Характеристики Моделей

Размещено на http://www.allbest.ru/

ХАРАКТЕРИСТИКИ МОДЕЛЕЙ

Ефективне використання моделей можливе лише за умови, що їх характеристики відповідають певним вимогам. Основними характеристиками моделей є точність, вірогідність, адекватність, складність, універсальність.

Точність моделі

Точність математичної моделі (accuracy of mathematical model) - її властивість, яка відбиває ступінь збігу передбачених з її допомогою значень характеристик об'єкта з дійсним значенням цих характеристик. За дійсне значення характеристик об'єкта звичайно приймають експериментально отримані значення або достовірно відомі факти.

Точність характеризується похибкою і є величиною, оберненою до неї. Похибка - це відхилення модельного значення від дійсного. Точністю або похибкою можна характеризувати не усі моделі, а лише ті, для яких визначено чисельну характеристику відхилення моделі від оригіналу, тобто метрика у просторі моделей. Зокрема, досить просто і природно знаходиться відхилення лише для функціональних моделей, які описують залежність одного параметра стану системи від вектора впливів.

В залежності від призначення моделі розглядають похибки абсолютні, відносні і зведені; максимальні, середні, середні квадратичні:

- абсолютна похибка

де у - модельне значення, у* - дійсне значення;

- відносна похибка

- зведена похибка

де - діапазон значень результату моделювання;

- максимальна похибка

- середня похибка

де ;

- середня квадратична похибка

Похибки моделювання також класифікують за джерелами походження: методичні, обчислювальні, похибки від невизначеності початкових даних тощо.

Методичні похибки можуть бути викликані нехтуванням певними впливовими факторами, помилками у виборі виду функціональної залежності, невідповідністю способу отримання результату моделювання особливостям моделі, неправильним вибором типу моделі тощо.

Обчислювальні похибки викликані особливостями алгоритму отримання результату.

При великій кількості послідовних обчислень похибка накопичується і може досягати значної величини.

Такі ситуації виникають при розв'язанні диференціальних рівнянь, особливо у частинних похідних, та інших задачах.

Похибки від невизначеності початкових даних відіграють значну роль при використанні алгоритмів, які мають низьку стійкість.

Так наприклад, при обчисленні похідної різницевим методом похибка результату може значно перевищувати похибки початкових даних.

При застосуванні моделювання у діючих системах реального часу з'являється додаткова складова похибки - динамічна.

Вона зумовлена тим, що протягом часу моделювання початкові дані можуть змінитися, і отримані результати вже не будуть їм відповідати.

Очевидно, динамічна похибка залежить від співвідношення швидкості зміни початкових даних і швидкості моделювання.

Якщо визначені окремі похибки, то за умови їх незалежності загальна середня квадратична похибка підраховується за формулою

Вірогідність моделі

Вірогідністю характеризуються моделі, для яких не визначено метрику. Вірогідність (reliability of mathematical model) - це ймовірність відсутності помилки при побудові моделі

Ймовірність помилки розраховується на основі аналізу усіх можливих джерел помилок. Але слід брати до уваги, що у деяких задачах локальна помилка може не привести до загальної помилки моделювання, наприклад у задачах знаходження мінімальних або максимальних шляхів за допомогою структурних моделей у вигляді графів, якщо цей шлях не проходить через помилково визначене ребро.

математичний модель похибка адекватність

Адекватність моделі

Необхідна умова для переходу від дослідження об'єкта до дослідження моделі і подальшого перенесення результатів на об'єкт дослідження - вимога адекватності моделі і об'єкта.

Адекватність (adequacy of mathematical model) - це правильне відтворення моделлю з необхідною повнотою всіх властивостей об'єкта, важливих для цілей даного дослідження.

Будь-яка система чи підсистема може бути представлена різноманітними способами, які значно відрізняються один від одного за складністю і деталізацією. В більшості випадків в результаті дослідження з'являється декілька різних моделей одної і тої ж системи. При цьому в залежності від глибини аналізу прості моделі послідовно заміняються все більш складними.

Оскільки всяка модель простіша за оригінал, ніколи не можна говорити про абсолютну адекватність, при якій модель за всіма характеристиками відповідає оригіналу. Відповідно, оцінювання ступеня подібності може спиратися тільки на оцінювання точності або відмінності від оригіналу. Оцінювання відмінності стикається природним чином з великими труднощами, оскільки звичайно неможливо використовувати для порівняння об'єкт у всій його дійсній цілісності.

Можна виділити декілька евристичних критеріїв адекватності моделей:

1. Достатня точність за граничних умов моделювання і у особливих точках.

Для кожної моделі бажано вказувати границі значень параметрів, в яких вона адекватна об'єкту. Чим ширший цей діапазон, ти вищою є ступінь адекватності моделі.

Часто граничними умовами є характерні «точки»: нуль та нескінченність. Поведінка об'єкта при наближенні до таких значень звичайно є зрозумілою (наприклад, відомо, що струм з нульовою частотою, тобто постійний струм, не проходить через конденсатор, а із зростанням частоти, тобто при наближенні частоти до НВЧ і частоти коливань світла, струм перестає проходити через провідники). Перевірка адекватності моделі у таких випадках здійснюється за допомогою граничного переходу.

2. Достатня точність співпадання з відомими випадками.

Піонерські дослідження, тобто такі, яким досі не було аналогів, зустрічаються рідко. Тому у літературних джерелах найчастіше можна знайти результати, які відповідають окремим випадкам застосування моделі.

3. Підвищення або принаймні збереження точності при врахуванні додаткових факторів.

Вище відзначалося, що одна з головних причин низької точності моделі методична похибка, яка зумовлена нехтуванням певними факторами заради спрощення моделі. Очевидно, врахування додаткових факторів повинно зменшувати методичну похибку, отже підвищувати точність моделі. Але це справедливо лише для адекватних моделей. Для неадекватних моделей врахування додаткових факторів найчастіше дозволяє краще виявити розбіжність моделі з оригіналом. Приклад застосування цього критерію адекватності показаний на рис. 1.

На рис. 1. оригіналом є функція «факторіал». Але ця функція незручна для дослідження, оскільки розраховується лише для дискретних значень і для неї неможливо розрахувати деякі характеристики, наприклад, похідну. З рисунку видно, що ця функція подана у вигляді двох моделей: поліноміальної і експоненціальної. Якщо враховувати лише три фактори (три значення аргумента: 0, 1 і 2), то можна зробити висновок, що поліноміальна модель є адекватною. Але збільшення кількості точок ясно показує, що більш адекватною є експоненціальна модель.

Збереження точності на контрольній вибірці

При побудові моделі на основі експериментальних даних ці дані розбивають на дві підмножини: ті, що використовуються для отримання параметрів моделі, і ті, що використовуються для перевірки її адекватності - контрольну групу. Головною умовою такого розбиття є рівномірне покриття кожною з підмножин усього простору даних.

Складність моделі

Вже відзначалося, що будь-яка модель є спрощеним описом об'єкта.

Складність моделі є комплексною характеристикою, яка переважно сприймається інтуїтивно. Найглибше пророблені методи визначення складності для алгоритмічних моделей. При оцінюванні складності алгоритмів враховують кількість вхідних та вихідних даних, кількість операцій, кількість циклів і викликів зовнішніх функцій тощо.

Із складністю тісно пов'язана інша характеристика - економічність моделі. Економічність математичної моделі визначається перш за все витратами ресурсів на моделювання: машинного часу, зусиль на отримання і введення початкових даних, необхідної потужності комп'ютерів тощо.

Для адекватних моделей збільшення складності приводить до зменшення методичної похибки, але разом із тим призводить до збільшення обчислювальної похибки (чим складніша модель - тим більше дій слід виконати при її практичному використанні, а кожна дія вносить додаткову обчислювальну похибку) і до збільшення витрат часу на отримання результату. Приклад типових залежностей похибок від складності моделі показано на рис. 2.

Очевидно, існує оптимальна складність, яка забезпечує найбільшу точність адекватної моделі.

Універсальність моделі

Ступінь універсальності математичної моделі визначається її застосуванням до аналізу численої групи однотипних об'єктів, до їх аналізу в одному чи багатьох режимах функціонування.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2. Залежності похибок від складності моделі: S - складність, ?мет - методична похибка, ?дин - динамічна похибка, ?обч - обчислювальна похибка, ?? - сумарна похибка

Як приклад найуніверсальніших моделей можна навести модель гравітаційної взаємодії («закон всесвітнього тяжіння» Ньютона). Меншу універсальність мають потокові моделі (закони Кірхгофа) - вони справедливі лише для лінійних систем. Ще вужче застосування мають моделі конкретних об'єктів - їх універсальність проявляється при розгляді об'єкта за різноманітних умов (різних вхідних даних, впливів тощо).

Ключові слова

Адекватність моделі, точність моделі, похибка моделі, абсолютна похибка, відносна похибка, зведена похибка, максимальна похибка, середня похибка, середня квадратична похибка, методична похибка, обчислювальна похибка, похибки від невизначеності початкових даних, економічність моделі, ступінь універсальності моделі.

Контрольні питання і завдання для самостійної роботи

1. Як визначається адекватність моделі, чим вона характеризується?

2. Дайте означення основних характеристик точності моделі?

3. Що є джерелами похибок моделювання?

4. Якими якісними показниками характеризується модель?

5. Дайте визначення адекватності, точності та складності моделі

Література

1. Дубовой В.М. Моделювання систем контролю та керування. Навчальний посібник / Дубовой В.М. - Вінниця: ВНТУ, 2005. - 175 с.

2. Остапенко Ю.А. Ідентифікація та моделювання технологічних об'єктів керування: Підручник / Остапенко Ю.А. -- К.: Задруга, 1999. -- 424 с.

3. Киричков В.Н. Идентификация объектов систем управления технологическими процессами / Киричков В.Н. -- К.: Вища школа, 1990. -- 263 с.

4. Букетов А.В. Ідентифікація і моделювання технологічних об'єктів та систем: навчальний посібник / Букетов А.В. - Тернопіль: СМП „Тайп“. - 2009. - 260 с.

5. Володарський Є.Т. Метрологічне забезпечення вимірювань і контролю Володарський Є.Т., Кухарчук В.В., Поджаренко В.О., Сердюк Г.Б. - Вінниця: Велес, 2001. - 219с.

6. Дубовой В.М. Визначення вимог до структури підсистеми керування вимірювально-обчислювальної системи / В.М.Дубовой, О.Д.Никитенко // Вісник Хмельницького національного університету. Част.1. - 2005. - №4. - Том 1. - с.40-43.

7. Каравайкин А.В. Активный метод исследования неэлектромагнитного информационного обмена в природе [Електронний ресурс] / А.В. Каравайкин- Тоннель-ХХI : Сборник научных трудов. - 2003. - №2. -- Режим доступу до журн. : http://tonnel-new.narod.ru/vega_glava2.htm

8. Коршунов Ю.М. Математические основы кибернетики / Коршунов Ю.М. - М.: Энергия. - 1972. - 376 с.

9. Лапа В.Г. Математические основы кибернетики / Лапа В.Г. - К.: Вища школа. - 1974. - 452с.

10. Лежнюк П.Д. Аналіз чутливості оптимальних рішень в складних системах критеріальним методом / Лежнюк П.Д. - Вінниця: УНІВЕРСУМ-Вінниця, 2003. - 131с.

11. Лежнюк П.Д., Бевз С.В. Методи оптимізації в електроенергетиці. Критеріальний метод: Навчальний посібник. - Вінниця: ВДТУ. - 1999. - 177с.

12. Лежнюк П.Д. Оптимальне керування потоками потужності і напругою в неоднорідних електричних мережах: Монографія / Лежнюк П.Д., Кулик В.В. - Вінниця: УНІВЕРСУМ-Вінниця. - 2004. - 188с.

13. Математическая энциклопедия: В 6 томах. [Под ред. И.М. Винаградова]. - М.: Советская энциклопедия. - 1984.

14. Молчанов А.А. Моделирование и проектирование сложных систем Учеб. пособие по спец. "Прикл. математика" и "Системы автоматизир. проектирования" А. А. Молчанов - К.: Вища школа. - 1988. - 359 с.

15. Основы построения АСУ / [Под ред. В.И.Костюка]. - М.: Наука. - 1977. 302 с.

16. Скурихин В.И. Математическое моделирование / В.И.Скурихин, В.Б.Шифрин, В.В.Дубровский - К.: Техніка. - 1983. - 270 с.

17. Советов Б.Я. Моделирование систем / Советов Б.Я., Яковлев С.А. - М.: Высш.шк. - 1985. - 343 с.

18. Справочник по аналоговой вычислительной технике. Под ред. Г.Е.Пухова К.: Техніка, 1975. - 432 с.

Размещено на Allbest.ur