Характеристика основних властивостей послідовності Фібоначчі

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Вступ

Дослідження чисел Фібоначчі та їх властивостей представляє інтерес з точки зору принципів пізнання єдності світу, оскільки в природі існує багато явищ, які описуються послідовністю Фібоначчі. Одним із найголовніших наслідків цих властивостей є існування, так званих, коефіцієнтів Фібоначчі, тобто постійних співвідношень різних членів послідовності. У природі, архітектурі, образотворчому мистецтві, математиці, фізиці, астрономії, біології й багатьох інших областях були знайдені закономірності, які описувались числами або коефіцієнтами Фібоначчі.

У математиці дана послідовність використовується для доведення рівнянь і нерівностей, розв'язання прикладних задач, для дослідження властивостей більш складних послідовностей, в дискретній математиці і логіці, математичному аналізі і геометрії тощо. Мабуть, легше назвати розділ математики де тим чи іншим чином ми не зустрічаємося з послідовністю або її коефіцієнтами, ніж продовжувати даний перелік.

Особливий інтерес у двадцять першому столітті послідовність викликає у програмістів та інших спеціалістів, що мають відношення до шифрування. Її представлення будь-якого числа, через числа послідовності дуже близько до двійкового коду, а також використовується в різних видах кодування інформації. Також сучасна наука вважає, що Всесвіт розвивається по так званій золотій спіралі, що будується саме за допомогою золотого відношення (це число 0,618, до якого прямує відношення кожного попереднього члена послідовності Фібоначчі до наступного при зростанні порядкового номера).

У даній роботі розглядаються найцікавіші властивості послідовності Фібоначчі.

1. Задачі, що приводять до послідовності Фібоначчі

Послідовність, яку в наш час називають «послідовність Фібоначчі» була відома ще в Стародавній Індії. У 1202 році видатний італійський математик Леонардо із Пізи (більш відомий по прізвиську Фібоначчі) опублікував свою працю «Liber abac» («Книга абака»); до наших днів зберігся тільки доповнений рукопис 1228 року. Ця книга містить майже всі арифметичні й алгебраїчні відомості того часу, викладені з винятковою повнотою і глибиною. Одна із задач з «Книги абака» Леонардо Пізанського здобула особливу популярність у зв'язку з тим, що послідовність чисел, яка з'являється в результаті її розв'язування, має багато цікавих властивостей, а що найголовніше - неймовірним чином проявляється у найрізноманітніших областях як математики, так й інших наук. Свою нинішню назву «числа Фібоначчі» отримали завдяки дослідженню властивостей цих чисел Едуардом Лука в другій половині дев'ятнадцятого століття.

Розглянемо детально задачу з праці Леонардо із Пізи:

«Скільки пар кроликів в один рік від однієї пари народиться?».

Хтось помітив пару кроликів у певному місці, огородженому з усіх сторін стіною, щоб дізнатися, скільки пар кроликів народиться при цьому протягом року, якщо природа кроликів така, що через місяць пара кроликів народжує не світ другу пару, а народжують кролики на другий місяць після свого народження. Нехай перша пара кроликів є новонародженою. Тоді на 2-ий місяць ми все ще матимемо тільки 1 пару. На 3-ій місяць ця пара дасть перше потомство і, отже, вже буде 2 пари. На четвертий місяць матимемо 2 + 1 = 3 пари (з двох наявних пар потомство дасть лише перша). На п'ятий місяць буде 3 + 2 = 5 пар, на шостий 5 + 3 = 8 (бо потомство дають тільки ті пари, які народилися не пізніше четвертого місяця). На сьомий 8 + 5 = 13. На дев`ятий 13 + 5 = 21. На десятий 21 + 13 = 34....і так можна робити до нескінченної кількості місяців». Вже не важко простежити деяку послідовність про яку і буде йти мова в даній роботі, але спершу розглянемо ще одну задачу:

Бджоли в природі розмножуються за певним законом: кожен самець з`являється на світ непарним шляхом від самки (яку також називають маткою), проте кожна самка має двох батьків - самця і самку. У трутня один дід і одна бабка, один прадід і дві прабабці, два прапрадіда і три прапрабабці, далі кількість родичів певного поверху родового дерева будимо наводити через кому в дужках, спочатку чоловічої статі, а потім жіночої: (3, 5), (5, 8), (8, 13)... і так далі будуть утворюватися пари із вже знайомих нам чисел з попередньої задачі. Перейдемо, нарешті, до самої послідовності:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,277,......u n

Перші два члени послідовності задані u1 = 1, u 2 = 1,а наступні члени визначаються з рекурентного співвідношення:

u n = u n - 2 + u n - 1 для n > 2

Як бачимо, послідовність і закон за яким вона визначається зовсім не складний, тому не дивно що послідовність Фібоначчі з'являється в попередніх двох задачах і в багатьох інших найрізноманітніших ситуаціях. З цього можна зробити сміливий висновок, що навіть без праці Фібоначчі математика рано чи пізно прийшла б до цієї дивовижної послідовності бо вона існує в природі не залежно від людини.

2. Найпростіші властивості чисел Фібоначчі

2.1 Деякі суми послідовності

1. Обчислимо спочатку суму перших n чисел Фібоначчі. А саме доведемо, що:

u1 + u2 + ….+ un = un + 2 - 1 (1)

Насправді, ми маємо:

u 1 = u3 - u2

u2 = u4 - u3

u3 = u5 - u4

un-1 = un+1 - un

un = un+2 - un+1

Склавши всі ці рівності, ми маємо:

u1 + u2 + ….+ un = un + 2 - u2

і нам залишається згадати, що u2 = 1

2. Сума чисел Фібоначчі з непарними номерами:

u1 + u3 + ….+ u2n-1 = u 2n (2)

Для доведення цієї рівності напишемо:

u1 = u2

u2 = u4 - u3

u3 = u5 - u4

u2n-1 = u2n - u2n-2

Склавши ці рівності, ми й отримаємо потрібне.

3. Сума чисел Фібоначчі з парними номерами:

u2 + u4 + ….+ u2n = u2n + 1 - 1 (3)

На основі п. 1 ми маємо:

u1 + u2 + ….+ u2n = u2n + 2 - 1

віднявши з цієї рівності рівність (1.2), ми отримаємо:

u2 + u4 + ….+ u2n = u2n + 2 - 1 - u2n = u2n + 2 - 1

а це у нас і вимагалося.

4. Сума квадратів перших n чисел Фібоначчі:

u1 І + u2 І +…+ un І = un un+1 (4)

Помітимо для цього, що:

uk uk+1 - uk-1 uk = uk (uk+1 - uk-1) = uk І

Склавши рівності:

u1 І = u1 u2

u2 І = u2 u3 - u1 u2

u3 І = u3 u4 - u2 u3

un І = un un+1 - un-1 un

ми отримуємо формулу (4)

2.2 Фібоначчієва система числення

Числа Фібоначчі можуть складати основу так званої «фібоначчівської» системи числення, тобто представлення будь-якого числа а у вигляді деякої послідовності цифр ц1ц2ц3...цn. Ця послідовність може бути отримана наступним (індуктивним) чином.

Віднімемо від заданого числа а = а0 найбільше з не переважаючих його чисел Фібоначчі u й напишемо цифру ц1 = 1 і різницю а1 = а0 - un будемо вважати це першим кроком нашої побудови.

Припустимо, що k кроків побудови уже зроблені, в результаті чого з`явилася послідовність цифр:

ц 1..... цk (5)

що складається з нулів та одиниць, а також деяке число a. Тоді k + 1 крок побудови буде зводитись до наступного: порівняємо число а с числом Фібоначчі un-k, і якщо виявиться, аk ? un-k,то припишемо до послідовності (5) цk+1 = 0 і фіксуємо число аk+1 = аk,а якщо буде аk ? un-k,то припишемо до (5) цk+1 = 1 і положимо аk+1 = аk - un-k. Ми виконаємо n - 1 кроків цього процесу, в результаті чого, очевидно, прийдемо до n - 1- членної послідовності (5) і числу аn-1 = 0.

Фактично описаний процес являє собою послідовне виділення з числа а доданків рівним найбільшим можливим числам Фібоначчі, тобто представлення а у вигляді суми різних чисел Фібоначчі.

Остаточно відповідна числу а послідовність (5) буде називатися його фібоначчієвим записом і позначатися через, Ц (а). Складові Ц (а) нулі і одиниці назвемо фібоначчієвими цифрами числа а. Ясно, що якщо Ц (а) = ц1....цn-1, то:

а = un ц1 + un-1 ц2 +… + u2 цn-1 (6)

Пояснимо сказане на прикладі. Нехай а = 19. Тоді:

un = 13 (n = 7), ц = 1, a1 = 19 - 13 = 6

u6 = 8 > a1 ц = 0, a2 = a1 = 6

u5 = 5 ? a2 ц = 1, a3 = 6 - 5 = 1

u4 = 3 > a3 ц = 0, a4 = a3 = 1

u3 = 2 > a4 ц = 0, a5 = a4 = 1

u2 = 1 ? a5 ц = 1, a6 = 1 - 1 = 0

Таким чином, Ц (19) = 101001, і 19 = u7 + u5 + u2

Зрозуміло, що кожне число а має єдиний фібоначчієвий запис Ц (а). Проте не будь-яка послідовність, що починається з одиниці і складається з одиниць і нулів має бути фібоначчієвим записом Ц (а) для деякого числа а. Наприклад в Ц (а) не можуть стояти дві одиниця підряд.

Дійсно, нехай в Ц (а) дві одиниці зустрічаються підряд після деякого нуля: цk = 0, цk+1 = цk+2 = 1. Це значить, що:

ak-1 ? un-k+1, (7)

ak-1 = ak, ak - un-k = ak+1, ak+1- ? un-k-1.

Але отримане складання усіх складових другого рядка дає нам:

ak-1 ? un-k + un-k-1 = un-k+1

що суперечить (7)

Отже, будь-яка послідовність із n - 1 нулів і одиниць, що починається з одиниці і не має двох одиниць підряд, є фібоначчієвим запис Ц (а) деякого числа а, для котрого:

un ? a ? un+1. (8)

Фібоначчієвий запис числа нагадує двійкову систему числення з тією різницею, що нулі і одиниці в двійковій системі відповідають числам, які не можуть бути сумою попередніх. Також спостерігається деяка схожість с з кодом степенів числа два. Ці коди також складаються з одиниць та нулів, проте не мають обмеження на положення одиниць. Проблема шифрування та кодування інформації в часи новітніх технологій особливо гостро стоять перед науковцями, тому вивчення даного представлення числа буде корисним будь-якому комп'ютерному спеціалісту. Вивчення даного питання у школі ненав'язливо розширить представлення дітей про системи числення, даючи зрозуміти, що не тільки десятковою системою багата математика.

2.3 Зв'язок з трикутником Паскаля

Між числами Фібоначчі і трикутником Паскаля існує цікавий зв'язок. Проведемо через трикутник лінії, під кутом 45 градусів до його рядків, як показано на мал.1 і назвемо їх висхідними діагоналями. Розрахуємо для кожної висхідної діагоналі суму всіх чисел, що стоять в цій діагоналі. Отримаємо для першої діагоналі 1, для другої 1, для третьої 2, для четвертої 3, для п'ятої 5, для шостої 8, для сьомої 13. Ми отримали перші сім чисел Фібоначчі. Виявляється, що завжди сума чисел n-ї діагоналі є n-е число Фібоначчі. Дійсно, для n = 1 і n = 2 збіг видно безпосередньо, для наступних значень n збіг пояснюється тим, що суми вирахувані для будь-яких двох послідовних діагоналей будучі складені один з одним дають суму вирахувану для слідкуючої за ними діагоналі. З рівності (1) ми маємо, що сума всіх членів трикутника Паскаля, що лежать на самій n-й діагоналі так і вище її рівна un+2 - 1.

2.4 Числа Фібоначчі як деяка функція їх номерів

До цього часу ми визначали число Фібоначчі по його номеру. Проте, будь-яке число Фібоначчі можна подати у вигляді деякої функції його номера. Послідовність Фібоначчі є рекурентне співвідношення другого порядку з постійними коефіцієнтами. Оскільки, рекурентні співвідношення не є предметом дослідження даної роботи, алгоритм їх розв'язання буде наведений без доведень:

Нехай дано рекурентне співвідношення:

u n+2 = a 1 u n +1 + a 2 u n. (9)

Складемо квадратне рівняння:

r2 = a 1 r + a 2 (10)

яке називається характеристичним для даного співвідношення, якщо рівняння (10) має два різні корені r1 і r2 то спільне рішення рекурентного співвідношення має вигляд:

f(n) = C1 r1n-1 + C2 r2n-2 (11)

При вивченні послідовності Фібоначчі, ми прийшли до рекурентного співвідношення:

u n = a 1 u n -1 + a 2 u n-2

Для нього характеристичне рівняння має вигляд:

r2 = r + 1

Коренями цього квадратного рівняння є числа:

r1 = , r2 = .

Тому спільне рішення співвідношення Фібоначчі має вигляд:

f(n) = C1 ()n + C2 ()n. (12)

Так як будь-яке рішення рекурентного співвідношення другого порядку визначається u1 і u 2, тому з рівнянь:

С1 + С2 = u1,

С1 r1 + С2 r2 = u2,

тобто:

С1 + С2 =1

С1 () + С2 () = 1

Розв'язавши цю систему, ми отримаємо:

C1 = , C2 = -

З рівняння (12):

un = (13)

Формула (13) називається формулою Бине (по імені математика, який його вивів).

3. Геометричні властивості

3.1 Зв`язок послідовності з золотим перерізом

Розділимо відрізок одиничної довжини так, щоб більша його частина, була середнім пропорційним, між меншою його частиною і всім відрізком. Позначимо шукану довжину, для більшої частини відрізка через x, очевидно, що довжина меншої його частини буде 1 - x, і умова нашої задачі дає нам пропорцію:

= , (14)

звідки:

х2 = 1 - х (15)

Додатнім коренем (15) є , так що відношення пропорції (14) рівні:

= = = ?

Таке ділення називається діленням в середньому і крайньому відношенні. Його часто називають золотим діленням або золотим перерізом.

У грубому, побутовому варіанті пропорція золотого перерізу - це приблизно 8:5, а ще точніше - 13:8, тобто чим більші числа Фібоначчі, тим ближче їх відношення наближується до золотої пропорції. Математиками підраховано більш точно: десяткове розкладання числа "фі" (числа золотого перерізу) має вигляд 1,61803398... Цікаво те, що це єдине позитивне число, що переходить у зворотне йому при відніманні одиниці. Воно має й масу інших дивних властивостей.

Золотий переріз використовувався ще у Вавилоні й Древньому Єгипті. Цю пропорцію знаходимо в піраміді Хеопса, у предметах побуту із гробниці Тутанхамона, у барельєфах й інших творах мистецтва тієї пори. В VІ столітті до н.е. Піфагор заснував філософську школу, де був гурток, у якому учні, вивчаючи ідеї метемпсихози (переселення душ), прилучалися до вищих таємниць. Піфагор учив, що увесь світ - не що інше, як гармонія й арифметика. Все складається із однієї й тієї ж матерії, всі елементи якої створюють непорушний порядок, абсолютну гармонію, установлену верховним божеством. Вона виражається в числах. Виявляє у всьому гармонію й золотий переріз.

Давньогрецькі архітектори і скульптори свідомо використовували цю пропорцію у своїх творах. Прикладом може служити Парфенон. (Не випадково американський математик Марк Барр запропонував називати відношення двох відрізків, що утворюють золотий перетин, числом "фі" - першою літерою в імені великого скульптора Фідія, що враховував золоту пропорцію у своїх скульптурах). Таємниці золотого перерізу в античну епоху ревно оберігалися, зберігалися в суворій таємниці й були відомі тільки обраним.

Інтерес до золотого перетину посилився в епоху Відродження серед вчених і художників. Цей термін, придуманий Леонардо да Вінчі, спочатку був забутий і став популярним починаючи з XІ століття. Найбільше чудових властивостей золотого перерізу зібрав у своєму ілюстрованому трактаті 1509 року італійський чернець Лука Паччолі. Серед багатьох достоїнств золотої пропорції він назвав також її "божественну суть" як вираження триєдності Син (малий відрізок) - Батько (більший відрізок) - Бог (Святий дух (ціле)).

Художник Альбрехт Дюрер встановив, що зріст людини ділиться в золотих пропорціях лінією поясу, а також лінією, проведеною через кінчики середніх пальців опущених рук, нижня частина обличчя - ротом і т.д. Талія ділить ідеальне людське тіло відносно золотого перетину. Такими є, наприклад, знамениті статуї Аполлона Бельведерського роботи Леохора й Зевса Олімпійського скульптора Фідія. Пропорції чоловічого тіла коливаються в межах середнього відношення 13:8 і трохи ближче підходять до золотого перерізу, ніж пропорції тіла жінок (8:5), які змушені "урівнювати" фігуру за рахунок підборів.

Було установлено, що числовий ряд Фібоначчі характеризує структурну організацію багатьох живих систем. Наприклад, спіральне розташування листя на гілці, молекули ДНК та РНК - мають структуру подвійної спіралі; її розміри майже повністю відповідають числам ряду Фібоначчі. Ще Гете підкреслював тенденцію природи до спіральності. Павук плете павутину по спіралі. Спірально закручується ураган. Налякане стадо північних оленів розбігається по спіралі. Молекула ДНК закручена подвійною спіраллю. Гете назвав спіраль «кривою життя». Спільна праця ботаніків та математиків пролила світло на ці дивовижні явища природи.

Насіння соняшника, квітки ромашки розташовані по «золотим» спіралям, які закручуються на зустріч одна одній, причому числа «правих» та «лівих» спіралей завжди відносяться один до одного, як сусідні числа Фібоначчі. В багатьох метеликів відношення розмірів грудної і черевної частини тіла відповідає золотій пропорції. Склавши крила, нічний метелик утворює рівносторонній трикутник. Але як тільки він розведе крила, одразу видно той же принцип поділу тіла на 2,3,5,8. Бабка-лютка теж створена по законах «золотої» пропорції: відношення довжини хвоста до корпусу дорівнює відношенню загальної довжини до довжини хвоста.

Всі ми бачили пташине яйце, але не всі знають, що відношення довжин від гострого кінця до точки, що позначає найширшу його частину та довжини від тупого кінця до цієї ж точки дорівнює відношенню одиниці до ?.

3.2 Парадокс шахової дошки

Ще одну цікаву особливість чисел Фібоначчі можна продемонструвати на «фокусі» з шаховою дошкою. Візьмемо дошку для шахів з цупкого картону і розріжемо так, як показано на малюнку а, а потім складемо так як на малюнку б. Не важко помітити, що площа першої дошки 8 Ч 8 = 64 клітинки,а площа другої дошки 5 Ч 13 = 65 клітинок. Цей парадокс був улюбленою головоломкою Льюіса Керрола. Відповідь на дану загадку дуже проста.

Виявляється, що довжини сторін чотирьох частин, що складають фігури, є членами ряду Фібоначчі. Розташування частин, на які було розрізано квадрат, у вигляді прямокутника ілюструє одне з властивостей ряду Фібоначчі, а саме наступне: при зведенні в квадрат будь-якого члена цього ряду виходить добуток двох сусідніх членів ряду плюс або мінус одиниця. У нашому прикладі сторона квадрата дорівнює 8, а площа дорівнює 64. Вісімка в ряду Фібоначчі розташована між 5 і 13. Так як числа 5 і 13 стають довжинами сторін прямокутника, то площа його повинна бути рівною 65, що дає приріст площі в одну одиницю. Насправді площа залишається та сама, але просто просвіт, що є на діагоналі не помітний неозброєним оком.

Завдяки цій властивості ряду можна побудувати квадрат, стороною якого є будь-яке число Фібоначчі, більше одиниці, а потім розрізати його у відповідності з двома попередніми числами цього ряду.

Якщо, наприклад, взяти квадрат в 13x13 одиниць, то три його сторони слід розділити на відрізки довжиною в 5 і 8 одиниць, а потім розрізати, як показано на мал. в. Площа цього квадрата дорівнює 169 квадратних одиниць. Сторони прямокутника, утвореного частинами квадратів, будуть 21 і 8, що дає площу в 168 квадратних одиниць. Тут завдяки перекривання частин уздовж діагоналі одна квадратна одиниця не додається, а втрачається.

Якщо взяти квадрат зі стороною 5, то теж відбудеться втрата однієї квадратної одиниці. Можна сформулювати і загальне правило: прийнявши за сторону квадрата яке-небудь число починаючи з трійки розташованих через одне чисел Фібоначчі (3, 8...) і склавши з частин цього квадрата прямокутник, ми отримаємо уздовж його діагоналі просвіт і як наслідок удаваний приріст площі на одну одиницю. Взявши ж за сторону квадрата яке-небудь число з починаючи з двійки і через один (2, 5, 13..), ми отримаємо уздовж діагоналі прямокутника перекривання площ і втрату однієї квадратної одиниці площі.

Чим далі ми просуваємося по ряду чисел Фібоначчі, тим менш помітними стають перекривання або просвіти. І навпаки, чим нижче ми спускаємося по ряду, тим вони стають більш суттєвими.

Можна побудувати парадокс навіть на квадраті зі стороною в дві одиниці. Але тоді в прямокутнику 3x1 виходить настільки очевидне перекривання, що ефект парадоксу повністю втрачається.

4. Послідовність Фібоначчі і теорія чисел

4.1 Подільність чисел послідовності

Розглядаючи подільність чисел Фібоначчі варто зазначити головну їх властивість: число un ділиться на um тоді і тільки тоді,коли n ділиться на m. У зв'язку з чим про подільність чисел Фібоначчі можна визначати, розглядаючи подільність їх номерів.

Знайдемо декілька ознак подільності чисел Фібоначчі Під ознакою подільності тут розуміється ознака, по якій можна визначати, ділиться чи ні, те чи інше число Фібоначчі на деяке дане число.

Число Фібоначчі парне тоді і тільки тоді, коли його номер ділиться на 3.

Число Фібоначчі ділиться на 3 тоді і тільки тоді, коли його номер ділиться на 4.

Число Фібоначчі ділиться на 4 тоді і тільки тоді, коли його номер ділиться на 6.

Число Фібоначчі ділиться на 5 тоді і тільки тоді, коли його номер ділиться на 5.

Число Фібоначчі ділиться на 7 тоді і тільки тоді, коли його номер ділиться на 8.

Число Фібоначчі ділиться на 16 тоді і тільки тоді, коли його номер ділиться на 12.

Кожне два сусідні числа Фібоначчі взаємно прості, а найбільший спільний дільник двох чисел Фібоначчі рівний числу Фібоначчі з номером, що є найбільшим спільним дільником.

4.2 Прості числа Фібоначчі

Питання, чи містить дана нескінченна послідовність, визначена навіть нескладним способом, нескінченно багать простих чисел, в принципі кажучи, досить складно. Те саме можна сказати і про послідовність Фібоначчі.

Доведено, що простими є числа Фібоначчі з номерами n = 3, 4, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 29, 43, 47. Інших простих чисел Фібоначчі ми поки не знаємо. Найбільш відомим простим числом un є число u47 = 2971215073, що має 10 цифр. Можна довести, що якщо n ? 4 і число un є простим, то число n повинно бути простим, але не обов'язково навпаки, так як наприклад, u2 = 1, u19 = 4181 = 37•113, u31 = 1346269 = 557•2417.

Ми не знаємо, чи є серед чисел up, де p - просте число, нескінченно багато простих.

5. Послідовність Фібоначчі навколо нас

Використання чисел Фібоначче в музиці.

Важко знайти людину, яка не знає, що таке скрипка. Виготовлення хорошою скрипки - велике мистецтво. У цьому мистецтві видатних успіхів досягли Антоніо Страдіварі, Аматі, Гварнері, і донині звучання їхніх інструментів є зразком, перевершити який не вдалося ще нікому. Можна припустити, що таке звучання відбувається завдяки закону золотого перерізу, яке лежить в побудову скрипці Антоніо Страдиварі.

Найбільш велике дослідження проявів золотого перетину в музиці було зроблено мистецтвознавцем Л. Сабанеевим. Ще в 1925 році він, проаналізувавши 1770 музичних творів 42 авторів, показав, що переважна більшість видатних творів можна легко розділити на Частини або по темі, або по інтонаційному строю, або по ладових строю, які знаходяться між собою у відношенні золотого перерізу. На його думку, тимчасове протяг музичного твору ділиться «деякими віхами», які виділяються при сприйнятті музики і полегшують споглядання форми цілого. Всі ці музичні віхи ділять ціле на частини, як правило, за законом золотого перетину. Причому, чим талановитішим композитор, тим в більшій кількості його творів знайдено золотих перетинів.

Один з видатних діячів російської та радянської музичної культури Е.К. Розенов вперше застосував закон «золотого перетину» в музиці Аналізуючи «Хроматична фантазія і фугу» Й.С. Баха, вчений дійшов висновку, що «вона, виявляється, сотворена з природничих законам природного формоутворення, подібно людському організму, в якому абсолютно також панують обидва закони - закон золотого перетину і закон симетрії, з такими ж дрібними художніми неточностями в індивідуальному будові живого тіла, якими воно відрізняється від мертвих форм відстороненого або фабричного походження ». Визначаючи зону золотого перетину, можна переконатися, що вона не на початку, не в середині п'єси, а ближче до кінця (кульмінація твору), тобто в третій чверті цілого. Весь величезний звукоряд ділиться на три основні регістра: низький, середній і високий, і складають його 88 звуків. Здавалося б, що їх так небагато. Але з цих 88 звуків створені грандіозні симфонії, ораторії, найбільші музичні творіння. Небозвід Всесвіту між 12 рівнями - від нижчого до вищого. Кожному рівню відповідає свій знак Зодіаку. Таким чином, існує нерозривний зв'язок космосу з музичною системою.

Піраміди в Гізі.

Багато хто намагався розгадати секрети піраміди в Гізі. На відміну від інших єгипетських пірамід це не гробниця, а скоpее нерозв'язна головоломка з числових комбінацій. Чудові ізобpетательность, майстерність, час і праця аpхітектоpов піраміди, використані ними пpи зведенні вічного символу, вказують на надзвичайну важливість послання, яке вони хотіли передати майбутнім поколінням. Їх епоха була дописемної, доіерогліфіческой і символи були єдиним засобом записи відкриттів.

Kлюч до геометро-математичному секрету пірамід в Гізі, насправді був переданий Геродоту храмовими жерцями, повідомив йому, що піраміда побудована так, щоб площа кожної з її граней була рівна квадрату її висоти.

Довжина грані піраміди в Гізі дорівнює 783.3 фути (238.7 м), висота піраміди - 484.4 фути (147.6 м). Довжина гpань, поділена на висоту, призводить до співвідношенню Ф = 1.618. Висота 484.4 фути відповідає 5813 дюймам (5-8-13) - це числа з послідовності Фібоначчі.

Ці цікаві спостереження підказують, що конструкція піраміди заснована на пропорції Ф = 1,618. Сучасні вчені схиляються до інтерпретації, що стародавні єгиптяни побудували її з єдиною метою - передати знання, які вони хотіли зберегти для прийдешніх поколінь.

Інтенсивні дослідження піраміди в Гізі показали, наскільки великими були в ті часи пізнання в математиці і астрології. У всіх внутрішніх і зовнішніх пропорціях піраміди число 1.618 відіграє центральну роль.

Піраміди в Мексиці.

Hе тільки єгипетські піраміди побудовані відповідно до ідеальної пpопоpції золотого перетину, те ж саме явище знайдене і у мексиканських піраміди. Виникає думка, що як єгипетські, так і мексиканські піраміди були зведені приблизно в один час людьми загального походження.

Hа поперечному перетині піраміди видно форма, подібна сходів. В першому ярусі 16 ступенів, під другим 42 ступені і в третьому - 68 ступенів.

Ці числа засновані на співвідношенні Фібоначчі наступним чином:

16 • 1.618 = 26

16 + 26 = 42

26 • 1.618 = 42

42 + 26 = 68

Послідовність Фібоначче проілюстрована природою.

Важливо відзначити, що Фібоначчі як би нагадав свою послідовність людству. Вона була відома ще древнім грекам і єгиптянам. І дійсно, з того часу в природі, архітектурі, образотворчому мистецтві, математиці, фізиці, астрономії, біології і багатьох інших областях були знайдені закономірності, описувані коефіцієнтами Фібоначчі. Наведемо декілька прикладів.

Pаковина закручена по спіралі. Якщо її розгорнути, то виходить довжина, яка трохи поступається довжині змії. Невелика раковина має спіраль довжиною 35 см. Відношення вимірів завитків раковини стала і рівна 1,618. У природі числа Фібоначчі часто зустрічаються в різних спіральних формах. Так, черешки листя примикають до стебла по спіралі, що проходить між двома сусідніми листками: 1/3 повного оберту в ліщини, 2/5 - у дуба, 3/8 - у тополі і груші, 5/13 - у верби; лусочки на ялиновій шишці, насіння соняшника розташовані спіралями, причому кількість спіралей кожного напрямку також, як правило, числа Фібоначчі.

Ще Гете підкреслював тенденцію природи до спіральності. Гвинтоподібне і спіралеподібне розташування листя на гілках дерев помітили давно. Павук плете павутину спіралеподібно. Cпіраллю закручується ураган. Перелякана череда північних оленів розбігається по спіралі. Молекула ДНK закручена подвійною спіраллю.

Гучність звуку.

Відомо, що максимальна гучність звуку, яка викликає больові відчуття, дорівнює 130 децибелам. Якщо розділити цей інтервал золотою пропорцією 1,618, то отримаємо 80 децибел, які характерні для гучності людського крику. Якщо тепер 80 децибел розділити золотою пропорцією, то отримаємо 50 децибел, що відповідає гучності людської мови. Нарешті, якщо розділити 50 децибел квадратом золотої пропорції 2,618, то отримаємо 20 децибел, що відповідає шепоту людини.

Таким чином, усі характерні параметри гучності звуку взаємозв'язані через золоту пропорцію.

Можна навести ще безліч прикладів проявлення послідовності або її коефіцієнтів у природі, історії, економіці і інших галузях життя, що ще раз підкреслює важливість цього дива математики.

Висновок

числовий фібоначчі масив

Послідовність чисел, що розглядається в даній курсовій роботі, на перший погляд проста, але проявляє себе у найрізноманітніших галузях науки і мистецтва. Досвід, що я здобула виконуючи дану курсову буде, несуперечливо, корисний у моїй подальшій роботі у школі. Практичне застосування математичних знань допоможе підвищити цікавість до математики, навчить бачити закономірності в, на перший погляд, випадкових речах.

Суми членів послідовності Фібоначчі знаходяться в трикутнику Паскаля. Фібоначчієва система числення розширює уявлення про можливості лічби, і показують, що десяткова система просто традиційна для нас, але не єдина. Перед вивченням двійкового коду корисно розказати спочатку про фібоначчієву систему, щоб підготувати для більш складного матеріалу.

Парадокс шахової дошки розвиває уяву і примушує бути більш спостережливим, приділяти увагу незначним деталям.

Числові властивості послідовності допомагають математикам при дослідженні більш складних послідовностей, простих чисел і їх властивостях, при доведенні теорем, рівнянь та нерівностей.

Про золоті коефіцієнти послідовності можна написати окрему книгу. Такий погляд на прекрасне допомагає розвинути відчуття гармонії, зрозуміти, що випадковостей не існує і є певні закони творення світу, до яких може доторкнутися кожен.

Не дивно, що в світі існує група шанувальників послідовності, які за допомогою її розв'язують різні математичні загадки.

Матеріал поданий в даній роботі легкий до сприйняття, і не потребує математичних знань, що виходять за рамки шкільного курсу. Тому дана робота може використовуватись для створення уроків і як тема для спецкурсів. Тепер слухаючи музику, перебуваючи на природі, або розглядаючи предмети мистецтва я підсвідомо буду шукати прояви гармонії золотого відношення і числа Фібоначчі.

Література

1. Азарнова Т.В. Булгакова И.Н. Методические указания для решения задач по курсу «Дискретная математика». - Воронеж: Лаб. опер. полиг. ВГУ, 2000 - 50с.

2. Воробьев Н.Н. Числа Фибоначчи (Серия «Популярные лекции по математике»). - М.: Наука, 1978. - 144с.

3. Гарднер М. Математические чудеса и тайны: математические фокусы и головоломки. - М.: Наука, 1978. - 128с.

4. Грэхем Р. Кнут Д. Паташник О. Конкретная математика: основание информатики. - М.: Мир,1998. - 704с.

5.Серпинский В. 250 задач по элементарной теории чисел. - М.: Просвещение,1968. - 160с.

6. Серпинский В. Что мы знаем и чего не знаем о простых числах. - Л.: Физматгиз, 1963. - 92с.

7. Успенский В.Я. Треугольник паскаля. - М.: Наука, 1979. - 48с.

Размещено на Allbest.ru

...