Теоретическое и численное моделирование краевых задач математической физики

Размещено на http://www.allbest.ru/

ФГБОУ ВПО МГТУ «СТАНКИН»

Кафедра Прикладной Математики

Курсовая работа

по дисциплине:

Уравнения в частных производных

«Теоретическое и численное моделирование краевых задач математической физики»

Выполнил: Астафьев М.А.

Проверил: Федирко В.А.

Москва 2015г.



Введение

Цель работы - овладение основами разностных методов решения задач математической физики и навыками их численного исследования.

План работы:

I. Разностные методы решения краевых задач для уравнений в частных производных.

II. Краткий реферат по заданному методу решения сеточных уравнений - специфической системы линейных алгебраических уравнений.

III. Самостоятельное численное исследование свойств решения заданной краевой задачи в зависимости от параметров задачи и соотношений между ними: постановка задачи, переход к безразмерным переменным, методы решения, выбор варьируемых безразмерных параметров, результаты численного исследования (с иллюстрациями), интерпретация результатов (с использованием аналитических решений для предельных случаев) и краткие выводы.



1. Разностные методы решения краевых задач для уравнений в частных производных

краевой уравнение алгебраический аппроксимация

Для численного решения задач по дифференциальным уравнениям методом сеток (конечных разностей) необходимо проделать следующее. Область непрерывного изменения аргумента (аргументов) искомой функции заменяется конечным дискретным множеством точек, называемых узлами сетки. Все производные, входящие в дифференциальную задачу, заменяются разностными производными. Это осуществляется тем или иным методом конструирования разностных схем. В конечном итоге получаем систему алгебраических уравнений. Таким образом, сущность метода сеток, в настоящее время самого универсального решателя дифференциальных уравнений, состоит в замене исходных дифференциальных задач системами алгебраических уравнений, их приближенно заменяющими.

Если при измельчении шагов сетки решение разностной схемы сходится к решению исходной дифференциальной задачи, то за решение исходной задачи принимается решение разностной схемы. После конструирования разностной схемы необходимо провести теоретические исследования разрешимости задач. Внутренними свойствами разностной схемы являются аппроксимация и устойчивость. Эти свойства разностной схемы должны исследоваться для каждой схемы.

Получающиеся разностные схемы решаются теми или иными методами решения систем алгебраических уравнений. Разрешающий алгоритм должен быть экономичным и этим же требованиям должна обладать и разностная схема.

Для построения разностной схемы необходимо построить сетку G_h-конечное множество точек, принадлежащих G, плотность распределения которых характеризуется параметрами h-шагом сетки. Пусть область изменения аргумента x есть отрезок G={0?x?1}. Разобьем этот отрезок точками x_i=i•h, i=0,n на n равных частей длины h=1/n каждая. Множество точек x_i=i•h, называется равномерной сеткой на отрезке 0?x?1 и обозначим ={x_i=i•h, i=0,n}, а число h-расстояние между точками (узлами) сетки называется шагом сетки. Разбиение отрезка 0?x?1 точками x_i, i=0,n можно производить произвольным образом - 0<x₁<…<x_n-1<1. Тогда получаем сетку ={x_i, i=0,n, x₀=0, x_n=1} c шагами h_i=x_i-x_i-1, которое зависит от номера узла сетки. Если h_i?h_i+1 хотя бы в одной точке, то сетка называется неравномерной и такую сетку обозначают w. Точки x₀ и x_n назовем граничными узлами и обозначим их г_h. Остальные узлы назовем внутренними и обозначим их w_h. Узлы соседние с граничащими назовем приграничными. Тогда имеем =w_h г_h.

Сетки и сеточные функции.

Для того, чтобы написать разностную схему, приближенно описывающую данное дифференциальное уравнение, нужно совершить следующие два шага.

1. Необходимо заменить область непрерывного изменения аргумента областью дискретного его изменения.

2. Необходимо заменить дифференциальный оператор некоторым разностным оператором, а также сформулировать разностный аналог для краевых условий и для начальных данных.

После осуществления такой процедуры мы приходим к алгебраической системе уравнений. Таким образом, задача о численном решении исходного (линейного) дифференциального уравнения сводится к вопросу о нахождении решения полученной алгебраической системы. Остановимся на этих вопросах несколько подробнее. При численном решении той или иной математической задачи мы, очевидно, не можем воспроизвести разностное решение для всех значений аргумента, изменяющегося внутри некоторой области евклидова пространства. Естественно поэтому выбрать в этой области некоторое конечное множество точек и приближенное решение искать только в этих точках, некое множество точек называется сеткой, идеальные точки называют узлами сетки. Функция, определенная в узлах сетки, называется сеточной функцией. Таким образом, мы заменили область непрерывного изменения аргумента сеткой, т. е. областью дискретного изменения аргумента; иными словами, мы осуществили аппроксимацию пространства решений дифференциального уравнения пространством сеточных функций. Свойства разностного решения и, в частности, его близость к точному решению зависят от выбора сетки.

Разностная задача (схема).

Основная идея применения разностных методов состоит в замене непрерывных переменных дискретными. Функции и аргументы заменяются набором чисел, заданных в точках множества, называемого сеткой. Исходные дифференциальные или интегральные уравнения заменяются системой алгебраических уравнений высокого порядка. Хотя в принципиальном плане задача упрощается, но из-за высокого порядка алгебраической системы возникают большие вычислительные трудности, как правило, непреодолимые без использования ЭВМ. При решении дифференциальных уравнений производные в уравнениях и граничных условиях заменяются отношением конечных разностей функций и аргументов. Исходной задаче ставится в соответствие разностная задача или разностная схема. В дальнейшем разность аргументов в соседних узлах сетки будем называть шагом сетки. Будем говорить, что разностное уравнение аппроксимирует исходное дифференциальное, если при неограниченном измельчении сетки разностное уравнение стремится к точному.

Задачи математической физики помимо дифференциального уравнения включают и дополнительные условия - краевые и начальные, которые обеспечивают выделения единственного решения из всей совокупности возможных решений.

Поэтому при формулировке разностной задачи, помимо аппроксимации дифференциального уравнения, необходимо эффективно описывать в разностном виде эти дополнительные условия. Совокупность разностных уравнений, аппроксимирующих основное дифференциальное уравнение и дополнительные условия (краевые и начальные), называют разностной схемой.

Аппроксимация.

Для того чтобы уравнения были как-то связаны с приближаемым дифференциальным оператором нужно, чтобы уравнения удовлетворяли многочленам. Если уравнения выполняются для всех многочленов степени не выше r с точностью , то говорят, что разностная схема имеет r-тый порядок аппроксимации.

Заменим область Щ изменения аргумента x сеткой щ_h, т.е. конечным множеством точек x_i. Вместо функции u(x) непрерывного аргумента x ? Щ будем рассматривать сеточные функции y(x_i), которую можно представить в виде вектора. Если пронумеровать все узлы в некотором порядке x₁,x₂,...,x_N, то значения сеточной функции в этих узлах можно рассматривать как компоненты вектора

Дифференциальный оператор L, заданный в классе функций непрерывного аргумента, может быть приближенно заменен (аппроксимирован) разностным оператором L_h, заданным на сеточных функциях. Для этого каждая из производных заменяется разностным отношением, содержащим значения сеточной функции в нескольких узлах сетки. Рассмотрим пример аппроксимации первых и вторых производных функции одного переменного.

Пусть w_h = {x_i = ih} - сетка с шагом h на отрезке 0 ? x ? 1. Рассмотрим производную Lv = v? функции v(x). Заменить ее разностным выражением можно бесчисленным множеством способов. Простейшими являются замены



(2.1)

- левая разностная производная или левое разностное отношение,

(2.2))

- правая разностная производная

(2.3)

- центральная разностная производная.

При замене Lv = v? разностным выражением L_h^?v_i допускается погрешность L_h^?v_i -_i = ш_i^h, называемая погрешностью аппроксимации оператора L разностным оператором L_h. Естественно требовать, чтобы при стремлении h к нулю эта погрешность стремилась к нулю. Разложим v(x) по формуле Тейлора в окрестности точки x = x_i

(предполагая при этом, что функция v(x) - достаточно гладкая в некоторой окрестности (x - h₀,x + h₀) точки x и h < h₀, h₀ - фиксированное число) Подставляя это разложение в (2.1)-(2.3), получим



Отсюда видно, что

Будем говорить, что разностный оператор L_h аппроксимирует дифференциальный оператор L с порядком m > 0 в точке x, если max _h|ш_i^h| = O(h^m). Таким образом, левая и правая разностные производные аппроксимируют Lv = v? с первым порядком, а центральная разностная производная - со вторым порядком.

Рассмотрим теперь вторую производную Lv = v?? = . Чтобы написать разностную аппроксимацию второй производной, надо использовать трехточечный шаблон, состоящий из узлов x_i-1,x_i,x_i+1, в этом случае

(2.10)

Пользуясь разложением функции v(x) по формуле Тейлора, можно показать, что порядок аппроксимации в этом случае равен двум, т.е.

так как

(2.11)

Устойчивость.

Условия аппроксимации не достаточно для того, чтобы результат разностной схемы приближался

к точному ответу при h > 0. В случае схем, коэффициенты которых не зависят от решения дифференциального уравнения, нужно выполнение условия устойчивости. Такие схемы можно представить как некоторый линейный оператор, который преобразует значения функции в момент t в значения функции в момент t + ф. Условие устойчивости требует, чтобы собственные числа (вообще говоря, комплексные) этого оператора не превосходили по модулю 1+ch, где с -- некоторая константа, при h>0. Если это условие не выполнено, то погрешности схемы быстро возрастают и результат тем хуже, чем меньше шаг. Если выполнены как условие аппроксимации, так и условие устойчивости, то результат разностной схемы сходится к решению дифференциального уравнения.

Разностная задача устойчива, если существуют числа и такие, что при любом и разностная краевая задача имеет только одно решение, причем выполняется условие где -- константа, независящая от . Свойство устойчивости можно трактовать как равномерную относительно чувствительность решения разностной краевой задачи к возмущениям правой части.

Если разностная краевая задача аппроксимирует дифференциальную и устойчива, то имеет место сходимость. При этом порядок скорости сходимости совпадает с порядком аппроксимации.

Сходимость.

Разностная схема сходится, если .

Если выполняется неравенство , где -- константа, независящая от , то говорят, что сходимость имет порядок относительно . Если в разностную аппроксимацию подставим точное решение, то получим:



где -- невязка.

Теорема о сходимости разностной схемы: Пусть дифференциальная задача поставлена корректно, разностная схема является корректной и аппроксимирует исходную задачу. Тогда решение разностной схемы сходится к решению исходной задачи, причем порядок точности совпадает с порядком аппроксимации.

Корректность разностной схемы

Пусть имеем дифференциальную задачу

,

и на сетке аппроксимируем ее разностной схемой

Задача поставлена корректно, если выполнены условия:

1) задача однозначно разрешима при любых правых частях

2) решение задачи непрерывно зависит от правых частей т.е.

_H ? M₁•_H +M₂•_H.

Аналогично определяется понятие корректности разностной схемы. Говорят, что разностная схема корректна, если при всех достаточно малых ¦h¦< h₀:

1) решение y_h разностной схемы существует и единственно для всех входных данных f _hH_h, ц_h H_h;

2) существуют постоянные M₁>0, M₂>0 не зависящие от h и такие, что при любых f _h H_h, ц_h H_h справедлива оценка

_Hh ? M₁•_Hh +M₂•_Hh.

Свойство 2), означающее непрерывную зависимость, равномерную относительно h, решения разностной схемы от правых частей, называется устойчивостью разностной схемы.

Явный левый уголок для уравнений переноса.

Сеточный шаблон:

Разностная схема (далее полагаем ):

p = 0, 1, …, P - 1; m = 1, …, M;

m = 0, 1, …, M;

p = 1, 2, …, P.

Значение сеточной функции на верхнем временном слое p + 1 рассчитывается по ее значениям на нижнем слое p:



Порядок аппроксимации: О( + h).

Схема устойчива при

Отчёт по 1-й лабораторной:



2. Метод верхней релаксации

Итерационные методы решения СЛАУ позволяют найти решение лишь с заданной точностью. Пусть требуется решить систему Ax=F. Представим матрицу A в виде A=L+D+U, Где L - Нижнетреугольная матрица, D -Диагональная матрица, U - Верхнетреугольная матрица.

Запишем систему (6.1) в развернутом виде:

Где ( I=1,2,…,N ), и приведем к виду



Обозначим

В векторно-матричном виде система запишется в виде:

x=B x+C,

Где B={Bij}I, j=1,…,n, C={Ci}I=1,…,n, X=(x1,x2,…,xn)Т.

Построим Итерационный процесс по формуле

X(K+1)=B X(K)+C,

Где X0 - Задано, K - Номер итерации, X(K)=(X1K,X2K,…,Xnk)Т.

В качестве условия остановки итерационного процесса, можно использовать условие

,

Где E - заданная точность вычисления.

Достаточным условием сходимости метода простой итерации является:



Или условие диагонального преобладания матрицы A, т. е.

Необходимым и достаточным условием сходимости итерационных методов является условие Max|LI(B)| < 1. Оценка погрешности итерационного процесса запишется в виде:

,

Где X*- точное решение. Определяя необходимое число итераций для достижений заданной точности из формулы, получим

Итерационная формула Метода Якоби имеет вид:

,



Где

Для Метода Зейделя каждый вычисленный элемент вектора X на (K+1) - й итерации используется при вычислении следующего элемента:

В общем виде получим:

.

Для метода релаксации введем числовой параметр w так, что

При w > 1 будет Метод верхней релаксации,

Размещено на Allbest.ru

...