Матричные модели обобщенных комплексных чисел

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Комплексные числа - один из наиболее подходящих разделов курса математического анализа для реализации профессиональной направленности бакалавров по направлению подготовки Математика и информатика. При изучении комплексных чисел необходимо учитывать применение математических знаний во многих областях математики (алгебра, математический анализ, геометрия).

Первое упоминание о «мнимых» числах как о квадратных корнях из отрицательных чисел относится еще к XVI веку. Итальянский ученый Джироламо Кардано (1501-1576) в 1545 году опубликовал работу, в которой, пытаясь решить уравнение , он пришел к выражению . Через это выражение представлялись действительные корни уравнения:  Таким образом, в работе Кардано мнимые числа появились как промежуточные члены в вычислениях. Заслуга Кардано состояла в том, что он допустил существование «несуществующего» числа , введя правило умножения:  все остальное стало делом техники.

Однако еще три столетия математики привыкали к этим новым «мнимым» числам, время от времени пытаясь от них избавиться. Только с XIX века, после выхода в свет работ Карла Фридриха Гаусса (1777-1855), посвященных доказательству основной теоремы алгебры, комплексные числа прижились в науке.

В настоящее время комплексные числа используются в математике гораздо шире, чем действительные. Действительные числа - это только часть множества комплексных чисел. Открытие комплексных чисел вооружило ученых новыми, более общими методами исследования. Многие теоремы алгебры, которые раньше приходилось разбивать на ряд частных случаев, после введения комплексных чисел приобрели общность. Новыми методами пополнилось решение уже известных задач, существенно обогатилось и само содержание их.

1. Комплексные числа

Определение:

Комплексные числа (мнимые числа) - числа вида , где  и  - вещественные числа,  - мнимая единица (величина, для которой выполняется равенство: ). Множество всех комплексных чисел с арифметическими операциями является полем и обычно обозначается .

Введем на множестве комплексных чисел следующие операции:

· Операция сложения (1)

· Операция умножения (2)

· Деление комплексного числа на действительное (3)

· Деление комплексного числа на комплексное (4),

Где и - произвольные комплексные числа, а такое число, что является числом действительным.

Стандартная модель

Комплексное число  можно определить как упорядоченную пару вещественных чисел ; запись  следует понимать как удобный способ записи пары .

Введём операции сложения и умножения таких пар следующим образом:

·

·

Вещественные числа являются в этой модели подмножеством множества комплексных чисел и представлены парами вида , причём операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел. Ноль представляется парой  единица -  а мнимая единица - . На множестве комплексных чисел ноль и единица обладают теми же свойствами, что и на множестве вещественных, а квадрат мнимой единицы, как легко проверить, равен , то есть .

Несложно показать, что определённые выше операции имеют те же свойства, что и аналогичные операции с вещественными числами. Исключением являются только свойства, связанные с отношением порядка, потому что невозможно расширить порядок одиночных чисел, включив в него такие упорядоченные пары чисел, чтобы операции отношения порядка по-прежнему были согласованы.

Матричная модель

Комплексные числа можно также определить как подкольцо кольца вещественных матриц 2 x 2 вида:

с обычным матричным сложением и умножением.

Действительной единице будет соответствовать

мнимой единице

2. Обобщенные комплексные числа

Вернемся снова к началу пути, приведшего нас к построению комплексных чисел. Чтобы устранить затруднения, связанные с неразрешимостью ряда квадратных уравнений в области вещественных чисел, мы присоединили к множеству таких чисел новый элемент i, по определению являющийся корнем одного из неразрешимых уравнений, а именно уравнения x²+1=0; это привело нас к множеству комплексных чисел a+bi (а, b вещественные), при употреблении которых, как оказалось, уже все квадратные уравнения имеют корни. Поставим теперь вопрос о том, существенно ли в этом построении использование именно уравнения x²+1=0 или же его вполне можно заменить каким-либо другим квадратным уравнением?

Ответ на этот вопрос не труден: легко видеть, что уравнение x²+1=0 не имеет никаких принципиальных преимуществ перед другими неразрешимыми в вещественной области уравнениями, и выбор именно его диктуется лишь его относительной простотой (тем, что коэффициенты р u q здесь равны 0 и 1). В самом деле, обозначим через I «число особого рода», являющееся по определению корнем произвольного квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом

и рассмотрим множество обобщенных комплексных чисел Z вида

a+bI, a, b - вещественные. (18)

Эти числа можно складывать, вычитать и перемножать по правилам

(I² =-pI-q, поскольку I по определению есть корень уравнения

). Далее, для каждого обобщенного комплексного числа

Z=a+bI нетрудно подобрать такое число , что произведение Zбудет вещественным; так, например, можно положить = (a-pb) - bI; тогда

Это обстоятельство позволяет определить деление обобщенных комплексных чисел, исходя из равенства (4) предыдущего параграфа; так как к тому же Z=0, лишь если а= 0 и b = 0 (ибо), то единственное число, деление на которое оказывается невозможным, - эго число 0 (= 0+0•I). Наконец, легко показать, что каждое квадратное уравнение (с вещественными или обобщенными комплексными коэффициентами) в области обобщенных комплексных чисел имеет два (совпадающих или различных) корня. Так, например, если через I обозначить корень уравнения , то корни трех уравнений

будут равны:

а если I₂ есть корень третьего уравнения (5), то корни тех же уравнений будут иметь вид

Все эти результаты становятся совершенно очевидными, если вспомнить, что корень I уравнения (17) имеет вид

обратно, где можно выразить через I:

Таким образом, обобщенные комплексные числа a+bI-это те же самые обыкновенные комплексные числа а+bi, но записанные в несколько иной форме:

где

Отсюда ясно, что все алгебраические свойства чисел Z = a+bI не могут отличаться от свойств обыкновенных комплексных чисел).

3. Матричная модель обобщенного комплексного числа

Как известно комплексные числа строятся на базе четырех единиц:

i₀ = 1, i₁ = i, i₂ = - 1, i₃ = - i,

которые перемножаются в соответствии с табл.

Индексы базисных единиц подчиняются закону сложения по mod (4). Этот закон сложения получается путем сдвига каждой последующей строки таблицы умножения на одну позицию влево относительно каждой предыдущей строки. Одновременно рассмотрим табл., в которой индексы базисных единиц также циклически сдвинуты на одну позицию вправо.

На основе табл. построим четыре 0,1 - матрицы:

i₀ = , i₁ = ,

i₂ = , i₃ = .

Непосредственным перемножением убеждаемся, что в отношении этих матриц действует закон умножения, выраженный табл. 2.5:

i₀ = i₁· i₃ = 1, i₃ = i₁ · i₂ = - i и т.д.

Обобщенным комплексным числом x будем называть матрицу размером 4 · 4:

x = х₀i₀ + х₁i₁ + х₂i₂ + х₃i₃ = ,

Формула умножения двух обобщенных комплексных чисел x и y вытекает из перемножения двух матриц вида (2.18):

xу =  ·  =

= (х₀у₀ + х₁у₃ + х₂у₂ + х₃у₁) i₀ + (х₀ у₁ + х₁у₀ + х₂у₃ + х₃у₂) i₁ +

+ (х₀у₂ + х₁у₁ + х₂у₀ + х₃у₃) i₂ + (х₀у₃ + х₁у₂ + х₂у₁ + х₃у₀) i₃.

При перемножении обобщенных комплексных чисел положительные и отрицательные компоненты результирующего числа не перемешиваются. Если принять обычные действия в отношении положительных и отрицательных единиц, которые мы обозначим как j₀ и j₁, то из (2.19) получим:

(х₀у₀ + х₁у₃ + х₂у₂ + х₃у₁) j₀ + (х₀у₁ + х₁у₀ + х₂у₃ + х₃у₂) j₁ -

- (х₀у₂ + х₁у₁ + х₂у₀ + х₃у₃) j₀ - (х₀у₃ + х₁у₂ + х₂у₁ + х₃у₀) j₁ =

= [(х₀ - х₂) (y₀ - y₂) - (х₁ - х₃) (y₁ - y₃)] j₀ +

+ [(х₀ - х₂) (y₁ - y₃) + (х₁ - х₃) (y₀ - y₂)] j₁. (2.20)

Введя новые обозначения для координат традиционных комплексных чисел а и b, образованных на базисе j₀ и j₁, будем иметь знакомую нам со школы формулу умножения. Итак, обозначим

а₀ = х₀ - х₂, а₁ = х₁ - х₃, b₀ = y₀ - y₂, b₁ = y₁ - y₃, (2.21)

тогда из (2.20) имеем

(а₀b₀ - а₁b₁) j₀ + (а₀b₁ + а₁b₀) j₁ = (а₀j₀ + а₁j₀) · (b₀j₀ + b₁j₁) = ab.

Из равенств (2.18) - (2.21) вытекает возможность представления в матричной форме действий над комплексными числами. Возьмем для примера два конкретных комплексных числа a и b; их произведение дает число c в соответствии с традиционной формулой:

ab = (-3 + i) · (1 - 2i) = -1 + 7i = c.

В матричном представлении будем иметь:

ab = =

= = с.

Здесь для числа с положительное и отрицательное матричные числа вычитались: 2 - 3 = -1. При перемножении же обобщенных комплексных чисел x и у, как уже было сказано, отрицательные и положительные компоненты не будут перемешиваться, как того требует формула (2.19):

xy = (1i₀ + 3i₁ + 4i₂ + 2i₃) · (2i₀ + 3i₁ + 1i₂ + 5i₃) = (27i₀ + 31i₁ + 28i₂ + 24i₃) ==  = z.

Геометрический смысл умножения двух комплексных чисел хорошо известен - это поворот в комплексной плоскости. «Вращательность» числам сообщается за счет цикличности базиса (табл. 2.2), которая проявляется еще и в том, что последовательное возведение в степень мнимой единицы даст все четыре типа единиц:

i⁰ = i, i² = -1, i³ = - i, i⁴ = i⁰ = 1,

Мнимая единица называется образующей циклического базиса комплексного числа. Любые четыре 0,1 - матрицы, обладающие свойством цикличности в смысле (2.22), будут давать изоморфные структуры. В частности, 0,1 - матрицы вида:

i₀ = = e,

i₁ = = i,

i₂ = = - e,

i₃ = = - i,

которые мы обозначим как (2.23). При перемножении эти матрицы дадут табл. 2.5.

Базис (2.23) подобен базису (2.17), т.е. одни матрицы можно получить из других путем перестановки 2-го и 3-го столбцов и соответствующих строк с одновременным переобозначением базисных единиц табл. 2.6. Эту процедуру, однако, можно осуществить и с помощью трансформационной матрицы T, которая участвует в преобразовании подобия (2.8), для i₁ будем иметь

i₁ = T-¹ · i'₁ · T =

= .

Матрицы T и T-¹ одинаковы, так как они симметричны.

Два базиса 0,1 - матриц (2.17) и (2.23) образуют изоморфные циклические группы, поскольку имеют одну и ту же таблицу умножения (табл. 2.5). Положительная (+1) и отрицательная (-1) единицы и соответствующие им 0,1 - матрицы (2.16) также составляют изоморфные группы из двух элементов. Можно сконструировать такую систему «комплексных» чисел, базис которых будет обладать свойством цикличности, но с периодом, равным не 4, а 3, 5, 6, 7, 8 и т.д. Все они будут группами. Соответствующие таблицы циклических сдвигов на позицию влево и на позицию вправо с периодом, равным 6, представлены табл., в которых выписаны только индексы базисных единиц, так как именно они несут всю информацию о строении группы.

Вид обобщенного комплексного числа на базе шести единиц и формула их перемножения аналогичны выражениям (2.18) и (2.19); ничего принципиально нового в них нет.

Заключение

В своей работе я рассмотрела тему матричные модели обобщенных комплексных. В ходе работы я повторила различные представления комплексный чисел. Изучила теорию, связанную с обобщенными комплексными числами. Изучила теорию и практику по матричным моделям обобщенных комплексных чисел.

По ходу работы были раскрыты понятия комплексных чисел, обобщенных комплексных чисел, матричных моделей обобщенных комплексных чисел, приведены примеры.

Список литературы

1. Яглом И.М. / Комплексные числа и их применение в геометрии. - М.: Физматгиз, 1963 г.

2. Акимов О.Е./ Дискретная математика-логика, группы, графы, фракталы. - М.:, 2005 г.

Размещено на Allbest.ru