в результате испытания случайная точка попадает в полуполосу и или в полуполосу и .

Вычитая из вероятности попадания случайной точки в квадрант с вершиной вероятность попадания точки в квадрант с вершиной , получим

Аналогично имеем

Таким образом, вероятность попадания случайной точки в полуполосу равна приращению функции распределения по одному из аргументов.

6. Вероятность попадания точки в прямоугольник

Рассмотрим прямоугольник ABCD со сторонами, параллельными осям.

Пусть уравнения сторон таковы:

Найдем вероятность попадания случайной точки в этот прямоугольник. Искомую вероятность можно найти вычитая из вероятности попадания случайной точки в полуполосу АВ, равную

, вероятность попадания точки в полуполосу СD, равную

7. Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины (двумерная плотность вероятности)

Кроме функции распределения, непрерывную двумерную величину можно также задать, пользуясь плотностью распределения. Будем предполагать, что функция распределения всюду непрерывна и имеет (за исключением, быть может, конечного числа точек) непрерывную частную производную второго порядка.

Плотностью совместного распределения вероятностей двумерной непрерывной случайной величины называют вторую смешанную частную производную от функции распределения:

Геометрически эту функцию можно истолковать как поверхность, которую

называют поверхностью распределения.

Пример. Найти плотность совместного распределения системы случайных величин по известной функции распределения

Найдем частную производную по от функции распределения:

От полученного результата найдем производную по и найдем искомую плотность совместного распределения:



8. Нахождение функции распределения системы по известной плотности распределения

Зная плотность совместного распределения , можно найти функцию распределения по формуле

,

что непосредственно следует из определения плотности распределения двумерной непрерывной случайной величины .

9. Вероятностный смысл двумерной плотности вероятности

Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник ABCD равна

Обозначим для краткости левую часть равенства через и применим к правой части теорему Лагранжа

()

где

Отсюда

или (*)

Приняв, что равна площади прямоугольника , заключаем, что есть отношение вероятности попадания случайной точки в прямоугольник к площади этого прямоугольника.

Перейдя в равенстве (*) к пределу при , когда , получим .

Следовательно, функцию можно рассматривать как предел отношения вероятности попадания случайной точки в прямоугольник (со сторонами и ) к площади этого прямоугольника, когда обе стороны прямоугольника стремятся к нулю (плотность вероятности в точке).

10. Вероятность попадания случайной точки в произвольную область

Воспользуемся формулой определения вероятности точки в прямоугольник со сторонами и

.

Тогда вероятность попадания точки в произвольную область равна сумме вероятностей попаданий точки в элементарные области:

Переходя к пределу при и получим



. (*)

Геометрически равенство (*) означает: вероятность попадания случайной точки в область равна объему тела, ограниченного сверху поверхностью основанием которого служит проекция этой поверхности на плоскость

Пример. Плотность распределения двумерной случайной величины

Найти вероятность попадания случайной точки в прямоугольник с вершинами

Решение. Искомая вероятность

11. Свойства двумерной плотности вероятности

Св-во 1. Двумерная плотность вероятности неотрицательна:

Доказательство. Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник со сторонами и есть неотрицательное число; площадь этого прямоугольника - положительное число. Следовательно, отношение этих двух чисел и их предел при и , есть неотрицательное число, т.е.

Св-во 2. Двойной несобственный интеграл с бесконечными пределами от двумерной плотности равен единице:

Доказательство. Бесконечные пределы интегрирования указывают, что областью интегрирования служит вся плоскость и событие, состоящее, что случайная точка попадает на эту плоскость , достоверно и вероятность этого события равна единице, т.е.

12. Отыскание плотностей вероятностей составляющих двумерной случайной величины

Пусть известна плотность совместного распределения вероятностей системы двух случайных величин Найдем плотности распределения каждой из составляющих.

Найдем сначала плотность распределения составляющей Обозначим через функцию распределения составляющей По определению

Принимая во внимание, что

и

найдем

.

Продифференцируем обе части по и получим

.

Аналогично,

Итак, плотность распределения одной из составляющих равна несобственному интегралу с бесконечными пределами от плотности совместного распределения системы, причем переменная интегрирования соответствует другой составляющей.

Пример. Двумерная случайная величина задана плотностью совместного распределения

Найти плотности распределения составляющих и .

Решение. Найдем плотность распределения составляющей по формуле

Получили,

Аналогично, используя формулу

,

найдем

Убедиться самостоятельно, что

и



13. Условные законы распределения составляющих системы дискретных случайных величин

Известно, что если события и зависимы, то

.

Аналогичное положение имеет место и для случайных величин.

Введем понятие условного распределения.

Условным распределением составляющей при называют совокупность условных вероятностей …,вычисленных при предположении, что событие ( имеет одно и то же значение при всех значениях ) уже наступило. Аналогично определяется условное распределение составляющей .

Замечание. Сумма вероятностей условного распределения равна единице.

Действительно, так как

то

Аналогично,



14. Условные законы распределения составляющих системы непрерывных случайных величин

Пусть - непрерывная двумерная случайная величина.

Условной плотностью распределения составляющих при данном значении называют отношение плотности совместного распределения системы к плотности распределения составляющей

Аналогично определяется условная плотность составляющей при данном значении

Если известна плотность совместного распределения , то условные плотности составляющих могут быть найдены по формулам:

Если известны законы распределения составляющих, то можем найти закон распределения системы случайных величин:

Как и любая плотность распределения, условные плотности обладают свойствами:

15. Условное математическое ожидание

Важной характеристикой условного распределения вероятностей является условное математическое ожидание.

Условным математическим ожиданием дискретной случайной величины при (определенное возможное значение ) называют произведение возможных значений на их условные вероятности:

Для непрерывных величин

где - условная плотность случайной величины при .

Условное математическое ожидание есть функция от



Ее называют функцией регрессии на .

Аналогично определяются условное математическое ожидание случайной величины и функция регрессии на

Пример. Дискретная двумерная случайная величина задана табл. 2.

Y	X
	0,15 0,30	0,06 0,10	0,25 0,03	0,04 0,07

Найти условное математическое ожидание составляющей при

Решение. Найдем складывая вероятности первого столбца:

Найдем условное распределение вероятностей величины при

Найдем искомое условное математическое ожидание по формуле

16. Зависимые и независимые случайные величины

Ранее мы назвали две случайные величины независимыми, если закон распределения одной из них не зависит то того, какие возможные значения приняла другая величина. Или, то же самое: условные распределения независимых величин равны их безусловным распределениям.

Теорема. Для того, чтобы случайные величины и были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы была равна произведению функций распределения составляющих:

Доказательство. а) Необходимость. Пусть и независимы. Тогда события и то же независимы. Следовательно,

Или

б) Достаточность. Пусть



Отсюда

т.е. вероятность совмещения событий и равна произведению этих событий. Следовательно, случайные величины и независимы.

Следствие. Для того чтобы непрерывные случайные величины и были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы плотность совместного распределения системы была равна произведению плотностей распределений составляющих:

Доказательство. а) Необходимость. Пусть и независимые непрерывные случайные величины. Тогда на основании предыдущей теоремы

Дифференцируя это равенство по , затем по , получим

б) Достаточность. Пусть



Интегрируя это равенство по и по , получим

или

Отсюда заключаем, что и независимы.

17. Числовые характеристики систем двух случайных величин. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции

Для описания системы двух случайных величин кроме математических ожиданий и дисперсий составляющих используют и другие характеристики; к их числу относятся корреляционный момент и коэффициент корреляции.

Корреляционным моментом случайных величин и называют математическое ожидание произведения отклонений эти величин:

,

а для непрерывных величин - формулу

Корреляционный момент служит для характеристики связи между величинами и . Будет показано, что корреляционный момент равен нулю, если и независимы; следовательно, если корреляционный момент не равен нулю, то и - зависимые случайные величины.

Замечание. Легко убедиться, что корреляционный момент можно записать в виде

.

Теорема 1. Корреляционный момент двух независимых случайных величин и равен нулю.

Доказательство. Так как и независимые случайные величины, то и их отклонения и также независимы. Находим математическое ожидание произведения отклонений, равное произведению математических ожиданий отклонений:

т.к. математические ожидания отклонений равны нулю.

Из определения корреляционного момента следует, что он имеет размерность, равную произведению размерностей величин и . По этой причине для одних и тех же двух величин величина корреляционного момента имеет различные значения в зависимости от того, в каких единицах были измерены величины.

Например, если и были измерены в сантиметрах и ; если измерить и в миллиметрах, то . Чтобы устранить этот недостаток вводят новую числовую характеристику - коэффициент корреляции.

...