Множество задач на одном рисунке

Размещено на http://www.allbest.ru/

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

МНОЖЕСТВО ЗАДАЧ НА ОДНОМ РИСУНКЕ

Решение стереометрической задачи требует большого количества времени из-за необходимости выполнять непростой чертеж. Поэтому удобно решать несколько задач на одном рисунке. Задачи разного уровня сложности, выполняемые на основе данного рисунка, позволят повторить объемный материал, что актуально при подготовке к сдаче ЕГЭ. Кроме этого при решении таких задач на самостоятельной или контрольной работе легко оценить и диагностировать уровень знаний учащихся.

Приведем пример.

Задача. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а, плоский угол при вершине равен ??. В пирамиду вписан шар.

Построить сечение пирамиды, проходящее через центр основания пирамиды и перпендикулярное боковому ребру.

Найти площадь этого сечения.

Найти расстояние от точки сечения, лежащей на боковом ребре до плоскости основания пирамиды.

Найти угол между плоскостью сечения и плоскостью основания пирамиды.

Найти угол между высотой пирамиды и сечением.

Найти объем пирамиды, отсекаемой сечением.

Найти радиус вписанного шара.

Найти радиус круга сечения шара плоскостью, проходящей через центр основания пирамиды и перпендикулярной боковому ребру (построенное сечение пирамиды).

Найти площадь сечения шара.

Найти расстояние от вершины до плоскости сечения.

Решение.

Сделаем чертеж (рис. 1).

Построим сечение пирамиды плоскостью MNH. АВCD - правильная пирамида: основание пирамиды - ?ABC - равносторонний, О - центр ?ABC (точка пересечения медиан, высот, биссектрис).

Рис. 1

DО - высота пирамиды, DO ? (ABC). Выберем боковое ребро ВD. ВО - проекция ВD на плоскость АВС. В ?АВС опустим высоту ВК на сторону АС, тогда О ? ВК, так как О -центр ?АВС, ВО ? ВК, ВК ? АС, следовательно ВО ? АС, ОН ? ВD.

По теореме о трех перпендикулярах, ВD будет перпендикулярна прямой, параллельной АС и проходящей через точку В, следовательно, ВD ? АС и ВD перпендикулярна любой прямой, параллельной АС.

В плоскости АВС проведем прямую l параллельную АС через точку О, тогда l перпендикулярна ВD. Пусть l ? АВ = М, l ? ВС = N. Чтобы провести l ? АС, нужно отметить точку М на АВ: АМ = АВ, и точку N на ВС: СN = ВС. Тогда MNH - искомое сечение.

Найдем площадь этого сечения. S_MNH = MN·OH.

Найдем MN. Рассмотрим ?АВС - равносторонний и точка О - точка пересечения медиан, следовательно, ОВ : ОК = 2 : 1, ОВ = ВК = АВsinА; ОВ = a sin60 = a = .

?АВС ? MBN (по двум углам), так как MN ? АС, = = , следовательно, MN = АС = а.

Найдем ОН. Рассмотрим ?ОВD. Так как DО ? ВО, то ?ОВD - прямоугольный, тогда по теореме Пифагора ОD² + OB² = BD²;

OD² = BD² - OB². OD² = - = = .

Найдем BD. Рассмотрим ?BCD. Проведем высоту DH₁. Так как пирамида правильная, то ?BCD - равнобедренный. Следовательно, DH₁ - медиана и биссектриса.

Рис. 2

СН₁ = ВН₁ = = ; CDH₁ = BDH_{1 =} ; = sinBDH₁; BD = ;

BD = = . Тогда ОD = .

ОН - высота прямоугольного треугольника ОВD. ОН = ,

ОН = = .

S_MNH = MN·OH = ·a· = .

Найдем расстояние от точки сечения, лежащей на боковом ребре до плоскости основания пирамиды. Рассмотрим плоскость ОНВ (см. рис. 3).

= cosO; = sinО; + = cos²O + sin²O = 1;

PH² = OH² (1 - ). PH = OH.

Рис. 3

PH = ·; РН = ; РН = = = ·sin.

Найдем угол между плоскостью сечения и плоскостью основания пирамиды. (см. рис.1)

(MHN, ABC) = (HO, OB) = - линейный угол двугранного угла с ребром MN - искомый.

cosHOB = = · = ; HOB = arcos(

Найдем угол между высотой пирамиды и сечением. (см. рис.1).

(OD, MHN) = DOH = DOB - HOB; = - arcos();

arcsin().

Найдем объем пирамиды отсекаемой сечением.

V_MHNB = S_MHN BH, так как BH (MHN).

Найдем ВН из прямоугольного треугольника ВОD. (см. рис. 4).

рис. 4

В : ОН DB, cos = . В DOB: OD OB. Следовательно,

= , тогда ВН = = ? ; ВН = .

V_MHNB = ? a² ? ? = .

Найдем радиус вписанного шара. (см. рис. 5).

рис. 5

В О₁DQ: sinD = ; в ODH₁: sinD = , следовательно

= , = , где OH₁ = r (радиус вписанной окружности в треугольнике АВС).

рис. 6

- 1 = ; = + 1; ; R = ;

r = OH₁ = OK = BO = ; DH₁ = H₁B ctg = ctg = .

R = = = = 2a .

Найдем радиус круга сечения шара плоскостью, проходящей через центр основания пирамиды и перпендикулярной боковому ребру.

Опустим перпендикуляр О₁Н₂ из О₁ на плоскость сечения MHN.

Тогда Н₂ - центр круга сечения шара плоскостью и ОН₂ - его радиус.

Рассмотрим DOH.

рис. 7

= cosDOH = ; = ; ОН₂ = ОО₁ ? ;

OH₂ = R ? = ? = .

Найдем площадь сечения шара.

S_кр = ? O; S_кр = .

10) Найдем расстояние от вершины до плоскости сечения.

DH = BD - BH = - = a ? = a ? .

.

Серию задач на одном рисунке, как правило, можно предложить в тех случаях, когда рассматривается сечение многогранника или комбинация стереометрических фигур. Материал рассчитан на работу в течение двух уроков.

Приведем примеры подобных задач.

Задача № 1

В основании пирамиды SABC лежит треугольник с прямым углом при вершине С и АС = ВС. Ребро SA пирамиды перпендикулярно плоскости основания и SA=AB. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку М -- середину ребра АС, перпендикулярно прямой SB.

1) Найти объем и площадь боковой поверхности пирамиды SABC

Считая АС = а, найти расстояния до секущей плоскости от следующих точек:

2) В;

3) С;

4) А.

5) Найти площадь этого сечения.

Задача № 2

В конус, вершина которого проецируется в центр окружности, которая является его основанием, вписан шар, в этот шар вписан другой конус, основание которого является диаметральным сечением шара и параллельно основанию первого конуса. Вершина меньшего конуса также проецируется в центр основания. Если образующая большего конуса равна - а, и угол между образующей и основанием равен б, найти :

1) отношение объемов конусов;

2) площади боковых поверхностей;

3) расстояние между вершинами;

4) объем шара, описанного вокруг большего конуса;

5) отношение объемов шаров.

Задача № 3

В прямоугольном параллелепипеде ABCDEFGH на стороне DH взята точка М, так что DM=MH

AB= a, BC =2a, HD =a. Через точки А, М, G проведена плоскость.

Найти:

1) S сечения;

2) V пирамиды GMAE;

3) расстояние от точки H до секущей плоскости;

4) расстояние от E точки до секущей плоскости;

5) расстояние от точки D до секущей плоскости.

Задача № 4

В пирамиде ABCS грани BCS и CAS перпендикулярны основанию, которое является прямоугольным треугольником с прямым углом при вершине С. задача рисунок пирамида плоскость

BC =SC=2a, CA = a. На ребре BS взята точка D, делящая это ребро пополам.

1) Найти площадь круга вписанного в треугольник CAD.

2) Найти расстояние от точки В до треугольника CAD.

3) Найти расстояние от точки S до треугольника CAD.

4) Найти расстояние от вершины S до центра вписанной окружности в треугольник CAD.

5) Найти площадь боковой поверхности пирамиды.

Задача № 5

В правильной треугольной призме со стороной основания - а, высота равна стороне основания. Точка О является центром описанной окружности вокруг основания. Из точки О проведены три прямые, пересекающее три верхние вершины призмы в точках D, E, F, так что точка D находится над точкой А точка Е находится над точкой В. Пирамиду EFDO вписан шар.

Найти:

1) радиус вписанного шара;

2) расстояние от центра шара до точки В и Е;

3) площадь боковой поверхности получившейся пирамиды и ее объем;

4) угол EOD;

5) площадь сечения, проходящего через точки А, С и цент вписанного в пирамиду шара.

Таким образом можно создать сколько угодно задач к одному рисунку. Это очень удобно при разработке вариантов различных работ: контрольных, проверочных, диагностических. Поэтому затронутая нами тема весьма перспективна.

Литература

1. Безверхняя И.С. Множество задач на рисунке. - «Математика в школе», № 2, 2010. - С. 27-32.

2. Гильманов Р.А., Гагуцкий С.Ф. Как решать конкурсные задачи по геометрии. - Казань: Из-во Казанского университета, 1976. - 222 с.

3. Гусеев В.А., Мордкович А.Г. Математика. - М.: Просвещение, 1990. - 416 с.

Размещено на Allbest.ru