Характеристики математических функций

Размещено на http://www.allbest.ru/

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. МЕТОДЫ И ПОДХОДЫ ФУНКЦИИ

1.1 Различные подходы к определению понятия функции

1.2 Методика введения понятий: функции, аргумента, области определения

ГЛАВА 2. ФУНКЦИИ ИСТОЧНИКА

2.1 Методика изучения линейной, квадратной и кубической функции

2.2 Уравнение параболического типа

2.3 Метод разделения переменных функций

2.4 Достаточные условия экстремума функции

ГЛАВА 3. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

3.1 Функция и её свойства

3.2 Способы задания функции

3.3 Виды функций и их свойства

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Начиная с XVII в. одним из важнейших понятий является понятие функции. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира. Идея функциональной зависимости восходит к древности, она содержится уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур.

Те вавилонские ученые, которые 4-5 тысяч лет назад нашли для площади S круга радиусом r формулу S=3r2 (грубо приближенную), тем самым установили, пусть и не сознательно, что площадь круга является функцией от его радиуса. Таблицы квадратов и кубов чисел, также применявшиеся вавилонянами, представляют собой задания функции.

Однако явное и вполне сознательное применение понятия функции и систематическое изучение функциональной зависимости берут свое начало в XVII в. в связи с проникновением в математику идеи переменных. В “Геометрии” Декарта и в работах Ферма, Ньютона и Лейбница понятие функции носило по существу интуитивный характер и было связано либо с геометрическими, либо с механическими представлениями: ординаты точек кривых - функции от абсцисс (х); путь и скорость - функции от времени (t) и тому подобное.

Четкого представления понятия функции в XVII в. еще не было, путь к первому такому определению проложил Декарт, который систематически рассматривал в своей “Геометрии” лишь те кривые, которые можно точно представить с помощью уравнений, притом преимущественно алгебраических. Постепенно понятие функции стало отождествляться таким образом с понятием аналитического выражения - формулы.

Слово “функция” (от латинского functio - совершение, выполнение) Лейбниц употреблял с 1673 г. в смысле роли (величина, выполняющая ту или иную функцию). Как термин в нашем смысле выражение “функция от х” стало употребляться Лейбницем и И.Бернулли; начиная с 1698 г. Лейбниц ввел также термины “переменная” и “константа” (постоянная). Для обозначения произвольной функции от х Иоганн Бернулли применял знак j х, называя j характеристикой функции, а также буквы х или e; Лейбниц употреблял х1, х2 вместо современных f1(x), f2(x). Эйлер обозначал через f : х, f : (x + y) то, что мы ныне обозначаем через f(x), f (x + y). Наряду с j Эйлер предлагает пользоваться и буквами F, Y и прочими. Даламбер делает шаг вперед на пути к современным обозначениям, отбрасывая эйлерово двоеточие; он пишет, например, j t, j (t + s).

В “Дифференциальном исчислении”, вышедшем в свет в 1755 г, Л. Эйлер дает общее определение функции: “Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых”. “Это наименование, - продолжает далее Эйлер, - имеет чрезвычайно широкий характер; оно охватывает все способы, какими одно количество определяется с помощью других”. На основе этого определения Эйлера французский математик С. Ф. Лакруа в своем “Трактате по дифференциальному и интегральному исчислению”, опубликованном в 1797 г., смог записать следующее: “Всякое количество, значение которого зависит от одного или многих других количеств, называется функцией этих последних независимо от того, известно или нет, какие операции нужно применить, чтобы перейти от них к первому”.

Большой вклад в решение спора Эйлера, Даламбера, Д. Бернулли и других ученых XVIII в. по поводу того, что следует понимать под функцией, внес французский математик Жан Батист Жозеф Фурье (1768-1830), занимавшийся в основном математической физикой. В представленных им в Парижскую Академию наук в 1807 и 1811 гг., работах по теории распространения тепла в твердом теле Фурье привел и первые примеры функций, которые заданы на различных участках различными аналитическими выражениями.

Из трудов Фурье явствовало, что любая кривая независимо от того, из скольких и каких разнородных частей она составлена, может быть представлена в виде единого аналитического выражения и что имеются также прерывные кривые, изображаемые аналитическим выражением. В своем “Курсе алгебраического анализа”, опубликованном в 1821 г., французский математик О.Коши обосновал выводы Фурье. Таким образом, на известном этапе развития физики и математики стало ясно, что приходится пользоваться и такими функциями, для определения которых очень сложно или даже невозможно ограничиться одним лишь аналитическим аппаратом. Последний стал тормозить требуемое математикой и естествознанием расширение понятия функции.

В 1834 г. в работе “Об исчезании тригонометрических строк” Н. И. Лобачевский, развивая вышеупомянутое эйлеровское определение функции в 1755 г., писал: “Общее понятие требует, чтобы функцией от х называть число, которое дается для каждого х и вместе с х постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа и выбирать одно из них; или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной.

Таким образом, примерно в середине XIX в. после длительной борьбы мнений понятие функции освободилось от уз аналитического выражения, от единовластия математической формулы. Главный упор в новом общем определении понятия функции делается на идею соответствия.

Во второй половине XIX в. после создания теории множеств в понятие функции, помимо идеи соответствия, была включена и идея множества. Таким образом, в полном своем объеме общее определение понятия функции формулируется следующим образом: если каждому элементу х множества А поставлен в соответствие некоторый определенный элемент у множества В, то говорят, что на множестве А задана функция у = f (х), или что множество А отображено на множество В. В первом случае элементы х множества А называют значениями аргумента, а элементы у множества В - значениями функции; во втором случае х - прообразы, у - образы. В современном смысле рассматривают функции, определенные для множества значений х, которые, возможно, и не заполняют отрезка a Ј x Ј b, о котором говорится в определении Дирихле. Достаточно указать, например, на функцию-факториал y = n, заданную на множестве натуральных чисел. Общее понятие функции применимо, конечно, не только к величинам и числам, но и к другим математическим объектам, например к геометрическим фигурам. При любом геометрическом преобразовании (отображении) мы имеем дело с функцией.

Прослеживая исторический путь развития понятия функции невольно приходишь к мысли о том, что эволюция еще далеко не закончена и, вероятно, никогда не закончится, как никогда не закончится и эволюция математики в целом. Новые открытия и запросы естествознания и других наук приведут к новым расширениям понятия функции и других математических понятий. Математика - незавершенная наука, она развивалась на протяжении тысячелетий, развивается в нашу эпоху и будет развиваться в дальнейшем.

Данная курсовая работа посвящена изучению функций в курсе математики. В ней даётся исторический экскурс определения понятия функции, рассматриваются различные подходы к введению понятия функции. Отдельно рассматриваются общие вопросы методики введения понятий: независимой и зависимой переменной, функциональной зависимости, аргумента, функции, области определения функции. Приводятся примеры.

Основная часть курсовой работы направлена на рассмотрение вопросов методики изучения в курсах математических функций, образующих классы, которые обладают общностью аналитического способа задания функций, областей применения. Освоение индивидуально заданной функции происходит в сопоставлении черт, специфических для неё, с общим представлением о функции.

Целью данной курсовой работы, является изучение и анализ:

1. Методов и подходов функций.

2. Функций источника.

3. Основных характеристик математических функций.

ГЛАВА 1. МЕТОДЫ И ПОДХОДЫ ФУНКЦИИ

математический кубическая функция экстремум

1.1 Различные подходы к определению понятия функции

Обоснование функциональной линии как ведущей для школьного курса математики -- одно из крупнейших достижений современной методики. Однако реализация этого положения может быть проведена многими различными путями; многообразие путей вызвано фундаментальностью самого понятия функции.

Для того чтобы составить представление об этом многообразии, сравним две наиболее резко различающиеся методические трактовки этого понятия; первую мы назовем генетической, а вторую -- логической.

Генетическая трактовка понятия функции основана на разработке и методическом освоении основных черт, вошедших в понятие функции до середины XIX в. Наиболее существенными понятиями, которые при этой трактовке входят в систему функциональных представлений, служат переменная величина, функциональная зависимость переменных величин, формула (выражающая одну переменную через некоторую комбинацию других переменных), декартова система координат на плоскости.

Генетическое развертывание понятия функции обладает рядом достоинств. В нем подчеркивается «динамический» характер понятия функциональной зависимости, легко выявляется модельный аспект понятия функции относительно изучения явлений природы. Такая трактовка естественно увязывается с остальным содержанием курса алгебры, поскольку большинство функций, используемых в нем, выражаются аналитически или таблично.

Генетическая трактовка понятия функции содержит также черты, которые следует рассматривать как ограничительные. Одним из очень существенных ограничений является то, что переменная при таком подходе всегда неявно (или даже явно) предполагается пробегающей непрерывный ряд числовых значений. Поэтому в значительной степени понятие связывается только с числовыми функциями одного числового аргумента (определенными на числовых промежутках). В обучении приходится, используя и развивая функциональные представления, постоянно выходить за пределы его первоначального описания.

Логическая трактовка понятия функции исходит из положения о том, что строить обучение функциональным представлениям следует на основе методического анализа понятия функции в рамках понятия алгебраической системы. Функция при таком подходе выступает в виде отношения специального вида между двумя множествами, удовлетворяющего условию функциональности. Начальным этапом изучения понятия функции становится вывод его из понятия отношения.

Реализация логического подхода вызывает необходимость иллюстрировать понятие функции при помощи разнообразных средств; язык школьной математики при этом обогащается. Помимо формул и таблиц, здесь находят свое место задание функции стрелками, перечислением пар, использование не только числового, но и геометрического материала; геометрическое преобразование при таком подходе оказывается возможным рассматривать как функцию. Обобщенность возникающего понятия и вытекающие отсюда возможности установления разнообразных связей в обучении математике -- основные достоинства такой трактовки.

Однако выработанное на этом пути общее понятие оказывается в дальнейшем связанным главным образом с числовыми функциями одного числового аргумента, т. е. с той областью, в которой оно гораздо проще формируется на генетической основе.

Таким образом, если генетический подход оказывается недостаточным для формирования функции как обобщенного понятия, то логический обнаруживает определенную избыточность. Отметим, что различия в трактовках функции проявляются с наибольшей резкостью при введении этого понятия. В дальнейшем изучении функциональной линии различия постепенно стираются, поскольку изучается в курсах алгебры и начал анализа не само понятие функции, а в основном конкретно заданные функции и классы функций, их разнообразные приложения в задачах естествознания и общественного производства.

В современном курсе математики в итоге длительных методических поисков в качестве ведущего был принят генетический подход к понятию функции. Одновременно учитывается все ценное, что можно извлечь из логического подхода. Исходя из этого при формировании понятий и представлений, методов и приемов в составе функциональной линии система обучения строится так, чтобы внимание учащихся сосредоточивалось, во-первых, на выделенных и достаточно четко разграниченных представлениях, связанных с функцией, и, во-вторых, на установлении их взаимодействия при развертывании учебного материала. Иными словами, в обучении должна быть выделена система компонентов понятия функции и установлена связь между ними. В эту систему входят такие компоненты:

- представление о функциональной зависимости переменных

величин в реальных процессах и в математике;

- представление о функции как о соответствии;

- построение и использование графиков функций, исследование функций;

- вычисление значений функций, определенных различными

способами.

В процессе изучения алгебры все указанные компоненты присутствуют при любом подходе к понятию функции, но акцент может быть сделан на одном из них. Как только что мы отметили, функциональный компонент является основой введения и изучения понятия функции. На этой основе при организации работы над определением вводятся и другие компоненты, проявляющиеся в различных способах задания функциональной зависимости и ее графического представления.

Рассмотрим теперь взаимодействие компонентов на примере, относящемся к формированию прикладных умений и навыков.

Пример. С мороза в комнату внесли банку со льдом и стали наблюдать за изменением температуры вещества в банке: лед постепенно таял, когда он растаял весь, температура воды стала повышаться, пока не сравнялась с температурой в комнате. На рисунке изображен график зависимости температуры от времени.

Рисунок 1

В этом примере необходимо использовать все компоненты, кроме последнего, вычислительного компонента. Процесс с самого начала представлен как функциональная зависимость. Понятие функции, в системе формирования, которого должны присутствовать такие задания, сразу выступает в курсе математики как определённая математическая модель, что и является мотивировкой для его углублённого изучения.

1.2 Методика введения понятий: функции, аргумента, области определения

Введение понятия функции -- длительный процесс, завершающийся формированием представлений о всех компонентах этого понятия в их взаимной связи и о роли, играемой им в математике и в ее приложениях. Этот процесс ведется по трем основным направлениям:

- упорядочение имеющихся представлений о функции, развертывание системы понятий, характерных для функциональной линии (способы задания и общие свойства функций, графическое

истолкование области определения, области значений, возрастания и т. д. на основе метода координат);

- глубокое изучение отдельных функций и их классов;

- расширение области приложений алгебры за счет включения в нее идеи функции и разветвленной системы действий с функцией.

В реализации этого направления значительное место отводится усвоению важного представления, входящего в понятие функции,-- однозначности соответствия аргумента и определенного по нему значения функции. Для рассмотрения этого вопроса привлекаются различные способы задания функции.

Чаще других в математике и ее приложениях применяется задание функции формулой. Все другие способы играют подчиненную роль. Именно поэтому после первого знакомства с несколькими такими способами основное внимание в обучении уделяется тем функциям и классам, которые имеют стандартную алгебраическую форму их выражения. Однако при введении понятия сопоставление разных способов задания функции выполняет важную роль. Во-первых, оно связано с практической потребностью: и таблицы, и графики, как правило, служат для удобного в определенных обстоятельствах представления функции, имеющей аналитическую форму записи. Во-вторых, оно важно для усвоения всего многообразия аспектов понятия функции. Формула выражает функцию лишь будучи включенной в соответствующую систему представлений и операций, а эта система такова, что различные компоненты понятия функции могут быть отображены наиболее естественно различными средствами.

Использование перевода задания функции из одной формы представления в другую -- необходимый методический прием при введении понятия функции.

Реализация этого приема состоит в использовании системы заданий, в которых представлены все случаи такого перевода. Если ограничиться основными способами представления функции -- формулой, графиком, таблицей, то получится 6 типов упражнений, при которых форма представления меняется, и 3 -- при которых она остается такой же.

Пример. Площадь квадрата зависит от длины его стороны. Пусть сторона квадрата равна a см, а его площадь равна S см2.

Для каждого значения переменной a можно найти соответствующее значение переменной S.

Так, если a = 3, то S = 32 = 9; если a = 15, то S = 152 = 225; если a = 0,4, то S = 0,42 = 0,16.

Зависимость переменной S от переменной a выражается формулой

S = a2 (по смыслу задачи a>0).

Затем дается первое определение зависимой и независимой переменных:

“Переменную a, значения которой выбираются произвольно, называют независимой переменной, а переменную S, значения которой определяются выбранными значениями a, - зависимой переменной”.

Пример. На рисунке изображен график температуры воздуха в течении суток.



Рисунок 2 График температуры воздуха в течении суток

С помощью этого графика для каждого момента времени t (в часах), где 0 Ј t Ј 24, можно найти соответствующую температуру p (в градусах Цельсия).

Например,

если t = 6, то p = -2;

если t = 12, то p = 2;

если t = 17, то p = 3;

Здесь t является независимой переменной, а p - зависимой переменной.

Пример. Стоимость проезда в пригородном поезде зависит от номера зоны, к которой относится станция. Эта зависимость показана в таблице (буквой n обозначен номер зоны, а буквой m - соответствующая стоимость проезда в тенге):

Рисунок 3

По этой таблице для каждого значения n, где n = 1, 2,..., 9, можно найти соответствующее значение m. Так,

если n = 2, то m = 1.5;

если n = 6, то m = 4;

если n = 9, то m = 8.5;

В этом случае n является независимой переменной, а m - зависимой переменной.”

Обилие примеров, призванных проиллюстрировать понятие функции, объясняется тем фактом, что проводя аналогии между различными примерами, учащиеся интуитивно нащупывают суть этого понятия, строят догадку относительно функциональных зависимостей в быту и в природе, и получают ее подтверждение в последующих примерах. Второй не менее важной причиной является то, что каждый из этих примеров содержит функцию, заданную одним из возможных способов. В первом примере она задана аналитически, во втором - графически, в третьем это таблица. Это не случайность, разбирая примеры вместе с учителем, дети сразу привыкают к различным способам задания функций. И когда преподаватель начнет рассказывать параграф о способах задания функций, ученикам будет гораздо легче осознать новый материал, потому что для них он не будет абсолютно новым - они уже сталкивались с этим ранее. Далее дается само определение функции, вводятся термины аргумент и значение функции.“В рассмотренных примерах каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной. Такую зависимость одной переменной от другой называют функциональной зависимостью или функцией.

Независимую переменную иначе называют аргументом, а о зависимой переменной говорят, что она является функцией от этого аргумента. Так, площадь квадрата является функцией от длины его стороны; путь, пройденный автомобилем с постоянной скоростью, является функцией от времени движения. Значения зависимой переменной называют значениями функции.

Все значения которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции.”

Так на практике реализуется индуктивный подход к изучению функций в школе. Альтернативой ему служит дедуктивный подход, который, хотя и применяется реже, имеет целый ряд положительных аспектов, которые и стали причиной его применения в школе. Для этого подхода характерно первоначальное, полное и сжатое изложение учебного материала, пусть даже малопонятного при первом прочтении, и дальнейшая углубленная проработка всех примеров, терминов и определений. Такой подход к изучению функций и не только их позволяет учащимся самостоятельно попытаться проследить логические связи в излагаемом материале, резко увеличивает интенсивность мыслительной деятельности, способствует более активному и глубокому запоминанию. Вот как выглядит изложение той же темы “Понятие функции” в соответствии с дедуктивным подходом:

1. Зависимости одной переменной от другой называют функциональными зависимостями.

2. Зависимость переменной у от переменной х называют функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение у. При этом используют запись у = f (х).

3. Переменную х называют независимой переменной или аргументом, а переменную у - зависимой переменной. Говорят, что у является функцией от х.

4. Значение у, соответствующее заданному значению х, называют значением функции.

5. Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции; все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют множество значений функции.

6. Для функции f приняты обозначения: D (f) -область определения функции, E (f) - множество значений функции, f (х0) - значение функции в точке х0.

7. Если D (f) 1R и E (f) 1R, то функцию называют числовой.

8. Элементы множества D (f) также называют значениями аргумента, а соответствующие им элементы E (f) - значениями функции.

9. Если функция задана формулой и область определения функции не указана, то считают, что область определения состоит из всех значений независимой переменной, при которых эта формула имеет смысл.

10. Графиком функции называют множество всех точек, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции.

ГЛАВА 2. ФУНКЦИИ ИСТОЧНИКА

2.1 Методика изучения линейной, квадратной и кубической функции

Освоение индивидуально заданной функции происходит в сопоставлении черт, специфических для неё, с общим представлением о функции непосредственно, без выделения промежуточных звеньев. Однако длительность периода независимого рассмотрения каждой функции незначительна. Для функций, входящих в класс, изучение происходит по более сложной схеме, поскольку в нём выделяются новые аспекты: изучение данной функции как члена класса и изучение свойств всего класса на примере «типичной» функции этого класса.

Типичный и одновременно важнейший для математики класс функций -- линейные функции, которые мы рассмотрим с точки зрения изучения характерных для этого класса свойств и представлений, формируемых в курсе алгебры.

Первоначальное представление о линейной функции выделяется из рассмотрения задачи, обычно связанной с равномерным прямолинейным движением, а также при построении графика некоторой линейной функции. Рассмотрим второй из этих источников. Основная мысль, которую мы попытаемся обосновать, состоит в том, что рассмотрение графика отдельно взятой линейной функции не может привести к формированию представлений об основных свойствах графиков всех линейных функций.

Первый способ. Использование «загущения» точек на графике. Предполагается следующая последовательность действий по этому приему:

а) нанесение нескольких точек;

б) наблюдение -- все построенные точки расположены на одной прямой; проведение этой прямой;

в) проверка: берем произвольное значение аргумента и вычисляем по нему значение функции; наносим точку на координатную плоскость -- она принадлежит построенной прямой. Отсюда делается вывод о графике данной линейной функции.

Этот способ безусловно может привести к пониманию того, что график и любой линейной функции -- прямая, т. е. к выделению некоторого общего свойства класса линейных функций. Однако последовательное проведение приема требует большого времени и не может быть проделано более нескольких раз. Поэтому общее свойство будет при этом формироваться на основе изолированных примеров.

Второй способ. По двум точкам. Этот способ уже предполагает знание соответствующего свойства графиков линейных функций. Выявления новых свойств здесь не происходит, поскольку внимание, как и при первом способе, сосредоточивается на конкретной функции из класса. Заметим, что в обучении происходит последовательная смена этих способов: когда общее свойство графиков усвоено (при рассмотрении первого способа), начинают применять второй -- он экономнее и обоснован геометрически, поскольку через две точки проходит одна и только одна прямая.

Для того чтобы изучить класс линейных функций в совокупности его общих свойств, необходимо поставить новую для учащихся познавательную задачу: исследовать класс функций у=kх+b в зависимости от параметров, установить геометрический смысл параметров. Эта задача возникает сразу же вслед за введением понятия функции. Наиболее естественный прием, который может быть применен, состоит в рассмотрении одновременно нескольких функций, у которых один из параметров изменяется, а другой остается постоянным. Простейшая система, реализующая этот прием, состоит из четырех заданий с их последующим анализом и установлением связей между ними.

Графики функций:

у=0,5x; y=0,5x+0,5; y=1,5x; у=1,5x+0,5 (2.1)

Основная часть работы начинается после построения графиков. Их нужно сравнить, обращая внимание на особенности графиков в зависимости от числовых значений коэффициентов. Методика выяснения геометрического смысла коэффициентов при переменной

Следует обратить внимание на то, что графики (а) и (б) образуют с осью абсцисс одинаковые углы, это же имеет место и для графиков (в) и (г). Кроме того, графики (а) и (б) образуют с осью абсцисс меньшие углы, чем (в) и (г). С другой стороны, коэффициенты при переменной в формуле для первой и второй функций одинаковы и меньше, чем соответствующие коэффициенты у третьей и четвертой функций. Можно после этого сформулировать вывод о зависимости рассмотренного угла от коэффициента, ввести термин «угловой коэффициент» и привести несколько закрепляющих упражнений.

Пример закрепляющего упражнения: на одном и том же чертеже изображены графики функций:

у =3x+2; у=3/4x+2 (2.2)

Построить на этом же чертеже графики функций

у = 3х--1; у = 3/4х -- 1.

Если параметры, определяющие класс функций, имеют ясный геометрический смысл, то описанный прием изучения дает достаточно полное представление об этом классе. Например, к изучению класса квадратичных функций привлекается прием, основанный на преобразовании выражения, задающего функцию, к ввиду, а (х -- b)2 + с, использовании геометрических преобразований для построения графика произвольной квадратичной функции из параболы стандартного положения -- графика функции у=ах2, а?0. Квадратичная функция вводится и изучается в тесной связи с квадратными уравнениями и неравенствами.

Первой из этого класса функций, в значительной степени еще вне изучения собственного класса, рассматривается функция у=х2. Свойства этой функции во многом отличаются от рассмотренного ранее случая линейных функций.

Другое отличие состоит в том, что характер изменения значений функции у=х2 неравномерный: на одних участках она растет быстрее, на других -- медленнее. Эта особенность выявляется при построении графика, причем целесообразно рассмотреть два графика: один -- в крупном масштабе на промежутке, -1?x?1, другой--в мелком масштабе на промежутке, например, -3?х?3. Построение можно вести описанным выше методом загущения. Важно отметить свойство параболы - симметричность относительно оси абсцисс; в дальнейшем это свойство приведет к рассмотрению класса четных функций, причем именно функция у = х2 будет ведущим примером функции этого класса.

Наиболее существенное применение, эта функция имеет при рассмотрении понятия иррационального числа. Первый пример иррационального числа (-v2) может быть введен различными способами, но независимо от этого необходимо объяснить его связь с графическим методом решения уравнения х2=2.

Изучение класса квадратичных функций начинается с изучения функций вида у=ах2; при этом выясняется геометрический смысл коэффициента а. Далее вводится более широкий класс функций, имеющий вид у=ах2+с. И здесь также коэффициент с получает ясную геометрическую интерпретацию, подойти к которой можно либо явно используя понятие параллельного переноса вдоль оси ординат, либо независимым рассуждением.

Пример. Задан график функции у=х2+1.

При заданном значении аргумента х0 значения функции у=х2+1 на одно и то же число, равное 1, больше значений функции у=х2. Поэтому для построения соответствующей точки на графике второй функции достаточно поднять на 1 точку графика первой функции с абсциссой Х0. Следовательно, чтобы построить весь график второй функции, нужно поднять на 1 график первой.

Коэффициент при первой степени неизвестного не имеет для квадратичной функции у=ах2+bх+с достаточно простого геометрического смысла. Формулы решения квадратного уравнения, и вводить в рассмотрение новый подкласс квадратичных функций вида у=а(х-b)2.

2.2 Уравнение параболического типа

Функция v(x,t) непрерывна, удовлетворяет уравнению теплопроводности, ограничена во всей области:

| v (х, t)| ^ | их(a:t)| + | и2 {х, 0 | < 2 | (--?<х< ?, t^ 0) (2.3)

и удовлетворяет условию:

v (х, 0) = 0 (2.4)

Принцип максимального значения, которым мы пользовались при доказательстве единственности задачи для отрезка, здесь неприменим, так как в неограниченной области функция v(x,t) может нигде не достигать максимальных значений. Для ограниченной области \х\ ? L,0 ? t? Т справедлив принцип максимального значения. Применяя следствие из предыдущего пункта для функции

u = --V (x, t), u -- v(x,t)и й -- = V{x,t)

и учитывая, получаем:

(2.5)

Фиксируем некоторые значения (х, t) и, воспользовавшись произволом выбора L, будем его неограниченно увеличивать. Переходя к пределу при L --?, получим:

v{x, t}== 0 (2,6)

что и доказывает теорему.

2.3 Метод разделения переменных функций

1. Однородная краевая задача. Перейдем к решению первой краевой задачи для уравнения теплопроводности на отрезке:

f (х, t), (0 < х <t, t > 0) (2.7)

с начальным условием:

u(x,0)=ц (x), (0?x?t) (2.8)

и граничными условиями

и (0, t) = ц1 (t)

и (l, t) = ц2 (t) (2.9)

Пусть задана функция у = f (х) на множестве Х и х0 - внутренняя точка множества Х.

Обозначим через U(х0) окрестность точки х0. В точке х0 функция f (х) имеет локальный максимум, если существует такая окрестность U(х0) точки х0, что для всех х из этой окрестности выполнено условие f (х) Ј f (х0).

Аналогично: функция f (х) имеет в точке х0 локальный минимум, если существует такая окрестность U(х0) точки х0, что для всех х из этой окрестности выполнено условие f (х)і f (х0).

Точки локальных максимума и минимума называются точками локальных экстремумов, а значения функции в них - локальными экстремумами функции.

Пусть функция f (х) определена на отрезке [а, b] и имеет локальный экстремум на каком-то из концов этого отрезка. Тогда такой экстремум называется локальным односторонним или краевым экстремумом. В этом случае соответствующая окрестность является правой для «а» и левой для «b» полуокрестностью. Проиллюстрируем данные выше определения:

Рисунок 4 Точки локального минимума

На рисунке 4 точки х1, х3 - точки локального минимума, точки х2, х4 - точки локального максимума, х = а - краевого максимума, х = b - краевого минимума.

Наряду с локальными минимумом и максимумом определяют так называемые глобальные минимумы и максимумы функции f(х) на отрезке [a, b]. На рисунке точка х = а - точка глобального максимума (в этой точке функция f(х) принимает наибольшее значение на отрезке [a, b]), точка х = х3 - точка соответственно глобального минимума.

2.4 Достаточные условия экстремума функции

Основные теоремы математического анализа, которые широко используются при исследовании функции, построении ее графика.

По теореме Ферма: из дифференцируемости функции f (x) в точке локального экстремума х0 следует, что f '(x0) = 0.

Данное условие является необходимым условием существования в точке локального экстремума, то есть если в точке х0 - экстремум функции f (x) и в этой точке существует производная, то f '(x0) = 0.

Точки х0, в которых f '(x0) = 0, называются стационарными точками функции.

Равенство нулю производнойв точке не является достаточным для существования локального экстремума в этой точке.

Пример: у = х3, у' = 3х2, у'(0) = 0, но в точке х0 = 0 нет экстремума.



Рисунок 5 График функции у=х3

Точками, подозрительными на экстремум функции f (x) на интервале (a, b), являются точки, в которых производная существует и равна 0 либо она не существует или равна бесконечности. На рисунках функции имеют минимум в точке х0 = 0:

Рисунок 6 Функции экстремума

f '(0) = 0 f '(0) = $ f '(0) = Ґ

Рассмотрим достаточные условия существования в точке локального экстремума, которые позволят ответить на вопрос: «Есть ли в точке экстремум и какой именно - минимум или максимум».

Теорема (первое достаточное условие экстремума). Пусть непрерывная функция f(x) дифференцируема в некоторойпроколотойокрестности U(x0) точки х0(проколотая окрестность означает, что сама точка х0выбрасывается из окрестности) и непрерывна в точке х0. Тогда:

1) если

(2.10)

то в точке х0 - локальный максимум;

2) если

(2.11)

то в точке х0- локальный минимум.

Доказательство, из неравенств (10-11) и следствия теоремы Лагранжа (о монотонности функции) следует, что при х < х0 функция не убывает, а при х > х0 функция не возрастает, то есть:

где,

где, (12)

Следовательно, из (12) получаем, что в точке х0 функция имеет локальный максимум.

ГЛАВА 3. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

3.1 Функция и её свойства

Функция - зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у.

Переменная х - независимая переменная или аргумент.

Переменная у - зависимая переменная

Значение функции - значение у, соответствующее заданному значению х.

Область определения функции - все значения, которые принимает независимая переменная.

Область значений функции (множество значений)- все значения, которые принимает функция.

Функция является четной- если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(x)=f(-x)

Функция является нечетной- если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-x)=-f(x)

Возрастающая функция- если для любых х1 и х2, таких, что х1<х2, выполняется неравенство f(х1)<f(х2)

Убывающая функция- если для любых х1 и х2, таких, что х1<х2, выполняется неравенство f(х1)>f(х2)

3.2 Способы задания функции

Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у=f(x), где f(x)-некоторое выражение с переменной х. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.

На практике часто используется табличный способ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента. Примерами табличного задания функции являются таблица квадратов, таблица кубов.

3.3 Виды функций и их свойства

1)Постоянная функция- функция, заданная формулой у=b, где b-некоторое число. Графиком постоянной функции у=b является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;b) на оси ординат

2)Прямая пропорциональность- функция, заданная формулой у=kx, где к0. Число k называется коэффициентом пропорциональности.

Cвойства функции y=kx:

1. Область определения функции- множество всех действительных чисел

2. y=kx - нечетная функция

3. При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой

3)Линейная функция- функция, которая задана формулой y=kx+b, где k и b-действительные числа. Если в частности, k=0, то получаем постоянную функцию y=b; если b=0, то получаем прямую пропорциональность y=kx.

Свойства функции y=kx+b:

1. Область определения- множество всех действительных чисел

2. Функция y=kx+b общего вида, т.е. ни чётна, ни нечётна.

3. При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой

Графиком функции является прямая.

4)Обратная пропорциональность- функция, заданная формулой y=k/х, где k№0 Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Свойства функции y=k/x:

1. Область определения- множество всех действительных чисел кроме нуля

2. y=k/x- нечетная функция

3. Если k>0, то функция убывает на промежутке (0;+1) и на промежутке (-1;0). Если k<0, то функция возрастает на промежутке (-Ґ;0) и на промежутке (0;+Ґ).

Графиком функции является гипербола.

5)Функция y=x2

Свойства функции y=x2:

1. Область определения- вся числовая прямая

2. y=x2 - четная функция

3. На промежутке [0;+1) функция возрастает

4. На промежутке (-1;0] функция убывает

Графиком функции является парабола.

6)Функция y=x3

Свойства функции y=x3:

1. Область определения- вся числовая прямая

2. y=x3 -нечетная функция

3. Функция возрастает на всей числовой прямой

Графиком функции является кубическая парабола

7)Степенная функция с натуральным показателем- функция, заданная формулой y=xn, где n- натуральное число. При n=2;3 получаем функции y=x2; y=x3.

Пусть n- произвольное четное число, большее двух: 4,6,8... В этом случае функция y=xn обладает теми же свойствами, что и функция y=x2. График функции напоминает параболу y=x2, только ветви графика при |х|>1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при |х|<1 тем «теснее прижимаются» к оси Х, чем больше n.

Пусть n- произвольное нечетное число, большее трех: 5,7,9... В этом случае функция y=xn обладает теми же свойствами, что и функция y=x3. График функции напоминает кубическую параболу.

8)Степенная функция с целым отрицательным показателем- функция, заданная формулой y=x-n, где n- натуральное число. При n=1 получаем y=1/х, свойства этой функции рассмотрены в п.4.

Пусть n- нечетное число, большее единицы: 3,5,7... В этом случае функция y=x-n обладает в основном теми же свойствами, что и функция y=1/х.

Пусть n- четное число, например n=2.

Свойства функции y=x-2:

1. Функция определена при всех x№0

2. y=x-2 - четная функция

3. Функция убывает на (0;+1) и возрастает на (-1;0).

Теми же свойствами обладают любые функции при четном n, большем двух.

9)Функция y=х

Свойства функции y=х:

1. Область определения - луч [0;+1).

2. Функция y=х - общего вида

3. Функция возрастает на луче [0;+1).

10)Функция y=3х

Свойства функции y=3х:

1. Область определения- вся числовая прямая

2. Функция y=3х нечетна.

3. Функция возрастает на всей числовой прямой.

11)Функция y=nх

При четном n функция обладает теми же свойствами, что и функция y=х. При нечетном n функция y=nх обладает теми же свойствами, что и функция y=3х.

12)Степенная функция с отрицательным дробным показателем-функция, заданная формулой y=x-r, где r- положительная несократимая дробь.

Свойства функции y=x-r:

1. Обл. определения -промежуток (0;+1)

2. Функция общего вида

3. Функция убывает на (0;+1)

13)Обратная функция

Если функция y=f(x) такова, что для любого ее значения yo уравнение f(x)=yo имеет относительно х единственный корень, то говорят, что функция f обратима.

Если функция y=f(x) определена и возрастает (убывает) на промежутке Х и областью ее значений является промежуток Y, то у нее существует обратная функция, причем обратная функция определена и возрастает(убывает) на Y.

Таким образом, чтобы построить график функции, обратной к функции y=f(x), надо график функции y=f(x) подвергнуть преобразованию симметрии относительно прямой y=x.

14)Сложная функция- функция, аргументом которой является другая любая функция.

Возьмем, к примеру, функцию y=x+4. Подставим в аргумент функцию y=x+2. Получается: y(x+2)=x+2+4=x+6. Это и будет являться сложной функцией.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные математические понятия, такие как число, геометрическая фигура, функция, производная, интеграл, случайное событие и его вероятность и т.д. За свою историю математика, которая развивалась в тесной связи с развитием производственной деятельностью людей и общественной культуры, превратилась в стройную дедуктивную науку, представленную как мощный аппарат для изучения окружающего нас мира.

Первый - период зарождения математики, начало которого лежит и теряется в глубинах тысячелетий истории человечества и продолжается до VI - V веков до нашей эры. В этом периоде создается арифметика, а также зачатки геометрии. Математические сведения этого периода состоят в основном из свода правил решения различных практических задач.

Второй период - элементарной математики, т.е. математики, постоянных величин (VI - V вв. до н.э. - XVII в. н.э.). Уже в начале этого периода (около 300 лет до н.э.) Евклид создает теорию трех книг ("Начало Евклида" - первый из дошедших до нас больших теоретических исследований по математике), в которых, в частности изучается дедуктивным образом на базе система аксиомы вся элементарная геометрия. Изданной в IX веке сочинения ал-Хорезми "Кибат ал-Джарап ал-Мукабана" содержит общие приемы решения задач, сводящие к управлению первой и второй степени. В XV веке вместо громких выражений стали употреблять знаки + и -, знаки степеней, корней, скобки. В XVI веке Ф.Виет применяет буквы для обозначения данных и не известных величин. К середине XVII века в основном сложилась современная алгебраическая символика, и этим были созданы основы формального математического языка.

Третий период - период создания математики переменных величин (XVII век - середина XIX века). Начиная с XVII века, в связи с изучением количественного отношения в процессе их изменения, на первый план выносили понятия переменной величины и функции. В этом периоде в работах Р.Декарта на базе мирового исследования метода системных координат создается аналитическая геометрия. В ра ботах И.Ньютона и Г.В.Лейбница завершает создание дифференциального интегрального исчисления.

Четвертый период - современные математики. Его начало следует относить к двадцатым годам XIX века - этот период начинается с работ Э.Гаусса, в которых заложены идеи теории алгебраических структур, В.И.Лобачевского, который открыл первую неевклидовую геометрию - геометрию Лобачевского.

В последствии дальнейшего распространения получил аксиоматический метод, в новую фазу вступили работы по обоснованию математики, математической логики и математическому моделированию. Создание в середине прошлого века привело не только более к глубокому и широкому применению математики в других областях знания, в технических науках, в вопросах организации и управления производством, но и зарождению развития новых областей теоретических и прикладных математических функций. Проникновения методов современной математики и ЭВМ в другие наук и практику применяет на столько всеобщий и глубокий характер, что одно из способностей нынешнего этапа развития человеческой культуры считается процесс математизации знаний и компьютеризации всех сфер трудовой деятельности и жизни людей.

При изучении количественных характеристик сложных объектов, процессов явлений, пользуются методом математического моделирования, который состоит в том, что рассматриваемые закономерности формируются на математическом языке и исследуются при помощи соответствующих математических средств. Математический модуль изучаемого объекта записывается при помощи математических символов и состоит из совокупности уравнений, неравенств, формул, алгоритмов программ, в состав которых входят переменные и постоянные величины, различные операции, функции, быть может, и их производные, и другие математические понятия. Приемами составления простейших математических моделей служит хорошо известный, из курса математики средней школы, прием решения задач при помощи уравнений и систем уравнений - полученное уравнение или система уравнений является математической моделью данной задачи. Это были примеры задач с единственным решением - детерминированных задач. Однако часто встречаются задачи, имеющие много решений. В таких случаях на практике возникает вопрос о нахождении такого решения, которое является наиболее подходящим для той или иной точки зрения. Такие решения называются оптимальными решениями.

Оптимальное решение определяется как решение, для которого некоторая функция называется целевой функцией, принимает при заданных ограничениях наибольшее и наименьшее значения. Целевую функцию составляют из условия задачи, и она выражает величину, которую нужно оптимизировать (т.е. максимизировать или минимизировать), - например, получаемую прибыль, расходы, ресурсы и т.п.

Оказывается, что широкий класс, в частности задачи управления, составляют задачи в математических моделях которых условия на переменных создают неравенство или равенство. Теория и методы решения таких задач составляет раздел математики, известный под названием "Математическое программирование".

Если ограничения и целевая функция является многочисленным первой степени (линейны), то такие задачи составляют раздел математического программирования.

Математические модели больших производных систем, как правило, имеют сложную структуру. В частности, в них количество переменных и неравенств или уравнений могут насчитывать несколько десятков и даже сотен степеней имеют довольно сложный вид. Такие задачи решаются в вычислительных центрах с использованием больших вычислительных машин.

"Все законы выводятся из опыта. Но для выражения их нужен специальный язык. Обиходный язык слишком беден, кроме того, он слишком неопределендля выражения столь богатых содержанием точных и тонких соотношений. Таково первое основание, по которому физик не может обойтись без математики; она дает ему единственный язык, на котором он в состоянии изъясняться".

Во многих случаях математика играет роль универсального языка естествознания, специально предназначенного для лаконичной точной записи различных утверждений.

В данной курсовой работе было изучено и описано методы изучения функций, рассмотрение различных подходов к определению понятия функции, методика введения понятий и области определения, способы изучения линейной, квадратной и кубической функции, основы разделения переменных функций, а также основные характеристики математических функций.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1 Канке В.А. Концепции современного естествознания: Учебник для вузов. - М.: Логос, 2002, 301с.

2 Математический энциклопедический словарь. М., 1988, 431с.

3 Я. С. Бугров, С. М. Никольский. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М.: Наука, 1988. С. 44.

4 Нильс Бор. Избранные научные труды. Т. II. М.: Наука, 1971. - С 280-288.

5 Энциклопедия Britannica

6 Лященко Е.И. Изучение функций в курсе математики восьмилетней школы. Минск, 1970, 321с.

7 Алгебра: учебник общеобразовательных учреждений.под ред. С.А. Теляковского - 5-е издание - М.Просвещение,1997, 412с.

8 Алгебра: учебник общеобразовательных учреждений.под ред. С.А. Теляковского - 2-е издание - М.Просвещение,1991, 258с.

9 Виленкин Н.Я. и др. Современные основы школьного курса математики. - М.Просвещение,1980, 245с.

10 Блох А.Я., Гусев В.А. и др. Методика преподавания математики в средней школе. - М.Просвещение,1987, 785с.

11Крамор В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа, Москва, Просвещение, 1990, 248с.

12 Рыбников К.А. Возникновение и развитие математической науки, Москва, Просвещение, 1987, 452с.

13 Зимина О.В. и др. Высшая математика. 2-е изд., испр. М.: Физматлит, 2001, 368 с. (Решебиик).

14 Решебник. Высшая математика. Специальные разделы Под ред. А.И. Кириллова. 2-е изд., стереотип. М.: Физматлит, 2003,400 с.

15 Проскуряков И.В., Сборник задач по линейной алгебре. М.: Лаборатория Базовых знаний, 1999, 359с.

16 Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Задачи по высшей алгебре: Учеб.пособие для вузов. 12-е изд., стереотип. СПб.: "Лань", 1998, 288 с.

17 Беклемишева Л.А. и др. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. 2-е изд., перераб. М.: Физматлит, 2001,496 с.

18 Клетеиик Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. 16-е изд., испр. СПб.: Мифрил, 2001,208 с.

19 Цубербиллер СП. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. 31-е изд., стереотип. СПб.: "Лань", 2003, 336 с.

20 ЩипачевB.C. Задачник по высшей математике: Учеб.пособие для вузов. 4-е изд., стереотип. М.: 2004, 304 с.

21 Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: Учеб.пособие для вузов. М.: "Астрель",2004, 558 с.

22 Матвеев П.М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям: Учеб. пособие, 7-е изд., доп. СПб.: "Лань", 2002, 432 с.

23 Краснов М.Л. и др. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Задачи и примеры с подробными решениями: Учеб.пособие для вузов. 4-е изд., испр.VI.:Эдиториал УРСС, 2002, 256 с.

24 Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости: Учеб.пособие. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Паука, 1981, 304 с.

25 Гмурмаи В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Для вузов. 5-е изд., стереотип. М.: 2001,400 с.

26 Рябушко А.П. и др. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: В 3 ч. Минск: "Высшаяшкола", 1990, 1991. Ч. 1: 270с; 4.2:352 с; 4.3:288 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Построение графиков по функциям

а) у=0,5x; б)y=0,5x+0,5; в)y=1,5x; г)у=1,5x+0,5

Размещено на Allbest.ru

...