Теория вероятностей

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГБОУ ВПО «Уральский государственный экономический университет»

Центр дистанционного образования

Контрольная работа

"Теория вероятностей"

Исполнитель: студент

Преподаватель Коржавина Н. В.

группа УК-14 КТ

Ф.И.О Лаврентьев М. Н.

Екатеринбург 2011

1. Задание 1

В книге В. Филлера <Введение в теорию вероятностей> 500 страниц. Чему равна вероятность того, что открытая наугад страница будет иметь номер, кратный 9?

Решение.

{открытая наугад страница будет иметь номер, кратный 9}

Посчитаем число всевозможных исходов. Всего имеется 500 страниц. Способов выбора 1 страницы из 500 имеющихся страниц

.

Посчитаем число исходов, благоприятных событию .

Номера страниц, кратные 9: 9, 18, 27,…, 495. Посчитаем количество данных страниц. Рассмотрим последовательность 9, 18, 27,…, 495 как арифметическую прогрессию.

Таким образом, имеется 55 страниц, номера которых кратны 9. Способов выбора 1 страницы из 55 необходимых страниц

.

По классическому определению вероятности

Ответ.

2. Задание 2

При записи фамилий членов некоторого собрания, общее число которых 420, оказалось начальной буквой фамилии у 10 человек была А, у 6 человек - Е, у 9 человек - И, у 12 человек - О, у 5 человек - У, и у 3 человек - Ю. У остальных фамилии начинались с согласной буквы. Найти вероятность того, что фамилия члена данного собрания начинается с согласной буквы.

Решение.

{фамилия начинается с согласной буквы}

{фамилия начинается с гласной буквы}

Посчитаем число всевозможных исходов. Способов выбора 1 фамилии из 420 имеющихся фамилий в списке

.

Посчитаем число исходов, благоприятных событию . Всего фамилий, начинающихся с гласной буквы, . Способов выбора фамилии с начальной гласной буквой

.

По классическому определению вероятности .

Ответ.

3. Задание 3

Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает её наугад. Какова вероятность того, что ему придется звонить не более чем в три места? Как изменится вероятность, если известно, что последняя цифра - нечетная?

Решение.

1) {придется звонить не более чем в три места}

{придется звонить только в одно место} = {абонент сразу определил верную цифру}

Посчитаем число всевозможных исходов. Способов выбора 1 цифры из 10 имеющихся цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)

.

Посчитаем число исходов, благоприятных событию . Способов выбора 1 верной цифры . По классическому определению вероятности

.

{придется звонить в два места} = {первый раз абонент ошибся с последней цифрой, второй раз абонент определил верную цифру}

Посчитаем число всевозможных исходов. Способов выбора 2 цифр из 10 имеющихся цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)

.

Посчитаем число исходов, благоприятных событию . Способов выбора 1 ошибочной цифры из 9 имеющихся цифр и 1 верной цифры

По классическому определению вероятности

.

{придется звонить в три места} = {первый и второй раз абонент ошибся с последней цифрой, третий раз абонент определил верную цифру}

Посчитаем число всевозможных исходов. Способов выбора 3 цифр из 10 имеющихся цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)

.

Посчитаем число исходов, благоприятных событию . Способов выбора двух ошибочных цифр из 9 имеющихся цифр и 1 верной цифры

.

По классическому определению вероятности

.

2) {придется звонить не более чем в три места}

{придется звонить только в одно место} = {абонент сразу определил верную цифру}

Посчитаем число всевозможных исходов. Способов выбора 1 цифры из 10 имеющихся цифр (1, 3, 5, 7, 9)

.

Посчитаем число исходов, благоприятных событию . Способов выбора 1 верной цифры . По классическому определению вероятности

.

{придется звонить в два места} = {первый раз абонент ошибся с последней цифрой, второй раз абонент определил верную цифру}

Посчитаем число всевозможных исходов. Способов выбора 2 цифр из 5 имеющихся цифр (1, 3, 5, 7, 9)

.

Посчитаем число исходов, благоприятных событию . Способов выбора 1 ошибочной цифры из 4 имеющихся цифр и 1 верной цифры

.

По классическому определению вероятности

.

{придется звонить в три места} = {первый и второй раз абонент ошибся с последней цифрой, третий раз абонент определил верную цифру}

Посчитаем число всевозможных исходов. Способов выбора 3 цифр из 5 имеющихся цифр (1, 3, 5, 7, 9)

.

Посчитаем число исходов, благоприятных событию . Способов выбора двух ошибочных цифр из 4 имеющихся цифр и 1 верной цифры

По классическому определению вероятности

.

Ответ.

4. Задание 4

Прибор может работать в двух режимах: нормальном и ненормальном. Нормальный режим наблюдается в 80% случаев, ненормальный - в 20%. Вероятность выхода прибора из строя за время в нормальном режиме составляет 0.1, в ненормальном режиме - 0.7. Найти вероятность выхода прибора из строя за время .

Решение.

{нормальный режим}

{ненормальный режим}

{вероятность выхода прибора из строя за время }

{вероятность выхода прибора из строя за время при условии нормального режима}

{вероятность выхода прибора из строя за время при условии ненормального режима}

По формуле полной вероятности

Ответ.

5. Задание 5

Некто заблудился в лесу и вышел на поляну, откуда вело 5 одинаковых дорог. Вероятность выхода из леса за 1 час для различных дорог равна соответственно 0.6, 0.3, 0.2, 0.1, 0.1. Какова вероятность, что человек пошел по первой дороге, если в течение часа он вышел из леса?

Решение.

{человек выбрал дорогу};

{человек в течение часа вышел из леса}

{человек в течение часа вышел из леса при условии, что он выбрал дорогу};

{человек пошел по первой дороге при условии, что в течение часа он вышел из леса}

По формуле Байеса

Ответ.

6. Задание 6

Вероятность превысить заданную точность при измерении равна 0.4. Составить закон распределения случайной величины число ошибок при 10 измерениях. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины.

Решение.

Случайная величина число ошибок при 10 измерениях. Данная случайная величина может принимать следующие значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

количество измерений

вероятность ошибки при одном отдельном независимом измерении

Случайная величина имеет распределение Бернулли с параметрами , . Событие означает ошибок и точных измерений, .

Закон распределения случайной величины имеет вид:

математическое ожидание

дисперсия

среднеквадратическое отклонение

Ответ.

7. Задание 7

вероятность случайный математический дисперсия

Случайная величина задана функцией распределения . Найти плотность распределения, математическое ожидание, дисперсию, а также вероятность попадания случайной величины в интервал . Построить графики функций и .

Решение.

График функции распределения представлен ниже.

Размещено на http://www.allbest.ru/

График плотности распределения представлен ниже.

Размещено на http://www.allbest.ru/

математическое ожидание

дисперсия

Ответ.

Размещено на Allbest.ru