Характеристика числовых функций

Размещено на http://www.allbest.ru/

Учреждение образования

«Белорусский государственный педагогический университет имени Максима Танка»

Физико-Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Курсовая работа

Числовые функции

Студента 402 группы

4 курса специальности

«Математика. Информатика»

Римдёнок Антон

Васильевич

Минск 2015



Оглавление

1. Числовые функции

1.1 Число и сумма делителей данного числа

1.2 Формула для числа делителей данного числа

2. Формула для суммы делителей данного числа

2.1 Совершенные числа. Специальные простые числа

2.2 Представление четных совершенных чисел

2.3 Простые числа Мерсенна; их наибольшее известное значение

2.4 Простые числа Ферма

3. Функции и

3.1 Графики функций и

3.2 Некоторые свойства функции [х]

3.3 Вычисление показателя , с которым простое число входит в произведение

4. Распределение простых чисел

Заключение

Литература



1. Числовые функции

1.1 Число и сумма делителей данного числа

Под числовой функцией понимают функцию, определённую для любого натурального аргумента.

С некоторыми числовыми функциями мы уже познакомились: с функцией Эйлера, а так же с функциями «целая часть от » и «дробная часть от ».

В этой главе продолжим изучение числовых функций.

1.2 Формула для числа делителей данного числа

Обозначим число натуральных делителей натурального числа (включая тривиальные делители и ) через . Если в каноническом разложении имеет вид

,,

Где - просты е делители , то, как это показано все делители этого числа суть все числа вида

,

где

, , ….

Чтобы найти число делителей, необходимо подсчитать число возможных различных комбинаций для , отвечающих условию (3), так как различных комбинациями значений , независимо друг от друга принимают соответственно различных значений, общее число таких комбинаций будет

.

Таким образом, получаем:

.

Пример. Пусть тогда .

Формула (4), как и её выводы, показывает, что не зависит от простых множителей канонического разложения числа , а только от их показателей.



2. Формула для суммы делителей данного числа

Пусть или --сумма всех натуральных делителей натурального числа имеющего каноническое разложение (1).

Легко понять, что

,

,

так как слагаемые произведения совпадают с делителями числа .

Суммируя каждый сомножитель по формуле для суммы членов геометрической прогрессии, получаем

.

Пример:

.

Если в каноническом разложении числа прибавить сомножитель , взаимно простой с остальными, то в правой части (1) появится дополнительный сомножитель, а в правой части (2) --сомножитель --, равный сумме делителей числа .

Итак, если то .

Вообще для взаимно простых и



,

откуда видно, что функция мультипликативная.

2.1 Совершенные числа. Специальные простые числа

Определение совершенных и дружественных чисел

Делители числа (имеются в виду натуральные делители), за исключением самого числа, называются его собственными делителями; их сумма равна .

Если для двух чисел сумма собственных делителей каждого из них равна другому, то такие числа называются дружественными; для них

, ,

Откуда

.

Натуральное число называется совершенным, если оно равно сумме своих собственных делителей (или если оно дружественно самому себе), т. е. удовлетворяет условию

,

или

.

Определение совершенных и дружественных чисел имеются уже в «Началах» Евклида, они упоминаются и Платоном. Греки видели в них некую совершенную гармонию и приписывали им мистический характер.

Древним грекам была известна пара дружественных чисел и и четыре совершенных числа: .

2.2 Представление четных совершенных чисел

О нечетных совершенных числах

Евклид нашел достаточное условие для четных совершенных чисел.

Теорема Евклида: если число имеет вид , где натуральное и при этом число простое, то совершенно.

В самом деле, для такого по формуле для суммы делителей данного числа находим

.

Среди чисел условие теоремы, чтобы было простым числом, выполняется для и . Мы получаем простые числа и , которым соответствуют упомянутые выше четыре совершенных числа.

После Евклида дальнейший крупный успех в исследовании совершенных чисел был достигнут только через тысячи лет Эйлером.

Эйлер доказал, что достаточное условие Евклида для четных совершенных чисел является для них также необходимым.

Теорема Эйлера: четные совершенные числа имеют вид , где натуральное и - число простое.

Доказательство: из условия четности числа следует, что оно имеет вид ,

где натуральное , а - нечетное натуральное число, так что и



.

Если к тому же число совершенное, то

,

Поэтому

,

Что дает нам возможность найти вид числа .

Действительно, в силу того, что , из этого равенства следует, что (где - натуральное число), а вместе с тем, что

.

Число заведомо имеет два различных делителя: и (так как при ).

Но так как их сумма равна , т. е. , то этими числами исчерпываются все натуральные делители .

Поскольку лишь простые числа имеют точно два различных натуральных делителя, именно и , то ясно, что и - число простое. Следовательно, на самом деле имеет вид, указанный в теореме Евклида.

Теоремы Евклида и Эйлера показывают, что формулой

,

где и - простое число, представимы все четные совершенные числа.

В заключении отметим, что в -е годы нашего столетия сведения о совершенных числах обогатились новыми интересными данными. Найдены, например, верхние оценки плотностей числа совершенных чисел:

,

где - число совершенных чисел меньше .

Что касается нечетных совершенных чисел, то до сих пор неизвестно, существуют ли такие или нет.

Во всяком случае твердо установлено, что если нечётные совершенные числа и существуют, то они чрезвычайно велики; ни одно из них не может быть, например, меньше . Известно также, что они могут быть только формы , где простое , , и не могут иметь менее различных простых множителей. Один из первых результатов о простых делителях совершенных чисел получен советским математиком И. С. Градшетейном в мае 1925 году.

2.3 Простые числа Мерсенна; их наибольшее известное значение

До сих пор неизвестно, имеется ли бесконечно много четных совершенных чисел, так как неизвестно, существует ли бесконечно много простых чисел вида .

Необходимым условием простоты числа такого вида являться простота его показателя .

В самом деле, если - число составное, то можно

,



разложить на нетривиальные множители (т. е. такие, которые отличны от самого числа и от единицы), из которых один будет .

Полученное условие не является однако достаточным. Так, например, при имеем

.

О простых числах вида (где р -- простое число) французский математик Мерсенн вел переписку с Ферма; эти числа получили название простых чисел Мерсенна.

До Эйлера было известно 7 совершенных чисел, соответствующих простым числам Мерсенна при р = 2, 3, 5, 7, 13, 17 и 19, Эйлер доказал, что есть простое число.

Число Эйлера считалось наибольшим известным простым числом до 1883 г., когда талантливый русский вычислитель И. М. Первушин () доказал, что есть простое число.

К настоящему времени установлена еще простота чисел вида для показателей:

89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213.

Начиная с показателя , простота чисел была установлена при помощи электронных вычислительных машин (1952).

Простота числа (имеет 3375 цифр) была установлена в 1963 г. Это вообще наибольшее из известных до 1963 г. простое число.

Основой для указанных вычислений является критерий простоты чисел , найденный в основном уже в 1878 г. французским математиком Э. Люка:

Число (где р -- нечетное простое число) тогда и только тогда простое, когда (р-- 1)-й член рекуррентной последовательности.



,

делится на , т. е. когда .

Пример. Применим критерий Люка к . Имеем по модулю 127

,

,

,

.

Условие теоремы выполнено, следовательно, можно утверждать, что -- число простое.

Отметим в заключение без доказательства один признак делимости чисел Мерсенна, на который уже указал Эйлер: если и оба простые, то (некоторые другие признаки делимости чисел указаны, например, в (45)).

2.4 Простые числа Ферма

Ферма высказал предположение, что все числа вида , где , являются простыми. Для условие является необходимой предпосылкой, так как в противном случае, когда содержит

нечетный множитель , очевидно, делится на .

Однако указанное условие не является достаточным: в то время как для получаются простые числа, так называемые простые числа Ферма,

,

для до сих пор не найдено ни одного простого числа. Неизвестно также, обрывается ли последовательность простых чисел Ферма или их существует бесконечно много.

До 1952 г. было известно, что числа Ферма являются составными для показателей . (Для этот факт впервые доказал Эйлер, для -- И. М. Первушин.)

При помощи электронных вычислительных машин до 1964 г. установлено, что и для показателей 10, 13, 14, 15, 16, 19, 21, 25, 26, 27, 30, 32, 39, 42, 52, 55, 58, 63, 77, 81, 117, 125, 144, 150, 207, 226, 228,260, 267, 268, 284, 316, 452, 1945 получаются составные числа.

Отметим без доказательства критерий простоты чисел : число в том и только в том случае простое, когда

.

Нахождение простых делителей составных значительно облегчается теоремой: для каждый простой делитель имеет вид .

Доказательство. Если , то и , откуда следует, что по модулю р число 2 принадлежит показателю где (так как имеет в качестве делителей только числа указанного вида).

Но не равно , так как в противном случае получилось бы, что , и вместе с тем , т. е. , что невозможно ввиду того что -- нечетное; не может также быть меньше , так как если бы принадлежало показателю , где , то делилось бы на и из следовало бы , что, как мы в этом убедились, невозможно.

Итак, принадлежит по модулю показателю и этот показатель должен быть делителем , так что , для , поэтому , откуда следует, что символ Лежандра и . Из этого следует далее, что делиться на , т. е. .

На основании доказанной теоремы можно, например, утверждать, что возможные простые делители имеют вид . На самом деле оказывается, что является делителем , так как, с одной стороны,

, и

,

а, с другой стороны,

и

,

откуда (почленным перемножением (1) и (2)) получается:

, или .

Наибольшее из известных составных чисел Ферма имеет больше цифр. О том, как можно убедиться, что число , насчитывающее цифр, является его наименьшим простым делителем.



3. Функции и

3.1 Графики функций и

В настоящем параграфе продолжим изучение функций --«целая часть от » и -- «дробная часть от », определения которых уже даны в Наглядное представление об этих функциях дают их графики.

1. Если -- целое число, причем , то по определению , так что

Таким образом, график функции имеет вид как на рис. .

2. Из определения «дробной части от » следует, что . Поэтому график функции имеет вид как на рис. 3.

Рис. 2.

Рис. 3.

3.2 Некоторые свойства функции [х]

При помощи функции «целая часть» легко найти наибольшее целое , кратное которого не превосходит действительное число . (если , то означает количество натуральных чисел, не превосходящих и делящихся на .) В самом деле, поскольку по условию , то , а это означает, что .

Используя указанное истолкование для можно без особого труда доказать, что . Действительно, так как между и нет целых точек, то наибольшее целое , кратное которого , является также наибольшим целым, кратное которого . Но последнее равно , поэтому и .

Из этого свойства следует, что для натуральных чисел и поэтому можно записать также в видах и .

3.3 Вычисление показателя , с которым простое число входит в произведение

Рассмотрим задачу, в решении которой функция имеет важное применение.

Задача: найти, с каким показателем простое число входит в произведение .

Показатель простого числа в произведении зависит только от тех сомножителей, которые делятся на .

По крайней мере, по единице в показатель числа вносят те сомножители произведения , которые делятся на , т.е. числа последовательности их число равняется.

По крайней мере, по второй единице в показатель числа вносят те числа указанной последовательности, которые делятся на : их число равняется и т. д.

Поэтому

пока ряд не обрывается.

При практическом вычислении целесообразно учесть, что согласно доказанному в предыдущем пункте,

,

и так далее.

Пример. Найти показатель , с которым число 5 входит в 71!

.

В силу последнего замечания можно воспользоваться легко понятной схемой

Если есть наибольшая степень , не превосходящая , то а можно записать в виде

,

Легко вычислить

,

,

.

Следовательно,

.

Впредь будем обозначать максимальное значение целого , которое удовлетворяет условию , через .



4. Распределение простых чисел

Бесконечность множества простых чисел. Доказательство Евклида. Функция я (х) и ее график

Вопросы распределения простых чисел в ряду натуральных чисел принадлежат к труднейшим вопросам теории чисел; ими интересовались математики уже с древнейших времен.

Еще Евклид в «Началах» доказал бесконечность множества простых чисел. Сущность его рассуждения состоит в следующем:

Допустим, что число простых чисел конечно, и пронумеруем их, например в порядке возрастания через .

Число. делитель число график функция

.

должно обладать хотя бы одним простым делителем . Этот простой делитель не может быть равен или ,…, или так как в противном случае из делимости на и делимости на , следовало бы, что и 1 делится на , а это невозможно.

Таким образом, предположение, что числами исчерпываются все простые числа, приводит к противоречию.

Обозначим, как это принято, через число простых чисел, не превосходящих действительное число . Тогда теорему Евклида можно выразить следующим образом:

При, или .

На рис. 4 дано графическое изображение функции .

,, , , , и т.д. Левые концы «ступеней» принадлежат графику , правые концы ему не принадлежат.

С переходом от одного простого числа к следующему значение функции увеличивается на 1; чтобы

Рис. 4.

получить ее значение для , нужно просуммировать эти единицы по всем простым числам, не превосходящим . Поэтому пишут также

,

Практическая часть

Примеры решения типичных задач

Задача 1. Сколькими нулями оканчивается число

Решение: Количество нулей определяется степенью числа 10, на которую делится 89!, которая, в свою очередь, определяется степенью простого числа 5, в каноническом разложении , то есть

.

Следовательно, число оканчивается двадцатью нулями.

Задача 2. Найти количество целых положительных чисел, не превосходящих и взаимно простых с числом .

Решение: Поскольку , числа, взаимно простые с числом , не должны делиться на 2, на 3 и на 5.

Количества чисел, не превосходящих 2000 и делящихся соответственно на 2, на 3 и на 5 равны соответственно и . При этом числа,

делящиеся на 6, на 10 и на 15, были подсчитаны дважды, а числа, делящиеся на 30 - трижды.

Следовательно, искомое число равно

.

Задача 3. Найти вид натуральных чисел, имеющих 3 различных делителя, и наименьшее число такого вида.

Решение: Пусть натуральное число . Тогда число его делителей . По условию . Следовательно, для некоторого и для всякого , , . Поэтому искомое число имеет вид Его делители . Наименьшее число такого вида =4.

Задача 4. Найти натуральное число, имеющее 3 различных делителя, сумма которых равна 31.

Решение: При решении задачи 1 было показано, что число, имеющее 3 различных делителя, имеет вид . Следовательно, надо найти простое число , являющееся корнем уравнения . Таким числом будет . Искомое число .

Задача 5. Найти сумму и число делителей числа .

Решение: Известно, что если число представлено в каноническом виде

число , то сумма и число его делителей находятся соответственно по формулам

, .

Найдем каноническое представление данного числа:



.

,

Имеем

.

Задача 6. По каким модулям сравнимы числа и ?

Решение. Для сравнимости чисел по модулю достаточно, чтобы разность делилась на . Так как и делится на , на и на , то данные числа сравнимы по модулю , по модулю и по модулю .

Задача 7. Построить полную и приведенную системы наименьших неотрицательных и абсолютно наименьших вычетов по модулю .

Решение. Полную систему наименьших неотрицательных вычетов образуют все остатки, возможные при делении целого числа на модуль. По модулю это числа . Для получения приведенной системы выбираем вычеты, взаимно простые с модулем. Их количество равно значению функции Эйлера от модуля, т.е. . Получаем числа .

Полную систему абсолютно наименьших вычетов образуют числа ; приведенную систему - числа .

Задача 8. Найти остаток от деления числа на .

Решение. Заметим, что , поэтому . Кроме того, , поэтому по теореме Эйлера . Поскольку и , то

,

Следовательно, искомый остаток равен 41.

Задача 9. Пользуясь определением функции Эйлера, найти ее значение для числа .

Решение: Среди натуральных чисел, меньших числа , взаимно простыми с ним будут числа . Следовательно, .

Задача 10. Пользуясь мультипликативностью функции Эйлера, найти ее значение для числа .

Решение: Представим данное число в виде произведения взаимно простых чисел: . Тогда

=

Задача 11. Найти значение функции Эйлера для числа .

Решение: Известно, что если натуральное число

, то

Найдем каноническое представление данного числа:

.

Тогда

Задача 12. Найти число , если известно, что и

.

Решение: Пользуясь формулой для вычисления функции Эйлера и каноническим разложением числа , составим уравнение:

.

Отсюда . Следовательно, искомое число .

Задачи

Целая часть числа, дробная часть числа

1. Найти количество натуральных чисел:

a) в интервале от до , делящихся на ;

b) в интервале от до , делящихся на ;

c) в интервале от до , делящихся на .

2. Найти количество натуральных чисел:

a) от до , делящихся на ;

b) от до , делящихся на ;

c) от до , делящихся на .

3. Найти количество натуральных чисел:

a) не превосходящих числа и не делящихся ни на одно из простых чисел

b) не превосходящих числа и не делящихся ни на одно из простых чисел ;

c) не превосходящих числа и не делящихся ни на одно из простых чисел .

4. Найти показатель, с которым:

a) число входит в произведение ;

b) число входит в произведение ;

c) число 13 входит в произведение .

5. Используя свойства функции , разложить на простые множители:

a) число 32!;

b) число 40!;

c) число 43!.

6. Найти показатель, с которым:

a) число 3 содержится в числе ;

b) число содержится в числе ;

c) число содержится в числе .

7. Вычислить , , .

8. Вычислить

a)

b) ;

c) ;

9. Доказать, что , где - число простое, равно либо , либо .

10. Доказать, что если , то , где - остаток от деления на .

11. Доказать, что для всех действительных .

12. Доказать, что если - натуральное число, то для любого действительного .

13. Сколькими нулями заканчивается число ?

14. Сколько имеется чисел, взаимно простых с числом , заключенных между числами и ?

15. Сколько натуральных чисел, взаимно простых с числом , заключено между числами и ?

Сумма и число делителей натурального числа

1. Найти сумму и число делителей чисел:

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) .

2. Найти целое положительное число, зная, что оно имеет только два простых делителя, число всех делителей равно , а сумма всех делителей равна .

3. Найти значение натурального числа , если известно, что

, , .

4. Найти число , , если .

5. Найти натуральное число , , если , .

6. Найти значение натурального числа , если , , .

7. Найти значение натурального числа , если , , .

8. Пусть , где и -простые числа. имеет различных делителей. Сколько делителей имеет ?

9. Среди натуральных чисел, имеющих простых делителя, найти наименьшее четное число, имеющее различных делителей.

10. Среди натуральных чисел, имеющих простых делителя, найти наименьшее нечетное число, имеющее различных делителей.

11. Найти общий вид натуральных чисел, имеющих различных делителей, выделив среди них числа, имеющие один и два простых множителя. Найти наименьшее число каждого из найденных видов.

12. Найти натуральное число, имеющее три различных делителя, сумма которых равна .

13. Среди натуральных чисел, имеющих различных простых делителя и различных делителей, найти число, сумма всех делителей которого равна .

14. Среди натуральных чисел, имеющих один простой делитель и различных делителя, найти число, сумма всех делителей которого равна .

15. Найти натуральное число, произведение всех делителей которого равно .

16. Показать, что произведение всех делителей числа равно .

17. Найти натуральное число, произведение всех делителей которого равно .

18. Найти число , зная, что имеет на делителей больше, чем ; - на делителей больше, чем ; - на делителей больше, чем .

19. Число имеет вид . Если разделить на , то новое число будет иметь на делителей меньше, чем ; если разделить на , то новое число будет иметь на делителей меньше, чем ; если разделить на , то новое число будет иметь на делителей меньше, чем . Найти .

Функция Эйлера

1. Найти значение функции Эйлера для чисел:

a) 91;

b) 300;

c) 252;

d) 540;

e) 2025;

f) 7875;

g) 10584.

2. Выписать все положительные правильные несократимые дроби при и . Сколько существует таких дробей при произвольном значении ?

3. Доказать, что может быть равно либо , либо . Найти критерий для каждого из этих случаев.

4. Доказать справедливость следующих равенств:

1) ;

2)

5. Найти значение , если известно, что:

1) , ;

2) , ;

3) , ;

4) , ;

5) , ;

6) , .

6. Решить уравнение , где - простое число.

7. Решить уравнения:

8. Доказать, что при значение - число чётное.

9. Известно, что . Что больше: или ?

10. Найти число , если известно, что и с показателями , .

Вычеты по данному модулю

1. Выяснить, образует ли система чисел полную систему вычетов по модулю 6:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

2. Определить, каким классам по модулю принадлежат числа .

3. Написать полные системы наименьших неотрицательных, наибольших неположительных, абсолютно наименьших вычетов по модулю: а); б).

4. Написать полную систему вычетов вида по модулю .

5. Выяснить, образует ли система чисел приведенную систему вычетов по модулю :

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

6. По какому модулю числа и составляют приведенную систему вычетов?

Теоремы Эйлера и Ферма

1. Найти остаток от деления на , если:

1) , ;

2) , ;

3) , .

2. Найти остаток от деления на , если:

1) , ;

2) , ;

3) , ;

3. Найти остаток от деления:

1) на ;

2) на ;

3) на ;

Найти две последние цифры числа a, если:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .



Заключение

Простые числа составляют мультипликативный базис множества N, т.е. любое натуральное число а может быть представлено в виде произведения

a = р1 е . р2 е . р3 е . … . рne, где р - различные простые числа и е - натуральные показатели степеней.

Это утверждение называется основной теоремой арифметики.

Возможно, из всех занимательных задач в теории чисел самая популярная - это поиск простых чисел. Подобно золотым самородкам, они скрываются в "породе" остальных чисел.

Неслучайно так много математиков разных времен и народов занимались простыми числами. А в настоящее время к этой теме привлечены и ЭВМ: как для вычислений с большими числами, так и составление программ на разных языках программирования для поиска простых чисел. Их изучению я посвящу свою следующую работу.



Литература

1. Михелович Ш.Х. Теория чисел. - М.: Высшая школа, 1967. - 336 с.

2. Бухштаб А.А. Теория чисел. - М.: Просвещение, 1966 .- 384 с.

3. И.М.Виноградов. Основы теории чисел. М., Гостехиздат, 1949.

4. В.У.Грибанов, П.И.Титов. Сборник упражнений по теории чисел. М., Просвещение, 1964.

5. Г.А.Кудреватов. Сборник задач по теории чисел. М., Просвещение, 1970.

6. Ш.Х.Михелович. Теория чисел. М., Высшая школа, 1967

Размещено на Allbest.ru

...