Положения теории дифференциального исчисления функций нескольких переменных

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

1.1 Характеристика дифференциального исчисления функций нескольких переменных

1.2 Особенности дифференциального исчисления функций нескольких переменных

2. Решение задач с использованием дифференциального исчисления

2.1 Педагогическое значение задач с использованием дифференциального исчисления

2.2 Решение задач

2.3 Задачи повышенной сложности с использованием дифференциального исчисления

Заключение

Список использованной литературы



Введение

Актуальность курсовой работы обусловлена тем, что тема дифференциального исчисления занимает важное место в математической науке и имеет многочисленные связи с такими областями математики, как геометрическая алгебра, алгебраическая геометрия, теория графов, комбинаторика и др.

Таким образом, тематика дифференциального исчисления функций нескольких переменных является актуальной, так как они остаются важным объектом научных исследований.

Широкое применение заданий с использованием дифференциального исчисления функций нескольких переменных в педагогической практике требует осмысления процессов их преподавания в современных условиях, как по вопросу изучения теоретической части, так и по вопросу решения заданий по данной теме.

Цель курсовой работы заключается в том, чтобы изучить способы решения задач с использованием дифференциального исчисления функций нескольких переменных.

Поставленная цель предполагает основные исследовательские задачи:

Изучить теоретические представления о содержании дифференциального исчисления функций нескольких переменных;

Выявить значение теории дифференциального исчисления функций нескольких переменных;

Привести примеры решения задач по тематике дифференциального исчисления функций нескольких переменных;

Охарактеризовать особенности данных задач;

Рассмотреть процесс решения задач с использованием дифференциального исчисления функций нескольких переменных;

Сделать выводы о перспективах развития методологии преподавания тематики дифференциального исчисления функций нескольких переменных.

Объектом исследования являются основные положения теории дифференциального исчисления функций нескольких переменных.

Предметом исследования являются задачи о дифференциальном исчислении функций нескольких переменных.

Основные типы задач, рассмотренные в курсовой работе: задачи на расчеты дифференциального исчисления функций нескольких переменных, усложненные задачи на дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, задачи с использованием основных положений теории дифференциального исчисления функций нескольких переменных.

Авторские результаты : были подробно изучены теоретические основы о дифференциальном исчислении функций нескольких переменных, собраны необходимые материалы о задачах с использованием дифференциального исчисления функций нескольких переменных, рассмотрен процесс решения задач.

В работе широко используются следующие методы: сравнительный метод, графический метод, индукция и дедукция.



1. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

1.1 Характеристика дифференциального исчисления функций нескольких переменных

Расширением исчисления функций переменной является многомерный анализ, когда происходит дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - функции, которые интегрируются и дифференцируются, затрагивают не одну, а несколько переменных.

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных подразумевает проводить следующие типичные операции:

1. Непрерывность и пределы.

Ко многим патологическим и нелогичным результатам, которые не свойственны функции одной переменной, приводит исследование непрерывности и пределов в многомерных пространствах. К примеру, имеются двух переменных скалярные функции, имеющие в области определения точки, которые дают специфический предел при приближении вдоль прямой, а при приближении вдоль параболы дают совершенно иной предел.

К нулю функция стремится при прохождении по любой прямой, которая проходит через начало координат. В связи с тем, что пределы не совпадают по различным траекториям, единого предела не существует.

При стремлении переменных х, функция пределом имеет определенное число. Если предельное значение функции в определенной точке существует и равняется частному значению функции, то такая функция называется непрерывной в данной точке. Если функция непрерывна на множестве точек, то тогда она называется непрерывной на множестве точек.

2. Нахождение частной производной.

Под частная производной нескольких переменных подразумевается производная одной переменной, а константами считаются все остальные переменные.

3. Кратное интегрирование.

На функции многих переменных кратный интеграл расширяет понятие интеграла. Для вычисления объемов и площадей областей в пространстве и плоскости используются интегралы двойные и тройные.

Согласно теореме Тонелли-Фубини, кратный интеграл может быть вычислен, как повторный интеграл.

Все это позволяет производить дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.

1.2 Особенности дифференциального исчисления функций нескольких переменных

Переменная zZ называется функцией двух независимых переменных (х,у), если для всякой пары (х,у)G по закону (правилу)f : (x,y) > z (z = f(x,y)) устанавливается взаимно-однозначное соответствие.

Множество G называется областью определения функции z = f(x,y) и обозначается

Множество Z называется областью изменения функции z = f(x,y) и обозначается Е(z).

Функция двух переменных может обозначаться:

а) в явном виде z = f(x,y); z = ц(x,y);z = z(x,y);

b) в неявном виде F(x,y,z(x,y))=0.

Если (х₀,у₀)G, то z₀ = f(х₀,у₀) называется частным значением функцииz = f(x,y) в точке.

Например, a) для функции z = x²+y² :D(z) - множество всех пар (x,y), принадлежащих плоскости хоу, Е(z) ? 0;

b) для функции z = :

D(z) - множество всех пар (x,y), принадлежащих плоскости хоу и удовлетворяющих закону функциональной зависимости, то есть для всех пар (x,y), лежащих внутри круга радиуса R = 1 и на его границе (окружности):

;

Е(z) ? 0.

Графиком функции дух переменных является поверхность в пространстве.

Рис.1.1-График двух переменных

Найти область определения и изменения функций: z =ln(x-y) и ; изобразить на плоскости хоу множество точек области определения этих функций.

Закон (правило) соответствия функции и пар независимых переменных z = f(x,y) - логарифмический, поэтому (х - у)>0, то есть х >у. Область определения - множество точек плоскости хоу, лежащих под прямой у = х, не включая точек, принадлежащих прямой, поэтому ее изображают пунктиром.

Закон (правило) соответствия z = f(x,y) , поэтому (у - х2) ? 0, то есть у ? х2. Область определения - множество точек плоскости хоу, лежащих внутри параболы у ? х2, включая точки, принадлежащих параболе (границе области). Область изменения по закону функциональной зависимости z ? 0.

Проведем определение частных производных функции двух переменных и установим их геометрический смысл.

Частными производными функции z = f(x,у) называются пределы отношения приращений функции z = z (х, у) к приращению соответствующего аргумента по направлениям ох или оу при Дх > 0 и Ду > 0 соответственно:

Частная производная по х:

при вычислении считают у = const.

Частная производная по у:

при вычислении считают x = const.

Геометрически

где б - угол касательной к поверхности в точке с направлением оси ох;

где в - угол касательной к поверхности в точке с направлением оси оу.

Правила дифференцирования и табличные производные функции одной переменной полностью справедливы для функции двух и нескольких переменных. интегрирование геометрический дифференцирование

Для функции двух переменных z = f(x,y) существуют две частные производные первого порядка:

,

которые так же являются функциями двух переменным и их можно дифференцировать по переменным х и у.

Найдем четыре частные производные второго порядка:

Третьих производных для функции двух переменных (z = f(x,y)) - восемь: , но из них различных - четыре, так как смешанные производные при дифференцировании в любом порядке равны:

.

В целом, полным дифференциалом функцииz = f(x,у) называется линейная часть приращения функции (до касательной плоскости к поверхности в точке (х₀;у₀)):

Для независимых переменных х и у: Дх = dx и Ду = dy.

Как и для функции одной переменной, геометрически приращение функции в сколь угодно малой окрестности точки (х₀,у₀) эквивалентно дифференциалу Дz ? dzпри Дх>0, Ду>0,то есть :

Данную формулу используют для приближенных вычислений функции в точке.

В целом, дифференциальное исчисление является важнейшей темой для изучения.



2. Решение задач с использованием дифференциального исчисления

2.1 Педагогическое значение задач с использованием дифференциального исчисления

Каждый этап решения задач с использованием дифференциального исчисления является предпосылкой для интенсивной работы и развития логического и ассоциативного мышления.

Благодаря задачам этого типа учащиеся получают возможность проявить изобретательность, инициативу, развивать конструктивные способности.

Как правило, задачи интересны для учащихся с позиции содержания и тех умственных действий, которые необходимы для решения; процесс решения задач требует устойчивого внимания, как для осмысления условия задачи, так и для выполнения всех этапов решения.

Можно использовать следующее содержание задач (таблица 2.1.)

Таблица 2.1. - Задачи с использованием дифференциального исчисления.

Тема занятия	Кол-во задач
Понятие дифференциального исчисления функций нескольких переменных	14
Задачи с использованием с использованием дифференциального исчисления функций нескольких переменных	44
Задачи повышенной сложности с использованием дифференциального исчисления функций нескольких переменных	30

Цели и задачи обучения с использованием дифференциального исчисления функций нескольких переменных:

создание условий для формирования и развития у учащихся интеллектуальных и практических умений решения задач с использованием дифференциального исчисления функций нескольких переменных;

привитие интереса к математике;

формирование умения самостоятельно приобретать и применять знания;

развитие способностей решения задач с использованием дифференциального исчисления функций нескольких переменных;

развитие общеучебных мыслительных навыков;

повышение учебной мотивации за счет заданий решения задач с использованием дифференциального исчисления функций нескольких переменных.

Обратимся к практическим примерам решения задач с использованием дифференциального исчисления функций нескольких переменных.

2.2 Решение задач

Рассмотрим методики решения задач с использованием дифференциального исчисления функций нескольких переменных

Дана функция

Исследовать функцию на экстремум. Найти экстремальные значения функции.

Решение:

Найдем частные производные первого порядка:

Решим систему, приравняв их нулю:

Итак, точка (6;-8) является подозрительной на экстремум.

.

Итак, в точке (6;-8) экстремум есть. Так как , то в данной точке минимум.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции в заданной области D=Четырёхугольник с вершинами О(0,0), С(-1,1), А(0,1), В(1,0).

Решение:

Очевидно, что точка экстремума не принадлежит данной области. Тогда наибольшее и наименьшее значения функция может принимать только на границах области. Составим уравнения сторон четырехугольника:

ОС: ;

АС: ;

АВ: ;

ОВ: .

На отрезке ОС функция принимает вид:

.

Критические точки:

.

Точка не принадлежит отрезку. Тогда наибольшее и наименьшее значение функция принимает на концах отрезка: .

На отрезке АС функция принимает вид:

.

Критические точки:

.

Точка не принадлежит отрезку. Тогда наибольшее и наименьшее значение функция принимает на концах отрезка: .

На отрезке АВ функция принимает вид:

.

Критические точки:

.

Точка не принадлежит отрезку. Тогда наибольшее и наименьшее значение функция принимает на концах отрезка: .

На отрезке ОВ функция принимает вид:

.

Критические точки:

.

Точка не принадлежит отрезку. Тогда наибольшее и наименьшее значение функция принимает на концах отрезка: .

Итак, наибольшее значение равно 30, наименьшее -11.

Составить уравнение касательной плоскости к поверхности : в точке, где

Решение:

Уравнение касательной плоскости в точке для поверхности, заданной явно, определяется формулой:

.

Найдем частные производные в точке (4;7) и значение функции в ней же:

Итак, уравнение касательной плоскости в точке (4;7) имеет вид:

Найти величину наибольшей скорости возрастания функции в точке М₁(х₁,у₁)=(2;-5).

Решение:

Наибольшая скорость возрастания функции в точке равна модулю вектора градиента функции в этой точке.

.

Наибольшая скорость:

.

Вычислить производную функции в точке М₁(х₁,у₁) в направлении вектора Каков характер изменения функции? Почему? (M₂=(4;-6))

Решение:

Тогда функция в данном направлении убывает.

Найти угол между градиентами функции в точках М₁(х₁,у₁) и М₂(х₂,у₂). Построить векторы и указать угол.

Решение:

Рис. 2.1 График решения задач

В целом, в обучении используют типовые примеры по нахождению частных производных функции нескольких переменных, нахождению полного дифференциала функции и т.д. Все решения задач содержат подробные пошаговые объяснения.

2.3 Задачи повышенной сложности с использованием дифференциального исчисления

Необходимо учиться решать задачи повышенной сложности с использованием дифференциального исчисления.

Например, частные производные вычисляются по обычным правилам и формулам дифференцирования (при этом все переменные, кроме xk, рассматриваются как постоянные).

Частными производными 2-го порядка функции u=f(x1,x2,...,xn) называются частные производные от ее частных производных первого порядка. Производные второго порядка обозначаются следующим образом:

??xk(?u?xk)=?2u?x2k=f??xkxk(x1,x2,...,xk,...,xn).

??xl(?u?xk)=?2u?xk?xl=f??xkxl(x1,x2,...,xk,...,xl,...,xn).

Аналогично определяются и обозначаются частные производные порядка выше второго.

Найти частные производные 1-го и 2-го порядков от заданных функций:

z=x5+y5?5x3y3.

Решение.

z?x=(x5+y5?5x3y3)?x=5x4?15x2y3;

z?y=(x5+y5?5x3y3)?y=5y4?15x3y2;

z?xx=(5x4?15x2y3)?x=20x3?30xy3;

z?xy=(5x4?15x2y3)?y=?45x2y2;

z?yy=(5y4?15x3y2)?y=20y3?30x3y;

z?yx=(5y4?15x3y2)?x=?45x2y2.

Ответ: z?x=5x4?15x2y3; z?y=5y4?15x3y2; z?xx=20x3?30xy3; z?xy=?45x2y2; z?yy=20y3?30x3y; z?yx=?45x2y2.

Найти: f?x(3,2),f?y(3,2), f?xx(3,2),f?xy(3,2), f?yy(3,2), если f(x,y)=x3y+xy2?2x+3y?1.

Решение.

Найдем частные производные:

f?x=(x3y+xy2?2x+3y?1)?x=3x2y+y2;

f?y=(x3y+xy2?2x+3y?1)?y=x3+2xy+3;

f?xx=(3x2y+y2)?x=6xy;

f?xy=(3x2y+y2)?y=3x2+2y;

f?yy=(x3+2xy+3)?x=2x.

Теперь найдем значения частных производных в точке (3,2):

f?x(3,2)=(3x2y+y2)|(3,2)=54+4=58;

f?y(3,2)=(x3+2xy+3)|(3,2)=27+12+3=42;

f?xx(3,2)=6xy|(3,2)=36;

f?xy(3,2)=(3x2+2y)|(3,2)=27+4=31;

f?yy(3,2)=2x|(3,2)=6.

Ответ: f?x(3,2)=58,f?y(3,2)=42, f?xx(3,2)=36,f?xy(3,2)=31, f?yy(3,2)=4.

Показать, что (?z?x)2+?z?y+x+z=0, если z=4e?2y+(2x+4y?3)e?y?x?1.

Решение.

Найдем частные производные:

?z?x=(4e?2y+(2x+4y?3)e?y?x?1)?x=2e?y?1;

?z?y=(4e?2y+(2x+4y?3)e?y?x?1)?y=?8e?2y+4e?y?(2x+4y?3)e?y.

(?z?x)2+?z?y+x+z=

=(2e?y?1)2+(?8e?2y+4e?y?(2x+4y?3)e?y)+

+x+4e?2y+(2x+4y?3)e?y?x?1=

=4e?2y?4e?y+1?8e?2y+4e?y?2xe?y?4ye?y+3e?y+

+4e?2y+2xe?y+4ye?y?3e?y?1=0.

Ответ: доказано.

Для дифференциала функции u=f(x1,x2,...,xn) справедлива формула

du=?u?x1dx1+?u?x2dx2+...+?u?xndxn.

Функции u,v нескольких переменных подчиняются обычным правилам дифференцирования:

d(u+v)=du+dv,

d(uv)=vdu+udv,

d(uv)=vdu?udvv2.

Для дифференцируемой функции u=f(x1,x2,...,xn) имеют место приближенные равенства

Дu?du,

f(x1+Дx1,x2+Дx2,...,xn+Дxn)?f(x1,x2,...,xn)+df(x1,x2,...,xn).

z=lncosxy.

Решение.

dz=z?xdx+z?ydy.

Найдем частные производные:

z?x=(lncosxy)?x=1cosxy(cosxy)?x=?1cosxysinxy(xy)?x=?1cosxysinxy1y.

z?y=(lncosxy)?y=1cosxy(cosxy)?y=?1cosxysinxy(xy)?y=1cosxysinxyxy2.

dz=(?1cosxysinxy1y)dx+(1cosxysinxyxy2)dy=?tgxyydx+xtgxyy2.

Ответ: dz=?tgxyydx+xtgxyy2dy.

Вычислим приближенно (2,01)3,03.

Решение.

Искомое число будем рассматривать как значение функции f(x,y)=xy при x=x0+Дx,y=y0+Дy, если x0=2,y0=3, Дx=0,01, Дy=0,03. Имеем: f(2,3)=23=8,

Дf(x,y)?df(x,y)=yxy?1dx+xylnxdy

Дf(2,3)?3?23?1?0,01+23ln2?0,03?0,06+0,17=0,23.

Следовательно, (2,01)3,03?8+0,23=8,23.

Ответ: 8,23.

Рассмотрим пример других задач.

Если

u=f(x1,x2,..,xn)

дифференцируемая функция переменных x1,x2,...,xn, которые сами являются дифференцируемыми функциями независимой переменной t:

x1=ц1(t),x2=ц2(t),,xn=цn(t),

то производная сложной функции u=f(ц1(t)),ц2(t),цn(t)) вычисляется по формуле

dudt=?u?x1.dx1dt+?u?x2.dx2dt+...+?u?xn.dxndt.

В частности, если t совпадает, например, с переменной x1, то "полная"производная функции u по x1 равна

dudx1=?u?x1+?u?x2?dx2dx1+...+?u?xn?dxndx1.

Пусть u=f(x1,x2,..,xn), где

x1=ц1(t1,t2,...,tm),x2=ц2(t1,t2,...,tm),,xn=цn(t1,t2,...,tm),

(t1,t2,...,tm) ? независимые переменные. Частные производные функции uпо t1,t2,...,tm выражаются следующим образом:

?u?t1=?u?x1??x1?t1+?u?x2??x2?t1+...+?u?xn??xn?t1,

?u?t2=?u?x1??x1?t2+?u?x2??x2?t2+...+?u?xn??xn?t2,

?u?tm=?u?x1??x1?tm+?u?x2??x2?tm+...+?u?xn??xn?tm.

При этом выражение для дифференциала 1-го порядка сохраняет свой вид

du=?u?x1dx1+?u?x2dx2+...+?u?xndxn.

Выражения для дифференциалов высших порядков сложной функции, вообще говоря, отличаются от выражения вида

dmu=(??x1dx1+??x2dx2+...+??xndxn)mu.

Например, дифференциал 2-го порядка выражается формулой

d2u=(??x1dx1+??x2dx2+...+??xndxn)2u+?u?x1d2x1+?u?x1d2x2+...+?u?xnd2xn.

Рассмотрим неявные функции одной и нескольких независимых переменных.

Пусть уравнение f(x,y)=0, где f? дифференцируемая функция переменных x и y определяет y как функцию x. Первая производная этой неявной функцииy=y(x) в точке x0 выражается по формуле

dydx???x0=?f?x(x0,y0)f?y(x0,y0)(1)

при условии, что f?y(x0,y0)?0, где y0=y(x0),f(x0,y0)=0.

Производные высших порядков вычисляются последовательным дифференцированием формулы.

Примеры:

Найти dzdt, если z=e2x?3y, где x=tgt,y=t2?t.

Решение.

Мы будем пользоваться формулой

dudt=?u?x1.dx1dt+?u?x2.dx2dt+...+?u?xn.dxndt.

Найдем частные производные:

?z?x=e2x?3y(2x?3y)?x=2e2x?3y;

?z?y=e2x?3y(2x?3y)?y=?3e2x?3y;

dxdt=1cos2t;

dydt=2t?1.

Отсюда

dzdt=2e2x?3y1cos2t?3e2x?3y(2t?1)=2e2tgt?3(t2?2)cos2t?3e(2tgt?3t2?2)(2t?1).

Ответ: 2e2tgt?3(t2?2)cos2t?3e3(t2?2)(2t?1).

Найти dzdt, если z=xy, где x=lnt,y=sint.

Решение.

Мы будем пользоваться формулой

dudt=?u?x1.dx1dt+?u?x2.dx2dt+...+?u?xn.dxndt.

Найдем частные производные:

?z?x=(xy)?x=yxy?1;

?z?y=(xy)?y=xylnx;

dxdt=(lnt)?=1t;

dydt=(sint)?=cost.

Отсюда

dzdt=yxy?11t+xylnxcost=sint?lntsint?1t?(lnt)sintcostlnlnt.

Ответ: dzdt=sint?lntsint?1t?(lnt)sintcostlnlnt.

Найти ?z?x и dzdx, если z=ln(ex+ey), где y=13x3+x.

Решение.

?z?x=(ln(ex+ey))?x=1ex+ey(ex+ey)?x=exex+ey.

Для нахождения dzdx, будем пользоваться формулой

dudx1=?u?x1+?u?x2?dx2dx1+...+?u?xn?dxndx1.

?z?y=(ln(ex+ey))?y=1ex+ey(ex+ey)?y=eyex+ey;

dydx=(13x3+x)?=3x23+1=x2+1.

Отсюда

dzdz=?z?x+?z?y?dydx=exex+ey+eyex+ey(x2+1).

Ответ: exex+ey; ex+ey(x2+1)ex+ey.

Найти ?z?x и ?z?y, если z=f(u,v), где u=ln(x2?y2),v=xy2.

Решение.

Мы будем пользоваться формулами

?z?x=?z?u??u?x+?z?v??v?x,

?z?y=?z?u??u?y+?z?v??v?y,

Найдем частные производные:

?u?x=(ln(x2?y2))?x=1x2?y2(x2?y2)?x=2xx2?y2;

?u?y=(ln(x2?y2))?y=1x2?y2(x2?y2)?y=?2yx2?y2;

?v?x=(xy2)?x=y2;

?v?y=(xy2)?y=2xy;

Отсюда

?z?x=z?u2xx2?y2+z?vy2,

?z?y=z?u?2yx2?y2+2z?vxy.

Ответ: ?z?x=z?u2xx2?y2+z?vy2, ?z?y=z?u?2yx2?y2+2z?vxy.

Производные dzdx и dzdy ищем по формулам.

dzdx=?f?x(x,y,z)f?z(x,y,z);

dzdy=?f?y(x,y,z)f?z(x,y,z);

Здесь f(x,y,z)=x+y+z?ez.

Найдем частные производные

f?x(x,y,z)=(x+y+z?ez)?x=1;

f?y(x,y,z)=(x+y+z?ez)?y=1;

f?z(x,y,z)=(x+y+z?ez)?z=1?ez.

Отсюда находим

dzdx=?f?x(x,y,z)f?z(x,y,z)=?11?ez.

dzdy=?f?x(x,y,z)f?z(x,y,z)=?11?ez.

Производные второго порядка находим, дифференцируя найденные производные первого порядка по соответствующим переменным.

d2zdx2=(1?ez)?x(1?ez)2=?ezz?x(1?ez)2=??ez?11?ez(1?ez)2=ez(1?ez)3.

d2zdxdy=(1?ez)?y(1?ez)2=?ezz?y(1?ez)2=??ez?11?ez(1?ez)2=ez(1?ez)3.

d2zdy2=(1?ez)?y(1?ez)2=?ezz?y(1?ez)2=??ez?11?ez(1?ez)2=ez(1?ez)3.

Ответ: d2zdx2=d2zdxdy=d2zdy2=ez(1?ez)3.

Подобные задания повышенной сложности способствуют развитию знаний и умений учащихся.



Заключение

Решение задач по тематике дифференциального исчисления функций нескольких переменных осуществляется с помощью определенных алгоритмов.

Каждый этап решения задач с использованием дифференциального исчисления функций нескольких переменных является предпосылкой для интенсивной работы и развития логического и ассоциативного мышления. Благодаря задачам этого типа учащиеся получают возможность проявить изобретательность, инициативу, развивать конструктивные способности.

Как правило, задачи по тематике дифференциального исчисления функций нескольких переменных интересны для учащихся с позиции содержания и тех умственных действий, которые необходимы для решения; процесс решения задач дифференциального исчисления функций нескольких переменных требует устойчивого внимания, как для осмысления условия задачи, так и для выполнения всех этапов решения.

В целом, методика решения задач с использованием дифференциального исчисления функций нескольких переменных используются для развития знаний и умений учащихся.

Задачи с использованием дифференциального исчисления функций нескольких переменных широко используется в процессе обучения и применяются при разработке и решении различных задач.

В целом, в процессе обучения используются существующие методики решения задач, дифференциального исчисления функций нескольких переменных, разной сложности.



Список использованной литературы

1. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Математически анализ. - М.: Просвещение, 1987. - 352 с.

2. Атанасян Л.С.Математический анализ. Задачи. - М.: Дело, 2009. -509 с.

3. Атанасян Л.С. Сборник задач, часть 2.-М.: Дело, 2012.-434 с.

4. Базылев В.Т. Математический анализ. - М.: Просвещение, 1988.-390 с.

5. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие. -Спб: Профессия, 2013.-432 с.

6. Бугров Я.С. Высшая математика. -М.: Дрофа, 2013.-509 с.

7. Буземан Г., Келли П. Математический анализ. -M.: Прогресс.-1987.-561 с.

8. Базылев К.В. Математический анализ . -М.: Просвещение,1989.-163 с.

9. Бизман Х. Математический анализ.-М.: Восток, 1987.-491 с.

10. Бэр Р. Алгебра.- М.: АСТ, 2012.-219 с.

11. Бэр Р. Линейная алгебра. -М.: Наука,1985.-390 с.

12. Вольберг А. О. Интегральное исчисление.- М.: Дело, 1989.-357 с.

13. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах (с решениями). -М.: Терра, 2012. -416 с.

14. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа.-М.: Физматлит, 2012. -646 с.

15. Житомирский О.К. Математический анализ.- СпБ.: Нева,2010.-316 с.

16. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. -М.: Дрофа, 2013. -703 с.

17. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. -М.: Интеграл - Пресс, -2011. -415 с.

18. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. -М.: Физматлит, 2011. -697 с.

19. Франгулов С.А. Математический анализ .- М: АСТ, 2011.-461 с.

20. Хартсхорн Р. Основы математического анализа. - М.: Терра, 1989.-306 с.

21. Яркин Г.Д. Математический анализ.- М.: Дрофа, 2009.-376 с.

22. Яшин Г.Б. Высшая математика. - М.: Терра, 1990.-168 с.

Размещено на Allbest.ru

...