Формула полной вероятности. Теорема гипотез (формула Байеса)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Негосударственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

ИНСТИТУТ КОММУНИКАТИВНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

Реферат по Теории вероятности и математической статистике

Тема: Формула полной вероятности. Теорема гипотез (формула Байеса)

Исполнитель:

Глотов Александр Михайлович

Москва 2013

СОДЕРЖАНИЕ

Вступление

1. Основы теории множеств

2. Алгебра событий

3. Формула полной вероятности

4. Формула Байеса (формула вероятностей гипотез)

5. Решение типовой задачи на формулу Байеса

Заключение

Список используемых источников

Введение

Теория вероятностей -- раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка). Первоначально её основные понятия не имели строго математического вида, к ним можно было относиться как к некоторым эмпирическим фактам, как к свойствам реальных событий, и они формулировались в наглядных представлениях. Самые ранние работы учёных в области теории вероятностей относятся к XVII веку. Исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, Блез Паскаль и Пьер Ферма открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании костей.

Теория вероятностей является одним из классических разделов математики. Она имеет длительную историю. Основы этого раздела науки были заложены великими математиками.

Позднее развитие теории вероятностей определились в работах многих ученых. Большой вклад в теорию вероятностей внесли ученые нашей страны: П.Л.Чебышев, А.М.Ляпунов, А.А.Марков, А.Н.Колмогоров. Вероятностные и статистические методы в настоящее время глубоко проникли в приложения. Они используются в физике, технике, экономке, биологии и медицине. Особенно возросла их роль в связи с развитием вычислительной техники. Например, для изучения физических явлений производят наблюдения или опыты. Их результаты обычно регистрируют в виде значений некоторых наблюдаемых величин. При повторении опытов мы обнаруживаем разброс их результатов. Например, повторяя измерения одной и той же величины одним и тем же прибором при сохранении определенных условий (температура, влажность и т.п.), мы получаем результаты, которые хоть немного, но все же отличаются друг от друга. Даже многократные измерения не дают возможности точно предсказать результат следующего измерения. В этом смысле говорят, что результат измерения есть величина случайная. Еще более наглядным примером случайной величины может служить номер выигрышного билета в лотерее. Можно привести много других примеров случайных величин. Все же и в мире случайностей обнаруживаются определенные закономерности. Математический аппарат для изучения таких закономерностей и дает теория вероятностей.

Таким образом, теория вероятностей занимается математическим анализом случайных событий и связанных с ними случайных величин.

1. Основы теории множеств

Теория вероятностей - математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. Одним из основных понятий является понятие случайного события (в дальнейшем просто событие).

Событием называется всякий факт (исход), который в результате опыта (испытания, эксперимента) может произойти или не произойти. Каждому из таких событий можно поставить в соответствие определенное число, называемое его вероятностью и являющееся мерой возможного совершения этого события.

Современное построение теории вероятностей основывается на аксиоматическом подходе и опирается на элементарные понятия теории множеств.

Множество - это любая совокупность объектов произвольной природы, каждый из которых называется элементом множества. Множества обозначаются по-разному: или одной большой буквой или перечислением его элементов, данным в фигурных скобках, или указанием (в тех же фигурных скобках) правила, по которому элемент относится к множеству. Например, конечное множество М натуральных чисел от 1 до 100 может быть записано в виде

М = {1, 2, …,100} = {i - целое; 1? i? 100}.

Предположим, что производится некоторый опыт (эксперимент, испытание), результат которого заранее неизвестен, случаен. Тогда множество всех возможных исходов опыта представляет пространство элементарных событий, а каждый его элемент (один отдельный исход опыта) является элементарным событием. Любой набор элементарных событий (любое их сочетание) считается подмножеством (частью) множества ? и является случайным событием, т. е. любое событие А - это подмножество множества ?: А??. Например, пространство элементарных событий при бросании игральной кости составляет шесть возможных исходов ? = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. С учетом пустого множества Ш , которое вообще не содержит элементов, в пространстве ? может быть выделено в общей сложности 2^6 = 64 подмножества:

Ш; {1}; … ; {6}; {1, 2}; … ; {5, 6}; {1, 2, 3}; … ; ?.

В общем случае, если множество ? содержит n элементов, то в нем можно выделить 2^n подмножеств (событий).

Рассматривая событие ? (ведь каждое множество есть свое собственное подмножество), можно отметить, что оно является достоверным событием, т. е. осуществляется при любом опыте. Пустое множество Ш как событие является невозможным, т. е. при любом опыте заведомо не может произойти. Для предыдущего примера: достоверное событие = ? {1,2,3,4,5,6} = {выпадение одного из шести очков}; невозможное событие Ш = {7} = {выпадение 7 очков при одном бросании игральной кости}.

Совместные (несовместные) события - такие события, появление одного из которых не исключает (исключает) возможности появления другого.

Зависимые (независимые) события - такие события, появление одного из которых влияет (не влияет) на появление другого события.

Противоположное событие относительно некоторого выбранного события А - событие, состоящее в не появлении этого выбранного события (обозначается В).

Полная группа событий - такая совокупность событий, при которой в результате опыта должно произойти хотя бы одно из событий этой совокупности. Очевидно, что события А и В составляют полную группу событий.

Одна из причин применения теории множеств в теории вероятностей заключается в том, что для множеств определены важные преобразования, которые имеют простое геометрическое представление и облегчающее понимание смысла этих преобразований. Оно носит название диаграммы Эйлера-Венна, и на ней пространство ? изображается в виде прямоугольника, а различные множества - в виде плоских фигур, ограниченных замкнутыми линиями, так, что B является подмножеством А, а C - подмножеством B (и одновременно подмножеством А).

2. Алгебра событий

В прикладных задачах основными являются не прямые, а косвенные методы вычисления вероятностей интересующих нас событий через вероятности других, с ними связанных. Для этого нужно уметь выражать интересующие нас события через другие, т. е. использовать алгебру событий.

Отметим, что все вводимые ниже понятия справедливы тогда, когда события о которых идет речь, представляют собой подмножества одного и того же пространства элементарных событий ?.

Сумма или объединение событий А1, А2, …, Аn - такое событие А, появление которого в опыте эквивалентно появлению в том же опыте хотя бы одного из событий А1, А2, …, Аn. Сумма обозначается:

где - знак логического сложения событий, - знак логической суммы событий.

Произведение или пересечение событий А1, А2, …, Аn - такое событие А, появление которого в опыте эквивалентно появлению в том же опыте всех событий А1, А2, …, Аn одновременно. Произведение обозначается

где - знак логического умножения событий, - знак логического произведения событий.

Операции сложения и умножения событий обладают рядом свойств, присущих обычным сложению и умножению, а именно: переместительным, сочетательным и распределительным свойствами, которые очевидны и не нуждаются в пояснении.

Суммой (объединением) событий А1 и А2 является событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий. Произведение событий А1 и А2 это событие, состоящее в совместном выполнении обоих событий. Из определения суммы и произведения событий следует, что

А = АА; А = А ; = А ;

А = АА; = А ; А = А .

Если события Аi (i=1, … , n) или { Аi }n i=1 составляют полную группу событий, то их сумма есть достоверное событие

=

Область дополняет А до полного пространства . Из определения противоположного события следует, что

Другие свойства противоположных событий отражены в законах де Моргана:

3. Формула полной вероятности

В практике решения большого числа задач формула полной вероятности (ФПВ) и формула Байеса, являющиеся следствием основных теорем, находят широкое применение.

Если по результатам опыта можно сделать n исключающих друг друга предположений (гипотез) H1, H2, … Hn, представляющих полную группу несовместных событий (для которой ), то вероятность события А, которое может появиться только с одной из этих гипотез, определяется

P(A) = P(Hi ) P(A Hi ),

где P(Hi) - вероятность гипотезы Hi; P(А| Hi) - условная вероятность события А при гипотезе Hi.

Поскольку событие А может появиться с одной из гипотез H1, H2, … Hn, то А = АH1 H2 …АHn , но H1, H2, … Hn несовместны, поэтому

В виду зависимости события А от появления события (гипотезы) Hi

P(AHi) = P(Hi)· P(А| Hi).

4. Формула Байеса (формула вероятностей гипотез)

Пусть есть некоторое событие А, которое может произойти в результате некоторого события В1,В2,…Вn и пока одно из этих событий не наступило его называют гипотезой. Гипотеза- это еще не наступившее, но уже возможное событие.

Для события А формулу полной вероятности можно записать следующим образом

Р(А)=Р(В1)*Рв1(А)+Р(В2)*Рв2(А)+…+Р(Вn)*Рвn(А)

При условии, что В1,В2,…Вn уже наступило.

Рвn(А)- это условная вероятность, которая означает, что уже наступило событие Вn и мы знаем или хотим найти чему равна вероятность события А при наступившем событии Вn. Теперь представим, что наступило событие А. Так как событие А и гипотезы В1,В2,…Вn связаны, то найдем вероятность наступления события В1 при наступившем событии А. Т.е. чему будет равна такая вероятность РА(В1)- ?

По теореме умножения Р(А*В1)=Р(А)* РА(В1) при условии что Р от А уже наступило. Или же Р(А*В1)=Р(В)* РВ1(А) при условии что В1 уже наступило. Используя правые части формулы можем получить РА(В1)= Р(В)* РВ1(А) / Р(А). И теперь подставляем формулу полной вероятности Р(А) , то мы и получим формулу Байеса. Чаще всего в примерах задач будут две или три гипотезы. Формула Байеса для двух гипотез выглядит следующим образом

РА(В1)= Р(В1)* РВ1(А) / Р(В1)* РВ1(А)+ Р(В2)* РВ2(А).

5. Решение типовой задачи на формулу Байеса

Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит 60% деталей отличного качества, а второй- 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.

Нам понадобится формула Байеса и нам нужно найти все то, что в ней учавствует. И так мы имеем. Первое- деталь, сделанная качественно. Второе- вероятность брака. Третье- доля каждого автомата в деталях на конвейере.

<<Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго>> это означает, что первый автомат произведет 2 детали, то второй сделает 1 деталь. Итого 3 детали. Значит доля первого 2/3, а доля второго 1/3.

<<Первый автомат производит 60% деталей отличного качества, а второй- 84%>> это означает, что вероятность качественных деталей у первого автомата=0,6 а брак=0,4 а у второго качество=0.84 и брак=0,16

Логичнее всего обозначить через А событие, которое произведено отличного качества. А так как нам нужно найти вероятность того что деталь произведена отличного качества и на первом автомате, то Ра(В1). Гипотеза В1- это то, что деталь отличного качества сделает первый автомат, а гипотеза В2- то, что деталь отличного качества сделает второй автомат. Теперь запишем формулу Байеса и подставим в неё все необходимые значения.

Ра(В1)= Р(В1)*Рв1(А) / Р(А) , где

Р(А)= Р(В1)*Рв1(А)+Р(В2)*Рв2(А) формула полной вероятности

Р(В1)= 2/3 , т.е вероятность того, что деталь произведена на первом автомате

Рв1(А)= 0,6 , т.е вероятность того, деталь произведена на первом автомате и она качественная.

Р(В2)= 1/3 , т.е вероятность того, что деталь произведена на втором автомате

Рв2(А)= 0,84 , т.е вероятность того, деталь произведена на втором автомате и она качественная. Подставляя полученные значения, имеем

Р(А)= 2/3*0,6+1/3*0,84= 0,68

И значит, вероятность того, что деталь качественная и сделана именно на первом автомате

Ра(В1)= Р(В1)*Рв1(А) / Р(А)= 2/3*0,6 / 0,68 = 0,588

Заключение

теория вероятностей байес умножение

Формула полной вероятности широко использовалась математиками при конкретных расчетах ещё в начале 18 века, но впервые была сформулирована как одно из основных утверждений теории вероятностей Пьером-Симоном Лапласом лишь в конце того века. Она применяется, в частности, при нахождении среднего выходного уровня дефектности в задачах статистического обеспечения качества продукции.

Формула Байеса позволяет «переставить причину и следствие» по известному факту события и вычислить вероятность того, что оно было вызвано данной причиной.

События, отражающие действие «причин», в данном случае обычно называют гипотезами, так как они- предполагаемые события, повлекшие данное. Безусловную вероятность справедливости гипотезы называют априорной ( насколько вероятна ошибка вообще), а условную- с учетом факта произошедшего события- апостериорной ( насколько вероятная причина оказалась с учетом данных о событии).

Можно также уточнять вероятность гипотезы, учитывая другие имеющиеся данные ( другие произошедшие события). Для учета каждого следующего события нужно в качестве априорной вероятности гипотезы подставлять её апостериорную вероятность с предыдущего шага.

Список используемых источников

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика,-М.: Высшее образование.2005.

2. Сайт видеоуроков по математике http://specclass.ru/teorver_list/#more-502

3. Сайт основные понятия и краткие сведения из теории вероятностей http://gendocs.ru/v1556/лекции_-_диагностика_и_надежность_систем_управления?page=14

4. Крамер Г. Математические методы статистики. - М.: Мир, 1975. - 648 с.

Размещено на Allbest.ru