Бесконечность и множество

Размещено на http://www.allbest.ru/

МОУ "Будаговская средняя общеобразовательная школа"

Проект

на тему: "Бесконечность и множество"

Выполнила: ученица 11 класса

Шалыгина Юлия

Руководитель: учитель математики

Калаш Г.В.

Будагово - 2014 год

Содержание

Введение

1. Понятие множества

1.1 Обозначение множества

1.2 Обозначение принадлежности элемента к множеству

1.3 Графическое изображение множества

2. Операции над множествами

2.1 Равенство множеств - источник недоразумений

2.2 Множество, которое содержится в другом множестве

2.3 Пересечение множеств

2.4 Объединение множеств

2.5 Дополнение множеств

2.6 Отображение множеств

2.7 "Пары"

2.8 Прямое произведение множеств

2.9 Множества и числа

2.10 Связь между операциями над множествами и действиями с числами

3. Исследование демографического и социального положения жителей Будаговского сельского поселения с помощью теории множеств

3.1 Возрастной состав населения и обеспеченность работой

3.2 МОУ "Будаговская средняя общеобразовательная школа" и её филиалы

Заключение

Список использованной литературы

Введение

О, бесконечность, ….

Вдаль манила и звала.

К тому, что без конца и без начала

И бездну будущего обещала.

О. сколько ты умов смущала!

И чтобы необъятное обнять,

Пришлось кругами Эйлера

Тебя окольцевать,

И множеством, любя назвать.

Тогда и Кантор смог научно доказать,

Что натуральных чисел

Бесконечное число.

В кругу друзей действительных,

Местечко скромное нашло.

Общая характеристика проекта:

1. Проект продолжительный (рассчитан на первую и вторую четверть).

2. Проект познавательный, исследовательский. (Исследование и эксперимент, систематизация и практическое применение).

3. Проект индивидуальный (работа с одним участником).

4. Проект расширенный (проводится в рамках школы, защита проекта в форме презентации на районной конференции "За страницами учебника математики").

Цель работы:

1. Ввести понятие множества, познакомиться с обозначением множеств и их графической интерпретацией.

2. Научиться выполнять операции над множествами, применять знаки и формулы для записи объединений, пересечений и дополнений множеств.

3. Познакомиться с прямым произведением множеств и основной операцией множеств - отображением.

4. Установить связь между операциями над множествами и действиями с числами.

5. Научиться делать аргументированные выводы, генерировать идеи по разрешению ситуаций, применять знания к решению новых задач и проблем.

6. Провести практические эксперименты.

7. Установить связь рассмотренного материала с жизнью.

Задачи для проведения эксперимента:

1. Собрать сведения о ставе населения по Будаговскому сельскому поселению, состоящему из семи сёл.

2. По предприятиям выяснить количество жителей села, работающих на данное время.

3. Установить количество детей в с/п.

4. Выяснить количество пенсионеров в селах, работающих и не работающих.

5. Подсчитать безработных на данное время учтённых в социальной защите и не учтённых.

6. Собрать сведения об учащихся и дошкольниках.

7. С помощью теории множеств составить таблицы и схемы, по результатам подсчётов сделать выводы и прогнозы на будущее.

Историческая справка. Математики утверждают, что теория множеств появилась на свет 7. XII1873 г., т. е. более ста лет назад.

Их придумал один немецкий математик или философ по фамилии Кантор Георг Кантор (1845-1918) - профессор математики и философии в Галле, основоположник современной теории множеств.. Что заставило Кантора ввести множества в математику? Это объясняется, по всей вероятности, его склонностью к философии, и особенно в области бесконечного. Его заинтриговало: каких чисел больше -натуральных или действительных? В одном из писем, адресованных к своему приятелю, Дедекинду Ричард Дедекинд (1831-1916) - немецкий математик., Кантор писал, что ему удалось доказать посредством множеств, что действительных чисел больше чем натуральных. День, которым было датировано это письмо, математики считают днём рождения теории множеств. Таково начало истории множеств.

Математики придают множествам огромное значение: благодаря множествам математический язык стал проще, чище и яснее; более конкретными стали формулировки; при помощи множеств можно единым взглядом охватить самые сложные структуры.

1. Понятие множества

Учёные доказывают, что множества лежат в самой основе современной математики, что их можно применять буквально везде; они настолько собирательные и удобны, что позволяют рассматривать и изучать различные бесконечности.

Рассматривая основные математические объекты - числа, точки, современные математики изучают их различные совокупности, или множества. (В основном бесконечные) Бывают множества векторов, функций и даже множества свойств и структур.

Множество настолько простое понятие, принятое в повседневной жизни и перенесённое в математику, что его нельзя свести к чему-нибудь ещё более простому.

Мы часто говорим:

множество городов;

множество государств;

множество чисел;

множество учащихся;

множество автомобилей;

множество птиц;

множество зрителей на стадионе;

множество.

Кантор сказал, что "Под множеством мы подразумеваем объединение в целое определённых, различающихся между собой объектов нашего представления или мышления".

Следовательно, множество может быть собрано любым способом. Может, но математики рассматривают только те множества, которые обладают чётко определёнными свойствами, состоят из элементов или членов, имеющих некоторые общие свойства, короче - математические множества.

Например, множество натуральных чисел; множество чисел, делимых на пять; множество учащихся третьего класса Будаговской школы; множество дней недели; множество отличников 8 класса. - Но в 8 классе нет отличников. Ну и что? Множество всё равно есть, только пустое. { ?}.

1.1 Обозначение множества

Есть несколько способов обозначения множеств. Каждый способ имеет одновременно преимущества и недостатки.

Способ I. Проще всего переписать все элементы и "загнать" их в фигурные скобки (как овец в загон), а после каждого члена - кроме последнего элемента - поставить запятую.

Вот так:

{Пётр, Иван, Сергей, Матвей}; {2,4,6};

{9};

(a, b, с, d, е}.

Преимущество способа в том, что явно видно принадлежность элемента к множеству.

Эта запись очень неудобна для описания множеств с большим числом элементов, особенно с бесконечным числом.

Способ II. Более краткий способ записи множеств, не зависящий от количества его элементов. "Лучше отметить только характерное свойство, которым обладают эти элементы. Все объекты, наделённые этим характерным свойством, должны являться элементами, а те, которые им не наделены, не могут быть ими".

Например, множество, которое составляют баскетбольные клубы первой союзной лиги в сезоне 1976-1977 года ("Задар", "Югопластика", "Цверна звезда", "Партизан", "Работнички", "Босна", "Брест", "Цибона", "Раднички", "Металац", "Кварнер", "Индустромонтажа", "Беко", "Игман").

Математики напишут так: {х, обладающий свойством: х - является баскетбольной командой первой союзной лиги} и при этом добавят: множество составляют все х с данным свойством. Им безразлично, чем будет этот х. Математикам часто встречалось выражение "обладающий свойством" и они решили ввести вместо него знак символ (|), а некоторым математикам показалось, что проще поставить знак (:). Оба они читаются "обладающий свойством".

Поэтому множество баскетбольных команд математики записывают так: {х: х - баскетбольный клуб первой лиги} или {х \ х - баскетбольный клуб первой лиги}.

Множество всех чётных чисел, меньших 100, записывают таким образом: {х | х - чётное число и меньшее, чем 100}.

1.2 Обозначение принадлежности элемента к множеству

Допустим, нам задано множество S, которое содержит три элемента а, b, с;

Следовательно, S = (а, b, с}

Это значит, что:

а - элемент множества S,

b - элемент множества S,

с - элемент множества S.

Вместо слов "элемент множества", или "принадлежит множеству"

математики ввели обозначение

a S

b S

c S.

Если объект т не является элементом множества, то записывают так m S.

1.3 Графическое изображение множества

Существует, способ графического изображения множеств, но он приемлем лишь в том случае, если речь идёт о бесконечных множествах, а точнее, о множествах с бесконечно большим числом элементов и при условии, что этими элементами являются точки.

Сделаем набросок, например, множества как части плоскости и обведём её замкнутой овальной линией. Если предположить, что все точки внутри овала являются элементами множества (а их бесконечно много), то эскиз множества выполнен правильно. Подобные схемы называются диаграммами Венна Джон Венн ³ (1834-1923) - английский логик.. Такие чертежи часто помогают размышлять, делать выводы, поскольку позволяют увязать "абстрактные" множества с конкретными. Для решения задач на пересечение и объединение множеств часто изображают множества кругами. Эти круги называют кругами Эйлера по имени широко пользовавшегося ими Леонарда Эйлера Леонард Эйлер ⁴ (1707-1783) - математик, механик, физик, астроном, по происхождению швейцарец, более тридцати лет работал в России, член Петербургской академии наук..

Если нужно показать два множества, у которых есть общие элементы, то и это легко выполнить. Следует помнить, что совмещённая часть на схеме заштрихована дважды.

Когда мы имеем дело с множествами, которые состоят из нескольких элементов, лучше его записать, а не рисовать.

2. Операции над множествами

2.1 Равенство множеств - источник недоразумений

Почему же источник недоразумений?

Дело в том, что в множестве нет одинаковых элементов, а вернее, что все они отличны друг от друга.

Значит ли это, что нельзя поместить одинаковые элементы внутри одного множества?

Нет, не означает. Можно представить себе сколько угодно одинаковых элементов, но выступать они будут как один элемент множества.

Например, купить на одного человека пять входных билетов на футбольное состязание. Контролёр пропустит его, надорвёт все билеты - если человек этого пожелает, - но они выполнят "роль" всего лишь одного билета. Человек напрасно заплатил за пять билетов, так же, как вы напрасно старались поместить несколько одинаковых элементов в множество.

Это значит: {2, 2, 2, 2, 2} = {2}; {3, 4, 3, 5} = {3, 4, 5};

{2, 3, 2, 4, 2, 5, 2, 6, 2, 7} = {2, 3, 4, 5, 6, 7}

Итак: два множества равны, если содержат одни и те же элементы.

Возьмём множества {а, b, с} и {а, b, с}. Они явно равны, и их можно записать: {a, b, с} = {а, b, с}.

А равны ли множества {а, b, с} и {b, а, с}?

2.2 Множество, которое содержится в другом множестве

Множество, которое содержится в другом множестве, называется подмножеством.

Запишем множество дней в неделе:

D = {воскресенье, понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота} Теперь отберём только рабочие дни:

R = {понедельник, вторник, среда, четверг, пятница}.

Сразу видно, что все элементы множества R входят в множество D.

Если каждый элемент какого-то множества R является в тоже время элементом множества D, то можно сказать, что R -подмножество множества D.

Множества равны, так как содержат одни и те же элементы. {Пётр, Марк, Ирина, Елена} = {Елена, Марк, Пётр, Ирина} {3,5,7,9, 11, 15} = {9, 5, 7, 3,15, 11}.

У математиков есть особое обозначение для подмножества . Следовательно, можно записать RD. Множество может быть своим подмножеством DD и R R, а так же пустое множество ? ?.

Если множество содержит хотя бы один элемент, не принадлежащий подмножеству, то мы говорим, что такое подмножество - истинное подмножество и применяем в записи знак истинного подмножества . RD.

Подмножество можно нарисовать так:

Сколько подмножеств может иметь множество?

Это зависит от числа элементов множества. Чем больше элементов, тем больше и подмножеств. Если выписать все подмножества любого множества, то надо начинать с пустого множества, так как оно является подмножеством каждого множества, затем все одночленные множества, дальше двухчленные подмножества, трёхчленные ... и т. д. и, наконец, всё множество, которое является подмножеством самого себя.

Например: S = {а, b, с}, то его подмножествами являются.

?; {а}; {b}; {с}; {а, b}; {а, с}; {b, с}; {а, b, с}. Всего восемь подмножеств.

2.3 Пересечение множеств

Рассмотрим пересечение двух прямых линий. Место пересечения точка. К какой линии из двух прямых отнести эту точку? И к той, и к другой, поскольку речь идёт об общей точке. Так и у множеств. Возьмём два множества: А = {1,2,3,4,5,6}, В = {5,6,7,8,9} Общими у них являются элементы 5 и 6. Следовательно, пересечение этих множеств - является множество {5,6}.

Для записи пересечения множеств математики ввели новый знак похожий на опрокинутую вниз головой большую латинскую букву U.

Вот таким образом . Запишем наше пересечение на языке математики:

АВ = {1,2,3,4,5,6}{5,6,7,8,9} = {5,6}

Приведём соответствующее определение: Пересечением двух множеств А и В называется множество, состоящее из тех, и только тех, элементов, которые входят и во множество А, и во множество В.

Покажем, как это записывается "математической стенографией"

АВ = {х | х А и хВ}.

2.4 Объединение множеств

Рассмотрим операцию, которая называется объединением множеств. Знак объединения напоминает латинскую букву U и выглядит так и. Возьмём два множества: А = {1, 2, 3, 4}, В = {4, 5, 6, 7} Результатом их объединения будет А В ={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Рассмотрим ещё один пример:

С = {m, n, p, q}, D = {г, s, p, q, t} С D = {m, n, p, q, г, s, p, q, t}. Два раза записаны элементы p и q в одном множестве - этого делать нельзя. Значит: С D = {m, n, p, q, г, s, t}.

Объединением двух множеств А и В называется множество, которое образуют все элементы, принадлежащие хотя бы одному из множеств А и В.

Напишем это определение на языке математики:

AB ={x|xA или x В}

Это следует читать так: объединением множеств А и В является множество, состоящее из элементов х, обладающих свойством: х является элементом множества А или множества В.

Возьмём два множества: А = {1, 2, 3, 4}, В = { 5, 6, 7} А В = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Только в том случае, когда у множеств нет общих элементов, число элементов объединения равно сумме элементов отдельных множеств. В других случаях их число меньше.

Рассмотрим результат объединения множества с самим собой: А={ 1,2,3,4},

А А ={1,2,3,4} {1,2, 3,4} = {1,2, 3,4}; АА = А.

Теперь построим объединение любого множества с его подмножеством.

М= {а, Ь, с, d, е, f}, N={b, с, d}. М N= {a, b, с, d, е, f}.

Если NM, to М N = М.

Рассмотрим некоторые свойства операций над множествами. Используем круги Эйлера.

А В

Пересечение множеств А и В изобразится как общая часть этих кругов.

Объединение множеств А и В изобразится как множество, состоящее из всех элементов множества А и всех элементов множества В.

Для любого множества А выполняются равенства:

А А = А; А А = А.

2. Пересечение любых множеств А и В включается в каждое из них, а каждое из этих множеств включается в их объединение:

A В А; А А В.

3. Для любых множеств А и В, где А есть подмножество множества В, их пересечение равно более узкому подмножеству, а объединение более широкому из них.

А В = А; АВ = В.

Задача 1. Найдите множества А и В, если А В = {1, 2, 3}, A D = {1, 2, 3, 4, 5}.

Решение. Из определений пересечения и объединения множеств следует, что элементы 1, 2, 3 входят в оба множества А и В, а элементы 4 и 5 - только в одно из них. Отсюда и получаем ответ, перебирая все случаи.

Ответ: А= {1, 2, 3}, В = {1, 2, 3, 4, 5}

А={1,2,3,4,5}, В = {1,2,3}

А={1,2,3,4}, В={1,2,3,5}

А={1,2,3,5}, В = {1,2, 3,4}.

Задача 2. Найдите пересечение множеств.

А ={1,4, 7,...,898} D= {1,5, 9,...,897} С = {1, 6,11,..., 896}.

Ответ: A D С={1}.

А здесь познакомимся с задачами, при решении которых используются круги Эйлера. множество пересечение произведение обозначение

Задача 3. В одном башкирском селе каждый житель говорит или по - башкирски, или по-русски, или на обоих языках. 912 жителей села говорит по-башкирски, 653 по-русски, причём 435 человек говорит на обоих языках. Сколько жителей в этом селе?

Решение. Применим круги Эйлера. Через А обозначим множество жителей села, которые говорят по-башкирски, через В - множество жителей, которые говорят по-русски.

Будем обозначать число элементов любого конечного множества А через п(А). Тогда по условию: n(а) = 912, п{В) = 653, п(А В) = 435. Нам нужно найти число элементов в объединении множеств А и В. Прежде всего сложим числа п(А) и п(В)

Но при этом элементы, входящие в пересечение множеств А и В, считаются дважды.

Следовательно, из этой суммы нужно вычесть п{А В). Получаем

п(АВ)= п(А) + п(В) - п(АВ);

п{АВ) = 912 + 653-435 = 1130. Ответ: в селе 1130 жителей.

2.5 Дополнение множеств

Познакомившись с пересечением и объединением множеств, можно легко определить их дополнение, или разность (различие) множеств. Познакомимся с обозначением дополнения. Оно напоминает обычный знак минус, только несколько длиннее и лежит наклонно. Вот так " \ ". Например:

Возьмём два множества А = {1, 2, 3, 4, 5} и В = {4, 5, 6, 7}.

Их разность будет: {1, 2, 3, 4, 5} \ {4, 5, 6, 7} = {1, 2, 3}.

Или А \ В = {1,2,3}.

Это новое множество получилось так: взяли те элементы первого множества, которые не включены во второе.

Разностью множеств или дополнением элементов множества В до А является множество, которое составляют элементы, принадлежащие множеству А и не принадлежащие множеству В.

Напишем это определение на языке математики:

А\В = {х\ хА и хВ}

Прочитаем запись: "Разность множеств А и В является множеством состоящим из элементов х, обладающих свойством: х является элементом множества А и не является элементом множества В".

Ну, а теперь, попробуем найти разность: В\ А.

Возьмём два множества: В = {4, 5, 6, 7} и А = {1, 2, 3, 4, 5}.

Их разность будет: {4, 5, 6, 7} \ {1,2, 3, 4, 5} = {6, 7}

Или В \ А={6,7}.

Можно отметить, что А \ В В \ А

При вычитании множеств нельзя менять их местами.

2.6 Отображение множеств

Познакомимся с одним из самых важных понятий современной математики, которое является её краеугольным камнем, - понятием отображения. Начнём с примера:

Представьте себе множество мальчиков. Естественно, что у каждого из них должно быть имя.

Вся эта операция и называется отображением, поскольку каждому элементу одного множества ставится в соответствие элементы другого. Взять отображения:

множества государств на множество их столиц; множества школ на множество их директоров; множество учащихся нашей школы на множество классов; множества домов на множество жильцов. Что в этих примерах общего?

Речь идёт о двух множествах. Назовём их начальным (входным) и завершающим (выходным) множеством.

Известна операция, при помощи которой можно отобразить одно множество на другое, т. е. задан способ присоединения элементов одного множества к элементам другого.

При отображении множеств всегда надо иметь:

а) два множества, начальное А и завершающее В;

б) знать операцию, или правило, при помощи которого элементам одного множества ставят в соответствие элементы второго множества.

Элементы входного множества А называются независимой переменной, а элементы выходного множества В - зависимой. Правило, при помощи которого элементы входного множества отображаются на элементы выходного множества, обозначается буквой f.

Иногда операция отображения f может быть выражена требованием:

а) "приплюсуй пять", и будет записана в виде у = х + 5;

б) "умножь на четыре, а затем отними два", т. е. у = 4х - 2;

в) "возведи в квадрат", т. е. у = х.

Операция отображения, следовательно, выступает как приказание, которое необходимо выполнить, чтобы получить из элементов входного множества элементы выходного.

2.7 "Пары"

Можно взять любые два числа, они и составят пару. Парами могут быть не только числа, но и буквы. Вот несколько пар: 4,8; 7,5; n,m; R,Q; x, у. Можно записать по другому: 8,4; 5,7; n,m; Q,R; у, x.

Но в математике часто имеет значение последовательность записи объектов пары, т. е. какой объект стоит первым, а какой вторым. В таком случае говорят, что пара упорядочена.

Пример, который хорошо отражает применение упорядоченных пар, - система координат. Система координат состоит из двух числовых осей. Если эти две оси взаимно перпендикулярны, то такая система координат называется прямоугольной. Рассмотрим рисунок:

На рисунке изображены пары чисел и точки. Системой координат устанавливается связь между упорядоченными парами чисел и точками плоскости по принципу: каждой упорядоченной паре чисел отвечает только одна точка плоскости, и наоборот... - каждой точке плоскости отвечает одна, и только одна пара чисел.

Это чрезвычайно важное применение упорядоченных пар. И числовая ось, и система координат являются своеобразным мостом, который связывает числа и точки, т. е. арифметику с геометрией. Открытие Декартом Рене Декарт (1596-1650) - французский философ, математик и физик. системы координат - это начало новой эры в математике.

2.8 Прямое произведение множеств

Можно ещё сказать: "Декартово произведение множеств" Возьмём два произвольных множества А и В с небольшим числом элементов. Пусть, например, множество А состоит из кружка и звёздочки, а множество В из треугольника четырёхугольника и чёрточки. А={_;*} В = {?; ?; - }

Превратим элементы этих множеств в упорядоченные пары таким образом, чтобы первый член пары был из первого множества, а второй из второго.

Если на первое место поставить кружок, то можно сделать три пары, а именно: {_; ?}; {_; ? }; {_; - }.

И если на первое место поставить звёздочку, то тоже можно получить три пары: {*; ?}; {*; ? }; {*; - }.

Построим теперь новое множество, элементами которого будут эти упорядоченные пары:

{(_;?); (_; ?); (_; -); (*; ?); (*; ?);(*; -)}= А х В Полученное таким образом множество называется прямым произведением множеств А и В и обозначается А х В. Приведем ещё пример М х N если:

М = {(карандаш, перо)}, N = {(мел, губка)}.

М х N = {(карандаш, мел), (карандаш, губка), (перо, мел), (перо, губка)}; N х М = {(мел, карандаш), (мел, перо), (губка, карандаш), (губка, перо)}.

Прямое произведение множеств можно изобразить графически. Особенно важным и интересным является произведение N х М, в котором N обозначает множество натуральных чисел N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}. Оно содержит бесконечно много упорядоченных пар, поэтому его можно изобразить при помощи сетки целочисленных координат. Каждой упорядоченной паре (а, b) N х М ставится в соответствие совершенно определённое натуральное число С, которое называется произведением. Например: 8x7 = (8,7) множества {N х N}. Это натуральное число 56.

Определение произведения: "Прямое произведение множеств А и В есть множество всех упорядоченных пар (a,b), в котором а является элементом множества А и b элементом множества В".

Запишем на языке математики:

АВ={а,b\а А иbВ}

Прямое произведение множеств А и В, есть множество всех упорядоченных пар а и b, обладающих свойством, согласно которому а - элемент множества А и b - элемент множества В.

2.9 Множества и числа

Возьмём отображение множеств.

Эквипотентными называются такие множества, которые имеют одинаковое количество элементов.

Например, такие множества эквипотентны:

У эквипотентных множеств есть общие признаки. Обычно говорят, что у них одинаковая мощность, или одно и то же кардинальное число. Кардинальные числа отличаются от порядковых чисел.

Кардинальное число показывает, сколько имеется чисел, а порядковое число отвечает на вопрос: какое оно по порядку. Следовательно, один, пять, десять... - кардинальные числа, а первый, пятый, десятый, ... - порядковые числа.

Введём обозначения кардинальных чисел k(S); k(A); k(B) В приведённом примере отображения можно записать:

k(A) = k(B) = k(C) = 3.

k(R) = k(S) = 5.

Кардинальное число каждого одночленного множества равно единице. Кардинальное число каждого двучленного множества равно двум.

Кардинальное число каждого трехчленного множества равно трём. Кардинальное число каждого пустого множества равно нулю. Записывается так: к(?) = 0.

Каждому конечному множеству соответствует определённое натуральное число.

2.10 Связь между операциями над множествами и действиями с числами

Существует связь не только между множествами и натуральными числами, но и связь между операциями над множествами и действиями с числами: между объединением множеств и сложением, дополнением множеств и вычитанием, прямым произведением множеств и соответствующими действиями с числами. Если взять два любых конечных множества А и В, то верно равенство:

k(А В) + k(А В) = k(А) + k(В) (1).

Покажем на конкретном примере: А= {1,2, 3,4, 5} и В = {4, 5, 6, 7}.

А В = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, (AВ) = {4, 5}, а кардинальными числами являются к(А) = 5; к(В) = 4; к(А В) = 7; к(А В) = 2.

Подставим значения в равенство (1)

7+2=5+4

9 = 9

Рассмотрим случай, когда у множеств А и В нет общих элементов, тогда A В = ?, отсюда следует k(A В) = 0, так что равенство (1) принимает вид:

k(A B) = k(A) + k(B). (2)

Вывод: Если А и В являются двумя множествами без общих элементов, то тогда кардинальное число объединения множеств А и В равно сумме кардинальных чисел множеств А и В.

Например: А = {2,4, 6, 8} и В = {1, 3, 5, 7,9}.

Их объединение А В ={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, а кардинальные числа являются к(А) = 4; к(В) = 5; к(А В) = 9;

Проверим

к(А В) = к(А) + к(В), (2)

9 = 4 + 5

9 = 9.

Рассмотрим связь между разностью множеств и вычитанием чисел:

k(А \ В) = k(А) - k(А В). (3)

Например: А = {2, 3, 4, 5, 6, 7} и В = {6, 7, 8, 9}.

Найдём А \ В = {2,3, 4, 5}, АВ = {6, 7}, кардинальнее числа

k(А) = 6; k(В) = 4; к(А\В) = 4; к(А В) = 2

4 = 6-2.

Кардинальное число разности множеств А и В равно разности кардинальных чисел множества А и пересечения множеств А и В. (3)

3. Исследование демографического и социального положения жителей Будаговского сельского поселения с помощью теории множеств

3.1 Возрастной состав населения и обеспеченность работой

Таблица № 1

	Будагово	Аверьяновка	Ключевое	Северный Кадуй	Южный Кадуй	Килим	Тракто-Курзан	Б.С.П. Всего
Жителей села.	1388	107	53	117	105	129	211	2110
Пенсионеры	571	21	7	14	11	17	43	684
Дети	252	15	49	23	14	31	51	435
Работают	309	16	-	29	25	20	5	404
Безработные на учёте в С. З.	39	-	-	5	-	4	15	63
Выезжают на работу	12							12
Работают на Ч.П.	35	.	.		.			35

Всего в Будаговском сельском поселении семь населённых пунктов

с. Будагово - Б

с. Ключевое - Ki

с. Аверьяновка -А

с. Тракто - Курзан - Т-К

с. Северный Кадуй - СК

с. Южный Кадуй - ЮК

с. Килим - К ₂.

Число жителей сельского поселения можно найти как объединение множеств без пересечений:

Н (с/п) = Б К ₁А Т-К СК ЮК К ₂

Н (с/п) = n(Б) + n(К ₁) + n(А) + n(Т-К) + n(СК) + n(ЮК) + n(К ₂),

где n(Б) = 1388; n(К ₁) = 53; n(А) = 107; n(Т-К) = 211; n(СК) =117;

n(ЮК)=105; n(К ₂)=129.

Н (с/п) = 1388 + 53 + 107 + 211 + 117+ 105 + 129 = 2110 (человек).

Таблицы и схемы составлены по данным статистики на 1.01. 2009 г администрации сельского поселения и администрации МОУ "Будаговская СОШ".

1. Работают 404

2. Пенсионеры 684

3. Работают в городе 12

4. Безработные на учёте в С.З. 63

Работают в Ч.П. 35

Взрослое население составляет 2110-435 = 1675.

Определим количество взрослого, не работающего населения, не учтённого по сельскому поселению. Для этого нужно подсчитать, сколько пенсионеров и работающих вместе, учитывая то, что 31 пенсионер работает. Это объединение с пересечением, вычисляем по формуле:

n (РП) = n(Р) + n(П) - n(P П),

где n(Р) = 404; n(П) = 684; n(P П) = 31.

n (Р П) = 404 + 684-31 = 1057 (человек) работают или на пенсии. Найдём разность или дополнение не работающими, вычисляем по формуле:

n(БР) = n(ВН) - n(РП) - n(Ч.П.),

где n(ВН) =1675 n(Р П) = 1057 n(Ч.П.) = 35

n(БР) = 1675-1057-35 = 583 (человека не работают).

Из них на учёте в центре занятости 63.

Определим количество людей, не работающих и не состоящих на учёте в С. З.

n(НР) = n(БР) \ n(С. З.),

где n(БР) = 583; n(С. З.) = 63.

n(НР) = 583-63 = 520 человек не работает по Будаговскому с/п.

Количество жителей, обеспеченных работой на территории Будагово.

Таблица № 2

№ п/п	Предприятие	Количество жителей, имеющих работу
1.	Будаговское сельпо	81
2.	Реабилитационный центр	73
3.	Будаговская школа	44
4.	Будаговская больница	30
5.	Дошкольное учреждение "Капелька"	16
6.	Будаговская почта	7
7.	Культурно Спортивный Комплекс	7
8.	Дистанция Ж.Д.	17
9.	Библиотека	1
10.	РЭС	10
11	Подстанция	8
12	Администрация с/п	9
13.	Лесничество	4
14.	Участковая милиция	2
	ИТОГО	309
15.	Выезжают на работу из села	12
16.	Работают на Ч.П.	35
	всего	356

Рассмотрим отображение работоспособного населения на количество рабочих мест по селу Будагово.

Вывод: Несоответствие, спрос превышает предложение.

3.2 МОУ "Будаговская средняя общеобразовательная школа" и её филиалы

Таблица 3

	Будагово	Кадуй	Килим	Курзан	Ключевое	БСРЦ	Аверьяновка
Начальные классы	64	9	11	10	-	-	-
Среднее звено	148	15	7	15	3	25	8
Старшие классы	34	2	-	1	1	-	-
Всего учащихся	246	26	18	26	4	25	8

Будагово - Б

Кадуй - К₃

Килим - К₂

Тракто - Курзан - Т-К

Ключевое - K₁

БСРЦ

Аверьяновка - А.

Всего школьников в МОУ "Будаговская средняя школа" вместе с филиалами найдём как объединение учащихся:

а) множество школьников, состоящее из учащихся БСРЦ (25), Аверьяновки; А(8) и Ключевого K₁(4) является подмножеством учащихся Будагово Б(246), так как обучается в МОУ все года обучения БСРЦ (25) Б(246); А(8) Б(246); К ₁(4) Б(246). В объединение будем брать общее множество Б БСРЦ А K₁ = Б;

б) множество школьников, состоящее из учащихся Килима К₂(18), Тракто-Курзана Т-К(26) и Кадуя К ₃(26) пересекается с множеством учащихся Будагово Б(246), так как учащиеся среднего звена и старшего обучаются в МОУ, а начальные классы в филиалах.

Это объединение с пересечением, вычисляем по кардинальной формуле:

n(МОУФ) = n(Б) + n(Т-К) + n(К ₂) + n(К ₃) - n(БТ-К) - n(БК ₂) - n(БК ₃),

где n(Б) = 246; n(Т-К) =26; n(К ₂) =18; n(К ₃) = 26; n(БТ-К) = 16; n(БпК ₂) = 7; n(БК ₃)=17. n(МОУ Ф) = 246 + 26 + 18 + 26-16-7 - 17 = 276 (учащихся).

В филиалах обучается n(Ф) = n(МОУ Ф) - n(Б), где n(МОУ Ф) = 276; n(Б) = 246 n(Ф) = 276-246 = 30.

Учащихся проживающих в Будагово ЖБ.

n(ЖБ) = n(МОУФ) - n(Т-К) - n(К ₂) - n(К ₃) - n(А) - n(БСРЦ К ₁).

n(ЖБ) = 276-26-26-18-8 - 29 = 169.

При проведении исследований получили следующие результаты. Всего школьников в Будаговском с/п 276. В филиалах обучается 30 учащихся. Учащихся проживающих в Будагово 169.

Таблица № 4

	Будагово	Кадуй	Килим	Курзан	Ключевое БСРЦ	Аверьяновка
Школьники	169	26	18	26	29	8
1 класс	64	4	2	2
2 класс		3	1	1
3 класс		1	4	3
4 класс		1	4	4
Д У. "Капелька"	44	1	-	-	-	-
Дошкольники не в ДУ	39	10	13	25	20	7
Всего	252	37	31	51	49	15

2008-2009 г. Всего дошкольников 166 Школьников МОУ 246 11 класс 20 выпускников 9а класс 15 выпускников.

Предполагаемый контингент учащихся, не учитывая БСРЦ.

2009-2010 г. Контингент учащихся МОУ (246)

k(МОУ) = Б(246) + Д(14) + К ₂(4)+ К ₃(1) + Т-К(4) - 11(20) - 9А(15) = 234 11 класс 14 выпускников 9-а класс 15 выпускников.

2010-2011 г. Контингент учащихся МОУ (234).

k(МОУ) = Б(234) + Д(18) + К ₂(4) + К ₃(1) + Т-К(З) - 11(14) - 9А(15) = 231 11 класс 18 выпускников 9-а класс 10 выпускников.

2011-2012 г. Контингент учащихся МОУ (231).

k(МОУ) = Б(231) + Д(18) + К ₂(1) + К ₃(3) + Т-К(1) - 11(18) - 9А(10) = 226 11 класс 12 выпускников 9-а класс 11 выпускников.

2012-2013 г. Контингент учащихся МОУ.

k(МОУ) = Б(226)+ Д(17) + К ₂(2) + К ₃(4) + Т-К(2) - 11(12) - 9А(11) = 228 11 класс 10 выпускников 9-а класс 8 выпускников.

В среднем контингент учащихся ежегодно уменьшается на 5-6 человек.

Таблица № 5. Педагогический коллектив МОУ "Будаговская средняя общеобразовательная школа" и её филиалов

	Будагово	Курзан	Кадуй	Килим	Всего
Учителей	28	1	1	1	31
С высшим образованием	15				15
Со средним спец.	11	1	1	1	14
Среднее	2				2
Учителя выпускники школы	18	1		1	20

Коллектив учителей состоит из специалистов с высшим и средним специальным образованием, можно это множество отобразить с помощью диаграммы, значит, множества можно изображать не только кругами Эйлера.

Так же диаграммой можно показать количество учителей бывших выпускников Будаговской школы.

Заключение

Заканчивая работу над проектом можно сделать следующие выводы.

"Множество" одно из интереснейших открытий в математике. Оно дало возможность изучать бесконечности и математические пространства.

С помощью обозначений принятых в теории множеств, можно кратко записывать большие определения.

Решать задачи на пересечение и объединение множеств такие как: "Большая группа туристов выехала в заграничное путешествие. Из них владеют английским языком 28 человек, французским - 13, немецким - 10, английским и французским - 8, английским и немецким - 6, французским и немецким - 5, всеми тремя языками - 2, а 41 человек не владеет ни одним из трёх языков. Сколько туристов в группе?".

С помощью множеств можно исследовать проблемы села и школы, прогнозировать и составлять планы.

Мне очень понравилось узнавать новые теории в математике и исследовать, не хочется расставаться с множествами, но в этом году я уже не успею, так как надо учить и другие предметы.

С теорией множеств тесно связана "Комбинаторика", которая используется в физике, биологии, химии, экономике, вычислительной математике. Она изучает подмножества конечных множеств и способы их упорядочивания, перестановки, размещения и сочетания.

Комбинаторика, немножко подожди. Нас ждут открытия и встречи впереди.

Думаю, что в следующем году продолжу работать над проектом, только в новой области "Теории вероятностей".

Список использованной литературы

1. Б.А. Кордемский, А.А. Ахадов "Удивительный мир чисел" "Просвещение" Москва, 1986 г.

2. Е.В. Галкин "Нестандартные задачи по математике". "Просвещение" Москва, 1996 г.

3. Е.В. Галкин "Задачи логического характера". "Учебная литература". Москва, 1996 г.

4. Златко Шпорер "Ох, эта математика". "Педагогика", Москва. 1985 г.

5. И.Ф. Шарыгин, А.В. Шевкин Математика 5-6 "Задачи на смекалку". Москва, 1995 г.

6. Н.Я. Виленкин, И.Я. Депман "За страницами учебника математики". Москва, Просвещение, 1989 г.

7. Л.Ф. Пичурин "За страницами учебника алгебры". Москва, Просвещение, 1990 г.

8. Статистические данные Администрации Будаговского сельского поселения, Будагово 1.01.2009 г.

9. Статистические данные Администрации МОУ "Будаговская средняя общеобразовательная школа". Будагово, 1.01.2009 г.

Размещено на Allbest.ru

...