Определение вероятности события
Расчет вероятности своевременного прибытия автобусов. Применение теорем умножения вероятностей независимых событий и сложения вероятностей несовместимых событий. Применение формулы полной вероятности при определении вероятности дефекта укупорки банки.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 26.05.2015 |
| Размер файла | 108,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Задача № 1
Из аэровокзала отправились два автобуса-экспресса. Вероятность своевременного прибытия каждого автобуса в аэропорт равна 0,95. Найти вероятность того, что: а) оба автобуса прибудут вовремя; б) оба автобуса опоздают;
в) только один автобус прибудет вовремя; г) хотя бы один автобус прибудет вовремя.
Решение
Введём обозначения следующих событий:
А - событие, состоящее в том, что первый автобус придет вовремя;
- противоположное событие, состоит в том, что первый автобус опоздает.
Событие В состоит в том, что второй автобус придет вовремя;
- противоположное событие, состоит в том, что второй автобус опоздает.
Вероятности событий А и В равны 0,95. Вероятности противоположных событий и равны:
1) Для нахождения ответа на первый пункт введем обозначение ещe одного события: пусть событие С состоит в том, что оба автобуса прибудут вовремя. Опираясь на понятие произведения двух событий, видим, что .
Для нахождения вероятности события С применим теорему умножения вероятностей независимых событий, состоящую в том, что вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:
2) Для решения второго пункта задачи введем еще одно обозначение события: событие Dсостоит в том, что оба автобуса опоздают.
Опираясь на понятие произведения двух событий, получаем, что.
Для нахождения вероятности события D применим еще раз теорему умножения вероятностей независимых событий:
3) Для решения третьего пункта введем ещё одно обозначение события: событие Е состоит в том, что только один автобус прибудет вовремя, причем безразлично на какой именно-первый или второй.
Это сложное событие может проявиться в виде двух несовместных вариантов: или первый автобус придет вовремя, а второй опоздает, т.е. ; или же второй автобус придет вовремя, а первый опоздает, т.е. .
Таким образом, событие. Для нахождения вероятности этого события применим теорему сложения вероятностей несовместимых событий, говорящую о том, что вероятность появления одного из двух несовместимых событийА и В, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий. Отсюда получаем
Применяя к каждому из слагаемых теорему умножения вероятностей, получаем:
4) Для решения четвертого пункта введем ещё одно обозначение события: событие F состоит в том, что хотя бы один автобус прибудет вовремя, причем безразлично на какой именно-первый или второй.
Это сложное событие может проявиться в виде трех несовместных вариантов: или первый автобус придет вовремя, а второй опоздает, т.е. ; или же второй автобус придет вовремя, а первый опоздает, т.е. , или оба автобуса прибудут вовремя, т.е. .
Таким образом, событие.
Для нахождения вероятности этого события применим теорему сложения вероятностей несовместимых событий, говорящую о том, что вероятность появления одного из двух несовместимых событий А и В, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий.
Отсюда получаем
Применяя к каждому из слагаемых теорему умножения вероятностей, получаем:
Ответ:
1) Оба автобуса прибудут вовремя с вероятностью .
2) Оба автобуса опоздают с вероятностью .
3) Только один автобус прибудет вовремя с вероятностью .
3) Хотя бы один автобус прибудет вовремя с вероятностью .
Задача № 2
Банки закатывают два автомата с одинаковой производительностью. Доля банок с дефектом укупорки для первого автомата составляет 1%, а для второго - 0,5%. Какова вероятность того, что взятая наугад банка будет иметь дефект укупорки?
Решение.
Эта задача решается с применением формулы полной вероятности.
Введём обозначение событий. Пусть: событие А состоит в том, что взятая наугад банка будет иметь дефект укупорки; событие H1 состоит в том, что наугад выбранная банка закатана первым автоматом; H2 состоит в том, что наугад выбранная банка закатана вторым автоматом.
Вероятность события А найдём, пользуясь формулой полной вероятности:
Так как производительности обоих автоматов одинаковые, то вероятности Р (H1) и Р (H2) равны между собой и Р (H1) =Р (H2) =0,5.
вероятность событие независимое несовместимое
- условная вероятность того, что наугад взятая банка закатана первым автоматом. По условию задачи.
- условная вероятность того, что наугад взятая банка закатана вторым автоматом.
По условию задачи.
Подставляем все вероятности в формулу полной вероятности:
.
Ответ: Вероятность того, что наугад взятая банка имеет дефект укупорки, равна Р (А) = 0,0075.
Задача 3
Всхожесть семян составляет 80%. Найти вероятность того, что из 2500 посеянных семян взойдет:
а) ровно 1950;
б) по крайней мере 1950 семян.
Решение
а) Всхожесть семян - это испытание, в котором может появиться событие А - семя взойдет - с вероятностью Р=0,8.
Находим:
Пусть событие В состоит в том, что из 2500 посеянных семян взойдет ровно 1950.
n*P = 2500*0,8 = 2000.
n*P *q = 2000*0,2 = 400
Можно применять формулы Лапласа:
С вероятностью 1,978% из 2500 посеянных семян взойдет ровно 1950
б) Искомая вероятность . Так как ее вычисление очень громоздко, найдем вероятность противоположного события:
Тогда искомая вероятность будет равна:
Ответ:
а) вероятность того, что из 2500 посеянных семян взойдет ровно 1950
б) вероятность того, что из 2500 посеянных семян взойдет, по крайней мере, 1950 семян
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Опыт со случайным исходом. Статистическая устойчивость. Понятие вероятности. Алгебра событий. Принцип двойственности для событий. Условные вероятности. Формулы сложения и умножения вероятностей. Формула Байеса. Пространство элементарных событий.
реферат [402,7 K], добавлен 03.12.2007Вероятность события. Теоремы сложения и умножения событий. Теорема полной вероятности события. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли, формула Пуассона, формула Муавра-Лапласа. Закон распределения вероятностей случайных дискретных величин.
контрольная работа [55,2 K], добавлен 19.12.2013Определение и оценка вероятности наступления заданного события. Методика решения задачи, с использованием теоремы сложения и умножения, формулы полной вероятности или Байеса. Применение схемы Бернулли при решении задач. Расчет квадратического отклонения.
практическая работа [55,0 K], добавлен 23.08.2015Определение числа всех равновероятных исходов испытания. Правило умножения вероятностей независимых событий, их полная система. Формула полной вероятности события. Построение ряда распределения случайной величины, ее математическое ожидание и дисперсия.
контрольная работа [106,1 K], добавлен 23.06.2009Классическое определение вероятности. Формулы сложения и умножения вероятностей. Дисперсия случайной величины. Число равновозможных событий . Матрица распределения вероятностей системы. Среднее квадратическое отклонение, доверительный интервал.
контрольная работа [89,7 K], добавлен 07.09.2010Показатели безотказности как показатели надежности невосстанавливаемых объектов. Классическое и геометрическое определение вероятности. Частота случайного события и "статистическое определение" вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
курсовая работа [328,1 K], добавлен 18.11.2011Определение вероятности случайного события; вероятности выиграшных лотерейных билетов; пересечения двух независимых событий; непоражения цели при одном выстреле. Расчет математического ожидания, дисперсии, функции распределения случайной величины.
контрольная работа [480,0 K], добавлен 29.06.2010Определение вероятности появления поломок. Расчет вероятности успеха, согласно последовательности испытаний по схеме Бернулли. Нахождение вероятности определенных событий по формуле гипергеометрической вероятности. Расчет дискретной случайной величины.
контрольная работа [69,3 K], добавлен 17.09.2013Решение задач по определению вероятности событий, ряда и функции распределения с помощью формулы умножения вероятностей. Нахождение константы, математического описания и дисперсии непрерывной случайной величины из функции распределения случайной величины.
контрольная работа [57,3 K], добавлен 07.09.2010Характеристика полной группы событий как совокупность всех возможных результатов опыта. Способы определения вероятности событий в задачах разного направления. Нахождение вероятности количества нестандартных деталей. Построение функции распределения.
задача [37,9 K], добавлен 19.03.2011История и основные этапы становления и развития основ теории вероятности, ее яркие представители и их вклад в развитие данного научного направления. Классификация случайных событий, их разновидности и отличия. Формулы умножения и сложения вероятностей.
контрольная работа [22,6 K], добавлен 20.12.2009Возникновение теории вероятности как науки. Классическое определение вероятности. Частость наступления события. Операции над событиями. Сложение и умножение вероятности. Схема повторных независимых испытаний (система Бернулли). Формула полной вероятности.
реферат [175,1 K], добавлен 22.12.2013Теория вероятности как математическая наука, изучающая закономерность в массовых однородных случаях, явлениях и процессах, предмет, основные понятия и элементарные события. Определение вероятности события. Анализ основных теорем теории вероятностей.
шпаргалка [777,8 K], добавлен 24.12.2010Применение классического определения вероятности в решении экономических задач. Определение вероятности попадания на сборку бракованных и небракованных деталей. Вычисление вероятности и выборочного значения статистики при помощи формулы Бернулли.
контрольная работа [309,4 K], добавлен 18.09.2010Практическиое решение задач по теории вероятности. Задача на условную вероятность. Задача на подсчет вероятностей. Задача на формулу полной вероятности. Задача на теорему о повторении опытов. Задача на умножение вероятностей. Задача на схему случаев.
контрольная работа [29,7 K], добавлен 24.09.2008Формулировка и доказательство теоремы о сложении вероятностей двух несовместных событий. Следствие теоремы в случае, когда события составляют полную группу несовместных событий, и в случае противоположных событий. Примеры вычисления вероятности событий.
презентация [77,5 K], добавлен 01.11.2013Определение вероятности случайного события, с использованием формулы классической вероятности, схемы Бернулли. Составление закона распределения случайной величины. Гипотеза о виде закона распределения и ее проверка с помощью критерия хи-квадрата Пирсона.
контрольная работа [114,3 K], добавлен 11.02.2014Теория вероятностей — раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. Методы решения задач по теории вероятности, определение математического ожидания и дисперсии.
контрольная работа [157,5 K], добавлен 04.02.2012Теория вероятности, понятие вероятности события и её классификация. Понятие комбинаторики и её основные правила. Теоремы умножения вероятностей. Понятие и виды случайных величин. Задачи математической статистики. Расчёт коэффициента корреляции.
шпаргалка [945,2 K], добавлен 18.06.2012Определение числа исходов, благоприятствующих данному событию. Теорема умножения вероятностей и сложения несовместных событий, локальная теорема Лапласа. Расчет среднеквадратического отклонения величин. Несмещенная оценка генеральной средней и дисперсии.
контрольная работа [91,0 K], добавлен 31.01.2011
