Математическая логика в технике

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Республики Казахстан

Костанайский государственный университет имени А.Байтурсынова

Кафедра математики

Дисциплина: Математика

Реферат

на тему: «Математическая логика в технике»

Специальность 5В071300 - Транспорт, транспортная техника и технологии

Выполнил:

Д. Бирмагамбетова студентка 1 курса

очной формы обучения, гр.13-101-21 (25)

Руководитель:

С. М. Рыщанова

Костанай, 2013 г

СОДЕРЖАНИЕ

символическая логика переключательный схема

Введение

Дизъюнкция и конъюнкция

Рефлекс

Заключение

Использованная литература

ВВЕДЕНИЕ

Роль логической обработки бинарных данных на современном этапе развития вычислительной техники существенно возросла. Это связано, в первую очередь, с созданием технически систем. реализующих в том или ином виде технологии получения и накопления знаний, моделированием отдельных интеллектуальных функций человека. Ядром таких систем являются мощные ЭВМ и вычислительные комплексы. Кроме того, существует большой класс прикладных задач, которые можно свести к решению логических задач, например, обработка и синтез изображений, транспортные задачи. Требуемая производительность вычислительных средств достигается путем распараллеливания и конвейеризации вычислительных процессов. Это реализуется, как правило, на основе сверхбольших интегральных, схем (СБИС). Однако технология СБИС и их структура предъявляет ряд специфических требований к алгоритмам, а именно: регулярность, параллельно--поточная организация вычислений, сверх линейная операционная сложность (многократное использование каждого элемента входных данных), локальность связей вычислений, двухмерность пространства реализации вычислений. Эти требования обусловливают необходимость решения проблемы эффективного “погружения” алгоритма в вычислительную среду, или, как еще принято говорить, -- отображение алгоритма в архитектуру вычислительных средств. В настоящее время доказана ошибочность ранее широко распространенных взглядов, состоящих в том, что переход на параллельно--конвейерные архитектуры ЭВМ потребуют лишь небольшой модификации известных алгоритмов. Оказалось, что параллелизм и конвейеризация вычислительных процессов требует разработки новых алгоритмов даже для тех задач, для которых существовали хорошо изученные и апробированные методы и алгоритмы решения, но ориентированные на последовательный принцип реализации. По прогнозам специалистов, в ближайшее десятилетие следует ожидать появления новых концепций построения вычислительных средств. Основанием для прогнозов являются результаты проводимых в настоящее время перспективных исследований, в частности, в области биочипов и органических переключающих элементов. Некоторые направления ставят своей целью создание схем в виде слоев органических молекул и пленок с высокоразвитой структурой. Это позволит, по мнению исследователей, “выращивать” компьютеры на основе генной инженерии и усилить аналогию между элементами технических систем и клетками мозга. Тем самым реальные очертания приобретают нейрокомпьютеры, которые имитируют интеллектуальные функции биологических объектов, в том числе человека. По-видимому, молекулярная электроника станет основой для создания ЭВМ шестого поколения. Все это объективно обусловливает интенсивные работы по методам синтезов алгоритмов обработки логических данных и их эффективному погружению в операционную среду бинарных элементов. Очевидно, что бинарные элементы и бинарные данные наиболее полно соответствуют друг другу в плане представления и обработки последних на таких элементах, если рассматривать их по отдельности. Действительно, положим, алгебра логики над числами (0,1) реализуется на бинарном элементе полном использовании его операционного ресурса. Другими словами, ставится вопрос об эффективности, а иногда вообще возможности реализации данного алгоритма на такой сети (структуре). В этом состоит суть погружения алгоритма в структуру.

ДИЗЪЮНКЦИЯ И КОНЪЮНКЦИЯ

Существует важная особенность применения матлогики в переключательных схемах. Обратите внимание на смысл микросхем, применяемых в технике. В технике применяются микросхемы, соответствующие операторам конъюнкции, дизъюнкции, отрицания, строгой дизъюнкции, эквивалентности. Основные формы микросхем - "и", "и не", "или", "или не" и т.п., а также сложные образования из них типа "(А и В) или (С и D)". Особенность применения микросхем состоит в том, что входами таких переменных являются наборы значений переменных, а выходом - истинностное значение оператора. Если это - конъюнкция, то входами микросхемы являются значения переменных А и В, а выходом С являются значения конъюнкции для подаваемого набора операторов: А и В = С

Возьмём какое-нибудь произвольное выражение, например, "Если А, то или В эквивалентно С или Д: А>((В?С)v D).

(А) Строим таблицу истинностных значений:

Рассмотрим условия истинности выражения (А). Оно истинно, если ложной является его левая часть или истинной правая. Тогда для наборов 9-16 выражение (А) истинно. Наборы 1-8 истинны, если В и С имеют одинаковые истинностные значения или Д истинно. В противном случае они ложны, то есть они ложны, если В и С имеют разные истинностные значения и Д ложно.

В чем заключается особенность применения матлогики в технике? - в том, что в ней определяются истинностные значения сложных выражений, и никак иначе. Почему? Потому что только в этом случае мы не получаем неопределенности. Какова плата за устранение неопределенность? - та, что на все входы подаётся одно из истинностных значения - 1 или 0. Для того, чтобы получить А =1, достаточно подать всего лишь А=0, либо Д=1, либо одинаковые значения на В и С. Бинарная техника подобного рода логики не понимает: мы должны подать истинностные значения на все переменные. Да техника и не может не подавать на все входа какие-то значения, поскольку она для них знает только два состояния - 1 и 0. Логика техники, помимо её избыточного характера, характеризуется еще и односторонностью: в ней определяются только истинностные значения операторов, и переключательные схемы техники представляют собой цепочки микросхем, в каждой из которых осуществляется определение значений операторов при тех или иных наборов их переменных.

Нарисуем случайную схему (рис.1)

Обозначения

Кружочек на схеме означает отрицание, & - "и", конъюнкция, v - не исключающее "или", дизъюнкция, v со штрихом как на рисунке или v' - исключающее "или", строгая дизъюнкция, три параллельные линии - эквивалентность, черта над выражением - отрицание.

Главный оператор

Под главным оператором выражения или его части понимается оператор, делящий выражение на две части.

Уровни главных операторов

считаются от главного оператора выражения. Этот уровень считается первым. Главные операторы полученных частей выражения являются операторами второго уровня. И т.д.

От схемы к выражениям

От переключательной схемы мы всегда можем перейти к выражениям, на основании которых схема была составлена, как и обратно, имея некоторые выражения, мы можем перейти к реализующей их схеме.

Особенность перехода от схемы к выражениям состоит в том, что восстановление выражений из схемы начинается с выходов схемы. Число выходов схемы равно числу выражений, на основании которых схема составлена. На схеме рис.1 выходами являются E и F. Значит, схема составлена на основании двух выражений. Выход схемы обеспечивается главным оператором выражения. Отсюда получаем выражения:

(А&B)?(CvD) и (CvD)v'(A?D)

От выражения - к схеме

Пусть дано выражение: А>((В?С)vD). Так как оператор импликации в микросхемах не применяется, то заменяем импликацию дизъюнкцией:

Av((B?C)vD) (2)

Последовательность главных операторов по степени понижения их уровня слева направо в выражении (2): v,v,? и получаем схему, представленную рис. 2:

Некоторые выводы

Восстановление выражений из переключательных схем

1.Число выражений, на основании которых строится техническая схема, равно числу выходов схемы.

2. Восстановление выражения из переключательной схемы осуществляется для каждого из выходов переключательной схемы, так как каждому из выходов соответствует своё выражение.

3.Выход схемы реализуется микросхемой, представляющей собой главный оператор первого уровня.

4. Главный оператор первого уровня делит выражение на две части, каждая из которых содержит оператор второго уровня или переменную.

5. Операция 4 повторяется относительно частей, на которые делит выражение главный оператор n-ого уровня до тех пор, пока все операторы не будут иметь в качестве своих входов переменные.

Примечание

В процессе построения выражения, относительно выхода схемы все связи микросхем с другими выходами игнорируются.

Построение переключательной схемы на основании заданных выражений.

1. Выделяется главный оператор выражения и применяется соответствующая ему микросхема. Если оператор в микросхемах не применяется, выражение преобразуется эквивалентное ему то, чтобы главный оператор был представлен имеющейся микросхемой.

Однако с точки зрения собственно логики определение истинностных значений сложных выражений, состоящих из множества операторов, есть её одна сторона. Не менее важной является другая сторона, которая заключается в определении истинностного значения одних переменных на основе знания истинностных значений других переменных и операторов, входящих в выражение.

Кажется, а почему бы не построить такие системы, и, соответственно, такие микросхемы, которые состояли бы из входа переменной, входа, определяющего истинностное значение оператора и выхода другой переменной, например, А, А>В = В. В том-то и дело, что такая микросхема не работала бы, так как при подаче не-А выход оказался бы не определенным, а, между тем, на выходе микросхема, так же, как и на её входах, обязательно должна иметь 1 или 0.

РЕФЛЕКС

Подойдём к вопросу с точки зрения рефлекса. Рефлекс актуализируется, если есть рассогласование. Нет рассогласования - и рефлекс никак не проявляет себя. Значит, относительно рефлекса можно утверждать, что он обладает двумя противоположными состояниями: активным и не активным. В свою очередь, активное состояние заключается в состоянии 1 либо 0, то есть в состоянии процесса удовлетворения либо же его отсутствия. Что мы в настоящем случае наблюдаем? В целом мы получаем три состояния рефлекса: не активное, состояние удовлетворения и состояние не удовлетворения. (Удовлетворение и не удовлетворение - это процессы, выраженные субстантивно, т.е. как некоторые постоянные состояния, как то, что не характеризуется временными характеристиками). Но в реальности эти три переменные образуются посредством двух переменных, каждая из которых определяется бинарным образом, как истина либо ложь. И при этом обычно считается, что истина и ложь - это конец пути. Однако мы видим, что это - не так, что истина способна, в свою очередь, распадаться на истину или ложь. А в силу относительности истины и лжи, то каждая из сторон в одних отношениях выступает в качестве истины, в других - в качестве лжи, и это движение может быть сколь угодно длинным. Сформулированный тезис о параллелизме логики и реальности как раз и выражает это обстоятельство. Представим себе микросхему для логического оператора. Пусть у неё есть вход, которым определяется активное или пассивное состояние микросхемы. Если на вход микросхемы подается сигнал пассивного состояния, то микросхема никак не проявляет себя несмотря на падающие на неё воздействия. Сигнал пассивного или активного состояния определяется величиной рассогласования. Введём такой технический элемент, который реагирует непрерывным образом на две противоположные силы, например, на силу насыщения и на силу голодания. Но насыщение и голодание - это противоположные процессы, то есть это - процессы, характеризующиеся противоположными направлениями. Тогда если А>B, то направление процесса от А к В, то есть А>В, и если A<B, то направление процесса от В к А, то есть В>А. А эти вещи выражаются, соответственно, единицей и минус единицей, если положительный и отрицательный потенциалы меняются местами. А это значит, что должна существовать электронная схема, способная делать это. Может быть, начать разрабатывать этот вопрос можно с применения двух полярного источника питания, выдающего, соответственно, единицу и минус единицу. Этот же принцип двух полярности следует отнести и к входам микросхемы. Тогда у микросхемы не будет специализированных входов и выходов: в зависимости от соотношения сил вывод микросхемы будет работать то, как вход, то, как выход. Очевидно, что при равенстве сил в таких микросхемах с необходимостью будет возникать дребезг. Во избежание этого в микросхему должен быть введен гистерезис, который будет опрокидывать вывод в противоположное состояние при некоторой величине разности противоположно действующих сил.

Как будет работать такая микросхема? Если нет рассогласования, а следует заметить, что между силой голода и силой насыщения всегда имеет место некоторое отношение. Насыщение как бы прикрывает инстинкт голода. Насыщение - это торможение голода. И это - во всём, что касается живых систем. Не бывает так, что есть одна сила и нет другой. Существует то или иное отношение между ними. А существование гистерезиса и, соответственно, его величины определяет относительную временную устойчивость действия каждой из сил. Итак, если рассогласование отсутствует, то микросхема пассивна и не реагирует на внешние влияния, под которыми понимаются действующие на её выводах потенциалы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Разработанный в современной символической логике метод построения логических исчислений является важнейшим ее результатом. Его теоретическая и практическая значимость состоит в том, что благодаря ему возникает возможность доказательства любой формулы, представляющей закон логики, из бесконечного множества таких формул, а также осуществлять соответствующий вывод для любого случая -- опять-таки из бесконечного множества случаев отношения логического следования. В основе логических исчислений, как мы видели, лежат специальные логические языки. Наряду с рассмотренными выше возможностями использования этих языков для решения многих логических вопросов, и в первую очередь для точного определения основных понятий логики (логическое следование и закон логики), следует заметить, что в этих языках имеются, по существу, точные понятия логической формы и логического содержания мыслей, которые мы используем в дальнейшем.

Использованная литература

Никольская И. Л. Математическая логика: Учебник. - М: Высшая школа, 1981 г.

Размещено на Allbest.ru