Эллипс и его каноническое уравнение
Понятия и свойства эллипса, его полуосей. Характеристика степени вытянутости – эксцентриситет. Центр симметрии эллипса. Перпендикулярность нормальной плоскости и касательной прямой. Расчет радиус-вектора и векторного уравнения линии в пространстве.
| Рубрика | Математика |
| Вид | задача |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 18.05.2015 |
| Размер файла | 49,3 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Задание 1
Размещено на http://www.allbest.ru/
Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек и , называемых фокусами, есть величина постоянная (ее обозначают ), причем эта величина больше расстояния между фокусами (это расстояние обозначают ).
Если за ось Ox принять прямую , а за ось Oy - перпендикуляр к оси Ox, проходящий через середину отрезка , то уравнение эллипса примет вид:
.(1)
Это уравнение эллипса называется каноническим.
Величины a и b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса , точки , , , - вершинами эллипса. Координаты фокусов: , .
Число
называется эксцентриситетом эллипса, который характеризует степень вытянутости эллипса. Чем ближе эксцентриситет к нулю, тем больше эллипс похож на окружность (эксцентриситет окружности равен нулю). Чем ближе эксцентриситет к 1, тем сильнее вытянут эллипс.
Начало координат является центром симметрии эллипса (называется центром эллипса).
При уравнение (1) также задает эллипс, но у такого эллипса фокусы расположены на оси Oy, параметр b задает большую полуось, а a - малую полуось.
При эллипс представляет собой окружность радиуса a с центром в начале координат. Уравнение этой окружности
.
Свойства:
Сумма расстояний от любой точки эллипса до его фокусов есть величина постоянная и равная удвоенной большей полуоси.
Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии.
Эллипс имеет центр симметрии.
Центр симметрии эллипса называется центром эллипса.
Эллипс может быть получен сжатием окружности.
Задание 2
Рассмотрим радиус-вектор точки A(x,y,z)
(1)
где: x,y,z - проекции вектора на оси координат.
Пусть x,y,z , есть функции от t, т.е.
(2)
Тогда
=
Или
.
эллипс полуось эксцентриситет пространство
При изменении t, точка A опишет в пространстве линию, которая называется годографом вектора . Уравнение (1) называется векторным уравнением линии в пространстве, а уравнения (2) - параметрическими уравнениями линии.
Пусть точка М(x0,y0,z0) - точка, соответствующая значению параметра t=t0.
Дадим t приращение , получим точку
N(x0+.
Секущая MN, как прямая, проходящая через две точки имеет уравнение:
.
Если , то
Следовательно уравнение касательной имеет вид:
(3)
Прямая, перпендикулярная к касательной и проходящая через точку касания, называется нормалью к пространственной кривой в данной точке. Нормалей к пространственной линии можно провести бесчисленное множество. Все они лежат в плоскости, перпендикулярной к касательной прямой. Эта плоскость называется нормальной плоскостью. Из условия перпендикулярности нормальной плоскости и касательной прямой получим уравнение нормальной плоскости
(3)
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Нормальное и каноническое уравнение окружности и эллипса. Понятие эксцентриситета как отношения фокусного расстояния к длине большой оси эллипса. Уравнение и координаты точки, принадлежащей эллипсу. Влияние отношение малой и большой полуосей на фигуру.
презентация [184,4 K], добавлен 21.09.2013Общее и каноническое уравнение прямой, декартова прямоугольная система. Перпендикулярность вектора к прямой и параметрические уравнения. Угловой коэффициент и наклон прямой к оси. Тангенс угла наклона и представление отрезка, отсекаемого линией.
лекция [124,0 K], добавлен 17.12.2011Уравнения линии на плоскости, их формы. Угол между прямыми, условия их параллельности и перпендикулярности. Расстояние от точки до прямой. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола, их уравнения и главные геометрические свойства.
лекция [160,8 K], добавлен 17.12.2010Вектор в декартовой системе координат как упорядоченная пара точек (начало вектора и его конец). Линейные операции с векторами. Базис на плоскости и в пространстве. Свойства скалярного произведения. Кривые второго порядка. Каноническое уравнение параболы.
учебное пособие [312,2 K], добавлен 09.03.2009Понятие матрицы, эллипса, гиперболы и параболы. Системы уравнений с матрицами. Проекция вектора на ось и действия с векторами. Плоскость и прямые линии в пространстве, их взаимное расположение. Прямоугольная декартова система координат на плоскости.
контрольная работа [98,8 K], добавлен 30.11.2010Общее уравнение кривой второго порядка. Составление уравнений эллипса, окружности, гиперболы и параболы. Эксцентриситет гиперболы. Фокус и директриса параболы. Преобразование общего уравнения к каноническому виду. Зависимость вида кривой от инвариантов.
презентация [301,4 K], добавлен 10.11.2014Способы определения плоскости. Прямые в пространстве, признаки их параллельности, пересечения, скрещивания. Принадлежность прямой плоскости, их параллельность и скрещивание. Перпендикулярность прямой и плоскости. Взаимодействие плоскостей в пространстве.
презентация [1,4 M], добавлен 13.04.2016Метод координат. Основные задачи аналитической геометрии на прямой и на плоскости. Основные линии второго порядка. Алгебраическая и геометрическая интерпретация векторов. Уравнение поверхности и уравнение линии в пространстве. Общее уравнение плоскости.
учебное пособие [687,5 K], добавлен 04.05.2011Задача на вычисление скалярного произведения векторов. Нахождение модуля векторного произведения. Проверка коллинеарности и ортогональности. Составление канонического уравнения эллипса, гиперболы, параболы. Нахождение косинуса угла между его нормалями.
контрольная работа [102,5 K], добавлен 04.12.2013Возможные случаи ориентации прямой и плоскости для заданного уравнения. Условия их перпендикулярности и параллельности. Скалярное произведение перпендикулярных векторов. Координаты точки, лежащей на прямой. Угол между прямой и плоскостью, его определение.
презентация [65,2 K], добавлен 21.09.2013Вычисление определителей матриц. Метод приведения матрицы к треугольному виду. Решение системы уравнений методами Крамера, Жордана-Гауса и матричным. Канонические уравнения для нахождения центра, вершины, полуоси, эксцентриситета, директрис эллипса.
контрольная работа [797,4 K], добавлен 18.11.2013Перпендикулярные прямые в пространстве. Определение и признак прямой, перпендикулярной к плоскости. Теорема о перпендикулярности двух параллельных, двух перпендикулярных прямых к плоскости. Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью.
презентация [160,5 K], добавлен 20.11.2014Математическое понятие кривой. Общее уравнение кривой второго порядка. Уравнения окружности, эллипса, гиперболы и параболы. Оси симметрии гиперболы. Исследование формы параболы. Кривые третьего и четвертого порядка. Анъези локон, декартов лист.
дипломная работа [877,9 K], добавлен 14.10.2011Перпендикулярные прямые в пространстве. Лемма о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости. Признаки перпендикулярности плоскостей. Построение перпендикуляра в многомерных пространствах.
презентация [1,6 M], добавлен 14.12.2012Направленные отрезки и прямоугольная декартовая система координат. Уравнение прямой линии с угловым коэффициентом. Параллельность и перпендикулярность прямых. Пространство со скалярным произведением. Решение системы линейных уравнений по формуле Крамера.
шпаргалка [1,1 M], добавлен 30.05.2015Теорема о проецировании прямого угла, возможные три случая такого проецирования. Главные линии плоскости: линии уровня и линии наибольшего наклона. Прямая, перпендикулярная к плоскости и ее проекции. Условие взаимной перпендикулярности двух плоскостей.
реферат [463,3 K], добавлен 17.10.2010Векторы на плоскости и в пространстве. Обыкновенное дифференциальное уравнение. Необходимые формулы для решения задач о касательной. Метод наименьших квадратов. Необходимые определения и формулы для вычисления интегралов. Производные элементарных функций.
курс лекций [119,3 K], добавлен 21.04.2009Способы задания прямой на плоскости. Уравнение с угловым коэффициентом. Рассмотрение частных случаев. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении. Построение графика прямой, проходящей через две точки. Рассмотрение примера.
презентация [104,9 K], добавлен 21.09.2013Образование конических сечений. Основное свойство и уравнение эллипса, исследование формы по его уравнению. Исследование форм параболы по ее уравнению. Директориальное свойство конических сечений. Эллипс, гипербола и парабола как конические сечения.
курсовая работа [156,7 K], добавлен 08.11.2013Правые и левые ориентации. Стороны прямой на плоскости и плоскости в пространстве. Деформации базисов и ориентации. Отношение одноименности отличных от нуля векторов прямой, деформируемости базисов. Задание направления движения по окружности в плоскости.
контрольная работа [448,0 K], добавлен 09.04.2016
