Однокрокові методи розв'язання звичайних диференціальних рівнянь
Чисельне інтегрування звичайних диференційних рівнянь явними і неявними методами Рунге-Кутта. Вплив значення кроку обчислень на точність і збіжність рішення. Визначення можливості застосування засобів стандартних пакетів для отримання результатів.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лабораторная работа |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 08.05.2015 |
| Размер файла | 208,8 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ
„КИЇВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ”
НАВЧАЛЬНО-НАУКОВИЙ КОМПЛЕКС
„ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНОГО СИСТЕМНОГО АНАЛІЗУ”
Лабораторна робота №10
з курсу: «Чисельні методи»
Однокрокові методи розв`язання звичайних диференціальних рівнянь
Студента ІІ курсу Факультету ІПСА
Групи ДА-32 Натальчука Максима
Київ, 2015 рік
Мета. Придбання практичних навичок в чисельному інтегруванні звичайних диференційних рівнянь явними і неявними методами Рунге-Кутта, дослідження впливу значення кроку обчислень на точність і збіжність рішення. Визначення можливості застосування засобів стандартних пакетів для отримання результатів.
Хід роботи
Для 19 варіанту вхідні дані мають наступний вигляд:
диференційний рівняння обчислення рунге
Рівняння: .
Параметри:
Завдання 1. Запрограмувати на мові пакету Mathematica рішення заданого диференційного рівняння явним методом Рунне - Кутта четвертого порядку (10.6) і виконати рішення при кількох значеннях кроку, поки рішення не почне розбігатися. Спробуйте з'ясувати, чи існує аналітичне рішення задачі.
Завдання 2. Порівняти отриманий максимально можливий крок hmax з значеннями, обчисленим за допомогою формули.
Максимально можливий крок визначити неможливо, оскільки власне значення Якобіану прямує до нескінченності.
Завдання 3. Запрограмувати на мові пакету Mathematica рішення заданого диференційного рівняння неявним методом Рунне - Кутта 4(5) і виконати рішення при максимальних значеннях кроку з пункту 1.
Завдання 4. Запрограмувати на мові пакету Mathematica рішення заданого диференційного рівняння вкладеним явним методом Рунне - Кутта четвертого порядку (10.8) і виконати рішення при максимально можливому кроці hmax,знайденому в пункті 2.
Завдання 5. Користуючись стандартними операторами пакету Mathematica, знайти рішення заданого диференційного рівняння вкладеним явним методом Рунне - Кутта і порівняти покрокові похибки рішень, отриманих в пунктах 1, 3 і 5.
Завдання 6. Користуючись стандартними операторами пакету Mathematica, знайти рішення заданого диференційного рівняння вкладеним неявним методом Рунне - Кутта і порівняти покрокові похибки рішень, отриманих в пунктах 1, 3 і 5.
Висновок
Під час виконання даної роботи я ознайомився з явними та неявними однокроковими методами розв`язання звичайних диференціальних рівнянь Рунге-Кутти. Результати подано в таблиці
|
Метод |
х |
у |
|
|
Явний |
0.1, 0.2,..,0.9, 1 |
1.00029; 1.00198; 1.0058; 1.01193; 1.02028; 1.03059; 1.0425; 1.05565; 1.06966; 1.08419. |
|
|
Неявний |
0.1, 0.2,..,0.9, 1 |
1.00029; 1.00198; 1.0058; 1.01193; 1.02028; 1.03059; 1.0425; 1.05565; 1.06966; 1.08419. |
|
|
Вкладений |
0.1, 0.2,..,0.9, 1 |
1.00029; 1.00198; 1.0058; 1.01193; 1.02028; 1.03059; 1.0425; 1.05565; 1.06966; 1.08419. |
|
|
Вкладений явний через стандартний пакет |
0.1, 0.2,..,0.9, 1 |
1.00029; 1.00198; 1.0058; 1.01193; 1.02028; 1.03059; 1.0425; 1.05565; 1.06966; 1.08419. |
|
|
Вкладений неявний через стандартний пакет |
0.1, 0.2,..,0.9, 1 |
1.00029; 1.00198; 1.0058; 1.01193; 1.02028; 1.03059; 1.0425; 1.05565; 1.06966; 1.08419. |
Крок обчислення для явного методу виявився необмеженим, що дало нам можливість підібрати будь-яку довжину кроку для розв`язку диференціального рівняння. Результат, отриманий даним методом, абсолютно зійшовся з розв`язком через стандартний пакет Математика.
Результати, отримані неявним методом Рунге-Кутти, також не мають похибок з отриманими через стандартний пакет. Даний метод зручно застосовувати для жорстких рівнянь, у яких аргументи виражені неявно.
Вкладений метод використовується для підвищення ефективності чисельного інтегрування функцій для розв`язання диф.рівнянь. Він апріорі дав безпомилковий результат, проте на заданій точності не було проявлено його переваг над іншими методами. Хоча саме цей спосіб дозволяє нам отримати найточніший результат обчислення розв`язку диференціальних рівнянь.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Аналіз найвідоміших методів розв’язування звичайних диференціальних рівнянь і їх систем, користуючись рекомендованою літературою. Розробка відповідної схеми алгоритму. Розв’язання системи звичайних диференціальних рівнянь в за допомогою MathCAD.
лабораторная работа [412,4 K], добавлен 21.10.2014Розгляд найбільш відомих скінченно-різнецевих методів рішення рівнянь руху з непереривною силою: чисельна ітерація рівнянь Ньютона; алгоритм Бімана і Шофілда; метод Рунге-Кутта; методи Адамса, Крилова, Чаплигіна. Програма Рунге-Кутта на мові С#.
курсовая работа [359,5 K], добавлен 27.01.2011Умови та особливості використання модифікованого методу Ейлера для отримання другої похідної в кінцево-різницевій формі. Два обчислення функції за крок. Метод Ейлера-Коші як частковий випадок методу Рунге-Кутта. Метод четвертого порядку точності.
презентация [171,0 K], добавлен 06.02.2014Розгляд крайової задачі для нелінійного рівняння другого порядку. Вивчення різницевого методу розв'язання крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь. Метод прогонки - окремий випадок методу Гауса. Програма на алгоритмічній мові Turbo Pascal.
курсовая работа [49,7 K], добавлен 10.04.2011Класифікація методів для задачі Коші. Лінійні багатокрокові методи. Походження формул Адамса. Різницевий вигляд методу Адамса. Метод Рунге-Кутта четвертого порядку. Підвищення точності обчислень методу за рахунок подвійного обчислення значення функції.
презентация [1,6 M], добавлен 06.02.2014Поняття диференціальних рівнянь. Задача Коші і крайова задача. Класифікація методів для задачі Коші. Похибка методу Ейлера. Модифікований метод Ейлера-Коші. Пошук рішення задачі однокроковим методом Ейлера. Порівняння чисельного рішення з точним рішенням.
презентация [294,4 K], добавлен 06.02.2014Вивчення теорії наближених обчислень і чисельних методів лінійної алгебри. Опис прямих і ітераційних методів вирішення систем лінійних рівнянь, алгоритмізація і точність наближених обчислень функції. Чисельна інтеграція звичайних диференціальних рівнянь.
лекция [103,6 K], добавлен 06.02.2014Класичні та сучасні наближені методи розв'язання диференціальних рівнянь та їх систем. Класифікація наближених методів розв'язування. Розв'язування трансцендентних, алгебраїчних і диференціальних рівнянь, методи чисельного інтегрування і диференціювання.
отчет по практике [143,9 K], добавлен 02.03.2010Вивчення методів розв'язання лінійної крайової задачі комбінуванням двох задач Коші. Переваги та недоліки інших методів: прицілювання, колокацій, Гальоркіна, найменших квадратів та ін. Пошук єдиного розв'язку звичайного диференціального рівняння.
курсовая работа [419,2 K], добавлен 29.08.2010Чисельні методи рішення диференціальних рівнянь у частинних похідних 2-го порядку, початкові і крайові умови. Метод сіток та представлення часткових похідних у скінчено-різницевому вигляді. Структура похибки розв'язку задачі, стійкість і коректність.
курсовая работа [986,6 K], добавлен 22.08.2010Ознайомлення з нестандартними методами рішення рівнянь і нерівностей. Відомості з історії математики про рішення рівнянь. Розгляд та застосування на практиці методів рішення рівнянь і нерівностей, заснованих на використанні властивостей функції.
дипломная работа [1,4 M], добавлен 26.01.2011Визначення поняття "рівняння з параметрами", розгляд принципів рішення даних рівнянь на загальних випадках. Особливості методів розв'язання рівнянь із параметрами, зв'язаних із властивостями показовою, логарифмічною й тригонометричною функціями.
реферат [68,3 K], добавлен 15.02.2011Стандартні ірраціональні рівняння й методи їхнього рішення. Застосування основних властивостей функції: області визначення рівняння, значень, монотонності та обмеженості функції. Застосування похідної. Методи рішення змішаних ірраціональних рівнянь.
курсовая работа [406,7 K], добавлен 14.01.2011Чисельні методи розв’язання систем нелінійних рівнянь: лінійні і нелінійні рівняння, метод простих ітерацій, метод Ньютона. Практичне використання методів та особливості розв’язання систем нелінійних рівнянь у пакеті Mathcad, Excel та на мові С++.
курсовая работа [2,0 M], добавлен 30.11.2010Етапи розв'язування задачі дослідження певного фізичного явища чи процесу, зведення її до диференціального рівняння. Методика та схема складання диференціальних рівнянь. Приклади розв'язування прикладних задач за допомогою диференціального рівняння.
контрольная работа [723,3 K], добавлен 07.01.2016Графічний спосіб розв'язку рівнянь. Комбінований метод пошуку та відокремлення коренів. Метод Ньютона (метод дотичних або лінеаризації). Процедура Ейткена прискорення збіжності. Метод половинного поділу та простих ітерацій уточнення коренів рівняння.
лекция [1,9 M], добавлен 27.07.2013Варіаційне числення. Обчислення варіації інтегрального функціонала. Варіаційна задача з рухливими границями. Розв’язання диференційних рівнянь з лінійним відхиленням аргументу. Варіації розв’язків диференціального рівняння із розривною початковою умовою.
курсовая работа [7,8 M], добавлен 21.11.2011Розв’язання систем лінійних рівнянь методом Жордана-Гауса. Еквівалентні перетворення системи, їх виконання як елемент методів розв’язування системи рівнянь. Базисні та вільні змінні. Лінійна та фундаментальна комбінації розв’язків, таблиці коефіцієнтів.
контрольная работа [170,2 K], добавлен 16.05.2010Прийоми розв’язання задач в першому і другому степені на Далекому Сході та Греції. Досягнення арабських математиків в області алгебраїчних рівнянь. Розв'язання похідного кубічного рівняння. Найвидатніші теореми про радикали вищих степенів, їх розв’язання.
курсовая работа [536,1 K], добавлен 23.02.2014Рішення з заданим ступенем точності задачі Коші для системи диференціальних рівнянь на заданому інтервалі. Формування мінімальної погрішності на другому кінці. Графіки отриманих рішень і порівняння їх з точним рішенням. Опис математичних методів рішення.
курсовая работа [258,9 K], добавлен 27.12.2010
