Класичні задачі, нерозв’язні циркулем і лінійкою та їх значення для розвитку математики

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Чернігівський національний педагогічний університет імені Т.Г. Шевченка

Кафедра вищої та прикладної математики

КУРСОВА РОБОТА

з Алгебри і теорії чисел

на тему:Класичні задачі, нерозв'язні циркулем і лінійкою та їх значення для розвитку математики

Студентки ІІ - курсу 21 групи

галузі знань 0402 Фізико-математичні науки

напряму підготовки 6.040201 Математика

Лисиці Олесі Василівни

Керівник доцент Хайтова О.М.

м. Чернігів - 2014 рік



Зміст

Поняття побудовності чисел

Критерій побудовності числа циркулем і лінійкою

Класичні задачі

Подвоєння куба

Трисекція кута

Квадратура куба

Поділ кола (побудовність правильних многокутників)

Значення задач для розвитку алгебри та геометрії

Висновок

Література



Поняття побудовності чисел

У кожній конструктивній задачі можна вважати деяку систему точок заданою і деяку іншу - шуканою. Якщо ці точки розглядати відносно деякої системи координат на площині, то можна вважати заданою деяку сукупність чисел (координати заданих точок), а шуканою - іншу сукупність чисел (координати шуканих точок). Якщо дану задачу на побудову можна розв'язати за допомогою циркуля і лінійки, вважатимемо, що кожне з шуканих чисел може бути побудоване (або просто побудовне) циркулем і лінійкою, виходячи з даної сукупності чисел.

Можна говорити про побудовність або непобудовність довільного дійсного числа о, виходячи з множини М заданих дійсних чисел, і не залежно від тієї чи іншої конкретної конструктивної задачі.

Множина М заданих чисел визначає систему ? точок площини, обидві координати яких належать множині М.

Означення 1. Число о побудовне циркулем і лінійкою, виходячи з множини М, якщо побудовна циркулем і лінійкою, виходячи з системи ?, хоч одна точка площини, для якої о є однією з координит.

Проблема, яка нас цікавить, полягає в тому, щоб знайти критерій можливості або неможливості побудувати певне число о за допомогою циркуля і лінійки, виходячи з заданої сукупності чисел М.

Поки що, говорячи про побудовність чисел, ми під словом «число» розуміли дійсне число. Адже відповідно до принципів аналітичної геометрії задані точки на площині завжди мають відповідні координати, а нові точки утворюються за допомогою прямих та кіл лише тоді, коли відповідні рівняння для їх коорднат дають дійсні розв'язки.

Проте іноді в конструктивних задачах зручно інтерпретувати кожну точку площини не як пару (х,у) дійсних чисел, а як комплексне число z=x+iy. Тому доцільно узагальнити поняття побудовності на випадок комплексного числа. При цьому числа заданої множини М ми, як і раніше, вважатимемо дійсними; такий підхід достатныій для аналізу будь-яких реальних конструктивних задач.

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Означення 2. Вважатимемо, що комплексне число ж= о+і? побудовне циркулем і лінійкою, виходячи з заданої множин М дійсних чисел, якщо такими є дійсні числа о і ?, які визначають дійсну і уявну частини числа ж.

Позначимо, як і раніше, сукупність заданих чисел через М, а сукупність усіх чисел, які можуть бути побудовані циркулем і лінійкою, виходячи з множни М, - через N (поки що вважатимемо всі розглянуті числа дійсними). Зрозуміло, що N?M Крім того, завжди припускатимемо, що числа 0 і 1 належать множині М ( це не обмежує загальності розглядуваних конструктивних задач). Важливу характеристику множини N дає таке твердження, яке є безпосереднім наслідком того, що сума, різниця, добуток і частка двох побудовних чисел є побудовне число.

Теорема 1. Сукупність N чисел, які можна побудувати циркулем і лінійкою, виходячи з множини М заданих чисел, утворює числове поле.

Наслідок. Всі раціональні числа побудовні циркулем і лінійкою.

Справді, кожне числове полe включає поле раціональних чисел. Отже, незалежно від того, яка сукупність чисел M задана, всі раціональні числа входять в N.

Це твердження має велике значення. Оскільки за допомогою раціональних чисел можна з довільним степенем точності подати будь-яке дійсне число, то з нього випливає, що кожна задача на побудову може бути розв'язана циркулем і лінійкою, наближено з довільним степенем точності.

Тeoрема 2. Нехай М - одна числова множина, а Р{М} - мінімальне поле, яке її містить. Тоді кожне число поля Р{М} побудовне циркулем і лінійкою, виходячи з множини М.

Справді, сукупність N всіх чисел, які можна побудувати, виходячи з множини М, є полем, яке містить множину М (теорема1). Тому мінімальне поле Р{М} є підполем поля N. Отже, всі числа з Р {М} належать множині N , тобто побудовні, виходячи з множини М.

Теорема 2 показує, що в кожній задачі на побудову можна вважати заданою множиною чисел деяке числове поле. Справді, якщо задана числова множина М, то кожне число з мінімального поля Р{М} побудовне лінійкою і циркулем і тому Р{М} також може розглядатися як задане. Надалі ми задане числове поле позначатимемо через ?. Очевидно, що для задач, в яких задаються лише числа 0 і 1, заданим полем слід вважати поле Q раціональних чисел - мінімальне поле, що містить число 1.

Нехай тепер треба з'ясувати, чи може деяке число х бути побудуване циркулем лінійкою, виходячи з поля ?. Якщо х Є ?, то питання відпадає само собою, отже, завжди можна вважати х Є ?. Розглянемо мінімальне поле ?(х), яке містить і число х (або просте розширення поля ?, утворене приєднанням числа х). Якщо х побудовне, то такими є всі числа поля ?(х). Справді, сукупність N усіх побудовних (виходячи з поля ?) чисел містить як ?, так і х, а тому містить і мінімальне поле ?(х). Навпаки, якщо все поле ?(х) побудовне, то таким є, зокрема, і число х. Отже, ми приходимо до такого висновку:

питання про можливість побудови циркулем і лінійкою деякого числа х, виходячи з даної множини чисел, рівносильне питанню про можливість побудови всіх елементів деякого числового поля ?(х), виходячи з певного підполя ? цього поля.

Алгебраїчна суть використання саме циркуля і лінійки в геометричних побудовах характеризується такими твердженнями.

Виходячи з поля ?, за допомогою лише лінійки не можна побудувати жодної нової точки ( тобто точки, яка не належить ?).

Якщо число о побудовне внаслідок одноразового застосування циркуля, виходячи з поля ?, то воно належить або ?, або деякому квадратичному розширенню поля ?.

Ці твердження в тій чи іншій формі встановлюються в теорії геометричних побудов. Вони є наслідком того, що рівняння прямої на площині - лінійне, а рівняння кола - другого степеня. Тому координати точок перетину таких ліній виражаються через координати заданих точок, які визначають ці лінії, або раціонально, або за допомогою одного квадратного радикала.

Критерій побудовності числа циркулем і лінійкою.

Якщо задача може бути роз'язаною, то її розв'язок, яким би важким він не був, має складатися з наступних двох операції:проведення прямої через дві дані точки і побудова круга за відомими радіусами і центром. Кожна точка визначається або перетином двох прямих, або перетином прямої і кола, або ж перетином двох кіл. Уявимо собі, що з допомогою формул та методів аналітичної геометрії ми, мірою побудови точок, обчислим їх координати, то всі розв'язки полягають у вирішенні рівнянь першого і другого степеня. Отже, кожну певну величину можна виразити за допомогою даних так, що знайдені величини не міститимуть інших ірраціональностей, крім квадратних коренів, а оскільки, з іншої сторони, кожне таке вираження може бути побудовано, то необхідна і достатня умова для можливості розв'язання задачі циркулем і лінійкою полягає в тому, щоб шукані величини могли бути виражені в даних раціональних і квадратних коренях.

За винятком конічних перерізів нема ні одної кривої, точки перетину яких з якою-небуть прямою можуть бути побудовані циркулем і лінійкою.

За винятком конічних перерізів нема ні одної кривої, до якої можна було б провести із деякої точки дотичну за допомогою циркуля і лінейки.

Якщо в пучку променів точки перетину деякого променя з деякою кривою, що не проходить через вершину пучка, можуть бути знайдені за допомогою циркуля і лінійки, то порядок цієї кривої є деякий степінь 2 і в пучку повинні бути, принаймні, два промені, які точки перетину з кривою попарно з'єднують.

Лема 1. Якщо ?1 - квадратичне розширення довільного числового поля ?, то усі числа з ?1 побудовні циркулем і лінійкою, виходячи з поля ?.

Доведення. За означенням квадратичного розширення ?1=?(б), б - корінь квадратного тричлена f(x) на полем ?. Якщо f(x)=х2+px+q2, тоб= - ± і будь- яке число з поля ?1 має вигляд (наслідок теореми 1)

а+bd=a+b (a, b, p, q ?), тобто виражається через число поля ? за допомогою раціональних дій і операцій добування квадратного кореня. Отже, наше твердження буде доведене, якщо ми покажемо, що для довільних побудовних комплексних чисел ?=a1+ia2, v=b1+ib2 побудовні також числа о=?±v, ?=?v, ж= I ?=. Побудовність чисел ? і v означає побудовність їх компонент a1, a2, b1, b2. Компоненти чисел о, ?, ж, ? виражаються, як відомо, дійсними числами. Якщо о=о1+iо2, ?=?1+i?2, ж=ж1+iж2, ?=?1+i?, то

о1=а1 ±b1, ?1=a1 b1- a2 b2, ж1= , ?1= ,

о2=a2±b2; ?= a1 b2- a2 b1, ж2= , ?2=.

Очевидно, всі ці числа є побудовними, якщо побудовні a1, a2 , b1 , b2. Тепер ми можемо довести основну теорему, яка встановлює рівносильність побудовності числа з можливістю виразити його у квадратних коренях.

Теорема 3. Для того, щоб число ж ( дійсне або комплексне) було побудованим циркулем і лінійкою, виходячи з поля ? R, необхідно і достатньо, щоб ж виражалось у кратних радикалах через числа поля ?.

Доведення:

Достатність. Нехай ж виражається у крадратних радикалах через числа поля ?. Тоді, за теоремою 2, існує ланцюжок числових полів

? ?1 ?2 ?m такий, що ж Є ?m. і кожне з полів ланцюжка є квадритичнм розширенням попереднього. За щойно доведеною лемою усі числа з поля ?1 побудовні, виходячи з поля ?. Усі числа з поля ?2 побудовні, виходячи з поля ?1 , а тому і виходячи з поля ? (адже при побудові можна користуватися будь-якою раніше побудовною точкою). Міркуючи далі в такий же спосіб, дістаємо, що всі числа з поля ?m, зокрема і ж , побудовні, виходячи з поля ?.

Необхідність. Нехай тепер відомо, що ж - побудовне циркулем і лінійкою, виходячи з поля ?. Оскільки ж, взагалі кажучи, - комплексне число, вважатимемо ж =ж1+iж2 ; за означенням побудовності комплексного числа, ж1 і ж2 - побудовні числа.

Візьмемо число ж1 і виконуватимемо його побудову циркулем і лінійкою, визодячи з поля ?.

Застосування лінійки не виведе нас за межі поля ?. Застосовуючи один раз циркуль, ми побудуємо числа, які належать або полю ?, або деякому квадратичному розширенню поля ?. Позначимо це розширення через ?1 і повторимо наше міркуваня, виходячи вже з поля ?1. Нове застосування лінійки не виведе за межі ?1, а застосування (одноразове) циркуля або не виведе з ?1, або приведе до чисел, що належать полю ?2, яке є квадратичним розширенням ?1. Міркуючи в такий спосіб, будуємо поля ?3, ?4, …, ?j,..., кожне з яких є квадратичним розширенням попереднього. Оскільки, за припущенням, ж1 побудовне, тобто для побудови його циркуль використовується скінченне число разів, то на певному кроці ми повинні прийти до поля ?k, що містить число ж1.

Отже, існує ланцюжок квадратичних розширень ? ?1 ?2 ?k такий, що ж1 Є ?k . Але тоді, за теоремою 2, число ж1 виражається у квадратних радикалах через числа поля ?.

Цілком аналогічні міркування показують, що і ж2 виражається у квадратних радикалах через числа поля ?. Тепер зрозуміло, що таким є і число ж =ж1+iж2= ж1 + ж2 (адже - 1Є ?). Теорему доведено.



Класичні задачі

Близько двох з половиною тисяч років тому геометри Греції виявили деякі задачі, які неможливо було розв'язати за допомогою циркуля і лінійки. Найбільш відомими серед них є проблеми подвоєння куба, трисекції кута і квадратури круга. Цими задачами грецькі геометри зацікавились і усвідомили їх трудність досить рано, як тільки було в достатній мірі з'ясоване поняття конструктивної задачі. У V ст. до н.е. ми зустрічаємо вже цілий ряд спроб розв'язати ці задачі. Оскільки циркулем і лінійкою (тобто за допомогою проведення кіл і прямих ліній) виконати потрібні побудови не вдалося, грецькі математики викорисали деякі інші методи (наприклад метод «вставки») та деякі інші криві (конічні перерізи, квадратису, конхоїду тощо), частину з яких спеціально було введено для розв'язування даних задач.

Проте питання про розв'язання цих проблем лише за допомогою кіл і прямих, тобто, як тоді вважалося, єдино справжньо геометричним методом, продовжувало у всі часи привертати увагу математиків. Елементарність постановки зазначених задач, поєднана з їх загадковою трудністю, спричинила наздвичайну популярність цих проблем і серед нематематиків: навіть у наші дні зустрічаються спроби розв'язати циркумлем і лінійкою залачі квадратури круга або трисекції кута, хоч у ХІХ ст. було доведено неможливість такої побудови. Ця обставина ще раз підкреслює важливість для вчителя математики середньої школи бути обізнаним з науковою постановкою і розв'язанням зазначених проблем.

Подвоєння куба

Однією з найдревніших і найпопулярніших задач, якою займалися математики на протязі 3- 4 тисячоліть, є задача про подвоєння куба.

Задача. Побудуйте куб, об'єм якого у два рази більший об'єму даного куба.

Розв'язання. Якщо позначить через а довжину ребра даного куба, то довжина ребра х шуканого куба має задовольняти рівняння x3 = 2a3, або

x = . Узявши а=1, ми, очевидно, зведемо нашу задачу до побудови числа, виходячи з поля Q раціональних чисел.

Але є коренем многочлена f(x)=x3-2 над полем Q. Многочлен f(x), як легко перевірити, не має раціональних коренів і тому є незвідним у полі Q.

Таким чином, мова йде про побудову кореня незвідного у полі Q многочлена третього степеня, виходячи з поля Q . Відповідно до наслідку з теореми (необхідна умова можливості виразити корінь многочлена у квадратних радикалах) такий корінь не виражається у квадратних радикалах через числа поля Q і тому побудову його виконати циркулем і лінійкою неможливо.

Однак, це було доведено лише в першій половині XIX ст. Задача про подвоєння куба також має назву «делоської задачі» у зв'язку з наступною легендою.

На острові Делос (в Егейському морі) розповсюджувалась епідемія чуми. Коли жителі острова звернулись до оракула за порадою, як позбавитися чуми, вони отримали відповідь: «Подвойте жертовник храма Аполлона». Спочатку вони вважали, що задача легка. Оскільки жертовник мав форму куба, вони побудували новий, ребра якого було в два рази більші, ніж ребра старого жертовника. Делосці не знали, що таким чином вони збільшили об'єм куба не в 2 рази, а в 8 разів. Чума ще більше посилилась і у відповідь на повторне звернення до оракула останній порадив: “Краще вивчайте геометрію…” Згідно іншої легенди, бог попросив подвоєння жертовника не тому, що йому був потрібний великий жертовник, а тому, що хотів дорікнути грекам, “які не думають про математику і не цінують геометрію”.

Задачею про подвоєння куба ще в V ст. до н.е. займався Гіппократ Хіоський. Але реалізувати цю ідею вдалося Платону, який вперше звів її до вирішення наступної задачі: побудувати «два середніх пропорційних» відрізка х і у , які задовольняють в наступній неперервній пропорції: а : х = х : у = у : b 

Записавши цю подвійну пропорцію у вигляді двох пропорцій

, дістанемо х=ау і ху=аb, а перемноживши останні рівності почленно, матимемо х=.

При а=1 і а=2, одержимо х= , тобто довжина ребра куба, об'єм якого вдвічі більший об'єму даного куба.

Побудова. Дано два прямі кути (або два косонці з прямими кутами) -

інструменти побудови. Ребро даного куба приймемо за одиницю: а=1. Проведемо дві взаємно перпендикулярні прямі u i v, О - точка їх перетину (мал. 1). На прямій u відкладемо відрізок ОА=а=1, а на v - відрізок OD=2OA. Тепер розмістимо прямі кути так, щоб вершина В першого лежала на прямій v, а одна із сторін проходила через точку А.

Вершина С другого повинна лежати на прямій u, а одна з сторін проходила через точку D прямої v. Другі сторони обох прямих кутів повинні збігатися (як на мал.1).

При такому розміщенні прямих кутів відрізок ОВ=х - ребро куба, об'єм якого вдвічі більший об'єму даного куба.

Доведення. Трикутник АВС прямокутний, з вершини В прямого кута проведеного проведено перпендикуляр на гіпотенузу АС. За відомою теоремою відрізок ОВ є середнім пропорційним по відношенню відрізків ОА і ОС, тобто =, або , або а·ОС=ОВ2 (1) . Аналогічно з прямокутного трикутника ВСD маємо: =, або (2). З (1) і (2) або 2а2 =ОВ·ОС,(3), а з (1) і (3) 2a3=OB3. Звідси ОВ=а.

Одне з рішень задачі про подвоєння куба показано на мал. 2 .Тут

BC = BD , AB = AC = EF , а пряма l = CE паралельна АD . Вважаючи ВС = a , АВ =, АЕ = x і СF = у, можна знайти , що x і y - два середніх пропорційних

а і b або що x= , а зокрема , х= при b = 2а . Всі точки і лінії на цій фігурі, крім прямої АЕF , будуються циркулем і лінійкою; а пряму можна провести, якщо використати поділки на лінійці. Вистачить двох поділок Е і F ; їх потрібно зробити на відстані , один від одного. Тоді пряму АЕF будують , помістивши лінійку так , щоб її край проходив через A , одна поділка потрапила на l , а інша на пряму ВС.

Всі спроби розв'язати три відомі задачі при обмежених можливостях(циркуль і лінійка) привели тільки до того, що подібні розв'язання неможливі. Будь-хто інший з цього приводу може сказати, що робота багатьох математиків, які протягом століть намагались розв'язати задачу, звелась ні до чого… Але це буде не правильно. При спробах розв'язати ці задачі було зроблено велику кількість відкриттів, які мали набагато більше значення, ніж самі задачі.

Трисекція кута

циркуль задача подвоєння куб

Знаменитою була в давні часи і задача про трисекцію кута (з латинської tria - три і section - розріз) тобто про розділення довільного кута на три рівні частини за допомогою циркуля і лінійки.

Ця задача є безпосереднім узагальненням елементарної задачі про поділ кута на дві рівні частини. Але в той час, як остання побудова легко виконується циркулем і лінійкою, - трисекцію довільного кута виконати цими інструментами неможливо. Розглянемо причину цього факту.

Нехай б - заданий кут, - шуканий, . За відомою формулою косинуса потрійного кута маємо cosб=cos3=4cos3. Поклавши

cos б =cos= з попередньої рівності дістанемо х3-3х-b=0.

Відрізок х, як корінь одержаного рівняння, а тому і кут можуть бути побудовані лише в тому випадку, коли це кубічне рівняння має хоча би один раціональний корінь. Ця вимога не при всякому значенні виконується. Розглянемо декілька випадків.

1) Якщо ,то b=2cos=0 і одержимо рівняння х3-3х=0, коренями якого є х10 х2= , х3=-. Умову задачі задовольняє корінь х2=: 2cos=; cos= , який можна побудувати циркулем і лінійкою.

2) Якщо ,то b=2cos= і одержимо рівняння х3-3х-=0. Його можна записати ще так (х+ )(х2- х-1)=0, його корені х1=-, х2=, х3=-. Задачу задовольняє корінь х2, , тобто

2cos =, який можна побудувати циркулем і лінійкою.

Якщо ,то b=2cos=1 і одержимо рівняння х3-3х-1=0, яке не має жодного раціонального кореня, тому кут не можна поділити на рівні частини циркулем і лінійкою.

Отже, у загальному випадку задача трисекції кута циркулем і лінійкою не розв'язується.

Існує ряд способів розв'язання цієї задачі іншими способами.

Задача про трисекцію кута стає розв'язною і в загальному випадку, якщо не обмежуватись в геометричних побудовах тільки класичними засобами, циркулем та лінійкою. Спроби розв'язати задачу за допомогою цих інструментів були застосовані ще в V ст. до н.е. Так, наприклад, Гіппій Елідський, знаменитий софіст, який жив близько 420 р. до н.е., використовував для трисекції кута квадратрису. Олександрійський математик Нікомед (ІІ ст. до н.е.) обчислив задачу про трисекцію кута за допомогою кривої, яка називається конхоїдою Нікомеда (мал.3) і описав пристрій для креслення цієї кривої.

Цікавий розв'язок задачі про трисекцію кута дав Архімед у своїй книзі «Лемми», в якій довів, що якщо продовжити хорду (мал.4), кола радіуса r на відрізок = r і провести через С діаметр, то дуга BF буде в три рази менша дуги АЕ. Дійсно, на основі теорем про зовнішній кут трикутника і про рівність кутів при основі рівнобедренного трикутника маємо:

АОЕ=АОВ+АСО, АОВ=АВО, АСО=ВОС, отже

АОЕ=3ВОС. Звідси слідує так званий спосіб «вставки» для ділення на три рівні частини кута АОЕ. Описавши коло з центром О і радіусом і проводим діаметр. Лінійку СВ, на якій нанесена довжина радіуса r (наприклад, з допомогою двох штрихів), прикладаємо і рухаємо так, щоб її точка С рухалась по продовженню діаметра (EF), а сама лінійка весь час проходила б через точку А кола, поки точка з лінійки не опиниться на колі. Тоді кут BCF і буде шуканою третьою частиною кута АОЕ (мал.5). Оскільки в цьому способі використовується вставка відрізка СВ між продовженням діаметра ЕF і кола так, що продовження відрізка СВ пройшло через задану точку А кола. В показаній вище побудові використовується, окрім циркуля і лінійки, не просто лінійка, як інструмент для проведення прямих, а лінійкаподілками, яка показує довжину певного відрізка.

мал. 4 мал.5

Покажемо ще один розв'язок задачі про трисекцію кута за допомогою лінійки з двома поділками запропоноване Кемпле:

Нехай дано деякий кут АВС (мал.6); і нехай на лезі іншої лінійки позначені 2 точки, P і Q (див. цю ж саму фігуру, знизу).

На одній із сторін кута відкладаємо від вершини В пряму ВА= P Q. Ділимо ВА навпіл в точці М; проводимо лінії МК|| ВС (мал.6) і MLBC.

Візьмемо нашу лінійку і прикладемо її до отриманої фігури так, щоб точка Р лінійки лежала на прямій КМ, точка Q лежала на прямій LM, в той же час продовження PQ лінійки проходило б через вершину даного кута В, тоді пряма ВР і є шуканою третьою частиною кута В.

Доведення

РВС=ВРМ. Розділимо PQ навпіл і середину N з'єднаємо з М прямої NM. Точка N є серединою гіпотенузою прямокутного трикутника PQМ, тому PQ=NM, і трикутник РNМ рівнобедрений, це означає ВРМ=РМN. Внутрішній же BNM=.

Разом з тим NM =PQ =BM. Отже, .

Тому: .

Проведений вище розв'язок задачі належить Кемпле, який при цьому підняв питання , чому Евклід не скористався поділками лінійки і процесом її використання для доведення 4-й теореми своєї першої книги, де замість цього він накладає сторони цього трикутника на сторони іншого. На це може відповісти, що в задачу Евкліда і не входив пошук деякої точки засобами вимірювання і процесу пристосування лінійки. В своїх міркуваннях і доведеннях він просто накладає фігуру на фігуру.

Квадратура круга

Задача про квадратуру круга - це третя класична задача давньогрецької математики. Ця задача поряд з двома першими зіграла важливу роль в розвитку математичних методів. Задача про квадратуру круга тобто про побудову за допомогою циркуля і лінійки квадрата, рівновеликому кругу.

Якщо позначити радіус кола через одиницю, то його площa, як відомо, дорівнює р. Отже, квадратура круга зводиться до побудови квадрата з стороною, якщо дано одиничний відрізок. Інакше кажучи, питання про можливість розв'язати проблему квадратури круга циркулем і лінійкою - це питання про побудовність числа,, виходячи з поля Q раціональних чисел. Оскільки побудовність числа , рівнозначна побудовності р, то вся проблема зводиться до дослідження природи числа р.

Ми знаємо тепер, що число р - трансцендентне число, тобто не може бути коренем жодного алгебраїчного рівняння з раціональними коефіцієнтами. Це й означає, на основі теореми (всі числа, які можна виразити у квадратних радикалах через числа поля ? , алгебраїчні над цим полем), що воно не виражається у квадратних радикалах через раціональні числа і тому не може бути побудоване циркулем і лінійкою, виходячи з поля Q , тобто, що ця задача квадратури круга не може бути розв'язана циркулем і лінійкою.

Факт трансцендентності числа р встановив тільки в 1882 році німецький математик Ліндеман. Цим і завершив багатовіковий період спроб розв'язати проблему квадратури круга, а також численні дослідження арифметичної природи числа р.

Розглянемо задачу з геометричної точки зору.

Якщо позначить радіус круга через r, то мова йтиме про побудову квадрата, площа якого дорівнює рr2, а сторона r,. Тепер відомо, що число р -відношення кола до свого діаметра - число ірраціональне, воно виражається нескінченням неперіодичним десятковим дробом 3,1415926… було, між іншим, обчислено з 707 десятковими знаками математиком В. Шенксом. Цей результат, з формулою обчислення, він оголосив в 1837 році. Жодна подібна задача не розв'язувалась з таким точним наближенням, який перевищував відношення мікроскопічних відстаней до телескопічних. Відповідно, він перебував у противоріччі з вимогами задачі про квадратуру круга, де потрібно було знайти розв'язання побудовою. Робота, виконана Шенксом, в дійсності безкорисна або майже безкорисна. Але, з іншої сторони , вона може бути переконливим доведенням для тих, хто, переконаний доведенням Ліндеманна та інших чи, не знаючи про них, до цього часу ще сподівається, що можна знайти точне відношення довжини кола до діаметру. Можна обчислити приблизне значення р (чи,), яке задовольняє ті чи інші математичні потреби. Однак не в практичному відношенні цікавила людей задача про квадратуру круга, цікавила її принципова сторона: чи можливо точно обчислити цю задачу, використовуючи для побудови тільки циркуль та лінійку.

Один із сучасників Сократа - софіст Антифон вважав, що квадратуру круга можна побудувать таким чином: впишемо в круг квадрат і, розділяючи навпіл дуги, відповідні його сторонам, побудуємо правильний вписаний восьмикутник, який зіллється з колом. Оскільки можна побудувать квадрат рівновеликий будь- якому многокутнику, то і круг можна квадрувати. Проте вже Аристотель довів, що це буде тільки приблизне, але не точне значення задачі, бо многокутник ніколи не може співпадати з кругом.



мал. 7

Квадратурою круга займався також знаменитий геометр V с. до н. е. - Гіппократ Хійський. У багатьох, хто займався цією задачею, виникали сумніви, щодо того чи можливо взагалі побудувати прямолінійну фігуру, рівновелику криволінійній. Ця можливість була доведена Гіппократом, побудувавшим місяцеподібні фігури (мал.7), відомих під назвою «гіппократових місяців». В півкруг з діаметром |BC| вписаний рівнобедрений прямокутний трикутник ВАС (|BC|=|AC|). На |AB| і|AC|, як на діаметрах, (мал.7), описуються півкола.

Фігури- меніски ALBM і ADCE, обмежені круговими дугами, і називаються місяцями.

За теоремою Піфагора: |BC|2 - |AB|2 + |AC|2=2 |AB|2 (1). Відношення площ кругів чи півкругів BMAEC і AECD дорівнює, як вперше довів сам Гіппократ, відношенню квадратів існуючих діаметрів, які в силу (1) дорівнює 2. Тому, площа ОАС дорівнює площі півкруга, побудованого на діаметрі |AC|. Якщо із обох рівних площ виділити площу сегмента АСЕ, то і отримаємо, що площа трикутника АОС рівнa площі місяця ADCE або сума площ обох місяців рівна площі рівнобедренного трикутника ВСА. Гіппократ знайшов і інші місяці, продовжував свої пошуки з надією дійти до квадратури круга, що йому, звичайно, не вдалось.

Різні інші спроби знайти квадратуру круга закінчувалися невдачею. Лише у 80-х роках XIX ст. Було строго доведено, що квадратуру круга, за допомогою циркуля і лінійки, побудувати неможливо.

Задача про квадратуру круга стає розв'язною , якщо використовувити, крім циркуля і лінійки, інші засоби побудови. Так, ще в IV ст. до н.е. грецькі математики Дінострат і Менехм користувались для розв'язання задачі однією кривою, яка була знайдена ще в V ст. до н.е. Гіппом Елідським. Проте вчених Давньої Греції і їх наступників такі рішення, які знаходяться за межами використання циркуля і лінійки, не задовольняли. Будучи на початку чисто геометричною задачею, квадратура круга перетворилась на протязі століть у виключно важливу задачу арифметико - алгебраїчного характеру, пов'язану з числом р і сприяла розвитку нових понять та ідей в математиці.

Квадратура круга була в попередні часи найбільш привабливою задачею. Всі спроби були даремні, але їх кількість не зменшилась. Що ця задача до цього часу не втратила свого інтересу, кращим доведення є те, що з'являються і зараз спроби її розв'язати.

Поділ кола (побудова правильних многокутників)

Завдання поділу кола полягає у побудові циркулем і лінійкою правильного n-кутника при довільному натуральному n. Зрозуміло, що цей многокутник завжди можна уявити собі вписаним у коло одиничного радіуса.

Уже в старовинній Греції було помічено, що в той час як деякі n-кутники (наприклад, при n=3, 4, 5, 6, 8, 10, 12) можна побудувати циркулем і лінійкою досить легко, при інших значеннях n (7, 9, 11, 13 і ін.) це не вдається.

Нам тепер цілком зрозуміло, що не всякий правильний многокутник можна побудувати циркулем і лінійком. Так, не можна побудувати правильний 9-кутник. Справа в тому, що нам задано в цій задачі лише радіус, тобто числа 0 і 1, що рівнозначно заданню поля раціональних чисел. Але, як було показано вище, виходячи з поля Q , не можна здійснити трисекцію кута 60o, або, що те саме, побудувати циркулем і лінійкою кут у 20o . Пoбудовність же 9-кутника означала б і побудовність 18-кутника, тобто можливість побудувати циркулем і лінійкою кут в 20o, що суперечить доведеному.

Ще в стародавні часи постало питання про те, які правильні многокутники можна побудувати циркулем і лінійкою, а які - ні . Повну відповідь на це питання дав видатний німецький математик К.Ф. Гаусс в кінці ХVІІІ ст.

Переходячи до викладу результатів Гаусса, зробимо деякі попередні зауваження.

Якщо якийсь привильний n-кутник побудований циркулем і лінійкою,

то таким буде і всякий многокутник з числом сторін 2k ·n.

Це випливає з того, що, як відомо з шкільного курсу математики, довільну дану дугу завжди можна поділити на дві рівні частини за допомогою циркуля і лінійки. Наприклад, разом з привильним трикутником, побудовними є правильні многокутники з числом сторін 6, 12, 24, 48,… 2k · 3.

Якщо побудовний правильний многокутник з числом сторін n= n1· n2, то побудовними є і многокутники з числом сторін n1 та n2 .

Справді, можливість побудови n - кутника означає можливість побудови циркулем і лінійкою дуги, що є частиною одиничного колаю Але тоді побудовна і частина кола (бо n2), і частина кола (бо n1) .

Якщо побудовні многокутники з числом сторін n1 та n2, при чому числа n1 , n2 взаємно прості, то побудуваний і многокутник з числом сторін n= n1 ·n2.

Справді, як відомо можна знайти такі натуральні числа m1 і m2 , що

n1m1 - n2m2 = 1, бо n1 i n2 взаємно прості. Але тоді: .

Ця рівність показує, що з побудовності частини кола і частини кола випливає побудовність частини кола, тобто привильного n-кутника.

Нагадаємо тепер, що довільне натуральне число n можна єдиним способом подати у вигляді n=2k · · · … · , де р1 , …. pr - різні прості дільники n, при чому pi 3.

Поділ кола на три рівні частини

Креслимо перпендикулярні осьові лінії 1-2 і 3-4. Для розмітки на три частини використовуємо радіус кола. Перевертаємо циркуль кінцями навпаки. Голку встановлюємо на верхній перетин осьової лінії з окружністю (точка 1), а грифель в центр О. окреслюємо дугу, що перетинає окружність (точки 3 і 4).

Місця перетину і будуть вершинами трикутника (2-3-4).

Щоб отримати поділ на 6 частин, повторюємо теж саме, встановлюючи голку на нижній перетин вертикальної осі з окружністю (точка 2).

Поділ кола по таблиці

Тепер про поділ на більшу кількість частин. Для цього існує ось така таблиця коефіцієнтів.

Для отримання довжини хорди, потрібно помножити діаметр кола на коефіцієнт з таблиці.

Кількість частин	Кефіцієнт	Кількість частин	Кефіцієнт	Кількість частин	Кефіцієнт
3	0,86603	13	0,23932	23	0,13617
4	0,70711	14	0,22252	24	0,13053
5	0,58779	15	0,20791	25	0,12533
6	0,5	16	0,19509	26	0,12054
7	0,43388	17	0,18375	27	0,11609
8	0,38268	18	0,17365	28	0,11196
9	0,34202	19	0,16459	29	0,10812
10	0,30902	20	0,15643	30	0,10453
11	0,28173	21	0,14904
12	0,25782	22	0,14231

Таблиця дозволяє ділити коло до 30 частин. Якщо потрібна більша кількість, то коефіцієнт нескладно обчислити самостійно. Для цього ділимо 360 на потрібну кількість частин і беремо синус цього числа. Отриманий результат ділимо на два - це і є наш коефіцієнт.

Размещено на Allbest.ru

...