Основы алгебры и начал анализа

Размещено на http://www.allbest.ru/

Основы алгебры и начал анализа

1. Функции

Функция - это "закон", по которому каждому элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений).

Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Так значение переменной однозначно определяет значение выражения, а значение месяца однозначно определяет значение следующего за ним месяца, также любому человеку можно сопоставить другого человека - его отца. Аналогично, некоторый задуманный заранее алгоритм по варьируемым входным данным выдаёт определённые выходные данные. Часто под термином "функция" понимается числовая функция; то есть функция, которая ставит одни числа в соответствие другим. Эти функции удобно представляются на рисунках в виде графиков.

Свойства и графики функций. Знание основных элементарных функций, их свойств и графиков не менее важно, чем знание таблицы умножения. Они как фундамент, на них все основано, из них все строится и к ним все сводится.

В этой статье мы перечислим все основные элементарные функции, приведем их графики и дадим без вывода и доказательств свойства основных элементарных функций по схеме:

область определения функции;

поведение функции на границах области определения, вертикальные асимптоты (при необходимости смотрите статью классификация точек разрыва функции);

проверка на четность и нечетность;

область значений функции;

промежутки возрастания и убывания, точки экстремума;

промежутки выпуклости (выпуклости вверх) и вогнутости (выпуклости вниз), точки перегиба (при необходимости смотрите статью выпуклость функции, направление выпуклости, точки перегиба, условия выпуклости и перегиба);

наклонные и горизонтальные асимптоты;

особые точки функций;

особые свойства некоторых функций (например, наименьший положительный период у тригонометрических функций).

Как эти свойства были получены для каждой из основных элементарных функций можете ознакомиться в разделе полное исследование функции и построение графика.

Если же Вас интересует дифференцирование элементарных функций или интегрирование элементарных функций, то можете перейти к этим разделам теории.

Основными элементарными функциями являются: степенная функция с целым показателем степени, показательная, логарифмическая функция, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

Навигация по странице.

Степенная функция, ее график и свойства.

Показательная функция, свойства, график.

Логарифмическая функция, ее свойства, графическая иллюстрация.

Свойства и графики тригонометрических функций.

Обратные тригонометрические функции (аркфункции), их свойства и графики.

Производная (функции в точке) - основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференцимрованием. Обратный процесс - интегрирование.

Правила вычисления производной. Если следовать определению, то производная функции в точке - это предел отношения приращения функции ?y к приращению аргумента ?x:

Вроде бы все понятно. Но попробуйте посчитать по этой формуле, скажем, производную функции

f(x) = x2 + (2x + 3) · ex · sin x.

Если все делать по определению, то через пару страниц вычислений вы просто уснете. Поэтому существуют более простые и эффективные способы.

Для начала заметим, что из всего многообразия функций можно выделить так называемые элементарные функции. Это относительно простые выражения, производные которых давно вычислены и занесены в таблицу. Такие функции достаточно просто запомнить - вместе с их производными.

Применение производной к исследованию функций.

Теорема 1. (Необходимое и достаточное условия возрастания функции)

Если дифференцируемая функция y = f(x) возрастает на [a, b], то ее производная неотрицательна на этом отрезке, f'(x) ? 0.

Обратно. Если функция y = f(x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b) и ее производная положительна на этом отрезке, f'(x) ? 0 для a < x < b, то f(x) возрастает на [a, b].

Аналогичная теорема имеет место и для убывающих функций.

Теорема 2. Если f(x) убывает на [a,b], то

на этом отрезке. Если

на (a; b), то f(x) убывает на [a, b], в предположении, что f(x) непрерывна на [a, b].

Доказанная теорема выражает очевидный геометрический факт. Если на [a, b] функция возрастает, то касательная к кривой y = f(x) в каждой точке этого отрезке образует острый угол с осью Ox или горизонтальна, т.е. tga ? 0, а значит f'(x) ? 0.

Аналогично иллюстрируется и вторая часть теоремы.

Таким образом, возрастание и убывание функции характеризуется знаком ее производной. Чтобы найти на каком промежутке функция возрастает или убывает, нужно определить, где производная этой функции только положительна или только отрицательна, то есть решить неравенства f'(x) > 0 - для возрастания или f'(x) < 0 - для убывания.

Метод интервалов. На свойстве непрерывных функций, рассмотренном ранее (его полное доказательство приводится в курсах математического анализа), основан метод решения неравенств с одной переменной (метод интервалов). Опишем его.

Пусть функция f непрерывна на интервале I и обращается в нуль в конечном числе точек этого интервала. По сформулированному выше свойству непрерывных функций этими точками I разбивается на интервалы, в каждом из которых непрерывная функция f сохраняет постоянный знак. Чтобы определить этот знак, достаточно вычислить значение функции f в какой-либо одной точке из каждого такого интервала.

2. Понятие первообразной

Для введения понятия первообразной функции можно обратиться к таблице, в которой записаны функции и их производные, и поставить задачу воспользоваться ею для отыскания функции, производная которой равна данной (взятой из столбца производных).

1. у =С (С - постоянная), у' = 0.

2. у = х, y'=1.

3. y = x2 у' = 2x.

4 y = х3 у' = 3?2.

5 у = х-2 у' = -2x-3.

6 y = х-3 у' = -3x-4.

7. у = хk (k - целое число), у' =kxk-1.

9. у = соsх, у' =-siп х.

Дальнейшее развитие этой задачи: найти функции, производные которых равны х2, х3, х-2, х-3.

Нетрудно заметить, что поставленная задача решается неоднозначно: для каждой функции найдется бесконечное множество функций, производная которых равна данной функции; эти функции отличаются только постоянной. После такого рода упражнений вводится определение первообразной функции, или просто первообразной: "Функция Р (х) называется первообразной для функции /(х) в данном промежутке, если для всех х из этого промежутка Р' (х) = f(х)".

В большинстве приведенных примеров промежутком, в котором функции определены, является вся числовая прямая, найденные первообразные для них тоже определены на всей числовой прямой;

В примерах 5, 6 и примере 7 (при k<0) найденные функции являются первообразными для данных в каждом из промежутков (-?, 0), (0; +?).

Использованную нами таблицу можно теперь переписать так, чтобы по ней удобно было находить первообразные данных функций.

1. f(x)=0 F(x)=C

2. f(x)=1 F(x)=C +x

3. f(x)=2x F(x)=C +x2

4. f(x)=3?2 F(x)=C +x3

5. f(x)=-2x-3, x 0 F(x)=C +x-2

На первых порах необходима проверка правильности решения задачи дифференцированием для закрепления понятия первообразной и для ликвидации возможных ошибок: первое время ученики путают формулы дифференцирования и интегрирования.

Далее доказываются теоремы. 1) Если Р(х) - одна из первообразных для данной функции f(х) в некотором промежутке (конечном или бесконечном), то любая функция F(х) + С, где С - произвольная постоянная, также является первообразной для f(х) в этом промежутке. 2) Если Р(х) - первообразная для f(х), то любая другая первообразная для f (х) имеет вид F(х) + С, где С - какая-то постоянная.

Таким образом, выражение F(х) + С обозначает множество всех первообразных данной функции.

После доказательства этих теорем могут быть решены задачи, подобные приведенным в таблице, и некоторые задачи физического содержания, например: "Скорость тела как функция времени задана формулой v=at (а - ускорение). Найти путь как функцию времени движения".

Такого рода задачи могут и предшествовать введению понятия первообразной, демонстрируя необходимость этого понятия для решения прикладных задач. Надо только иметь в виду, что при этом физическое содержание задач должно быть достаточно прозрачным, чтобы не заслонять математическую сущность вопроса.

Введение понятия неопределенного интеграла и символа для его обозначения не является строго необходимым в том небольшом курсе математического анализа, который возможен в школе, тем более что запись вызывает трудности в объяснении происхождения символа (вспомним, что ученики могут быть не знакомы с понятием дифференциала).

Вместе с тем введение такой символики позволяет в более наглядной форме записывать формулы интегрирования. Заметим еще, что возникающая здесь определенная трудность, связанная с пониманием того, что при проверке интегрирования дифференцированием мы имеем дело не с одной функцией, а с бесконечным множеством их, записанным в форме, сохраняется отчасти и в случае, когда понятие неопределенного интеграла не вводится.

Еще один аргумент в пользу введения символа общепринятость его: ученики должны быть подготовлены к чтению литературы, а там они с таким обозначением встретятся Символ и термин "неопределенный интеграл" можно ввести после доказательства приведенных выше теорем 1 и 2. При этом разъясняется, почему употребляется слово "неопределенный", показывается связь между интегрированием и дифференцированием.

3. Обобщение степени

Показатели степени до сего времени предполагались нами целыми и положительными, причем мы им придавали смысл, выражаемый в следующем определении:

Возвысить число а в степень с целым и положительным показателем n - значит найти произведение n одинаковых сомножителей ааа...a.

Перечислим свойства этих показателей, известные нам из предыдущих глав алгебры:

1) при умножении степеней одного и того же числа показатели их складываются (Отдел 2 глава 3 § 53);

2) при делении степеней одного и того же числа показатель делителя вычитается из показателя делимого, если показатель делителя не больше показателя делимого (Отдел 2 глава 4 § 64);

3) всякое число, возвышенное в нулевую степень, дает 1 (Отдел 2 глава 4 § 65);

4) от возвышения отрицательного числа в степень с четным показателем получается положительное число, а с нечетным показателем- отрицательное (Отдел 6 глава 1§ 153);

5) чтобы возвысить в степень произведение, достаточно возвысить в эту степень каждый сомножитель отдельно (Отдел 6 глава 1§ 154, а);

6) чтобы возвысить степень в степень, достаточно перемножить показатели этих степеней (Отдел 6 глава 1§ 154,6);

7) чтобы возвысить в степепь дробь, достаточно возвысить в эту степень отдельно числитель и знаменатель (Отдел 6 глава 1§ 154, в);

8) чтобы возвысить радикал в степень, достаточно возвысить в эту степень подкоренное число (Отдел 8 глава 4§ 205, г);

9) чтобы извлечь корень из степени, достаточно разделить показатель степени на показатель корня, если такое деление выполняется нацело (Отдел 6 глава 4§ 168,6).

Теперь мы расширим понятие о показателях, введя показатели отрицательные и дробные, которые до сего времени мы не употребляли. Мы увидим при этом, что все свойства целых положительных показателей сохраняются и для показателей отрицательных и дробных.

4. Первообразная и интеграл

1. Первообразная. Функция F(х) называется первообразной для функции f (х) на промежутке X, если для любого х из Х выполняется равенство F'(x)=f(x)

Т.7.13 (Если F(х)-первообразная для функции f(х) на промежутке X, то у функции f(x) бесконечно много первообразных, и все эти первообразные имеют вид F (x)+С, где С - произвольная постоянная (основное свойство первообразной).

2. Таблица первообразных. Учитывая, что отыскание первообразной есть операция, обратная дифференцированию, и отталкиваясь от таблицы производных, получаем следующую таблицу первообразных (для простоты в таблице приведена одна первообразная F(х), а не общий вид первообразных F(х) + С:

5. Первообразная и логарифмическая функция

Логарифмическая функция, функция, обратная к показательной функции. Л. ф. обозначается

y = lnx; (1)

её значение y, соответствующее значению аргумента х, называется натуральным логарифмом числа х. В силу определения соотношение (1) равносильно

х = еу (2)

(е - неперово число). Т. к. ey > 0 при любом действительном у, то Л. ф. определена только при х > 0. В более общем смысле Л. ф. называют функцию

первообразный степень интеграл логарифм

y = logaX,

где а > 0 (а ? 1) - произвольное основание логарифмов. Однако в математическом анализе особое значение имеет функция InX; функция logaX приводится к ней по формуле:

logax = MInX,

где М = 1/In а. Л. ф. - одна из основных элементарных функций; её график (рис. 1) носит название логарифмики. Основные свойства Л. ф. вытекают из соответствующих свойств показательной функции и логарифмов; например, Л. ф. удовлетворяет функциональному уравнению

Inx+lny = lnxy.

Для - 1 < х , 1 справедливо разложение Л. ф. в степенной ряд:

ln(1 + x) = x

Многие интегралы выражаются через Л. ф.; например

,

.

Л. ф. постоянно встречается в математическом анализе и его приложениях.

Л. ф. была хорошо известна математикам 17 в. Впервые зависимость между переменными величинами, выражаемая Л. ф., рассматривалась Дж. Непером (1614). Он представил зависимость между числами и их логарифмами с помощью двух точек, движущихся по параллельным прямым (рис. 2). Одна из них (У) движется равномерно, исходя из С, а другая (X), начиная движение из А, перемещается со скоростью, пропорциональной её расстоянию до В. Если положить СУ = у, ХВ = х, то, согласно этому определению,

dx/dy = - kx, откуда .

Л. ф. на комплексной плоскости является многозначной (бесконечнозначной) функцией, определённой при всех значениях аргумента z ? 0 обозначается Lnz. Однозначная ветвь этой функции, определяемая как

Inz = In?z?+ i arg z,

где arg z - аргумент комплексного числа z, носит название главного значения Л. ф. Имеем

Lnz = lnz + 2kpi, k = 0, ±1, ±2, ...

Все значения Л. ф. для отрицательных: действительных z являются комплексными числами. Первая удовлетворительная теория Л. ф. в комплексной плоскости была дана Л. Эйлером (1749), который исходил из определения

Размещено на Allbest.ru