Трикутник Паскаля та його застосування

Размещено на http://www.allbest.ru/

ЗМІСТ

ВСТУП

РОЗДІЛ І. ЗАГАЛЬНІ ВІДОМОСТІ ПРО ТИРИКУТНИК ПАСКАЛЯ

1.1 Історія трикутника Паскаля

1.2 Принцип побудови трикутника Паскаля

1.3 Основні властивості трикутника Паскаля

РОЗДІЛ ІІ. ОСОБЛИВОСТІ ВИКОРИСТАННЯ ТРИКУТНИКА ПАСКАЛЯ

2.1 Застосування трикутника Паскаля у комбінаториці

2.1.1 Зв'язок із біноміальними коефіцієнтами

2.1.2 Зв'язок коефіцієнтів трикутника з числами Фібоначчі

2.1.3 Зв'язок із числами Каталана

2.1.4 Трикутні, тетраедричні та прості числа в арифметичній таблиці

2.2 Застосування трикутника Паскаля у інших розділах математики

ВИСНОВКИ

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

ВСТУП

Актуальність дослідження. У зв'язку з інтенсивним розвитком комп'ютерних та інформаційних технологій, зростає число різноманітних комбінаторних задач та задач пов'язаних із трикутником Паскаля. Трикутник Паскаля широко використовують у різних розділах математики, інформатики та інших науках. По суті - це один із фундаментальних математичних об'єктів, що лежить в основі точних наук. Вивчення трикутника Паскаля займає значне місце у шкільному курсі математики. Учні опановують математичний апарат, який може ефективно застосовуватися під час розв'язання задач із математики, інформатики.

Багато традиційних елементарних задач (піднесення до степеня многочленів, знаходження факторіала тощо) ефективно розв'язуються за допомогою арифметичного трикутника.

В останні десятиліття розширилося коло дослідників трикутника Паскаля, його плоских і просторових аналогів і узагальнень. Ідеї побудови арифметичних трикутників комбінаторного походження та їх додатків висловлювалися багатьма авторами (С. Гамберг, Т. Грін, Д. Кнут, Д. Пріст, Дж. Ріордан, Д. Рождерс, С. Сміт, Р. Стенлі, В. Хоггат, Л. Шапіро, Б.А.Бондаренко, О.В. Кузьмін, М.Л. Платонов, В.А. Успенський, В.М. Докін, Т.Г. Тюрнева та ін.), причому в деяких роботах, отримані результати повторюються.

Об'єкт дослідження: трикутник Паскаля

Предмет дослідження: методологічні основи практичного використання трикутника Паскаля у математиці.

Мета дослідження: визначити властивості трикутника Паскаля та його застосування у різних галузях науки.

Відповідно до об'єкта, предмета і мети визначено головні завдання дослідження:

? опрацювати наукову літературу з теми даного дослідження;

? обґрунтувати практичне застосування трикутника Паскаля;

? з'ясувати взаємозв'язок трикутника Паскаля з числами Фібоначчі, біномом Ньютона та числами Каталана.



РОЗДІЛ І. ЗАГАЛЬНІ ВІДОМОСТІ ПРО ТРИКУТНИК ПАСКАЛЯ

1.1 Історія трикутника Паскаля

Однією з найбільш відомих і витончених численних схем у всій математиці є трикутник Паскаля, названий на честь Блеза Паскаля. Блез Паскаль - французький релігійний філософ, письменник, фізик, математик XVII ст., який народився 19 червня 1623 р. в місті Клермон-Ферран (Овернь). Він є одним із засновників математичного аналізу, теорії ймовірності та проективної геометрії. Б.Паскаль є творцем перших зразків лічильної техніки, автором основного закону гідростатики, формули біноміальних коефіцієнтів, винахідником гідравлічного пресу, шприца. На його честь була названа всесвітньо відома мова програмування Pascal, а також одиниця вимірювання тиску (Паскаль).

Блез Паскаль вніс значний внесок у розвиток математики. У трактаті «Досвід теорії конічних перетинів» (1639р.) він виклав одну з основних теорем проективної геометрії, названу його іменем. Праці Паскаль, що містять викладений у геометричній формі інтегральний метод розв'язання низки задач на обчислення площ фігур, об'ємів і площ поверхонь тіл, а також інших завдань, пов'язаних з циклоїдою, стали істотним кроком у розвитку аналізу нескінченно малих. Теорема Паскаля про характеристичний трикутник є одним із джерел для створення Г. Лейбніцом диференціального й інтегрального числення. Блез Паскаль був одним із перших, хто описав властивості та застосування арифметичного трикутника, якому він присвятив спеціальний трактат, опублікований 1653 році, вже після його смерті. [20,, с. 2]

Хоча арифметичний трикутник і названий іменем Паскаля, проте він був відомий ще сотні років до його народження. Числа, що утворюють так званий трикутник Паскаля спочатку були відомі з індуїстських досліджень комбінаторики і біноміальних чисел, а також із досліджень фігурних чисел у древній Греції.

Перша згадка про трикутну послідовності біноміальних коефіцієнтів під назвою meru-prastara зустрічається в X ст. в коментарях індійського математика Халаюдхі до праці іншого математика Пінгали. Приблизно в той же час арифметичний трикутник досліджувався перським математиком Ал-Караджі (953-1029рр.). Ал-Караджі наводить у своєму творі таблицю біноміальних коефіцієнтів, принцип їх адитивного походження і формулу бінома. Пізніше трикутник досліджується перським і таджицьким поетом, астрономом і математиком Омаром Хайямом (1048-1131рр.), тому в Ірані цю схему називають трикутником Хайяма. Хайям використовував його для знаходження кореня n-го степеня. [16, с.101]

В Китаї трикутник Паскаля був відомий на початку ХІ ст. завдяки китайському математику Цзя Сіану. (1010-1070рр.). У 1303 р. була випущена книга «Яшмовому дзеркало чотирьох елементів» китайського математика Чжу Шицзи, в якій був зображений трикутник Паскаля на одній з ілюстрацій. Вважається, що винайшов його Ян Хуей, тому китайці до цих пір називають дану числову схему трикутником Яна Хуея (Рис.1.). [15, с.13]

Рис.1. Трикутник Яна Хуея в китайському середньовічному манускрипті, 1303р.

Перші записи трикутника Паскаля в Європі були опубліковані в XVI ст. В 1529 р. відомий астроном, математик із Інгольтштадского університету Петро Апіано. Він зобразив на титульному аркуші підручника арифметика, трикутник Паскаля.

В Італії арифметичний трикутник називається трикутником Тарталья, на честь алгебраїста Нікколо Фонтано Тарталья. Тарталья написав декілька книг, найважливіша з яких була видана у Венеції під назвою «Загальний трактат про число і міру» (1556-1560). У ній він виклав свої оригінальні дослідження з арифметики, алгебри і геометрії. Трактат містить, також, таблицю біноміальних коефіцієнтів, які були розташовані в прямокутній формі (Рис.2.). В цій таблиці верхній рядок складається із одиниць; в кожному іншому рядку най лівіше число, теж одиниця, а кожне наступне число утворюється безпосередньо складання двох чисел, що розміщені перед ним і над ним. А в 1653 р.(в інших джерелах в 1655р.) вийшла книга Блеза Паскаля «Трактат про арифметичний трикутник», де автор виклав основні відомості про трикутник.

Рис.2. Трикутник Н.Ф. Тарталья

1.2 Принцип побудови трикутника Паскаля

Трикутник Паскаля - нескінченна таблиця чисел. Якщо окреслити дану числову схему, то вийде рівнобедрений трикутник. У цьому трикутнику на вершині і з боків стоять одиниці (Рис.3.), а кожне число дорівнює сумі двох розташованих над ним чисел (Рис.4).[6, c.18]

Рис.3. Рис.4.

Розглянемо деякий рядок чисел , n = 0,1,2….(при n=0 цей рядок «вироджується» в рядок, що складається із єдиного числа ). Утворюємо із нього новий рядок чисел за наступним правилом

Даний рядок отриманий із попереднього за правилом Паскаля. Воно виражає згідно з правилами рекурсії один коефіцієнт, який не дорівнює одиниці, через два інші. Звідси випливає, що рядок чисел , що утворюється за правилом Паскаля із симетричного рядка теж симетричний.

Тепер розглянемо рядок, що складається із одного числа - одиниці. Даний рядок називається нульовим рядком Паскаля. Утворимо із нього по правилу Паскаля новий рядок, який називається першим рядком Паскаля і так ділі. Оскільки при переході до кожного наступного рядка число члені цього рядка збільшується на одиницю, то в n-му рядку Паскаля буде n+1 число.

Записавши рядки Паскаля, починаючи із нульового, один під одним, так щоб кожне число кожного рядка опинилося між тими числами попереднього рядка, сумою яких воно являється, можна отримати нескінченну таблицю - арифметичний трикутник Паскаля. Вся таблиця в цілому заповнює середину деякого кута; будь який її початок , утворений 0-м, 1-м, …, n-м рядками має форму рівнобедреного трикутника. В наслідок симетрії рядків, трикутник Паскаля симетричний відносно своєї бісектриси. Члени кожного рядка зазвичай нумеруються з ліва на право, починаючи з нульового. Числа, що стоять на k-м місці в n-му рядку позначають через . [21, с.12]

Часто члени трикутника розміщують дещо по іншому,так щоб кожний початок мав форму прямокутного трикутника. Таку нескінченну таблицю називають трикутником Паскаля в прямокутній формі (Рис.5.), або просто прямокутним трикутником Паскаля. У прямокутному трикутнику Паскаля на перетині n-ї горизонталі та k-ї вертикалі стоїть число :

Рис.5. Прямокутний трикутник Паскаля

На n-й горизонталі розміщений n-й рядок Паскаля. Крім вертикалей і горизонталей, у прямокутному трикутнику Паскаля існують ще і діагоналі. Розрізняють висхідні та низхідні діагоналі. По головній низхідній діагоналі стоять одиниці, а по кожній із паралельних їй низхідних діагоналей розташовується - в силу симетрії рядків Паскаля - таж послідовність чисел, що й по вертикалі. Висхідні діагоналі нумеруються, починаючи з першої. На кожній із них стоїть кінцевий ряд чисел: на першій діагоналі 1; на другій 1; на третій 1, 1; на четвертій 1, 2 і так далі. Загалом, на n-й діагоналі стоять числа (вони продовжуються до тієї пори, коли , тобто ). [21, с.18]

Іноді при розв'язані певних задач використовують арифметичний трикутник у вигляді числової або символічної форми (Рис.6), що може дещо спростити процедуру обчислення. [4, с.136]

Рис.6. Числова та символічна форми трикутника Паскаля

1.3 Основні властивості трикутника Паскаля

Трикутник Паскаля такий простий, але в той же час пов'язує в одне ціле різні аспекти математики, які на перший погляд не мають між собою нічого спільного. Такі незвичайні властивості дозволяють вважати трикутник Паскаля однією із найбільш витончених схем у всій математиці. [8, с.204]

Знаючи принцип побудови арифметичного трикутника Паскаля можна глибше вивчити властивості його рядків та діагоналей, виявити деякі його таємниці.

Однією із загадкових властивостей числової таблиці є знаходження суми чисел ряду від початку до потрібного числа. Для цього необхідно, знайшовши останній доданок, звернути увагу на число, яке знизу і зліва (якщо нумерувати ряди з правого боку) або праворуч (якщо нумерувати ряди з лівого боку) від останнього доданку. Наприклад, щоб дізнатися, що в сумі дадуть всі числа четвертого ряду від 1 до 56, досить, знайшовши 56, поглянути, що написано зліва внизу - це число 126.

Наступною унікальною властивістю є те, що числа трикутника симетричні (рівні) щодо вертикальної осі. Тобто, цифри, які розташовані на лівій стороні мають однакові номери відповідності на правій стороні, як дзеркальне відображення (Рис.7)

Рис.7. Симетричність арифметичного трикутника

У рядку з номером n:

- перше і останнє числа рівні 1, [17,, c.10]

- друге і передостаннє числа рівні n,

- третє число одно трикутникове числу , що також дорівнює сумі номерів попередніх рядків.

- четверте число є тетраедричним, [17,, c.10],

- m-е число дорівнює числу сполучень m-1 з n-1.

Ще досить незвичною властивістю трикутника є те, що сума чисел у висхідній діагоналі, яка починається з першого елемента (n-1)-го рядка, є n-е число Фібоначчі (Рис.8)

Рис.8. Відображення чисел Фібоначчі на трикутнику Паскаля

Крім чисел Фібоначчі у числовій таблиці можна виявити число Каталано, якщо відняти із центрального числа в рядку з парним номером сусіднє число з того ж рядка.

Також, за допомогою трикутника Паскаля можна побудувати трикутник Серпінського. Він утворюється, якщо в трикутнику Паскаля всі непарні числа пофарбувати в чорний колір, а парні - в білий (Рис.9). Це ще одна із властивостей трикутника. [11, с.12]

Рис.9. Трикутник Серпінсього

Не менш важливими є такі властивості числової таблиці як: сума чисел n-го рядка трикутника Паскаля дорівнює ; всі числа в n-му рядку, крім одиниць, діляться на число n, тоді і тільки тоді, якщо n - просте число; в кожному рядку трикутника Паскаля сума чисел, що розміщені на непарних місцях, рівна сумі чисел розміщених на парних місцях.

Крім вище згаданих властивостей трикутника Паскаля, виділяють, також властивості горизонтальних та вертикальних рядів, які були виявлені самим Б. Паскалем :

- кожне число А в таблиці дорівнює сумі чисел попереднього горизонтального ряду, починаючи із най лівішого і до того, яке розміщене, безпосередньо, над числом А (Рис.10а); [21, с.20]

- кожне число А в таблиці дорівнює сумі чисел попереднього вертикального ряду, починаючи із самого верхнього і аж до того, яке розташоване лівіше числа А (Рис.10б);

- кожне число А в таблиці, що зменшене на 1, дорівнює сумі всіх чисел, які заповнюють прямокутник, обмежений тими вертикальними і горизонтальними рядами, на перетині яких стоїть число А (Рис.10в) [21, с.20]

Властивості арифметичного трикутника різноманітні і мають велике значення, так як на їх основі розв'язуються різні типи математичних задач.



РОЗДІЛ ІІ. ОСОБЛИВОСТІ ВИКОРИСТАННЯ ТРИКУТНИКА

2.1 Застосування трикутника Паскаля у комбінаториці

Трикутник Паскаля одна із найвідоміших арифметичних таблиць, яка знайшла своє застосування у різних областях математики, фізики та інформатики. Однією з таких областей застосування є комбінаторика.

Комбінаторика - це розділ математики, присвячений розв'язанню завдань вибору і розташування елементів відповідно до певних правил. Наприклад, скількома способами можна вибрати 6 карт з колоди; чи скількома способами можна скласти чергу, яка складається із10 чоловік і т.д. [5, с. 5]

Так, наприклад, за допомогою трикутника Паскаля можна розв'язати таку комбінаторну задачу: Один шейх, слідуючи законом гостинності, вирішує віддати своєму гостю трьох із семи своїх дружин. Скільки різних виборів може зробити гість серед мешканок гарему? Для того щоб розв'язати цю задачу використаємо арифметичний трикутник.

Знайдемо число, яке стоїть на перетині третьої діагоналі та сьомого рядка: воно виявиться рівним 35. Якщо, переплутавши номера діагоналі і рядка і шукати число, що стоїть на перетині сьомої діагоналі та третього рядком, то виявите , що вони не перетинаються. Тобто сам метод не дає помилитися.

Також за допомогою трикутника Паскаля зручно доводити різні комбінаторні тотожності. Наприклад: довести, що .

Розв'язання: розглянемо -й рядок трикутника Паскаля. Кожне число цього рядка входить в якості доданка в два сусідніх числа наступного рядка. Таким чином, сума чисел чергового рядка в два рази більше суми чисел попереднього рядка. Ці числа утворюють геометричну прогресію зі знаменником 2: 1, 2, 4, 8, 16 і так далі. При цьому сума чисел у нульовому рядку , в першому рядку , у другому рядку і так далі. Звідси випливає, що .

2.1.1 Зв'язок із біноміальними коефіцієнтами

У математиці дуже відома така формула:

, (1)

де коефіцієнти називаються біноміальними коефіцієнтами.

Ця формула є однією із самих відомих у математиці. Частіше вона називається біномом Ньютона, хоча в цій назві лежить історична несправедливість. Встановлено, що формула (1) була відома ще індійським і старо-арабським математиком; Ньютон же виявив формулу бінома для більш загального випадку, коли показник степеня n є довільним раціональним числом (в тому числі від'ємним). [1, с.6]

Біномінальні коефіцієнти можуть бути виражені за допомогою операції Паскаля (операція знаходження по числам n і k числа ).

Візьмемо біном і піднесемо його до степеня 0, 1, 2, 3 і так ділі, розташовуючи отриманий при цьому многочлен по зростаючим степеням букви . Отримаємо:

(2)

(3)

(4)

(5)

, (6)

де - деякі числа, а - будь-яке ціле невід'ємне число. У формулі (6) многочлен, який розміщений у правій частині даного співвідношення, називається розкладом бінома для показника . Його коефіцієнти (і їх кількість) залежать від . Коефіцієнт при у розкладі бінома для показник n позначається через . Числа називаються біноміальними коефіцієнтами. [21, с.27]

Співвідношення (6) можна переписати тепер у вигляді

, (7)

а із співвідношень (2) - (5) отримаємо

.

Звідси очевидно, що для показників рядки біноміальних коефіцієнтів співпадають відповідно з 0-м, 1-м, 2-м і 3-м рядками трикутника Паскаля. Доведемо, що це можливо при кожному . Розглянемо рядок коефіцієнтів для показника , які утворюється із рядка коефіцієнтів для показника . Скориставшись формулу

, (8)

випишемо для лівої та правої її частин розклад по зростаючим степеням букви х. Для лівої частини формула (7) дає - при заміні на :

, (9)

де q - деяке число. Для правої частини в силу тієї ж формули (7) маємо:

(10)

З формули (8) випливає, що прав частини співвідношень (9) і (10) дорівнюють один одному. Тому ; прирівнявши коефіцієнти з однаковими степенями букви , отримаємо

, (11)

, (12)

. (13)

Співвідношення (11) - (13) показують,що рядки коефіцієнтів розкладу для показника утворюється із рядка коефіцієнтів розкладання для показника за законом Паскаля. Оскільки рядок коефіцієнтів розкладання для показника 0 співпадає із нульовим рядком Паскаля, то всі наступні рядки коефіцієнтів будуть також співпадати з відповідними рядами трикутника Паскаля. Тому числа визначені лише при =0,1,…n причому . Переписавши співвідношення (7) отримаємо так звану формулу (1) - біном Ньютона. [21, с.29]

Приклади:

1) Піднести до степеня .

Розв'язання

В даному прикладі: a=x, b=2 і n=4, тобто потрібно взяти п'ятий рядок трикутника Паскаля (де з справа стоїть n=4). Випишемо розклад із невизначеними коефіцієнтами:

,

підставимо замість a=x і b=2, отримаємо

Тепер візьмемо значення із четвертого рядка трикутника Паскаля і підставимо їх по черзі замість коефіцієнтів:

Відповідь:

2) Використовуючи формулу біноміальних коефіцієнтів, визначити і у розладі степеня .

Розв'язання:

Для визначення коефіцієнта в формулу підставимо значення n=5, k=0 і отримаємо:

Для визначення коефіцієнта у формулу підставимо значення n=5, k=3 і отримаємо: .

Такі ж самі числа можна отримати, якщо розв'язувати дану задачу за допомогою трикутника Паскаля. Так, щоб визначити коефіцієнти та потрібно знайти таке число на арифметичному трикутнику, де перетинається n=5 рядок і k=0 стовбець та n=5 і k=3 відповідно. Очевидно, що , а .

Відповідь: , .

2.1.2 Зв'язок коефіцієнтів трикутника з числами Фібоначчі

Числа Фібоначчі - елементи числової послідовності 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 144…у якій кожне наступне число дорівнює сумі двох попередніх чисел. Зв'язок між трикутником Паскаля і числами Фібоначчі був досліджений у другій половині ХХ ст. незалежно один від одного кількома математиками. Першим цей зв'язок виявив угорський, швейцарський і американський математик і популяризатор науки Дьордь Пойа, який досліджуючи діагональні суми трикутника Паскаля прийшов до висновку, що суми чисел, які розміщені по діагоналях, дорівнюють числам Фібоначчі (Рис.8).

У своїй книзі «Математичне відкриття» Д. Пойа запропонував декілька задач, які полягають в тому, щоб виразити числа Фібоначі через біноміальні коефіцієнти, тобто, знайти загальну формулу для діагональних сум трикутника Паскаля.

Для того щоб розв'язати ці задачі, біноміальні коефіцієнти розміщують у вигляді, що нагадує прямокутний трикутник (Рис.11.) і названою прямокутним трикутником Паскаля.

Рис.11. Прямокутний трикутник Паскаля

Ця таблиця починається із нульового стовпця, який містить лише один біноміальний коефіцієнт та з нульового рядка, який містить біноміальні коефіцієнти: . «Гіпотенуза» прямокутного трикутника Паскаля (Рис.11.) складається із біноміальних коефіцієнтів типу , а в -му стовбці зверху вниз розташовані , , ,… коефіцієнти; при цьому всьому клітинки під «гіпотенузою» є пустими. Це означає, що всі біноміальні коефіцієнти типу (k>n) дорівнюють нулю. [1, с.9]

Перемістивши кожний рядок трикутника Паскаля (Рис.11.) на один стовпчик вправо відносно попереднього рядка, отримаємо деякий «деформований» трикутник (Рис.12.). Додавши в цьому прямокутному трикутнику Паскаля біноміальні коефіцієнти по стовбцям, отримаємо числа Фібоначчі:

(14)



де через позначено число Фібоначчі, яке задається за допомогою наступної рекурентної формули:

при >2 (15)

Рис.12. «Деформований» прямокутний трикутник Паскаля

Використовуючи (Рис.12.), можна записати математичну формулу, яка дозволяє виразити числа Фібоначчі через біноміальні коефіцієнти:

(16)

Звідси випливає, що існує два способи знаходження чисел Фібоначчі: за допомогою рекурентної формули (15) та за допомогою формули (16), яка виражає числа Фібоначчі через біноміальні коефіцієнти. [1, с.10]

Приклад 3: Знайти 7-е число Фібоначчі через біноміальні коефіцієнти.

Розв'язання:

Використовуючи формулу: маємо:

Відповідь:

2.1.3 Зв'язок із числами Каталана

Крім чисел Фібоначчі існують і інші послідовності натуральних чисел, які мають чудові властивості. Це, наприклад, послідовність, яка починається числами 1, 2, 5, 14, 42, 132,...; її члени називаються числами Каталана, на честь бельгійського математика Ежена Шарля Каталана. Числа Каталана - це послідовність чисел, яка задається за допомогою рекурентної чи аналітичної , де через позначено біноміальні коефіцієнти, формул. .Ці числа пов'язані з різними завданнями комбінаторики, теорії ймовірностей, теорії чисел.

Числа Каталана, також можна вивести із трикутника Паскаля. Щоб отримати послідовність 1, 1, 2, 5, 14,…, потрібно виписати центральні елементи 1, 2, 6, 20, 70,… із числової таблиці Паскаля і поділити їх на числа 1, 1, 2, 5,…, відповідно. [10, c.196]

Варто зауважити, що з допомогою трикутника Паскаля можна побудувати трикутник Каталана. Так, замість рівнобедреного трикутника Паскаля побудуємо по правилу: кожне чергове число рівне сумі чисел, розташованих над ним справа та зліва, прямокутний трикутник, провівши вертикальну риску, лівіше якої заходити не можна. Заповнивши праву сторону конструйованого трикутника одиницями, ми отримуємо всі інші елементи нашої конструкції як суму чисел, розташованих над ними справа і зліва. Оскільки для елементів лівої вертикалі верхній лівий сусід не визначений, ми вважаємо їх рівними верхньому правому сусідові, розглядаючи відповідну суму як вироджену (Рис.13.)

Рис.13. Трикутник Каталана

Придивившись до отриманої конструкції, неважко помітити, що на лівій вертикалі з'явилися числа Каталана. [10, c.221]

Приклад 4: Двадцять дітей підішли до каси в кінотеатрі. Білет на сеанс коштує 50 грн. Десять дітей мали 50-гривневі купюри, а інші десять мали тільки 100-гривневі. Скількома способами вони можуть стати у чергу з тими, щоб касир зміг розплатитися із кожним, якщо перед початком продажу грошей у касі не було? [14, с. 64]

Розв'язання

Для того щоб знайти розв'язок, розташуємо лише тих дітей, які мають 50-гривневі купюри. Для цього скористаємося формулою чисел Каталано . Звідси отримаємо .

Відповідь: .

2.1.4 Трикутні, тетраедричні та прості числа в арифметичній таблиці

У таблиці Паскаля, крім чисел Фібоначчі та Каталано, зашифровані трикутні, тетраедричні й прості числа, які розташовані вздовж діагоналей, паралельних сторонам трикутника.

Трикутні числа вказують на кількість куль або інших предметів, розміщених у вигляді трикутника (ці числа утворюють наступну послідовність: 1,3,6,10,15,21, ..., в якій 1 - перше трикутне число, 3 - другий трикутне число, 6-третє і т.д. до m-гo, яке показує, скільки членів трикутника Паскаля міститься в перших n його рядках - від нульового до (n-1) -го. (Рис.14.).

Рис.14. n-число куль по діагоналі від початку до кінця трикутника

Пірамідальні або, більш точно, тетраедричні числа - числа, що утворюють послідовність 1,4, 10, 20, 36, 56,… , де 1-перше тетраедричну число, 4- другий, 10- третє і т.д. до m-гo. Дані числа показують, скільки куль може бути викладено у вигляді трикутної піраміди (тетраедра). Для знаходження будь-якого тетраедричного числа, можна скористатися формулою (17):

(17)

Щоб виявити зв'язок трикутника Паскаля із простими числами, розташуємо рядки даної таблиці таким чином, щоб наступний рядок починався на дві колонки правіше початку попередньої (Рис.15.). Тоді стовпчики з простими номерами будуть складатися з одних нулів, а в стовпчиках, чиї номери складові, знайдеться ненульове число.

Рис.15. Зв'язок простих чисел із трикутником Паскаля

Виділені числа, що стоять у таблиці - це числа, які діляться на номер рядка. Числа розташовані в нижньому рядку, нумерують стовпці; вони виділені, якщо в цьому стовпці всі числа виділені. Звідси випливає, що виділені номери стовпців в точності відповідають простим числам.

2.2 Застосування трикутника Паскаля у інших галузях математики

Трикутник Паскаля - арифметична таблиця, властивості якої дещо спрощують розв'язання задач різного типу в різних галузях науки.

Так, наприклад, таблиця Паскаля використовується для розв'язання задач у різних галузях фізики:

- принцип мінімуму потенційної енергії,

- центр ваги системи двох матеріальних точок,

- центр ваги стержня з багатьма вантажами,

- неможливість вічного двигуна;

Із появою обчислювальних машин побудова трикутника Паскаля стала улюбленою задачею для початківців при вивченні основ програмування.

У шкільному курсі математиці трикутник Паскаля застосовують для полегшення розкладу многочлена по степеням a і b.

Припустимо, ви хочете звести вираз (a + b) в деяку ступінь (наприклад, 1, 2, 3, 4, 5 ...). Різні ступеня (a + b) будуть виглядати наступним чином (Рис.16.):

Рис.16. Піднесення до степеня многочлена

Приклад 5: Піднести до степеня: .

Розв'язання:

, і n=4. Використовуючи п'ятий рядок трикутника Паскаля, отримаємо:

Відповідь:

Що ж стосується таблиці Паскаля у теорії ймовірностей (розділ математики, що вивчає закономірності випадкових явищ: випадкові події, випадкові величини, їхні функції, властивості й операції над ними. то вона використовується у цій галузі для швидшого пошуку розв'язку задач. Наприклад, за допомогою цього трикутника можна легко передбачати різні ймовірності розвитку гри в орла і решку. Якщо ми кидаємо монетку один раз, можливі два результати: співвідношення їх ймовірності ми бачимо у другому зверху рядку трикутника - 1:1. Якщо ми хочемо дізнатися можливі результати гри, коли монетку підкидають два рази , відповідь треба шукати в третьому рядку трикутника: 1 шанс з чотирьох , що обидва рази буде решка; 1 - що обидва рази орел; і 2 шансу, або 50 % - ймовірність, що по черзі випаде і те й інше і так можна продовжувати до нескінченності.

Також Б. Паскаль за допомогою свого трикутника розрахував ймовірності виграшу в лото з 36-ма квитками; з цього завдання народилася рулетка.

Розглядаючи трикутник Паскаля у контексті його здатності описувати певні просторові елементи, можна знайти нові, до сьогодні не відкриті формули, що приховані в ньому. Тож, крім вище згаданих галузей, біноміальні коефіцієнти трикутника Паскаля найшли своє практичне застосування і в просторовій геометрії.

Досліджень, що стосується 2-го, 3-го, 4-го та більших вимірів і фігур у ньому, на сьогодні не дуже багато. Однак, перед вченими світу постало питання щодо їхнього існування. Так, набула поширення теорія переходу нашого всесвіту на новий рівень існування - у гіперпростір. Астрономи дійшли висновку, що на початку свого існування всесвіт був одновимірним, але поступово розширяючись, досяг тривимірного, де зараз і знаходиться наша планета. Тому, спираючись на цю теорію, поява четвертого виміру простору цілком закономірна. [9, c.51]

У нашому тривимірному просторі, чотиривимірний простір можна уявити як три координатні вісі і четверта координата - час. Проте, перед тим як розглядати чотиривимірний та більші простори, розглянемо одновимірний простір. Його базис, пряма і точка - початок координат. Тобто позначивши кількість початків координат та кількість осей, отримаємо таку послідовність 1;1, де перша одиниця - кількість початків координат, а друга - кількість базисних векторів. Перпендикулярний переріз цього простору - точка, яка розбиває його на дві частини.

Двохвимірний простір - площина. Точка - початок координат, через яку проведені дві перпендикулярні між собою осі, що розбивають цей простір на квадрати. Базисом двохвимірного простору є два перпендикуляри, на яких і сформована одна площина. Тому, послідовність, що описує даний простір, має вигляд: 1;2;1, де 1 - це кількість початків координат; 2 - кількість координатних осей; 1- кількість площин.

Тривимірний простір - світ у якому ми живемо. Він має таку числову послідовність: 1;3;3;1. Тобто, один початок координат, три координатні осі, три координатні площини та простір.

Якщо всі ці послідовності розмістити послідовно одна під одною, то отримаємо таку числову таблицю:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

яка являє собою трикутник Паскаля. Отже, за допомого арифметичного трикутника можна описати будь-які базові характеристики простору. Адже, коефіцієнти, розташовані по горизонталі трикутника, описують параметри розмірності простору. Коефіцієнти, що розташовані у вісхідних діагоналях, які проходять через задані горизонтальні коефіцієнти, описують значення одного і того ж параметра для просторів різних розмірностей. Звідси випливає, що сума коефіцієнтів n-го ряду, яка дорівнює 2 n, задає кількість частин простору розмірності n, на які його ділять простори розмірності (n-1).

Отож, можна зробити висновок, що арифметичний трикутник Паскаля не що інше, а таблиця у якій зашифровано інформацію про параметри простору будь-якої розмірності. Так, наприклад, чотиривимірний простір описуватися послідовністю: 1;4;6;4;1 у якій відповідно 1 - кількість початків координат; 4 - кількість координатних осей; 6 - кількість перпендикулярних координатних площин; 4 - кількість перпендикулярних просторів; 1 - новий гіперпростір.

Спираючись на трикутник Паскаля виведемо загальну формулу для параметрів розмірності простору:

(18)

де - базова характеристика простору степені; - розмірність простору (номер рядка трикутника Паскаля); - номер параметра простору розмірності (номер цифри в -му рядку); - елемент трикутника Паскаля, що стоїть на -му місці в -му рядку.

Знаючи метод опису лінійних просторів за допомогою арифметичного трикутника, можна побудувати просторові фігури б та в. У двохвимірному просторі ці фігури носять назву квадрат і трикутник відповідно, а у тривимірному - куб та тетраедр. Квадрат і куб так само як і трикутник і тетраедр мають однакові властивості, проте містяться у просторах різних розмірностей. При побудові цих фігур у двох та тривимірному просторі не виникає проблем. Але якщо формувати їх у чотиривимірному та більших просторах, то можна зіткнутися із певними проблемами.

Тому, щоб швидко і правильно побудувати фігури б та в у просторі будь-якої розмірності, вчені сформували алгоритм, який має вигляд: у лінійному просторі розмірності з початку координат по координатних осях проводять відрізків рівної довжини. На кінцях цих відрізків формуються вершини фігури б,таким чином: в кожній отриманій вершині будують відрізків, рівний з попереднім за довжиною та напрямом і перпендикулярний до щойно проведеного. Операцію повторюють рівно разів, допоки фігура не буде завершена.

Так, як параметри розмірності фігур б та в залежить від розмірності простору, то їх можна задати за допомогою коефіцієнтів числової таблиці (Рис.17а. та Рис.17б)

Рис.17а. Залежність параметрів розмірності фігури б від розмірності простору

Рис.17б. Залежність параметрів розмірності фігури в від розмірності простору

Отже, для того щоб описати будь-яку базову характеристику фігури б в просторі можна скористатися формулою:

(19)

де - базова характеристика фігури б, - розмірність простору (номер рядка трикутника Паскаля), - номер параметра фігури б (номер цифри у -му рядку), - елемент трикутника Паскаля, що стоїть на -му місці в -му рядку.

Користуючись формулою (19) можна легко підраховувати параметри розмірності фігури б у просторі будь-якої розмірності. Так, наприклад, у чотиривимірному просторі фігура матиме: 16 вершин, 32 ребра, 24 площини, 8 об'ємів та 1простір нової розмірності - гіперпростір.

Щоб дізнатися базову характеристику фігури в, скористаємося формулою:

(20)

де - базова характеристика фігури в (кількість вершин, ребер і т. д.), - розмірність простору (номер рядка трикутника Паскаля), - номер параметра фігури в (номер цифри у -му рядку), - елемент трикутника Паскаля, що стоїть на -му місці в -му рядку.

У чотиривимірному просторі фігура в матиме : 5 вершин, 10 ребер, 10 площин, 5обємів, 1 простір нової розмірності - гіперпростір.

Отже, формули (19) та (20) можна застосовувати для пошуку параметрів фігур б і в у просторах різної розмірності.

Проте, і це ще не всі галузі математики, де застосовується трикутник Паскаля. Досить часто в природі ми спостерігаємо об'єкти, які утворені безкінечним повторенням одного і того ж візерунку, збільшені або зменшені в скільки завгодно разів. Дані об'єкти можне описати фрактальна геометрія.

Фрактальна геометрія - це справжня революція в математичному описі природи. Об'єкти фрактальної геометріє за своїм зовнішнім виглядом досить сильно відрізняються від звичних нам геометричних фігур.

Розрізняють 3 види фракталів:

· геометричні - саме з них і почалася історія фраталів. Цей тип фракталів отримується шляхом простої геометричної побудови (Рис.18а).

· алгебраїчні - це найбільша група фракталів. Отримують їх за допомогою нелінійних процесі в n-вимірних просторах (Рис.18б).

· стохастичні - фрактали, при побудові яких випадковим чином змінюються деякі параметри (Рис.18в).

Рис. 18а. Рис. 18б. Рис.18в.

Одним із найпростіших об'єктів фрактальної геометрії є арифметичний трикутник. У фрактальних субструктур числової таблиці існують істотні відмінності від геометричних фракталів. По-перше, ці фрактали числові, а вже потім - геометричні. По-друге, якщо суттєвими відмінностями геометричних фракталів вважається їх задавання тільки алгоритмом геометричної побудови, то числові фрактали трикутника Паскаля задаються рекурентним формалізмом їх аналітичного розрахунку. По-третє, числові фрактали арифметичного трикутника мають чіткі межі само подібної подільності на елементи. Все це перетворює трикутник Паскаля в унікальний об'єкт пізнання.[1, c.76]

Розглянемо числову таблицю, проте не в звичному вигляді, а таку, яка зростає з низу вверх (Рис. 19). Перш за все, перед нами зразок системного об'єкта, як цілісного комплексу взаємопов'язаних елементів. В даному випадку - натуральних чисел. Надамо основному закону трикутника Паскаля виду алгебраїчної формули. Так, як числа тільки натуральні, позначимо цю їх

Рис. 19. Трикутник Паскаля, розвиваючий з низу вверх

властивість символом N. На полі чисел введемо косокутну координатну сітку з рядків n і стовбців k. Тоді символом позначимо різноманітність натуральних чисел трикутника Паскаля. Звідси, матимемо формулу:

(21)

де n=0,1,2,3…, k=0,1,2,3… n.

Подібно тому, як молекули в якості хімічних індивідів діляться на атоми, натуральні числа мають свої «неділимі атоми». Такі числа називаються простими, так як вони діляться самі на себе, даючи при цьому 1, і на 1, даючи при цьому саме себе: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23…, інші - складні. В загальному виді цей принцип натуральних чисел можна представити у вигляді такого виразу:

(22)

Відповідно і в трикутнику Паскаля маємо аналогічну субструктуру. Так, на (Рис. 20.) показано початковий етап розвитку числової таблиці з структурованими числами .

Рис.20. Трикутник Паскаля з структурованими числами

Вже на (Рис. 20.) можна замітити важливі закономірності проведення простих чисел в структурному фундаменті трикутника Паскаля. По-перше, прості субелементи-дільники групуються у трикутні зони за виключенням дільника 2. По-друге, по мірі розвитку арифметичного трикутника нові прості дільники вступають у гру тільки з n-го з відповідним номером. Це стосується і степенів, у яких представлені прості субелементи.

Однак, чим далі вверх по рядку n, тим числова система більш громіздка, тим складніше відслідковувати організацію простих субелементів. На Рис. 21а відображена організація простого субелемента-дільника 3 у межах рядків трикутника Паскаля , а на Рис.21б - організація простого субелемента-дільника 2 в тих самих межех. [1, c.79]

Рис.21. Числові схеми організації простих субелементів-дільників 3(а) і 2(б) у трикутнику Паскаля



Такі схеми стають набагато яскравішими, якщо перейти до кольорової символіки. Нехай не зафарбовані комірки на малюнку означають такі числа , які не містять у своїй структурі простого субелемента, червоним - комірки, які відповідно в 1-й степені, оранжевим - у 2-й. Таким чином отримаємо кольорову субструктуру трикутника Паскаля, яка демонструє принципи фрактальної само подібності (Рис.22а, та Рис.22б). На цих малюнках добре видно, що зони із повністю зафарбованими комірками само подібні, тобто те , що знаходиться під наступною повністю зафарбованою центральною фігурою, міститься також і з ліва і справа від неї.

а б

Рис.22. Організація простого субелемента-дільника 31 (а) та 23 (б)

Даний процес можна продовжувати до безкінечності, однак для цього краще скористатися комп'ютерними технологіями.



ВИСНОВКИ

У ході роботи було виконано системний аналіз літератури та джерел із даної теми, з'ясовано практичне застосування числової таблиці. Виявлено основні арифметичні, геометричні та комбінаторні властивості широко відомого трикутника Паскаля. Розглянуто взаємозв'язок арифметичного трикутника з іншими розділами математики.

Також, дослідження числової таблиці показали, що біноміальні коефіцієнти, які містяться у дано трикутнику, дозволяють розраховувати базові параметри фігур та просторі; мають зв'язок із числами Фібоначчі та числами Каталано. трикутник паскаль фібоначчі арифметичний

Знайдено спосіб перетворення трикутника Паскаля із звичайної числової таблиці у об'єкт фрактальної геометрії.

Досліджено формули, за допомогою яких описуються будь-які кількісні характеристики базисних розмірностей квадрата та трикутника у просторі будь-якої розмірності.

Також, з'ясовано, що на основі трикутника Паскаля і зараз з'являються нові розробки, які використовуються у комп'ютерному моделюванні складних систем, що доводить актуальність цієї числової таблиці по цей день.



СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. Абачиев С.К. О треугольнике Паскаля, простых велителях и фрактальных структурах / С.К. Абачиев // «В мире науки». - 1989. - №9. - с 75-80.

2. Абачиев С.К. Треугольник Паскаля и спектр арифметик для цифровых информационных технологий / С.К. Абачиев, А. Стахов // Интернет-журнал «Науковедение». - 2012. - №4. -С 1-72.

3. Бендукидзе А. Треугольник Паскаля / А. Бендукидзе // Научно-популярный фізико-математический журнал «Квант». - 1982. - №10. - с 45-47.

4. Борисенко А.О. Дискретна математика: Підручник / А.О. Борисенко. - Суми: ВТД «Університетська книга», 2007. - 255с.

5. Веленкин Н.Я. Комбинаторика / Н.Я. Веленкин. - М.: Наука. Главная редакція фізико-метематической литературы, 1969. - 328с.

6. Воробьев Н.Н. Числа Фибоначчи / Н.Н. Воробьев. - 5-е изд. - М.: Наука, 1984. - с. 144.

7. Гаврилюк С.М. Треугольник Паскаля, таблица Тартальи, один случай обобщения треугольника Паскаля и его наглядные интерпретации. [Електронний ресурс] / С.М. Гаврилюк, О.А. Горин. - Режим доступу: http://www.rgo-sib.ru/science/154/tp.pdf. - 2012. - 31с.

8. Гарднер М. Математические новеллы. / М. Гарднер; [пер. с англ. Ю.А. Данилова.]. - М.: «Мир», 1974. -455 с.

9. Генфальд И.М. Метод координат / И.М. Генфальд, Е.Г. Галоголева, А.А. Кириллов. - М.:Наука, 1968. - 80с.

10. Деза Е.И. Специальные числа натурального ряда: учебное пособие. / Е.И. Деза. - М.: Книжный дом «Либроком», 2011. - 240с.

11. Докин В.Н. "Обобщенный треугольник Паскаля, его свойства и приложения". / В.Н. Докин - Диссертация. Новосибирск, 2004. - 11-34 с.

12. Дынкин Е.Б. Математические беседы / Е.Б. Дынкин, В.А Успенский. - 2-е изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 240с.

13. Зарипова Э.Р. Лекции по дискретной математике. Комбинаторика / Э.Р. Зарипова, М.Г. Кокотчикова. - М.: РУДН, 2012. - Ч. 1. - 78с.

14. Иванов О.А. Елементарная математика для школьников, студентов и преподавателей / О.А. Иванов. - М.: МЦНМО, 2009. - 384с.

15. Кузьмин О.В. Обобщенные пирамиды Паскаля и их приложения / О.В. Кузьмин. - Новосибирск: Наука. Сибирская издательсая фирма РАН, 2000. - 294с.

16. Кузьмін О. В. Трикутник і піраміда Паскаля: властивості та узагальнення / О. Кузьмін. - Соросівський Освітній Журнал. - 2000. - Т. 6. - № 5. - с. 101-111

17. Мартыненко Г.Я. Математика гармонии: новейшее время-XVII век, / Г.Я. Мартыненко, 1900-1985 гг.

18. Сергеев П.В. Математика в спецклассах 57-й школы. Математический анализ / П.В. Сергеев. - М.: МЦНМО, 2008. - 159с.

19. Стахов А.П. Введение в алгоритмическую теорію измерения / А.П. Стахов. - М.: «Сов. радио», 1977. - 288с.

20. Треугольник Паскаля [Електронный ресурс] // Режим доступу: http://ru.wikipedia.org/wiki. - справ. портал 2003.

21. Успенський В.А. Треугольник Паскаля / В.А. Успенський. - М.: Наука, 1979. - 50 с.

22. Фукс Д.Б. Арифметика биномиальных коэффициентов / Д. Б. Фукс, М.Б. Фукс // Научно-популярный фізико-математический журнал «Квант», 1970. - №6. - с.18-25.

23. Ядренко М.Й. Дискретна математика: навчальний посібник / М.Й. Ядренко. - К.: МП «ТВіМС», 2004. - 245с.

Размещено на Allbest.ru

...