Способы задания функции

Размещено на http://www.allbest.ru/

Доклад

на тему: Способы задания функции

Выполнила: Ковалёва Юлия

211 группа "Лечебное дело"

Преподаватель: Пушкарская

Ольга Владимировна

2015

Функция - одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.

Идея функциональной зависимости восходит к древности. Ее содержание обнаруживается уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами. В первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур. Так, вавилонские ученые (4-5тыс.лет назад) пусть несознательно, установили, что площадь круга является функцией от его радиуса посредством нахождения грубо приближенной формулы: S=3r². Примерами табличного задания функции могут служить астрономические таблицы вавилонян, древних греков и индийцев, а примерами словесного задания функции - теорема о постоянстве отношения площадей круга и квадрата на его диаметре или античные определения конических сечений, причем сами эти кривые выступали в качестве геометрических образов соответствующей зависимости.

1. Функция и её свойства

Функция- зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у.

Переменная х- независимая переменная или аргумент.

Переменная у- зависимая переменная

Значение функции- значение у, соответствующее заданному значению х.

Область определения функции- все значения, которые принимает независимая переменная.

Область значений функции (множество значений)- все значения, которые принимает функция.

Функция является четной- если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(x)=f(-x)

Функция является нечетной- если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-x)=-f(x)

Возрастающая функция- если для любых х₁ и х₂, таких, что х₁< х₂, выполняется неравенство f(х₁)<f(х₂)

Убывающая функция- если для любых х₁ и х₂, таких, что х₁< х₂, выполняется неравенство f(х₁)>f(х₂)

2. Способы задания функции

Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у=f(x), где f(x)- с переменной х. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.

На практике часто используется табличный способ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента. Примерами табличного задания функции являются таблица квадратов, таблица кубов.

3. Виды функций и их свойства

1) Постоянная функция- функция, заданная формулой у=b, где b-некоторое число. Графиком постоянной функции у=b является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;b) на оси ординат

2) Прямая пропорциональность- функция, заданная формулой у=kx, где к№0. Число k называется коэффициентом пропорциональности.

Cвойства функции y=kx:

1. Область определения функции- множество всех действительных чисел

2. y=kx - нечетная функция

3. При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой

3)Линейная функция- функция, которая задана формулой y=kx+b, где k и b-действительные числа. Если в частности, k=0, то получаем постоянную функцию y=b; если b=0, то получаем прямую пропорциональность y=kx.

Свойства функции y=kx+b:

1. Область определения- множество всех действительных чисел

2. Функция y=kx+b общего вида, т.е. ни чётна, ни нечётна.

3. При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой

Графиком функции является прямая.

4) Обратная пропорциональность- функция, заданная формулой y=k/х, где k№0 Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Свойства функции y=k/x:

1. Область определения- множество всех действительных чисел кроме нуля

2. y=k/x- нечетная функция

3. Если k>0, то функция убывает на промежутке (0;+Ґ) и на промежутке (-Ґ;0). Если k<0, то функция возрастает на промежутке (-Ґ;0) и на промежутке (0;+Ґ).

Графиком функции является гипербола.

5)Функция y=x²

Свойства функции y=x²:

1. Область определения- вся числовая прямая

2. y=x² - четная функция

3. На промежутке [0;+Ґ) функция возрастает

4. На промежутке (-Ґ;0] функция убывает

Графиком функции является парабола.

6)Функция y=x³

Свойства функции y=x³:

1. Область определения- вся числовая прямая

2. y=x³ -нечетная функция

3. Функция возрастает на всей числовой прямой

Графиком функции является кубическая парабола

7)Степенная функция с натуральным показателем- функция, заданная формулой

y=xⁿ, где n- натуральное число. При n=1 получаем функцию

y=x, ее свойства рассмотрены в п.2. При n=2;3 получаем функции y=x²;

y=x³. Их свойства рассмотрены выше.

Пусть n- произвольное четное число, большее двух: 4,6,8... В этом случае функция

y=xⁿ обладает теми же свойствами, что и функция y=x².

График функции напоминает параболу y=x², только ветви графика при |х|>1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при |х|<1 тем “теснее прижимаются” к оси Х, чем больше n.

Пусть n- произвольное нечетное число, большее трех: 5,7,9... В этом случае функция y=xⁿ обладает теми же свойствами, что и функция y=x

График функции напоминает кубическую параболу.

8)Степенная функция с целым отрицательным показателем- функция, заданная формулой y=x^-n, где n- натуральное число.

При n=1 получаем y=1/х, свойства этой функции рассмотрены в п.4.

Пусть n- нечетное число, большее единицы: 3,5,7... В этом случае функция y=x^-n обладает в основном теми же свойствами, что и функция y=1/х.

Пусть n- четное число, например n=2.

Свойства функции y=x^-2:

1. Функция определена при всех x№0

2. y=x^-2 - четная функция

3. Функция убывает на (0;+Ґ) и возрастает на (-Ґ;0).

Теми же свойствами обладают любые функции при четном n, большем двух.

9)Функция y=Цх

Свойства функции y=Цх:

1. Область определения - луч [0;+Ґ).

2. Функция y=Цх - общего вида

3. Функция возрастает на луче [0;+Ґ).

10)Функция y=³Цх

Свойства функции y=³Цх:

1. Область определения- вся числовая прямая

2. Функция y=³Цх нечетна.

3. Функция возрастает на всей числовой прямой.

11)Функция y=ⁿЦх

При четном n функция обладает теми же свойствами, что и функция y=Цх. При нечетном n функция y=ⁿЦх обладает теми же свойствами, что и функция y=³Цх.

12)Степенная функция с положительным дробным показателем- функция, заданная формулой y=x^r, где r- положительная несократимая дробь.

Свойства функции y=x^r:

1. Область определения- луч [0;+Ґ).

2. Функция общего вида

3. Функция возрастает на [0;+Ґ).

На рисунке изображен график функции y=x^5/2. Он заключен между графиками функций y=x² и y=x³, заданных на промежутке [0;+Ґ).Подобный вид имеет любой график функции вида y=x^r, где r>1.

На рисунке изображен график функции y=x^2/3. Подобный вид имеет график любой степенной функции y=x^r, где 0<r<1

13)Степенная функция с отрицательным дробным показателем-функция, заданная формулой y=x^-r, где r- положительная несократимая дробь.

Свойства функции y=x^-r:

1. Обл. определения -промежуток (0;+Ґ)

2. Функция общего вида

3. Функция убывает на (0;+Ґ)

14)Обратная функция

Если функция y=f(x) такова, что для любого ее значения y_o уравнение f(x)=y_o имеет относительно х единственный корень, то говорят, что функция f обратима.

Если функция y=f(x) определена и возрастает (убывает) на промежутке Х и областью ее значений является промежуток Y, то у нее существует обратная функция, причем обратная функция определена и возрастает(убывает) на Y.

Таким образом, чтобы построить график функции, обратной к функции y=f(x), надо график функции y=f(x) подвергнуть преобразованию симметрии относительно прямой y=x.

15)Сложная функция- функция, аргументом которой является другая любая функция.

Возьмем, к примеру, функцию y=x+4. Подставим в аргумент функцию y=x+2. функция графический аналитический табличный

Получается: y(x+2)=x+2+4=x+6. Это и будет являться сложной функцией.

Размещено на Allbest.ru